Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.

samedi 29 octobre 2005

Sherlock Holmes en échecs


Flammarion a décidé de rééditer sous un nouveau titre ("Sherlock Holmes en échecs") l'excellent livre de Raymond Smullyan "Mystère sur l'échiquier avec Sherlock Holmes" précédemment édité par Dunod. Vous découvrirez au travers des petits problèmes comment SH s'est servi des échecs pour résoudre certaines énigmes (non canoniques !) et comment il finit par affronter le professeur Moriarty grâce aux 64 cases. L'originalité de ce livre réside dans le fait qu'il ne s'agit pas ici de classiques problèmes d'échecs, mais de problèmes "à rebours", ce que l'on appelle la rétro-analyse (ou analyse rétrograde). Il faut donc déterminer au travers d'une position les précédents coups qui ont été joués.
Ces problèmes sont vraiment très intéresants et beaucoup plus difficiles que les problèmes classiques, genre "mat en 3 coups". Les questions qui peuvent se poser sont, parmi bien d'autres: "qui a joué en dernier?", "le roque est-il possible?", "quel a été le dernier coup?", etc.

Exemple de problème

Ce problème n'est pas tiré du livre, mais de la page web http://fabigz.chez.tiscali.fr/CLUB/Divers/retro.htm

La partie fut tellement endiablée que les blancs, alors qu'ils s'apprêtaient à roquer, renversèrent dans leur précipitation un fou de l'adversaire hors de l'échiquier. La partie fut laissée en l'état, le temps aux joueurs de retrouver la pièce noire qui avait roulé sous une grosse armoire...

Sur quelle case reposait ce fou ?

Vous trouverez la réponse dans les commentaires de ce billet.

Caissa.net propose d'autres problèmes d'échecs à rebours.

jeudi 27 octobre 2005

La calculatrice de Google

Tout le monde connaît Google pour faire des recherches sur le web, mais saviez-vous que vous pouvez aussi utiliser Google comme calculatrice?
Par exemple, tapez 15.74/9.2+1 dans le champ de recherche, puis appuyez sur « Entrée » ou cliquez sur le bouton de recherche Google.
La plupart des fonctions disponibles sont présentées sur Wikipedia et sur Google Guide.
On peut aussi utiliser Google pour convertir des devises, par exemple, on peut taper 1 euro en CHF.

mercredi 26 octobre 2005

Epreuve de physique

Un de mes élèves (Stéphane) :

"Monsieur, il faut absolument que je bosse ma physique maintenant, parce qu'on a une épreuve cet après-midi. Mais je vous promets que pendant la leçon suivante de physique, je ferai des maths!"

mardi 25 octobre 2005

Homéomath

Homéomath, site d'Arnaud Saint-Martin, regroupe les notions mathématiques du collège, du lycée essentiellement, voir un peu plus loin dans certains cas. Vous trouverez également des outils de calcul en JavaScript, de nombreux documents à télécharger, des qcms, et un forum d'aide en ligne.

lundi 24 octobre 2005

Projet SEL

Le projet SEL (Statistique en ligne) propose une initiation interactive à la statistique, articulée en trois couches.

  1. La couche ARTICLES propose des textes, contenant des exemples d'utilisation de la statistique.
  2. La couche LEXIQUE contient un index des termes statistiques, référencés dans les articles et expliqués dans des pages séparées. Ces termes sont de trois types.
    Termes nodaux. Ce sont des parties de termes simples ou développés plus précis. Par exemple "moyenne" renvoie à "moyenne empirique", "moyenne élaguée", "moyenne mobile".
    Termes simples. Ils renvoient à une page contenant une brève définition, des liens vers les autres couches et un bouton cliquable "voir aussi" qui renvoie sur des termes proches.
    Termes développés. Ils renvoient à une page contenant le même type d'information que celle des termes simples, plus une applet illustrant le terme par une expérimentation intéractive.
  3. La couche COURS est un cours de statistique au sens classique. C'est à ce cours que renvoient les boutons "plus de détails" des termes simples et développés.
Les applets illustrant les mots développés utilisent le plus souvent des données réelles. Des activités de simulation sont également disponibles.

dimanche 23 octobre 2005

Gnumeric

Gnumeric est un tableur sous licence GPL développé à l’origine pour l’environnement GNOME en vogue sous Linux. Léger, donc rapide, avec une prise en main immédiate, une compatibilité totale avec les fichiers XLS produits par son célèbre concurrent Excel ou exportés d'OpenOffice ou d'autres applications. Il est gratuit...

Web: http://www.gnome.org/projects/gnumeric/
OS: Windows, Linux
Langue: Francais, anglais
Taille: 16'475 Ko
Licence: GPL

samedi 22 octobre 2005

Packomania

Vous voulez savoir combien de cercles vous pouvez empiler dans un carré? Demandez au programme de packomania.com!
Le site montre aussi les meilleurs empilements connus de cercles identiques dans le carré unité. Par meilleur empilement, on entend celui où le rayon des cercles est le plus grand.

vendredi 21 octobre 2005

Les chemins de la logique

Les chemins de la logique
Dossier Pour la Science No 49, octobre 2005

Tout animal est mortel ; tout homme est un animal ; donc tout homme est mortel. C’est avec des syllogismes de ce type qu’Aristote a créé la logique au IVe siècle avant notre ère : deux prémisses mènent à une conclusion par l’intermédiaire d’un terme commun (ici, l’animal).
Depuis Aristote, la logique impressionne : discipline maîtresse, elle semble devoir régir tout raisonnement correct. La phrase : « Votre argument n’est pas logique ! » n’est-elle pas susceptible de clore un débat ? Pourtant des paradoxes soulignent les limites de l’entendement logique, tel le Menteur : quand j’affirme que je mens, mon affirmation est fausse si elle est vraie, et vraie si elle est fausse… Comment en sortir ? La logique est-elle de nature à décrire le raisonnement humain tel que nous le menons quotidiennement ? Ce « Dossier Pour la science » décrit l’état des connaissances actuelles en logique. Il vous guide sur les nombreuses voies que la logique moderne a empruntées dans le but de décrire les multiples facettes du raisonnement. Vous y redécouvrirez la logique classique, pratiquée durant des siècles jusqu’au XIXe, et comment le logicien allemand Gottlob Frege lui inventa un langage formel, qui réduisit le raisonnement à un calcul. Au début du XXe siècle, mathématiciens et logiciens nourrirent l’espoir de fonder les mathématiques sur cette logique formelle. Kurt Gödel démontra alors qu’il existera toujours des énoncés impossibles à montrer ou à réfuter.
Ce résultat important n’a toutefois pas remis en cause la toute puissance de la logique. Vous assisterez au renouveau de la discipline après cette crise de croissance. De nouveaux objectifs ont été poursuivis : mieux définir les conditions de vérités d’un énoncé sans tomber dans des paradoxes ; raffermir les liens de la logique avec la morale et le droit ; reconstituer les étapes de la formation d’un savoir et de sa révision ; prendre en compte la présence de plusieurs acteurs dans une conversation ou dans des jeux ; analyser la composante psychologique de nos raisonnements ; comprendre la structure et les imprécisions du langage commun… autant d’objectifs, autant de voies à explorer par une discipline en plein développement.

jeudi 20 octobre 2005

Sophus Lie

Dans le No 336 de la revue Pour la Science (octobre 2005), on trouve un article intéressant sur le mathématicien norvégien Sophus Lie (pp. 70-75).

mercredi 19 octobre 2005

Le lion

mardi 18 octobre 2005

Ig Nobel

(Agence Science-Presse, 10/10/2005)

Pendant que les vrais Nobel recevaient une récompense pour des choses aussi fondamentales que les ulcères d'estomac ou la mesure par laser au milliardième de millimètre, des collègues à eux démontraient cette année encore que la science, ça peut aussi faire rire.

Pourtant, plusieurs des recherches qui méritent à leurs créateurs "l'honneur" de recevoir un Ig Nobel étaient, à l'origine, tout ce qu'il y a de sérieux. Suivant leur slogan: de la science qui "d'abord vous fait rire, ensuite vous fait réfléchir".

Ig Nobel de biologie: à l'équipe internationale qui a reniflé et catalogué les "odeurs de sécrétions" émises par 131 espèces de grenouilles stressées.

Ig Nobel de chimie: à deux chercheurs de l'Université du Minnesota qui ont démontré qu'un nageur pouvait avancer aussi vite dans le sirop que dans l'eau.

Ig Nobel de la dynamique des fluides: à l'équipe européenne qui, sous la direction de l'Allemand Victor Benno Meyer-Rochow, a calculé la pression nécessaire à une défécation réussie chez les manchots de l'Antarctique.

Ig Nobel de médecine: à Gregg Miller, du Missouri, qui a inventé des testicules artificiels de remplacement... pour les chiens! Disponibles en trois tailles.

Ig Nobel d'économie: à Gauri Nanda, étudiante au Massachusetts Institute of Technology, qui a inventé un réveil-matin opportuniste. Si on tente d'arrêter la sonnerie, il se déplace... et n'arrête pas de sonner, obligeant le propriétaire excédé à se lever.

Ig Nobel de la paix: à deux chercheurs britanniques qui, dans le but d'étudier la vision des sauterelles, les a emprisonnées dans une cage et les a obligées à regarder Star Wars.

Ig Nobel de littérature: aux auteurs de la désormais célèbre "lettre du Nigéria", cette prose qui, sous de multiples formes, envahit les boîtes de courriels depuis des années, promettant une fortune à celui ou celle qui tombera dans le panneau et enverra de l'argent. "Ces entrepreneurs de l'Internet", écrit le jury, ont permis à des millions de lecteurs "de découvrir une riche palette de personnages".

Ig Nobel de physique: à John Mainstone, de l'Université du Queensland (Australie), qui a, avec beaucoup de patience, démontré qu'un dérivé presque solide du goudron peut effectivement se comporter comme un liquide, puisqu'il forme une goutte... tous les neuf ans! Mainstone a poursuivi une expérience entamée par le défunt Thomas Parnell en... 1927!

Comme quoi les scientifiques ont le sens de l'humour, ces "Nobel pour rire" –c'était la 15e édition– sont depuis plusieurs années remis à l'Université Harvard, et plusieurs des "gagnants", dont John Mainstone venu spécialement d'Australie, étaient sur place pour recevoir leur prix. Avec le sourire.

Pour en savoir plus : The Ig Nobel Home Page

dimanche 16 octobre 2005

Visual Calculus

Le site Visual Calculus est très intéressant pour illustrer des problèmes d'analyse. Il contient en effet moult animations Flash ou Java ayant comme sujets les limites, les dérivées, les intégrales, les équations différentielles et les suites et séries.

vendredi 14 octobre 2005

La symphonie des nombres premiers



L'obsédante quête du Graal des mathématiques
Article de Michel Alberganti paru dans l'édition du Monde du 14.10.2005

Les personnages se nomment Bernhard Riemann, Carl Friedrich Gauss, David Hilbert, André Weil, Andrew Wiles ou Alain Connes. L'intrigue : une énigme sur laquelle planchent tous les mathématiciens de la planète depuis quelque 150 ans. Le décor : l'univers étrange des nombres premiers, dont l'unique originalité est de n'être divisibles que par eux-mêmes et par un. L'action : une succession d'espoirs, de fausses pistes, d'échecs, de défis et d'aventures. Le livre de Marcus du Sautoy, un pavé de près de 500 pages, peut se dévorer ou se grignoter au hasard, tant il regorge de richesses scientifiques et humaines peu ou mal connues. "Je voulais écrire un roman", reconnaît l'auteur.

Une gageure. A priori, quoi de moins excitant qu'une suite de nombres ? Qui, hormis le club fermé des chercheurs en mathématiques, peut se passionner pour une série incohérente de chiffres ? Erreur. Les nombres premiers n'usurpent pas leur nom. Ils constituent "les pierres précieuses enchâssées dans l'immense étendue de l'univers infini des nombres", écrit Marcus du Sautoy. Les mathématiciens sont fascinés par ces "atomes de l'arithmétique", ce "don de la Nature". Leur découverte pourrait remonter à 6 500 ans avant J.-C., si l'on en croit les gravures de l'os d'Ishango, mis au jour en Afrique équatoriale en 1960. Mille ans avant J.-C., les Chinois s'y intéressent déjà. Pourtant, ils conservent, aujourd'hui encore, une bonne part de leur mystère.

La fascination qu'ils exercent depuis les découvertes réalisées par les Grecs s'explique simplement : "Tout nombre qui n'est pas premier peut être obtenu en multipliant les uns par les autres ces éléments fondamentaux. Pour le mathématicien, une liste de nombres premiers est comme - le tableau périodique des éléments chimiques -, où les nombres 2, 3 et 5 correspondraient à l'hydrogène, à l'hélium et au lithium (...). La maîtrise de ces éléments lui permet d'espérer découvrir de nouvelles façons d'établir un cap pour parcourir la complexe grandeur du monde mathématique."

Loi secrète

Or la liste des nombres premiers contient une énigme majeure : existe-t-il une loi secrète régissant la façon dont ils s'égrènent sur la ligne infinie des nombres ? Au cours des siècles, les mathématiciens n'ont pas débusqué la règle qui, si elle existe, leur permettrait de calculer l'énième nombre premier ? L'un des héros de la quête de ce Graal des maths est sans conteste Bernhard Riemann (1826-1866). Marcus du Sautoy cite le poisson d'avril conçu par Enrico Bombieri en 1997 pour faire croire que quelqu'un avait réussi à démontrer l'hypothèse de Riemann selon laquelle il existe bien un ordre caché dans la succession des nombres premiers. La fausse nouvelle fit l'effet d'une bombe. Une telle démonstration aurait des conséquences catastrophiques sur le monde fragile du commerce électronique. Le cryptage des données sensibles utilise, en effet, les nombres premiers, et spécialement l'impossibilité de les calculer, pour protéger les transactions financières sur Internet. Découvrir l'ordre que Riemann laisse entrevoir remettrait en question les méthodes de chiffrement les plus utilisées, telles que le système RSA. En 1900, le célèbre mathématicien David Hilbert avait inscrit l'hypothèse de Riemann en huitième position dans la liste des 23 problèmes qu'il lançait comme défi à ses pairs du XXe siècle. En mai 2000, lors de la présentation au Collège de France de sept problèmes pour le XXIe siècle, "un seul était déjà présent dans la liste d'Hilbert : l'hypothèse de Riemann". Celui qui la démontrera gagnera le million de dollars offert par l'institut Clay de Cambridge.

L'ouvrage de Marcus du Sautoy n'épargne au lecteur aucune des étapes de l'épopée des nombres premiers au cours des derniers siècles, et même bien avant, tant les racines du problème plongent au plus profond de l'histoire des mathématiques. Son style passionné n'aplanit pas totalement les cols les plus escarpés. Mais la qualité du paysage fait oublier ces passages délicats. L'épaisseur du livre doit beaucoup à ce désir d'exhaustivité, mais aussi aux élans poétiques ou romanesques. Nombre de personnages se prêtent aux envolées, tel André Weil, l'un des préférés de l'auteur, qui échappe de peu à l'exécution capitale pour espionnage en Russie avant de se retrouver en prison pour désertion en France.

La passion de Marcus du Sautoy pour son sujet anime chaque page de ce livre, vendu à 50 000 exemplaires dans les pays anglophones. Un résultat identique a été atteint dans la seule Italie, sans doute en partie grâce à une critique d'Umberto Eco parue dans L'Espresso en août 2004. La BBC a diffusé, en septembre, un documentaire d'une heure réalisé à partir de l'ouvrage. Marcus du Sautoy, chercheur à l'université d'Oxford, ne donne pas de cours. "Le livre est ma façon d'enseigner", déclare-t-il en se félicitant d'avoir choisi un thème qui "brise l'image que la recherche en mathématiques serait achevée". De fait, l'hypothèse de Riemann résiste encore à la démonstration. Ce qui prive l'ouvrage d'une apothéose finale, mais prolonge le suspense.

LA SYMPHONIE DES NOMBRES PREMIERS de Marcus du Sautoy. Traduit de l'anglais par Raymond Clarinard, éd. Héloïse d'Ormesson, 496 p., 26 €.

mercredi 12 octobre 2005

Poème de Victor Hugo

Les Contemplations, I, 13 : A propos d'Horace (extrait)

[...]
J'étais alors en proie à la mathématique.
Temps sombre ! enfant ému du frisson poétique
On me livrait tout vif aux chiffres, noirs bourreaux
On me faisait de force ingurgiter l’algèbre
On me tordait depuis les ailes jusqu'au bec
Sur l'affreux chevalet des x et des y
Hélas, on me fourrait sous les os maxillaires
Le théorème orné de tous ses corollaires.
Pourtant, on peut être poète et mathématicien.
[...]

Victor Hugo

mardi 11 octobre 2005

Googol - google

Edward Kasner, mathématicien américain (1878-1955), sèchait sur un petit problème un jour de 1938. Pour une démonstration, il a imaginé un chiffre qui soit inimaginablement grand mais tout de même inférieur à l'infini. Il a pensé, arbitrairement, à 10 puissance 100.
Restait à baptiser cette entité. Trillion, quintillion, méga, giga, tous ces mots étaient déjà pris et puis il s'agissait d'un nombre beaucoup plus grand. 1 suivi de cent zéros, c'est plus qu'il n'y a de particules dans tout l'univers (10 puissance 80). Comment nommer ce monstre ? Kasner se tourna vers son neveu, de passage à la maison. Il lui demanda quel nom il donnerait à un chiffre suivi de cent zéros. Le petit Milton Sirotta, 9 ans répondit d'un mot de gosse : «Un googol!». Mot que Kasner reporta fidèlement dans son traité : Mathematics and the imagination, et que reprirent, en 1998, Larry Page et Sergei Brin, quand ils créèrent Google dans leur garage californien.
Google jongle aujourd'hui avec d'autres chiffres astronomiques : 200 millions de recherches par jour, en 97 langues, un chiffre d'affaires de 1700 millions de dollars en 2004. Et une entrée en Bourse, le 29 avril 2004, qui mit 3 milliards de dollars dans la poche de Page et Brin. 3 milliards chacun. De quoi éveiller l'attention de personnes à la recherche de procédures susceptibles de rapporter de l'argent facile.
C'est le cas de Peri Fleisher, spécialiste des compensations dans une société de la Silicon Valley, et petite nièce d'Edward Kasner. Elle n'avait que 4 ans lors du décès de son grand-oncle ! Profitant d'une communauté de nom et phonétique entre les expressions googol et Google, Peri Fleisher a déposé une plainte contre le moteur de recherche au nom des ayant-droits d'Edward Kasner. Elle aurait écrit à Google qui n'aurait pas daigné répondre.

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