Le blog-notes mathématique du coyote

Denis Feldman a mis en ligne son cours de mathématiques. La navigation est assez déroutante, mais on trouve de très belles choses, notamment le blog de l'auteur. L'index thématique permet de voir en un coup d'oeil ce qui concerne les mathématiques.
Un site très riche où l'on peut passer des heures. De plus, l'auteur est un grand amateur de go.

La vague mexicaine ou la ola, qui est devenue célèbre lors de la coupe du monde de football en 1986, surgit parmi les rangées de spectateurs dans un stade lorsque quelques spectateurs se mettent sur leurs pieds, lèvent leurs bras et ensuite s’asseyent à nouveau alors que les spectateurs voisins en font de même. Pour interpréter et quantifier ce comportement collectif, les auteurs de l’article ont développé plusieurs modèles en se basant, notamment, sur des enregistrements vidéo de vagues se déroulant dans des stades de football. Ils ont constaté que la vague se déplace généralement dans le sens des aiguilles d’une montre à une vitesse d’environ 12 mètres par seconde (ou 20 sièges) et a une largeur d’environ 6 à 12 mètres (une moyenne de 15 sièges). Elle est générée par moins d’une douzaine de spectateurs se levant simultanément et ensuite elle s’étend à l’ensemble de la foule lorsqu’elle acquiert une forme stable quasi linéaire.

A voir : Mexican Wave (en anglais)
A lire : Mexican waves in an excitable medium de I. Farkas, D. Helbing et T. Viscek, département de physique biologique, Eötvös, volume 419, 12 septembre 2002, Nature Publishing Group.

Il existe plusieurs sites intéressants sur les Eléments d'Euclide. Il y a d'abord une traduction française numérisée par la BnF au format PDF. Plus agréable dans sa présentation, et toujours en français LES ELEMENTS D'EUCLIDE - TRADUCTION F. PEYRARD (1819), par J.F. Gilles. Euclid's Element, de David Joyce, présente une traduction en anglais du texte original, accompagnée d'illustrations en Java de toutes les constructions géométriques.

Vous connaissez peut-être cette boutade : "Cette feuille est tellement mince qu'elle n'a plus qu'un seul côté". Eh bien, il existe bel et bien un objet qui n'a qu'un seul côté, c'est le ruban de Möbius. Il est facile à construire. Prenez une bande de papier et tenez-la aux extrémités. Tournez votre main droite (ou gauche) d'un demi-tour et collez les deux extrémités. C'est fait. Vous avez obtenu la figure dessinée sur le timbre brésilien ci-contre.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972), mon peintre préféré, a utilisé plusieurs fois le ruban de Möbius dans ses tableaux. Le plus célèbre est sans doute celui-ci :

RUBAN DE MÖBIUS II (1963)
Si vous suivez les fourmis, vous constaterez qu'elles sont bien toutes du même côté...

A voir : Le ruban de Möbius

Google a lancé en test fermé un logiciel en ligne de type « tableur » nommé « Google Spreadsheets ». Cet outil gratuit permet de créer des feuilles de calcul directement sur le Web et de les partager avec d'autres utilisateurs. Il est également possible d'échanger par clavardage avec d'autres internautes tout en travaillant sur le même document. Il est également possible d'importer des documents aux formats .CSV ou .XLS (Excel). Enfin, l'outil n'est compatible qu'avec les navigateurs IE 6 (Windows) et Firefox.

Dernière semaine de cours. Les notes sont mises, donc les élèves ne veulent plus bosser. C'est l'occasion de se détendre et de s'amuser un peu. Depuis plusieurs années, j'ai trouvé LA solution pour passer un bon moment ensemble, c'est le jeu des Loups-Garous de Thiercelieux. C'est d'ailleurs le seul jeu que je connais auquel on peut jouer jusqu'à 18 personnes. Il tire son inspiration d'un jeu russe nommé "Mafia". Il s'agit de découvrir parmi les habitants d'un village (représenté par l'ensemble des élèves) 3 ou 4 loups-garous qui, chaque nuit, étripent un villageois.
Le seul bémol, à mon avis, est que les élèves éliminés tôt sont passifs jusqu'à la fin de la partie, mais ça n'a pas l'air de les gêner. Il est vrai qu'il est aussi intéressant de voir comment se déroule la partie pour découvrir la tactique de chaque élève.
Je signale pour tous mes élèves devenus fans (c'est-à-dire à peu près tous) qu'une extension est sortie récemment.

A voir : le site officiel des Loups-Garous de Thiercelieux

L'homme, cet arrière-neveu du limaçon qui rêva de justice et inventa le calcul intégral.

Jean Rostand

Un extrait de film, américain je pense, où Ma & Pa Kettle démontrent que 25/5=14. C'est évidemment en anglais, mais comme ils écrivent au tableau, on comprend très bien ce qui se passe...

Le livre Flatland - A romance of many dimensions, de Edwin A. Abbot est disponible en ligne.
Une version française est aussi disponible.

On imagine habituellement le ballon de foot parfaitement rond mais, quand on y regarde de plus près, on s'aperçoit qu'il est formé de plusieurs morceaux, selon un arrangement qui vise à rendre le ballon aussi rond que possible. Les morceaux du ballon sont des polygones réguliers, pas tous les mêmes. Avec des morceaux tous identiques on ne peut fabriquer que des solides platoniciens qui ne sont pas bien ronds : vous imaginez-vous jouer au foot avec un ballon en forme de cube ?
Le ballon standard est formé d'hexagones et de pentagones réguliers. À chaque sommet trois morceaux se rejoignent. Si on ne prenait que des hexagones, on obtiendrait une figure plate comme un réseau de nids d'abeilles ; un seul hexagone et deux pentagones à chaque sommet, cela donnerait un sommet trop marqué (trop pointu).
On prend donc deux hexagones et un pentagone pour rendre la structure la plus sphérique possible. Si on fait la même combinaison à tous les sommets on obtient une structure homogène. En particulier, on voit que deux pentagones ne se touchent jamais. Demandons-nous combien il y a de pentagones et d'hexagones au total. Bien sûr, nous pourrions les compter. Mais on peut se tromper et compter deux fois le même morceau. Il y a des moyens ingénieux pour compter...
Par exemple si on tient le ballon avec un pentagone au sommet ; il y en a alors un autre en bas et les autres pentagones forment deux ceintures de 5 pentagones chacun. Au total cela fait 1 +1 +5 +5 =12 pentagones. Et combien d'hexagones ? Pour les compter, utilisons le nombre de pentagones: chaque pentagone a 5 voisins hexagonaux. Mais chaque hexagone a exactement 3 pentagones pour voisins, donc chaque hexagone est compté trois fois. Au total on obtient pour le nombre d'hexagones 12 × 5 / 3 =20. Vous imaginez la difficulté pour assembler un modèle en papier formé de 12 pentagones et de 20 hexagones !

Maintenant pensez au nombre de côtés, c’est-a-dire de segments qui sont à la frontière de deux faces. Il y en a beaucoup, leur nombre paraît compliqué à calculer sans faire d’erreurs... mais il y a un truc ! Une formule relie ces nombres : c’est la formule d’Euler, du nom d’un très grand mathématicien suisse, Leonhard Euler (1707-1783). Notons S le nombre de sommets, A d’arêtes, F de faces. On a : S − A + F = 2.
La formule est valable pour tous les solides fabriqués comme le ballon de foot avec des faces qui se rencontrent suivant des arêtes ; une seule restriction : le solide doit être convexe, c’est-à-dire ne contenir ni partie rentrante ni trou. Si on applique cette formule pour le ballon de foot on trouve : A = 60 + 32 − 2 = 90.

Ce ballon traditionnel va peut-être disparaître au profit d'un autre plus performant : le Teamgeist. Conçu par Adidas - fournisseur du ballon de la Coupe du monde depuis 1970 -, le ballon officiel de la Coupe du monde 2006 frôle la perfection en la matière. Aux dires du géant allemand, ce fruit de trois ans d'efforts est trois fois plus précis que ses concurrents.
Première révolution: le ballon ne comporte que 14 morceaux de cuir artificiel quand ses ancêtres en traînaient 32. Adieu donc les traditionnels 12 pentagones et 20 hexagones. Place aux bandes en forme de langue et d'hélice. Ces panneaux permettent d'obtenir une surface externe parfaitement lisse et ronde. Il traverse ainsi l'air avec plus de précision et moins de résistance.
Seconde révolution: les éléments ne sont pas cousus entre eux mais thermocollés au laser. Une technique inventée par Adidas qui le rend quasi étanche.

Source : LES SECRETS MATHÉMATIQUES DU BALLON DE FOOT par Albrecht Beutelspacher, Allemagne, article paru dans MATHÉMATIQUES BUISSONNIÈRES en Europe, pages 4-6
A voir : Icosaèdre tronqué

Question : dans une équipe de foot de la coupe du monde, quelle est la probabilité que deux joueurs soient nés le même jour (mais pas forcément la même année) ?

Pour ce calcul, il est plus aisé de déterminer la probabilité que deux joueurs ne soient pas nés le même jour. Avec un seul joueur, que nous nommerons Arthur, pas de coïncidence possible: la probabilité cherchée est donc égale à un. Voici qu'arrive Bernard. Son anniversaire peut être l'un des 365 jours de l'année, mais, comme Arthur est né l'un de ces jours, la probabilité d'avoir des dates distinctes est égale à 364/365 (le quotient du nombre de cas favorables et du nombre de cas possibles). Puis arrive Claude. Il reste 363 dates non prises, d'où la probabilité d'avoir une date distincte des deux autres, qui est de 363/365. La probabilité combinée d'avoir trois dates distinctes est égale au produit (364/365) x (363/365) (de la même façon que la probabilité d'obtenir deux face de suite, à pile ou face, est égale à 1/2 x 1/2).
Nous voyons apparaître la formule générale. Lorsque Denis arrive dans l'équipe, la probabilité d'avoir quatre dates distinctes est égale à : (364/365) x (363/365) x (362/365). Plus généralement, lorsqu'il y a n personnes dans l'équipe, la probabilité d'avoir n dates différentes est : (364/365) x (363/365) x ... x ((365 - n + 1)/365)).
Il nous suffit donc de calculer les valeurs successives de cette expression pour savoir à partir de quel n elle devient inférieure à 1/2. Vingt-deux joueurs ont une probabilité de 0,524 d'avoir des dates de naissance toutes distinctes, et ce résultat descend à 0.493 pour 23 joueurs. Donc, dès que 23 joueurs forment une équipe, la probabilité d'une coïncidence au moins est 1-0.493, soit 0.507 : l'événement est légèrement plus probable que son contraire.

Voyons ce qui se passe pour le Mondial de 2006. La FIFA fournit sur le site officiel de la coupe du monde la liste des joueurs de toutes les équipes et donne leur date de naissance. Sur les 32 équipes, j'en ai trouvé 22 (!) avec des joueurs nés le même jour :

• Allemagne (5 novembre)
• Angleterre (12 février)
• Argentine (5 février)
• Brésil (7 octobre)
• Corée du Sud (9 juillet)
• Costa Rica (30 décembre)
• Côte d'Ivoire (4 juin)
• Croatie (15 octobre)
• Tchéquie (30 mars)
• Espagne (1er septembre)
• France (23 juin)
• Iran (23 septembre)
• Japon (25 juillet)
• Mexique (14 août)
• Paraguay (22 janvier)
• Pays-Bas (29 octobre)
• Serbie-Monténégro (29 octobre)
• Suède (3 octobre)
• Suisse (30 mars)
• Togo (7 janvier)
• Ukraine (2 janvier)
• USA (24 mai)

On peut même aller plus loin. Parmi ces 22 équipes il y a théoriquement 1 chance sur 2 d'en trouver deux avec un anniversaire commun. Eh bien c'est le cas: le 29 octobre !

A lire : L'anniversaire, l'art des coïncidences, l'intuition trompeuse

Je salue un autre blog où l'on parle de mathématiques : Inclassable (anciennement Six-à-pile). On y parle aussi ésotérisme, philosophie, livres, et encore d'autres choses.

Comme chaque année, j'ai demandé à mes élèves de noter une vingtaine de prix lus dans des grands magasins, afin d'illustrer la loi de Benford. Un jour de 1881, un astronome américain, Simon Newcomb, s'aperçut que les premières pages d'une table de logarithmes étaient plus usées que les autres. Se pouvait-il que les données recherchées dans cette table commençaient plus souvent par le chiffre "1" ? Il tenta de résumer les résultats de son observation dans une formule simple pour mesurer la fréquence d'apparition du premier chiffre C, celui situé le plus à gauche, dans un ensemble de données :

p("1er chiffre significatif est d") = log₁₀(1+1/d), avec d=1, 2, ..., 9

A l'époque, cette formule ne convainquit personne. Cinquante ans plus tard, vers 1938, un physicien américain, Frank Benford, redécouvrit les mêmes fréquences que celles résultant de l'application de la formule de Newcomb, en répertoriant plus de 20 000 données sélectionnées dans des domaines aussi divers que les longueurs de plus de 300 fleuves, les recensements démographiques de plus de 3 000 régions, les masses atomiques des éléments chimiques, les cours de bourse, les constantes de la physique, les couvertures de journaux, etc. Il constata, donc, que le premier chiffre était un "1" près d'une fois sur trois ! Il en fit une loi qui porte aujourd'hui son nom : la loi de Benford.
Ce n'est qu'en 1996 que Terence Hill démontra mathématiquement la loi de Benford.

Attention ! Cette loi ne s'applique qu'aux résultats de mesure. Inutile de l'utiliser pour avaoir plus de chance de gagner à la loterie !

Le graphique ci-dessous compare la loi de Benford (en bleu) avec les fréquences observées...

1. de prix récoltés au hasard par mes élèves (3369 nombres)
2. des résultats cantonaux d'une votation fédérale parus dans le Quotidien Jurassien du 14 juin 1999, page 4 (828 nombres)
3. des superficies des pays souverains et territoires dépendants en 1974 (204 nombres).

A l'occasion du Mondial, Kinder Surprise a lancé la collection MagicSport. 15 joueurs répartis en 5 équipes (je parie que ça rappelle quelque chose aux élèves du Lycée qui ont passé leur examen de maths ce matin). Sur 24 oeufs achetés, je n'ai pu trouver que dix joueurs différents. J'ai trouvé 5 fois Tony, 3 fois Mario et 3 fois Matt.
Tout ça pour dire que j'échange volontiers Bruno, Matt, Mario, Léon, Billy et Aldo contre Paco (le boeuf de l'équipe bleue), Dany (la vache de l'équipe bleue), Ely (l'éléphant de l'équipe jaune), Zibbo (le zèbre de l'équipe jaune) et Rino (le rhinocéros de l'équipe jaune).

Je ne sais pas si c'est parce qu'on est en Suisse, mais la moitié des figurines que j'ai trouvées sont rouges. J'en viens aussi à me demander s'il y a vraiment des joueurs jaunes, puisque je n'en ai encore trouvé aucun. C'est louche!

Demain aura lieu l'examen écrit de mathématiques pour la maturité (le bac). Je rappelle à tous mes élèves, que toute tentative de triche sera sanctionnée d'exclusion.
Allez! Travaillez bien et bon courage pour demain!

P.S. Avez-vous reconnu ce théorème ?

Dave Richeson propose sur son site un exercice intéressant pour les lycéens :

1. Estimer l'aire des USA.
2. Localiser le centre géographique des USA.
3. Localiser le point médian géographique (ce point divise le pays en quatre régions d'aire égale).
4. Localiser le centre de la population des USA.
5. Localiser le point médian de la population.
6. Estimer le périmètre de USA

Pour cela il utilise Maple. Mais comme il a le bon goût de mettre à disposition son programme, on devrait pouvoir l'adapter à un autre langage de programmation et à un autre pays.

A lire : The center of the United States and other applications of calculus to geography

Le Sudoku n'est apparemment pas une invention récente. A la fin du XIXème siècle, les Français jouaient en effet à remplir des grilles très proches de ce jeu, qui étaient publiées dans les grand quotidiens de l'époque, révèle Christian Boyer dans la revue Pour la Science du mois de juin 2006. Selon lui, la grille la plus proche d'un Sudoku et celle de B Meyniel, publiée dans le quotidien La France du 6 juillet 1895. Les premiers Sudokus ont été publiés en 1979 par l'Américain Howard Garns, avant de paraître dans les revues japonaises dans les années 80 et 90, où ce jeu a pris son nom. Leur succès international a vraiment démarré grâce au Néo-Zélandais Wayne Gould, grâce à un logiciel de son invention qui permettait de générer facilement des grilles, et qui en a publiées dans le Times de Londres à partir de novembre 2004.

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Une courbe de circonstance. Ben oui, aujourd'hui c'est le 1er juin

Un bel exemple de courbe en coordonnées polaires.

Voici une première énigme tirée du Jardin du Sphinx, de Berloquin :

La tradition attribue à Newton ce curieux problème, dont la solution n'exige aucun calcul différentiel.

75 boeufs ont besoin de 12 jours pour brouter l'herbe d'un pré de 60 ares, tandis que 81 boeufs ont besoin de 15 jours pour brouter l'herbe d'un pré de 72 ares. Combien faut-il de boeufs pour brouter en 18 jours un pré de 96 ares?

(On suppose que l'herbe croît uniformément et qu'elle est dans les trois prés, à la même hauteur au début du problème.)