Le blog-notes mathématique du coyote

Pour un mathématicien, avancer à petits pas ne signifie pas forcément se rapprocher du but. Ainsi, l'un des plus brillants chercheurs de cette discipline, Terence Tao (université de Californie), vient d'apporter sa pierre à la résolution d'un problème mythique de sa discipline, la conjecture de Goldbach. Mais sans pouvoir affirmer l'avoir totalement résolue.
Ce problème remonte au XVIIIe siècle, lorsque le mathématicien Christian Goldbach défie son collègue Leonhardt Euler en estimant peu ou prou que tout nombre entier pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Par exemple, 30 = 13 + 17 ou 90 = 17 + 73. Ou encore, que tout nombre entier impair peut s'écrire comme la somme de trois nombres premiers. Ainsi, 179 = 19 + 71 + 89. Les nombres premiers ne sont divisibles que par un et eux-mêmes et constituent en quelque sorte les briques élémentaires de la théorie des nombres.

"Cette conjecture est très importante. Elle est simple à énoncer et pourtant touche à un problème fondamental : comment se combinent, pour les nombres, les deux opérations de base, la somme et la multiplication [qui est liée aux nombres premiers]", explique Gerald Tenenbaum, de l'institut Elie-Cartan de Nancy, spécialiste de la théorie des nombres.
Ce problème n'est pourtant pas l'un des sept mis à prix un million de dollars par la fondation Clay en 2000. Il a néanmoins un rapport avec l'un deux, l'hypothèse de Riemann, qui donne la clé de la répartition de ces atomes des mathématiques que sont les nombres premiers. Si cette autre conjecture est vraie, alors l'énoncé de Goldbach pour les nombres impairs s'en déduirait par exemple.

"NOUS NE POURRONS PAS ALLER JUSQU'À LA DÉMONSTRATION FINALE"

C'est dans ce contexte que Terence Tao, médaillé Fields en 2006 (récompense suprême en mathématiques), a démontré que tout entier impair peut se décomposer en cinq nombres premiers. Ce qui est donc un petit peu mieux que le précédent "record" d'Olivier Ramaré, de l'université de Lille et du CNRS, qui, il y a presque vingt ans, avait établi que tout nombre pair se décompose en six nombres premiers.
L'Américain a soumis cet article en février à une revue spécialisée pour expertise et publication, mais le magazine Scientific American l'a sorti de la confidentialité le 11 mai, repris par le site Web de la revue Nature. Le prestige de l'auteur et la méthode utilisée ne laissent guère de doute sur la solidité du travail, qui devrait donc être prochainement validé. Ce dernier reste modeste : "C'est un progrès incrémental dans la recherche sur la conjecture de Goldbach, mais pas une révolution", nous a-t-il écrit.
Le problème avec cette conjecture est que s'il semble possible d'atteindre les étapes suivantes, quatre nombres premiers, puis trois, la dernière restera inaccessible. "Avec la méthode que j'avais utilisée et que Terence Tao poursuit, nous savons que nous ne pourrons pas aller jusqu'à la démonstration finale. Il y a un obstacle théorique, constate Olivier Ramaré. On a même du mal à s'approcher d'une méthode différente permettant d'aborder cette ultime question. Peut-être qu'on ne verra pas la démonstration avant mille ans !"

"Ces travaux sont cependant intéressants, car pour aborder la démonstration finale, nous avons besoin de comprendre les entiers et les nombres premiers. Les outils et méthodes développés dans des cas plus 'simples' pourront donc être utiles. On ne sait jamais", poursuit le chercheur.

Source : David Larousserie - Le monde - 22 mai 2012

60 Tours Magiques de Mathématiques & de Logique
Dominique Souder
Ellipses Marketing, mai 2012
168 pages

Présentation de l'éditeur
Après le succès de ses cinq premiers livres consacrés à la magie mathématique et visant de jeunes publics scolaires et collégiens, Dominique Souder, dans ce sixième ouvrage, prolonge ici sa réflexion avec une soixantaine de nouveaux tours et doubles tours de magie. Ces derniers réussissent toujours automatiquement, grâce aux mathématiques et à la logique, mais dans cet ouvrage ils peuvent être assez sophistiqués (deux principes interagissant, ou plus). Ils visent une présentation déroutante plus proche du spectacle que de la démonstration d école de thèmes magiques de base pour apprentis. Ils s adressent aux lycéens et adultes, et aux amateurs déjà avertis. Dans ce livre, vous retrouverez la clarté et la précision de l auteur, sa volonté d être compris, et de développer la réflexion et la créativité du lecteur plutôt que l aptitude à appliquer des recettes. Vous serez sensible aussi à la qualité de l écriture, à la petite musique des sentiments disséminés de-ci, de-là, et aux fines touches psychologiques d un auteur généreux qui a beaucoup animé, pour des publics très variés et de tous âges, des clubs, des ateliers, des stages de formation pédagogique, et des salons scientifiques. Ce livre fourmille d idées : vous allez être épaté ! Et il va vous permettre d en avoir d autres vous-même, c est ce qui est le plus merveilleux ! Ce sera bientôt à vous de régaler la famille et les amis, avec des mathématiques et de la magie mêlées, mais sans avoir besoin d acquérir une dextérité de prestidigitateur... Et voilà bien des dizaines d heures de plaisirs en perspective !

Le jeu de la roulette n'est pas le plus intéressant du point de vue des probabilités au Casino (c'est le Blackjack). Néanmoins, il faut savoir que l'on a pas mal de chances de gagner ... si l'on ne joue qu'une fois et qu'on s'en tient là! En effet, l'intérêt de la « Maison » est de vous faire jouer de nombreuses fois : les probabilités sont claires et l'avantage est pour le Casino au long terme (si vous jouez une infinité de fois). On a l'impression qu'il s'agit d'un jeu de hasard pur et qu'on ne peut rien y faire, mais ce n'est pas vrai, si on triche un peu avec de la technologie. Après tout, c'est une bille qui roule et Galilée les étudiait.
Oh ! Il ne s'agit pas de technologie très moderne, car l'exploit a été réalisé en 1970 par Doyne Farmer, alors étudiant. Il a utilisé un ordinateur portable dans des casinos au Névada. Seulement, jusqu'à aujourd'hui, il n'avait soufflé mot sur sa technique. C'était, selon lui, pour que les casinos ne soient pas au courant et que d'autres « petits génies » se fassent un peu d'argent en douce, sans se faire remarquer.
Une récente recherche a par ailleurs démontré qu'avec quelques mesures de base et un simple téléphone portable (qui est en fait un ordinateur puissant), vous pouvez renverser les probabilités en votre faveur (sans pour autant gagner à chaque coup, mais plus souvent que la « Maison »).
Le modèle qui a été publié dans la revue « Chaos » divise le jeu en deux parties qui se succèdent. Au début, la balle roule tranquillement sur le bord et finit par tomber. Cette partie est très facile à prédire. La deuxième étape est plus difficile car la balle frappe les rainures et commence à partir dans tous les sens, mais on peut toutefois restreindre le nombre de possibilités grâce à la théorie du Chaos pour estimer la chute finale.
L'équipe a effectué de nombreux essais avec leur petit ordinateur portable et sur 700 essais tout s'est déroulé à merveille pour les prédictions. D'ordinaire, l'avantage du Casino est de (seulement) 2,7 % au jeu de la roulette. Avec l'ordinateur portable et une caméra automatique (qui serait détecté immédiatement par les services du Casino de nos jours), l'avantage passe au joueur est de 18 % !
Farmer pense qu'il s'agit à peu près du même modèle que celui qu'il avait utilisé dans les années 70. Il a noté une différence : dans son modèle, la bille ralentissait en raison du frottement de l'air. Dans le modèle récent, il s'agit de la résistance au roulement. A priori, les casinos savent que la roulette a cette faiblesse par rapport aux ordinateurs portatifs. Les chercheurs n'ont jamais essayé cela dans un vrai casino. Toutefois, il paraît que certains petits malins s'y sont essayé dans leur coin.

Source : Sur-la-Toile

... François Bayrou !

Certes, le candidat centriste n’est arrivé qu’en cinquième position au premier tour, mais s’il avait accédé au second, il y aurait vaincu (à en croire les sondages) n’importe lequel de ses concurrents... Au XVIIIe siècle, le Marquis de Condorcet a théorisé que, lorsqu’un candidat dans la situation de Bayrou existe, une méthode électorale bien conçue devrait nécessairement le désigner comme vainqueur : « s’il existe un candidat qui, lorsqu’on le confronte à n’importe quel autre candidat, est préféré à cet autre candidat par une majorité d’électeurs, alors ce candidat est celui d’entre tous que le peuple préfère ».

Dans ce texte, nous commencerons par expliquer quelles sont les justifications philosophiques et mathématiques de ce critère, puis nous regarderons dans quelles circonstances il y a ou pas un « vainqueur de Condorcet », avant de présenter une méthode qui généralise le critère de Condorcet lorsqu’aucun tel vainqueur n’existe.

Lire l'article de Rémi Peyre sur Image des mathématiques

Tout le monde veut prendre sa place, ce midi. Une candidate est responsable des machines à sous dans un casino. Nagui lui demande :
"Quelle est la probabilité de gagner sur ces machines ?"
Réponse de la candidate :
"Une chance sur deux. Soit vous gagnez, soit vous perdez !"

P.S. C'est ma femme qui m'a raconté cette histoire. Les dialogues ne sont peut-être pas tout à fait exacts, mais l'idée est là...

J'ai découvert le webinet des curiosités il y a quelque temps et j'aime beaucoup. Il y a notamment une rubrique maths toujours intéressante.

Un homme âgé de 41 ans, du nom de Jason Padgett, qui ne démontrait aucun intérêt pour les mathématiques, ayant même délaissé ses études de niveau secondaire en raison de ses piètres résultats en cette matière, se retrouva totalement transformé après une attaque brutale par des individus l'ayant roué de coups à la tête. Depuis lors, il se dit obsédé par les chiffres et la géométrie. Étrange métamorphose qui demeure encore mystérieuse aux yeux des médecins!
Des courbes, des spirales, des schémas, des extraits du théorème de Pythagore se succèdent sans cesse dans sa pensée. Cet homme dessine désormais sans difficulté des fractales, ces formes dont le tout ressemble à l'une de ses parties, ces notions lui étant tout à fait inconnues avant cet accident. Après s'être remis de son agression, cet individu entrepris de reproduire sur papier des diagrammes d'une grande complexité, lui-même interdit devant ce nouveau talent.

Suite à une batterie de tests effectués par un neuroscientifique, Jason Padgett s'avère bien être un être extrêmement talentueux, un génie, dans une sphère spécifique. Autrefois vendeur de meubles aux États-Unis, cet homme projette aujourd'hui de devenir enseignant en mathématiques.

Source : Sur-la-Toile

IBM, qui est au cœur de l’innovation depuis des décennies, a donc pris le parti de célébrer les hommes et les femmes qui ont fait progresser cette science de l'an mille au XXe siècle grâce à Minds of Modern Mathematics, une application pour iPad.

Sous forme de frises chronologiques, de fiches détaillées par personne, qui renvoient notamment aux articles Wikipedia correspondants, on navigue ainsi au fil du temps et des découvertes d’Averroès à François Viète, en passant par Oresme. On peut également consulter toute une série de petites vidéos d’animation, d’environ deux minutes, qui nous présentent des concepts mathématiques de manière claire et ludique, comme autant de petites leçons de rattrapage. On apprend ou réapprend ainsi comment les Grecs anciens mesuraient la Terre ou comment fonctionnent les exposants.
L’application, disponible sur l’App Store pour iPad, depuis le 4 avril 2012, est gratuite, pèse environ 530 Mo et est en anglais.

Source : 01net.com

Source : Les céréales du dimanche matin