Le blog-notes mathématique du coyote

Quand cinq plus cinq font presque cent pour un enfant, il souffre peut-être de dyscalculie. Un trouble de l'apprentissage qu'il est possible d'atténuer.
Au fait, quel nombre est plus grand? Vingt-cinq pourrait-il être proche de cent? Ou plutôt de dix? 6% des écoliers suisses sont perplexes face à ce genre de questions. Les spécialistes désignent par dyscalculie cette grande difficulté à calculer, à se représenter une quantité exprimée par une valeur numérique. Pour les enfants qui souffrent de ce trouble, l'école est synonyme de stress.
La dyscalculie est un trouble partiel de l'apprentissage, que l'on ne détecte souvent qu'en deuxième ou troisième année scolaire, lorsque le calcul va au-delà des dix premiers chiffres, donc des dix doigts.

Causes encore méconnues
Erika Bütler rit aujourd'hui en se rappelant comme elle s'efforçait, pendant les cours, de faire semblant d'être très concentrée et de calculer de tête. Mais à l'époque, les conséquences de ses difficultés étaient moins drôles: on la dirigea vers la primaire supérieure, bien qu'elle fût une bonne élève dans toutes les autres branches. De plus, elle connut échec après échec en mathématiques, malgré tout le zèle qu'elle mettait à faire des exercices. Et elle se demandait sans cesse: comment est-ce possible?
«On ne le sait pas encore avec certitude, hélas», déclare Karin Kucian, 28 ans, neurobiologiste à l'Hôpital pour enfants de Zurich, qui a publié une thèse sur la dyscalculie. «Ce qui est sûr, c'est que les enfants atteints de ce trouble ne sont ni bêtes ni paresseux», affirme-t-elle. Il apparaît plutôt que les zones du cerveau responsables de la compréhension de la symbolique des chiffres soient activées différemment chez eux que chez les enfants qui n'ont pas de difficultés. La spécialiste l'a prouvé en enregistrant l'activité cérébrale pendant le calcul. Et elle déclare: «Aucune différence n'est apparue entre les enfants atteints de dyscalculie et ceux qui ne le sont pas lors d'opérations qu'ils peuvent apprendre par coeur.»
En revanche, l'activité cérébrale était nettement différente lorsque les enfants étaient appelés à évaluer des abstractions, à faire des suppositions ou à établir un pronostic sur la base d'un principe. Tous les enfants ont réussi à calculer à la même vitesse l'addition suivante: trois plus quatre égalent combien? Sept ou neuf? Des différences sont toutefois apparues pendant des exercices de raisonnement leur demandant si la somme de neuf et six est plus proche de treize ou de vingt-six.

Les signes de la dyscalculie

• L'enfant ne peut se libérer de matériel concret.
• Il compte sur ses doigts jusqu'à la deuxième ou la troisième année primaire.
• Il apprend par coeur le résultat d'opérations arithmétiques, mais ne les comprend pas.
• Répéter et s'exercer n'apporte que peu d'amélioration.
• L'écolier éprouve de grandes difficultés à se représenter des formes géométriques, à lire l'heure, à évaluer des distances ou des laps de temps et à reconnaître des suites numériques régulières.
• Les devoirs d'arithmétique à faire à la maison sont souvent un cauchemar et prennent un temps fou.
• Les échecs en mathématiques provoquent une aversion contre l'école en général.

Source: Migros Magazine N° 42, 18 octobre 2005
A voir: Dyscalculie, par Catherine Le Palud
A lire : Dyscalculie, le sens perdu des nombres

Un quipu est formé d'une série de nombreuses cordelettes nouées fixées sur un morceau de bois. A l'aide de cet instrument, les comptables incas pouvaient calculer avec exactitude le nombre de lamas et la quantité de produits agricoles. Des études récentes laissent penser que le quipu avait un usage d'écriture historique et littéraire.
Le personnage qui tient un étrange instrument formé de cordelettes nouées. Il s'agit de "quipucamayoc" (le "maitre du quipu") chargé de la comptabilité qui utilisé l'instrument en question pour faire les comptes. Le quipucamayoc devait rendre des comptes réguliers à l'Inca de la situation économique et financière de l'empire.
Il n'a jamais été prouvé qu'il pouvait bien s'agir d'un alphabet, ni pu être déchiffré en aucune sorte même pour les nombres. De plus, lors de la colonisation espagnole, un grand nombre de ces objets ont été détruits et, le matériel utilisé étant plutôt fragile, il ne reste que très peu de quipus dans les musées péruviens.

A voir: The Khipu Database Project, The Quipu, The Pre-Inca Data Structure

Entrez dans Maths Museum, un musée virtuel où les objets et les oeuvres exposés ont un rapport direct avec les mathématiques ou la physique.

Les familles de scientifiques sont rares. La famille Bernoulli (Bâle, Suisse), qui compte un grand nombre de mathématiciens célèbres, en est un exemple exceptionnel.

	Jacob I 1654-1705		Johann I 1667-1748
		/¯¯¯¯¯¯¯	|	¯¯¯¯¯¯\
Nicolaus I 1687-1759		Nicolaus II 1695-1726	Daniel 1700-1782	Johann II 1710-1790
			/¯¯¯¯¯¯¯	|
			Johann III 1744-1807	Jacob II 1759-1789

Source : Bernoulli-Edition
Pour en savoir plus : Les Bernoulli

K3DSurf est un logiciel de dessin et de manipulation de modèles mathématiques dans l'espace de trois, quatre, cinq et six dimensions. C'est aussi un "Modeleur" pour Pov-Ray dans le domaine des objets paramétriques. K3DSurf a comme objectif de populariser l'utilisation des mathématiques à la fois comme un outil de création artistique, éducatif ou de recherche pour jeunes curieux et mathématiciens confirmés. C'est ainsi que K3DSurf est composé de plusieurs sections dont chacune s'intéresse a un aspect particulier du dessin des objets mathématiques.

La littérature se réduit difficilement à une équation mathématique. Et pourtant, "un groupe de statisticiens a travaillé pendant plusieurs mois pour déterminer la recette du succès littéraire et a finalement conclu que, selon leur formule, Da Vinci Code aurait dû être un bide", rapporte The Guardian. Le best-seller écrit par Dan Brown n'affiche a priori que 36 % de chances de figurer au sommet des meilleures ventes, d'après Alvai Winkler et son équipe.
Cet ancien chercheur de l'université du Middlesex s'est lancé dans cette recherche à la demande de l'éditeur en ligne Lulu.com. Le principe adopté est qu'une grande partie du succès d'une fiction dépend de son titre. "L'équipe de trois statisticiens, assistés de programmeurs, a étudié 54 années de hit-parades littéraires du New York Times et les 100 meilleurs romans du classement de l'émission Big Read de la BBC."
D'après leur grille d'analyse, "les titres des livres qui marchent ont trois points communs : ils sont métaphoriques plutôt qu'explicites ; le premier mot est un pronom, un verbe, un adjectif ou une formule de salutation ; et leur structure grammaticale est caractérisée par la forme possessive d'un nom, par un nom et un adjectif épithète, ou par la formule 'Le ... de...'"
En appliquant ce modèle à 700 titres publiés ces cinquante dernières années, les statisticiens ont correctement déterminé, dans 70 % des cas, quels livres étaient des best-sellers. Un score plus qu'honorable. Mais ce modèle statistique a aussi ses limites, comme en témoigne le faible score attribué à Harry Potter (51 % de chances de succès) ou l'échec de l'ouvrage de Dan Brown - que les lecteurs classent meilleure vente de l'année.

Source : Da Vinci novel breaks code for success, par John Ezard, The Guardian, 28 décembre 2005

Comme j'étais en excursion à Bâle hier, j'en ai profité pour aller photographier la tombe de Jacques Bernoulli dans le cloître de la cathédrale de Bâle. Il s'agit en fait d'une plaque richement décorée placée sur un des murs du cloître, qui jouxte l'austère cathédrale. On remarque en bas de la plaque une spirale avec ces mots: Eadem mutata resurgo (Changée en moi-même, je renais). Bernoulli voulait que l'on grave sur sa tombe une spirale logarithmique, à laquelle il consacra un traité: "Spira mirabilis". La spirale logarithmique a des propriétés d'invariance très étonnante. En effet, lorsqu'on effectue une rotation de cette spirale, tout se passe comme si on avait effectué une homothétie. Malheureusement, le graveur s'est trompé et a dessiné une spirale d'Archimède!

A voir: La spirale logarithmique

Math Tools est une librairie communautaire d'outils technologiques, de leçons, d'activités et de supports pour l'apprentissage et l'enseignement des mathématiques. Tous les niveaux sont concernés, de la maternelle au Lycée.

Il n'est pas possible d'être mathématicien sans avoir l'âme d'un poète.

Sofia Vasilyevna Kovalevskaya

Le nombre 2^30402457 - 1 est devenu le plus grand nombre premier découvert à ce jour, c'est-à-dire un nombre divisible uniquement par 1 et par lui-même. Ce nombre est un nombre premier de Mersenne, c'est-à-dire dont l'écriture est la suivante: 2 puissance un nombre premier (ici 30402457) auquel on retranche 1.
Ce nombre, baptisé M43 (pour le 43ème nombre premier de Mersenne connu), contient tout de même 9'152'052 chiffres et a été découvert grâce au projet GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) par les docteurs Curtis Cooper et Steven Boone de l'Université Centrale de l'Etat du Missouri (CMSU). C'est la technique de la grille de calcul (grid computing), c'est-à-dire la distribution de la charge de calcul auprès d'une multitude d'ordinateurs interconnectés, qui a permis cet exploit.
Le projet GIMPS a pu regrouper au sein d'une grille les ordinateurs de volontaires et bénévoles répartis tout autour de la planète, grâce au réseau Internet. La plupart des projets utilisant le calcul distribué récupèrent la puissance informatique non employée des machines de ses contributeurs, de manière complètement transparente. Dans le cas présent, ce sont tout de même plus de 200 000 ordinateurs répartis sur les cinq continents, en plus des 700 ordinateurs de l'université CMSU, qui ont permis de découvrir M43 en à peine... 10 mois. L'appartenance de ce nombre à l'ensemble des nombres premiers a été vérifiée bien plus rapidement, en cinq jours à Grenoble par un chercheur de Bull grâce à un supercalculateur.

Source : www.techno-science.net
A voir: Mersenne.org

« S'il n'existait pas dans la nature, le chou-fleur variété romanesco aurait dû être inventé par un fractaliste. Parmi les objets de tous les jours, c'est la meilleure illustration qui soit du concept de surface rugueuse mais riche en invariances. » Benoît Mandelbrot.

Le chou romanesco est une variété de chou brocoli originaire d'Italie et plus précisément de Rome. Il est appelé aussi « brocoli à pomme ».
Bien qu'il s'agisse d'une variété ancienne, son introduction en France est relativement récente, il y est cultivé en grand depuis les années 1990, surtout en Bretagne (régions de Saint-Pol-de-Léon et de Paimpol). Sa commercialisation s'est répandue à partir de 1993 sur le marché du frais, puis par l'intermédiaire de la surgélation. Son importance économique reste toutefois très limitée.
La disposition des bourgeons floraux en spirales régulières illustre les lois de la phyllotaxie. Un examen attentif montre que le nombre de spirales orientées dans le sens des aiguilles d'une montre et le nombre de spirales orientées en sens inverse sont deux nombres de la suite de Fibonacci, le rapport de ces nombres est une valeur approchée du nombre d'or. De plus sa géométrie autosimilaire fait qu'il est souvent cité comme un exemple de fractale naturelle.

Un chou-leur Romanesco entier


Un détail du même chou-fleur. Remarquez que chaque pointe ressemble au chou-fleur entier.
C'est la propriété d'"autosimilitude", caractéristique des fractales.
A voir: A romaneco page

Mélancolie I, Albrecht Dürer, 1514
Extrait d'une analyse du blog Par les mots :

(…) Progressivement, DÜRER se détachera de la peinture pour s’intéresser au procédé diabolique de la gravure : technique lui permettant de diffuser l’œuvre d’Art mais surtout de contrarier l’œuvre unique. C’est à 43 ans qu’il grave sur cuivre : MELENCOLIA I, production au premier abord austère, mystérieuse, énigmatique, presque initiatique par la charge de ses symboles. DÜRER est passionné d’alchimie.
Mon œil se pose sur le protagoniste au regard fixe et intense, se tenant la tête de la main gauche d’un air désabusé ; homme, femme, ange ? Me voici face au visage de la mélancolie, tristesse vague, mal doux qui touche tout le monde... Mon regard se perd, ne sait où se poser.
L’œuvre m’impose une analyse minutieuse de chaque objet, seul moyen de saisir le message de l’artiste. Les objets évoquent le métier d’architecte, la menuiserie ou la géométrie, signifiant l’art et la science : ce sont des instruments qui permettent de mesurer, de tracer, de polir des surfaces mais aussi de créer ce que se représente la faculté imaginative. Cette mise en relation de la mélancolie et de la géométrie me renvoie à Saturne, planète qui les gouverne toutes deux et ce fait rend compte aussi de leur fusion ; l’une dotée d’une âme, l’autre d’un esprit. « Melencolia I » serait donc une première phase. Celle de l’introspection et de la pensée sans activité. Y aurait-il alors une ascension qui passerait par une mélancolie II ? L’imaginaire qui côtoierait le rationnel pour aboutir à une construction mentale ?
Les attributs sont particuliers : un compas pointant sur le nœud emblématique de la sexualité. Est-ce pour m’induire en erreur ou bien me dévoiler le cœur du problème ? Pourtant, le compas, image de la circonférence me laisse aussi supposer que la Mélancolie est un cercle vicieux d’où l’on ne sort pas !
À ses pieds, la Mélancolie dispose d’instruments permettant d’envisager les questions essentielles : le rabot et la scie, symbole de la perfection, les clefs signifiant la sagesse, les clous pour la passion... Mais aussi la meule traçant le destin de chacun, le marteau pour construire sa vie, la lampe à huile génitrice de vie et le chien osseux image de la mort.
L’échelle ne va nulle part, ni ne commence d’ailleurs. Et la perspective annonce qu’il n’y a pas qu’un seul chemin de vie… En revanche, la mélancolie est stable, posée devant le carré où l’échelle du temps est appuyée.
De la pleine maturité psychologique de l’auteur émergent les questions fondamentales.
Foisonnent sur ce carré de multiples objets, déterminant l’état même de la mélancolie : balance entre-deux, sablier à égalité, (en « milieu de vie », moment propice à la mélancolie ?), comme l’indication d’une obsession à voir le temps s’écouler, le temps paraît suspendu « temps entre les temps » ; cloche dans l’attente d’une éventuelle agitation et qui n’arrive pas à saisir autre chose qu’un éternel présent. (...)

Voici un agrandissement du carré magique situé au-dessus de l'ange. Remarquons déjà que l'année 1514 se retrouve dans les deux cases centrales de la dernière ligne du carré. Plus que magique, ce carré est "diabolique" (la même constante magique peut être trouvée non seulement dans les lignes, les colonnes et les diagonales, mais aussi dans une variété de configurations régulières et géométriques):

Les quatre coins donnent 34.
Les quatre cases au centre aussi.
Idem pour 2, 3, 15, 14
Si on partage le carré 4x4 en quatre carrés 2x2, on trouve encore 34: 34 = 16+3+5+10 = 2+13+11+8 = 9+6+4+15 = 7+12+14+1
On trouve aussi 9+15+2+8 = 34
etc.

A lire aussi: Christine Salvadé, Le blues du scientifique selon Albrecht Dürer, Le Temps, 23 juillet 2005

Combien existe-t-il de carrés magiques de 5 ? Alors que Martin Gardner, le célèbre auteur américain d'ouvrages de récréations mathématiques estimait, il y a plus de trente ans, que ce nombre avoisinait les 13 millions, Bernard Gervais, grâce aux moyens informatiques, nous montre qu'il était bien loin de la solution... Ce mystère, vieux comme le monde, se trouve enfin élucidé dans ce livre. L'auteur propose en outre des développements originaux et inattendus à travers le concept de mosaïque magique. A l'aide de démonstrations simples et imagées, il conduit le lecteur toujours en éveil dans un labyrinthe de propriétés qui s'emboîtent les unes dans les autres comme une suite infinie de poupées russes. Chaque page met à rude épreuve l'intuition du lecteur et ses facultés de raisonnement tout en le guidant naturellement vers la solution. Présenté sous la forme d'une récréation arithmétique et géométrique ce livre s'adresse aux curieux... qui savent compter jusqu'à 65.

A lire : Bernard Gervais, Les carrés magiques de 5, Eyrolles, 1999

Extrait de la présentation du site de Xavier Hubaut "Mathématique du secondaire" :

Dans cette toile ("web"), nous présentons un éventail de sujets qu'il n'est pas "classique" de traiter dans l'enseignement secondaire. Nous avons cru utile de les rassembler étant donné l'intérêt qu'ils peuvent présenter et surtout le fait qu'ils ne font pas appel à des matières étrangères au programme de l'enseignement secondaire.
L'idée qui a prévalu est que, pour intéresser les élèves, il faut que les mathématiques soient esthétiques, applicables ou amusantes sous peine de faire des mathématiques inesthétiques, inutiles et ennuyeuses.

Voici un graphique qui met en relation l'évolution de la popularité de George W. Bush (en rouge) et du prix de l'essence aux USA (en bleu). Attention, quand la courbe du prix de l'essence monte, cela signifie que le prix DIMINUE.

Source : http://www.pollkatz.homestead.com/files/NEWBUSHINDEX_28670_image001.gif

"Ah! Tu pensais que tu allais m'avoir comme ça?!"

Math Magic est un site web dédié à des récréations mathématiques originales. Chaque mois, un nouveau problème. Et cela dure depuis 1998...

En tant qu’utilisateurs modernes des chiffres dits "arabes", nous en attribuons rapidement l’invention à ces mêmes Arabes. Pourtant, bien avant eux, les Indiens connaissaient et utilisaient déjà le système décimal tel que nous le connaissons et l’utilisons de nos jours. Ce n’est que bien plus tard que les mathématiciens arabes le découvrirent, l’adoptèrent et l’importèrent. Ainsi devrions-nous plutôt parler de chiffres indiens, car ce système de numérotation a été mis au point et utilisé par eux dès le 3e siècle avant J.-C. Il a ensuite été introduit dans le monde arabe vers le 7e ou le 8e siècle de notre ère et les premiers documents attestant de l’usage finalement tardif de ce système en Europe datent de 976.

Plus encore, l’idée reçue attribuant la paternité du zéro aux Arabes est à laisser pour ce qu’elle est, car le zéro était lui aussi bien connu des Indiens (et même des Mayas avant eux). Les Arabes le rapportèrent de leurs nombreuses conquêtes.

Source: Tatoufaux.com

La revue Tangente Jeux & Stratégie propose depuis quelque temps un jeu de grille nommé Museum.

Règle du jeu

Ce musée est un vrai labyrinthe: on peut visiter toutes les salles, mais il n'existe qu'un seul chemin pour aller d'une salle quelconque à une autre sans repasser par la même salle. Lorsqu'on se trouve dans une salle, on peut en voir d'autres en enfilade (horizontalement ou verticalement sur le plan): celles dont on n'est pas séparé par un mur. Dans certaines cases, il est indiqué le nombre de salles que l'on peut voir, y compris celle où l'on se trouve. Tous les problèmes ont une seule solution. Le but du jeu est évidemment de placer les murs.

Exemple et solution

Ce jeu est beaucoup plus difficile qu'il n'y paraît, surtout si on utilise une grande grille (6x6 par exemple).