Le blog-notes mathématique du coyote

Une série de vidéos en anglais sur les nombres : Numberphile

Venu d’outre-Atlantique, Set est un jeu de carte qui se joue à plusieurs et qui consiste pour chaque joueur à identifier le plus vite possible des familles de cartes compatibles. C’est aussi un jeu qui permet de se poser des questions combinatoires, algébriques, algorithmiques ou géométriques ; certaines restent ouvertes. Nous décrivons le jeu Set, examinons certaines de ses questions combinatoires puis les traduisons en termes spatiaux. On peut espérer tout lire avec un niveau terminale. L’occasion de pratiquer déjà de belles mathématiques !

Lire l'article sur Images des maths

Des chercheurs espagnols estiment, statistiques à l'appui, que le nombre de gens sur Terre devrait se stabiliser vers le milieu de ce siècle. Le modèle utilisé pour réaliser cette prévision vient de ceux de physiciens, pour la physique de la matière condensée. Le résultat rejoint les prévisions des Nations Unies : 15,8 milliards de personnes en 2100 d'après l'estimation la plus haute et 6,2 milliards d'après l'estimation la plus basse.
Le modèle se simplifie pour ne garder que deux variables : les taux de mortalité et de natalité. Il montre une situation où la population croit fortement jusqu'au milieu des années 80, puis une chute de la vitesse pour une stabilisation vers 2050. En 1992 encore, on prévoyait qu'il y aurait 7,17 milliards de personnes sur notre globe en 2010 (contre 6,8 milliards actuellement). En réalité, c'est le taux de fécondité qui a chuté de plus de 40 % depuis les années 50.
L'étude n'a pas regardé les conséquences économiques, démographiques et politiques de cette stabilisation à venir.

Sources : Sur-la-Toile, e ! Science News

Les défis mathématiques du "Monde", épisode 6... par lemondefr

Article du Courrier, 17 avril 2013

CRIMINALITÉ • Comment s’explique la surreprésentation des étrangers dans la criminalité? L’usage de statistiques bivariées peut être trompeur, allant jusqu’à faire croire que la nationalité pourrait influer sur la criminalité, prévient André Kuhn*. Alors qu’il n’en est rien.

En matière de criminalité, il en va de la nationalité comme de la taille. Le lecteur de la présente contribution sait probablement que les adultes de plus de 175 centimètres commettent davantage d’infractions pénales que ceux de moins de 175 centimètres... Il s’agit là d’une évidence criminologique et la raison en est très simple: la population adulte de plus de 175 centimètres est principalement formée d’hommes, alors que les femmes sont largement surreprésentées parmi les adultes de moins de 175 centimètres. Sachant par ailleurs que les hommes sont davantage impliqués dans le phénomène criminel que les femmes, il est logique que les adultes les plus grands commettent la plus grande partie des infractions pénales. Néanmoins, chacun comprendra aisément que cette surreprésentation des grands dans la statistique criminelle n’a évidemment rien à voir avec la taille des personnes, mais bien avec leur sexe. Personne ne prônera donc une action sur l’hormone de croissance ou le coupage de jambes comme politique de prévention de la criminalité...
Mais si ce raisonnement est tellement évident, alors pourquoi bon nombre de personnes ne sont-elles pas en mesure de le reproduire en matière d’implication des étrangers dans la criminalité? Comme pour les adultes de plus de 175 centimètres, il est très simple de démontrer que les étrangers sont surreprésentés dans le phénomène criminel. Ces derniers représentent en effet un peu plus de 20% de la population de Suisse, mais quelque 50% des condamnés par les tribunaux suisses¹. Mais, de la même manière que pour les adultes de plus de 175 centimètres, il est aussi relativement simple de démontrer que ce sont d’autres éléments que la nationalité qui influencent la criminalité.
Sachant que la surreprésentation des immigrants dans la criminalité est un phénomène universel – qui s’observe donc dans tous les Etats –, il paraît évident qu’il ne peut pas s’agir d’un simple problème de couleur de passeport! Mais quelles sont alors les variables déterminantes dans l’explication du phénomène criminel? Comme il a été mentionné en introduction, l’une des principales variables explicative est le sexe. En effet, pour une distribution hommes/femmes d’environ moitié-moitié dans la population, il y a en Suisse quelque 85% d’hommes dans la statistique de condamnations pour seulement 15% de femmes.
Une autre variable importante dans l’explication du phénomène criminel est l’âge. Pour une proportion de quelque 30% de personnes de moins de 30 ans en Suisse, celles-ci sont environ 50% dans la statistique de condamnations.
C’est ainsi que le volume de la criminalité d’un Etat dépend fortement de la composition démographique de sa population. En effet, plus il y a de personnes du sexe et de la classe d’âge les plus criminogènes (soit des hommes et des jeunes), plus il y a de criminalité. Puis vient encore le niveau socio-économique, puisqu’il ressort des derniers sondages que quelque 37% des résidents en Suisse proviennent de milieux socio-économiques modestes ou moyens inférieurs et que ces mêmes milieux produisent environ 60% de la délinquance. Pour leur part, les milieux moyens supérieurs et aisés (soit 63% de la population sondée) produisent environ 40% de la criminalité.
Et finalement, ce qui vaut pour les différences de statuts socio-économiques vaut également pour le niveau de formation. C’est ainsi que la moitié de notre population est de niveau de formation «modeste» (primaire, secondaire, école professionnelle, apprentissage), alors que ce même niveau de formation se retrouve pour quelque 68% de personnes en détention².

Des variables multiples

Ce que nous avons présenté dans les deux sections précédentes permet de constater que le phénomène criminel est lié de manière bivariée à plusieurs facteurs. Mais cela ne nous avance pas beaucoup, puisque le crime proviendrait des grands, des étrangers, des jeunes, des hommes, des pauvres et/ou des plus modestement formés. A partir de là, chacun tirera ses conclusions, non pas sur la base de connaissances scientifiques, mais bien en fonction de sa tendance politique. En d’autres termes, ces corrélations bivariées ne nous disent pas grand chose – pour ne pas dire rien du tout – sur le phénomène criminel. Nous tenterons dès lors d’affiner l’analyse afin de rendre notre propos un peu plus scientifique.
Si nous avons déjà vu que la taille en tant que telle n’influence en rien le crime mais est entièrement contenue dans la variable sexe, il nous reste encore à déterminer quel est le poids respectif de chacune des cinq variables restantes dans l’explication du phénomène criminel. Pour ce faire, il est nécessaire de mettre l’ensemble des variables explicatives du crime relevées ci-dessus dans un même modèle (qui ne sera donc plus bivarié, mais multivarié), modèle qui nous permettra de déterminer laquelle de ces variables explique la plus grande partie du crime, puis la valeur explicative supplémentaire de chacune des autres variables introduites dans le modèle.
En agissant de la sorte, on observe que la variable numéro un dans l’explication de la criminalité est le sexe. Le fait d’être un homme plutôt qu’une femme est donc l’élément le plus prédicteur de la commission d’une infraction. En deuxième position on trouve l’âge; ainsi, le fait d’être un jeune homme est plus criminogène que le fait d’appartenir à toute autre catégorie. En troisième position vient ensuite le niveau socio-économique et finalement le niveau de formation.
En d’autres termes, le profil type du criminel est celui d’un homme, jeune, socio-économiquement défavorisé et de niveau de formation plutôt bas. Et alors la nationalité dans tout cela? Eh bien la nationalité n’explique généralement aucune partie supplémentaire de la variance de la criminalité. En effet, la population migrante étant composée de manière surreprésentée de jeunes hommes défavorisés, la variable «nationalité» est comprise dans les autres et n’explique aucune part supplémentaire de la criminalité par rapport aux autres variables prises en considération; ceci de manière identique à la taille qui est comprise dans le sexe dans l’exemple mentionné en introduction, les hommes étant – en moyenne – plus grands que les femmes. Ce qui vient d’être exposé permet par ailleurs de comprendre pourquoi le constat que les étrangers commettent davantage de crimes que les nationaux est un phénomène universel. En effet, la migration, de manière générale, est principalement une affaire de jeunes plutôt que de vieux et d’hommes plutôt que de femmes. Sachant que les jeunes hommes représentent justement la partie de la population la plus criminogène, il est donc logique que la population migrante soit plus criminogène que ceux qui ne bougent pas de leur lieu de naissance.
Il est dès lors totalement erroné de comparer les étrangers aux nationaux, puisque l’on compare alors une population faite essentiellement de jeunes hommes à une population de nationaux vieillissants et composés des deux sexes à proportions à peu près égales. C’est ainsi que si l’on compare le taux de criminalité des étrangers à celui des nationaux du même sexe, de la même classe d’âge, de la même catégorie socio-économique et du même niveau de formation, la différence entre les nationaux et les étrangers disparaît.
Il arrive néanmoins que la nationalité explique tout de même une petite partie de la criminalité; ceci dans le cas très particulier de migrants provenant d’un pays en guerre. En effet, l’exemple violent fourni par un Etat en guerre a tendance à désinhiber les citoyens qui deviennent alors, eux aussi, plus violents et exportent ensuite cette caractéristique dans le pays d’accueil. Ce phénomène est connu en criminologie sous le nom de «brutalisation». Ainsi, il semblerait que, lorsque l’immigration provient d’un pays en guerre, les quatre premières variables (sexe, âge, statut socio-économique et niveau de formation) ne suffisent pas à expliquer toute la criminalité; la nationalité entre alors aussi dans le modèle explicatif, en cinquième position. Au contraire, lorsque l’immigration provient de pays non en guerre, la nationalité n’explique rien de plus que ce qui est déjà expliqué par les quatre premières variables.
Mentionnons encore que le phénomène de «brutalisation» que nous avons évoqué ci-dessus explique également pourquoi les Etats qui ont réintroduit la peine de mort aux Etats-Unis ont connu ensuite une augmentation de leur criminalité violente³... En effet, lorsque l’Etat procède lui-même à des exécutions capitales, il désinhibe les citoyens en les confortant dans l’idée que la violence est une manière adéquate de résoudre les conflits, augmentant ainsi le nombre de crimes violents. Le même effet de «brutalisation» permet probablement aussi de comprendre pourquoi, en Suisse, la punition ordinaire qu’infligent certains parents à leurs enfants lorsque ceux-ci font une bêtise est l’enfermement dans la chambre, alors qu’il s’agit – aux yeux de la loi pénale – d’une séquestration, passible d’une peine privative de liberté de cinq ans... Nous sommes donc tous brutalisés par nos systèmes étatiques respectifs que nous reproduisons ensuite, sans même nous en rendre compte, à plus petite échelle.

Considérations de politique criminelle

Nous savons donc maintenant que les variables qui expliquent le phénomène criminel sont dans l’ordre: le sexe; l’âge; le niveau socio-économique; le niveau de formation; la nationalité (parfois).
La question qu’il reste à résoudre est de savoir comment cette connaissance peut être transposée en termes de mesures de prévention du crime. Si l’on prend les variables dans leur ordre d’importance explicative du phénomène criminel, on devrait envisager en premier lieu une politique de réduction de la masculinité... Il va néanmoins de soi que des politiques préconisant l’élimination des hommes ou l’encouragement de la natalité féminine contreviendraient non seulement à notre droit, mais seraient également fondamentalement contraires à notre sens de l’éthique. Les mêmes griefs peuvent d’ailleurs être avancés contre des politiques qui préconiseraient une élimination ou une ghettoïsation des jeunes. Quant à une politique de «dénatalisation», elle irait à l’encontre de l’intérêt de l’Etat à long terme.
Notons néanmoins que, pour ce qui est de la variable sexe, la féminisation d’une société ne passe pas forcément par une féminisation physique, mais pourrait tout aussi bien être à caractère sociologique. Cela reviendrait donc à rejeter les valeurs généralement attribuées à la gent masculine (tel le machisme) et à favoriser des valeurs que la société attribue plus volontiers aux femmes (telles que la tendresse). En troisième lieu – donc après le sexe et l’âge –, il serait envisageable de songer à une prévention du crime passant par davantage d’égalité entre les habitants d’un pays et donc à éviter toute «société à deux vitesses». Puis, en quatrième lieu, il s’agirait d’envisager une amélioration du niveau de formation des plus démunis et des moins bien formés.
En conclusion, si l’on cherche véritablement à lutter contre le crime et que l’on désire investir dans les mesures qui ont le plus grand potentiel de succès, il est impératif de commencer par envisager une action sur les variables les plus explicatives de la criminalité. Sachant par ailleurs que l’action sur le sexe et sur l’âge est difficilement réalisable et surtout éthiquement douteuse, les actions les plus à même de combattre le phénomène criminel semblent manifestement être les actions sociale⁴ et éducative.
Comme le fait de s’attaquer à la taille des personnes, s’en prendre aux migrants consiste donc à se tromper de cible. Sans compter par ailleurs qu’il n’est pas certain qu’une politique d’élimination des étrangers soit vraiment plus éthique qu’une politique d’élimination des hommes ou des jeunes...

* Professeur de criminologie et de droit pénal aux universités de Lausanne, Neuchâtel et Genève.
Ce texte a fait l’objet d’un hors-série édité par l’association «Vivre Ensemble» (www.asile.ch/vivre-ensemble/) qui a été adressé la semaine dernière aux conseillers nationaux. Dans le cadre de sa session de rattrapage, la Chambre du peuple doit se prononcer aujourd’hui sur une série de revendications amenées par la droite qui, sous couvert de lutte contre la criminalité, réclame des tours de vis en matière d’asile –entre autres,  tests ADN pour les requérants et renforcement de la police des frontières.
¹ Cf. Office fédéral de la statistique (www.bfs.admin.ch/bfs/portal/fr/index.html), rubrique 19.
² Sources: sondages suisses et statistiques pénitentiaires américaines.
³ Dans ce contexte, l’hypothèse de la «brutalisation» a par exemple été vérifiée dans l’Etat d’Oklahoma par W. C. Bailey, Criminology, vol. 36, 1998, pp. 711ss.
⁴ Dont font d’ailleurs partie les politiques d’intégration des étrangers.

Une vieille légende urbaine affirme que chaque personne qui travaille dans le cinéma à Hollywood peut être connectée à l’acteur Kevin Bacon par six degrés de séparation au maximum.
Si nous savons cela, c’est grâce au travail un peu fou et obsessionnel d’un certain Patrick Reynolds, ancien étudiant en sciences informatiques à l’université de Virginie, qui développe le site web Oracle of Bacon. Son truc? Mesurer les degrés de séparation entre Bacon et tout acteur hollywoodien recensé sur la base du site professionnel IMDB (2,1 millions de personnes, tout de même).
Cela donne de drôles de tableaux comme celui-ci, qui se lit ainsi: 1 personne est liée à Bacon par 0 degré de séparation, forcément, il s’agit de l’acteur lui-même…
Ensuite ils sont 2.511 à être liés à lui sans intermédiaire, c’est-à-dire à avoir partagé l'affiche dans un film avec lui. 262.544 sont liés à Bacon par deux degrés de séparation, c’est-à-dire qu’ils ont joué avec quelqu’un qui a joué avec Kevin. Et ainsi de suite… Jusqu’aux malheureux losers, ces 32 personnes qui connaissent quelqu’un qui connaît quelqu’un, qui connaît quelqu’un (etc. jusqu’à sept) qui a joué avec l’acteur.

Grâce à une formule mathématique qui aggrège toutes ces données, on peut calculer un degré de séparation moyen pour chaque acteur. Pour Bacon il s’agit du Bacon number, pour Sean Connery du Connery number, etc. A force de jouer à ça, Reynolds a finit par découvrir qu’il y avait 444 acteurs qui étaient mieux connectés, ou plus centraux, que Bacon.
«Désolé, Kevin Bacon, tu n’es pas le centre du monde hollywoodien», écrit Tessa Stuart sur le site BuzzFeed. Car selon cette formule, l’homme le plus connecté d’Hollywood est l’acteur Dennis Hopper, avec un nombre Hopper moyen de 2,80 degrés de séparation. Viennent ensuite Harvey Keitel, Donald Sutherland, David Carradine, Udo Kier et Martin Sheen.
La première femme, en 23ème position, est Karen Black, juste devant Christopher Walken. Elle précède Faye Dunaway, la seule autre femme de ce top 40, en 38ème position.
Reynolds ne s’arrête cependant pas là. Il a aussi cherché qui était le centre de l’univers du baseball américain. Son autre marotte consiste à chercher des nombres Erdős. Paul Erdős, mathématicien excentrique hongrois, décédé en 1996, est célèbre pour avoir écrit 1.500 articles scientifiques avec de nombreux co-auteurs. De sorte que tout le monde dans le milieu académique mathématique est lié au fameux Erdős, et que de nombreuses personnes n'ont qu'un ou deux degrés de séparation avec lui (il existe même une liste de ces gens...)
Le plus fou est encore à venir: Reynolds s'amuse à trouver un nombre Erdős-Bacon, c'est-à-dire des personnes qui seraient liées à la fois à l'acteur hollywoodien et au mathématicien. Evidemment «ils sont très peu nombreux à avoir un nombre Erdős-Bacon, parce que la plupart des gens ne sont pas chercheur en théorie mathématique ET acteur», explique Reynolds sur BuzzFeed. Mais il y en a: l'actrice Natalie Portman a en effet écrit un article de théorie mathématique dans sa jeunesse...

Source : Slate.fr

Non, le paradoxe de Simpson ne tire pas son nom de Homer, mais de Edward Simpson, le statisticien qui l’a décrit pour la première fois en 1951. Il s’agit d’un de ces paradoxes mathématiques qui peut nous faire des noeuds à la tête, mais qui malheureusement est bien plus qu’une simple curiosité : bien comprendre ce paradoxe peut s’avérer essentiel pour prendre les bonnes décisions !
Alors si vous ne connaissez pas ce phénomène statistique très contre-intuitif, lisez la suite, et les bras devraient vous en tomber !

Lire l'article sur Science étonnante

La déesse des petites victoires
Yannick Grannec
Editions Anne Carrière (23 août 2012)
468 pages
Prix des libraires 2013

Description de l'éditeur
Université de Princeton, 1980. Anna Roth, jeune documentaliste sans ambition, se voit confier la tâche de récupérer les archives de Kurt Gödel, le plus fascinant et hermétique mathématicien du XXe siècle.
Sa mission consiste à apprivoiser la veuve du grand homme, une mégère notoire qui semble exercer une vengeance tardive contre l’establishment en refusant de céder les documents d’une incommensurable valeur scientifique.
Dès la première rencontre, Adèle voit clair dans le jeu d’Anna. Contre toute attente, elle ne la rejette pas mais impose ses règles. La vieille femme sait qu’elle va bientôt mourir, et il lui reste une histoire à raconter, une histoire que personne n’a jamais voulu entendre. De la Vienne flamboyante des années 1930 au Princeton de l’après-guerre ; de l’Anschluss au maccarthysme ; de la fin de l’idéal positiviste à l’avènement de l’arme nucléaire, Anna découvre l’épopée d’un génie qui ne savait pas vivre et d’une femme qui ne savait qu’aimer.
Albert Einstein aimait à dire : « Je ne vais à mon bureau que pour avoir le privilège de rentrer à pied avec Kurt Gödel. » Cet homme, peu connu des profanes, a eu une vie de légende : à la fois dieu vivant de l’Olympe que représentait Princeton après la guerre et mortel affligé par les pires désordres de la folie. Yannick Grannec a réussi, dans ce premier roman, le tour de force de tisser une grande fresque sur le XXe siècle, une ode au génie humain et un roman profond sur la fonction de l’amour et la finalité de l’existence.

Biographie de l'auteure
Yannick Grannec est designer industriel de formation, graphiste de métier et passionnée de mathématiques.

Les défis mathématiques du "Monde", épisode 5... par lemondefr

The Cartoon Guide to Calculus
Larry Gonick
Editeur : William Morrow Paperbacks (27 décembre 2011)
256 pages

Description
Master cartoonist Larry Gonick has already given readers the history of the world in cartoon form. Now, Gonick, a Harvard-trained mathematician, offers a comprehensive and up-to-date illustrated course in first-year calculus that demystifies the world of functions, limits, derivatives, and integrals. Using clear and helpful graphics—and delightful humor to lighten what is frequently a tough subject—he teaches all of the essentials, with numerous examples and problem sets. For the curious and confused alike, The Cartoon Guide to Calculus is the perfect combination of entertainment and education—a valuable supplement for any student, teacher, parent, or professional.

Biographie de l'auteur
Larry Gonick has been creating comics that explain history, science, and other big subjects for more than forty years. He wrote his first guide, Blood from a Stone: A Cartoon Guide to Tax Reform, in 1977. He has been a calculus instructor at Harvard (where he earned his BA and MA in mathematics) and a Knight Science Journalism Fellow at MIT, and he is staff cartoonist for Muse magazine.

Voir aussi : Mathematically Correct Breakfast

N'avez-vous jamais eu l'impression que les comptes Twitter que vous suivez sont plus intéressants que vous ? Ce n'est pas forcément une impression ! Il est possible en effet que vos « amis » sur ce site soient plus intéressants que vous en réalité.
Les sociologues connaissent depuis longtemps cet effet. Une personne donnée a souvent moins d'amis que ses amis en ont (en moyenne). Ce « paradoxe de l'amitié » est connu depuis longtemps par les psychologues et s'explique somme toute assez facilement par un biais statistique. Voici : les gens qui ont un grand nombre d'amis sont plus susceptibles d'être parmi vos amis et se retrouvent alors comptés plus souvent dans un échantillon.
Des chercheurs américains de l'Information Sciences Institute de Marina del Rey en Californie ont montré que cela se vérifie sur Twitter aussi. Ils ont analysé 5,8 millions d'utilisateurs de Twitter et leurs amis (« followers ») et ont montré que ces utilisateurs étaient le plus souvent moins populaires que leurs amis et suiveurs.
88 % des utilisateurs émettent moins de « tweets » que leurs amis (99 % si on ne tient pas compte des utilisateurs qui n'émettent rien).

Source : Sur-la-Toile

Les défis mathématiques du "Monde", épisode 4... par lemondefr