Le blog-notes mathématique du coyote

Le site Visual Calculus est très intéressant pour illustrer des problèmes d'analyse. Il contient en effet moult animations Flash ou Java ayant comme sujets les limites, les dérivées, les intégrales, les équations différentielles et les suites et séries.

L'obsédante quête du Graal des mathématiques
Article de Michel Alberganti paru dans l'édition du Monde du 14.10.2005

Les personnages se nomment Bernhard Riemann, Carl Friedrich Gauss, David Hilbert, André Weil, Andrew Wiles ou Alain Connes. L'intrigue : une énigme sur laquelle planchent tous les mathématiciens de la planète depuis quelque 150 ans. Le décor : l'univers étrange des nombres premiers, dont l'unique originalité est de n'être divisibles que par eux-mêmes et par un. L'action : une succession d'espoirs, de fausses pistes, d'échecs, de défis et d'aventures. Le livre de Marcus du Sautoy, un pavé de près de 500 pages, peut se dévorer ou se grignoter au hasard, tant il regorge de richesses scientifiques et humaines peu ou mal connues. "Je voulais écrire un roman", reconnaît l'auteur.

Une gageure. A priori, quoi de moins excitant qu'une suite de nombres ? Qui, hormis le club fermé des chercheurs en mathématiques, peut se passionner pour une série incohérente de chiffres ? Erreur. Les nombres premiers n'usurpent pas leur nom. Ils constituent "les pierres précieuses enchâssées dans l'immense étendue de l'univers infini des nombres", écrit Marcus du Sautoy. Les mathématiciens sont fascinés par ces "atomes de l'arithmétique", ce "don de la Nature". Leur découverte pourrait remonter à 6 500 ans avant J.-C., si l'on en croit les gravures de l'os d'Ishango, mis au jour en Afrique équatoriale en 1960. Mille ans avant J.-C., les Chinois s'y intéressent déjà. Pourtant, ils conservent, aujourd'hui encore, une bonne part de leur mystère.

La fascination qu'ils exercent depuis les découvertes réalisées par les Grecs s'explique simplement : "Tout nombre qui n'est pas premier peut être obtenu en multipliant les uns par les autres ces éléments fondamentaux. Pour le mathématicien, une liste de nombres premiers est comme - le tableau périodique des éléments chimiques -, où les nombres 2, 3 et 5 correspondraient à l'hydrogène, à l'hélium et au lithium (...). La maîtrise de ces éléments lui permet d'espérer découvrir de nouvelles façons d'établir un cap pour parcourir la complexe grandeur du monde mathématique."

Loi secrète

Or la liste des nombres premiers contient une énigme majeure : existe-t-il une loi secrète régissant la façon dont ils s'égrènent sur la ligne infinie des nombres ? Au cours des siècles, les mathématiciens n'ont pas débusqué la règle qui, si elle existe, leur permettrait de calculer l'énième nombre premier ? L'un des héros de la quête de ce Graal des maths est sans conteste Bernhard Riemann (1826-1866). Marcus du Sautoy cite le poisson d'avril conçu par Enrico Bombieri en 1997 pour faire croire que quelqu'un avait réussi à démontrer l'hypothèse de Riemann selon laquelle il existe bien un ordre caché dans la succession des nombres premiers. La fausse nouvelle fit l'effet d'une bombe. Une telle démonstration aurait des conséquences catastrophiques sur le monde fragile du commerce électronique. Le cryptage des données sensibles utilise, en effet, les nombres premiers, et spécialement l'impossibilité de les calculer, pour protéger les transactions financières sur Internet. Découvrir l'ordre que Riemann laisse entrevoir remettrait en question les méthodes de chiffrement les plus utilisées, telles que le système RSA. En 1900, le célèbre mathématicien David Hilbert avait inscrit l'hypothèse de Riemann en huitième position dans la liste des 23 problèmes qu'il lançait comme défi à ses pairs du XXe siècle. En mai 2000, lors de la présentation au Collège de France de sept problèmes pour le XXIe siècle, "un seul était déjà présent dans la liste d'Hilbert : l'hypothèse de Riemann". Celui qui la démontrera gagnera le million de dollars offert par l'institut Clay de Cambridge.

L'ouvrage de Marcus du Sautoy n'épargne au lecteur aucune des étapes de l'épopée des nombres premiers au cours des derniers siècles, et même bien avant, tant les racines du problème plongent au plus profond de l'histoire des mathématiques. Son style passionné n'aplanit pas totalement les cols les plus escarpés. Mais la qualité du paysage fait oublier ces passages délicats. L'épaisseur du livre doit beaucoup à ce désir d'exhaustivité, mais aussi aux élans poétiques ou romanesques. Nombre de personnages se prêtent aux envolées, tel André Weil, l'un des préférés de l'auteur, qui échappe de peu à l'exécution capitale pour espionnage en Russie avant de se retrouver en prison pour désertion en France.

La passion de Marcus du Sautoy pour son sujet anime chaque page de ce livre, vendu à 50 000 exemplaires dans les pays anglophones. Un résultat identique a été atteint dans la seule Italie, sans doute en partie grâce à une critique d'Umberto Eco parue dans L'Espresso en août 2004. La BBC a diffusé, en septembre, un documentaire d'une heure réalisé à partir de l'ouvrage. Marcus du Sautoy, chercheur à l'université d'Oxford, ne donne pas de cours. "Le livre est ma façon d'enseigner", déclare-t-il en se félicitant d'avoir choisi un thème qui "brise l'image que la recherche en mathématiques serait achevée". De fait, l'hypothèse de Riemann résiste encore à la démonstration. Ce qui prive l'ouvrage d'une apothéose finale, mais prolonge le suspense.

LA SYMPHONIE DES NOMBRES PREMIERS de Marcus du Sautoy. Traduit de l'anglais par Raymond Clarinard, éd. Héloïse d'Ormesson, 496 p., 26 €.

Les Contemplations, I, 13 : A propos d'Horace (extrait)

[...]
J'étais alors en proie à la mathématique.
Temps sombre ! enfant ému du frisson poétique
On me livrait tout vif aux chiffres, noirs bourreaux
On me faisait de force ingurgiter l’algèbre
On me tordait depuis les ailes jusqu'au bec
Sur l'affreux chevalet des x et des y
Hélas, on me fourrait sous les os maxillaires
Le théorème orné de tous ses corollaires.
Pourtant, on peut être poète et mathématicien.
[...]

Victor Hugo

Edward Kasner, mathématicien américain (1878-1955), sèchait sur un petit problème un jour de 1938. Pour une démonstration, il a imaginé un chiffre qui soit inimaginablement grand mais tout de même inférieur à l'infini. Il a pensé, arbitrairement, à 10 puissance 100.
Restait à baptiser cette entité. Trillion, quintillion, méga, giga, tous ces mots étaient déjà pris et puis il s'agissait d'un nombre beaucoup plus grand. 1 suivi de cent zéros, c'est plus qu'il n'y a de particules dans tout l'univers (10 puissance 80). Comment nommer ce monstre ? Kasner se tourna vers son neveu, de passage à la maison. Il lui demanda quel nom il donnerait à un chiffre suivi de cent zéros. Le petit Milton Sirotta, 9 ans répondit d'un mot de gosse : «Un googol!». Mot que Kasner reporta fidèlement dans son traité : Mathematics and the imagination, et que reprirent, en 1998, Larry Page et Sergei Brin, quand ils créèrent Google dans leur garage californien.
Google jongle aujourd'hui avec d'autres chiffres astronomiques : 200 millions de recherches par jour, en 97 langues, un chiffre d'affaires de 1700 millions de dollars en 2004. Et une entrée en Bourse, le 29 avril 2004, qui mit 3 milliards de dollars dans la poche de Page et Brin. 3 milliards chacun. De quoi éveiller l'attention de personnes à la recherche de procédures susceptibles de rapporter de l'argent facile.
C'est le cas de Peri Fleisher, spécialiste des compensations dans une société de la Silicon Valley, et petite nièce d'Edward Kasner. Elle n'avait que 4 ans lors du décès de son grand-oncle ! Profitant d'une communauté de nom et phonétique entre les expressions googol et Google, Peri Fleisher a déposé une plainte contre le moteur de recherche au nom des ayant-droits d'Edward Kasner. Elle aurait écrit à Google qui n'aurait pas daigné répondre.

Le prix Nobel d'économie a été attribué aujourd'hui à l'Américain Thomas Schelling, 84 ans, et à l'Israélo-américain Robert Aumann, 75 ans, pour leur théorie de « décision interactive », qui permet une meilleure compréhension des conflits et de la coopération dans le commerce et les affaires. À la fois une extension et une amélioration de la « théorie des jeux », leurs travaux ont aidé à expliquer les conflits économiques, tels que les guerres des prix, ainsi que le succès de certaines communautés plus que d'autres dans la gestion de ressources communes.

Cela m'a fait penser à un article du New Scientist de février 2005: 'Zero intelligence' trading closely mimics stock market. Une simulation scientifique le montre : un logiciel aléatoire d'achat/vente des valeurs boursières obtiendrait les mêmes résultats que les traders réels.
L'affaire nous vient du Santa Fe Institute, au Nouveau Mexique, dans l'unité de recherche du professeur Doyne Farmer. Ces chercheurs ont réalisé un logiciel d'achat/vente des valeurs boursières expurgé de toutes données rationnelles, économiques et financières. En résumé, les décisions prises par ce logiciel sont aléatoires. "Zero intelligence", disent-ils. Ils l'ont testé sur la Bourse de Londres, sur 11 titres, pendant 21 mois, soit 6 millions d'ordres d'achat et de vente.
Résultat : ce logiciel insensé reproduit le marché réel avec une précision comprise entre 76 et 98%. Comme si, au fond, la Bourse était pilotée par des idiots qui font rouler les dés.
Bien sûr, ce n'est pas le cas. Les traders n'opèrent pas au hasard. Alors quelle est l'explication? D'après Doyne Farmer, les mouvements des marchés dépendent moins des stratégies des courtiers que de la structure et des contraintes du système lui-même. Un porte-parole du Stock Exchange de Londres en convient d'ailleurs volontiers : "C'est un petit travail intéressant qui reflète ce que nous constatons nous-mêmes."

A lire : The Predictive Power of Zero Intelligence in Financial Markets, par J. Doyne Farmer, Paolo Patelli et Ilija I. Zovko.

LiveGraphics3D est une applet java gratuite qui permet de bouger dans l'espace un objet 3D fabriqué avec Mathematica et d'intégrer cette animation dans une page web. J'ai essayé. Il faut bien lire la documentation et ça marche. Merci à Stéphane pour l'information.

L’équipe d’enseignantes et d’enseignants de mathématique du programme Sciences de la nature du cégep de Rimouski (Québec) répond aux questions et de Lyse Favreau. Ils partagent ainsi leur point de vue et leurs façons de faire en matière d’intégration des technologies. Bulletin Clic, Numéro 58, Mai 2005

"Un logiciel peut-il réellement être capable de prédire l'issue d'un conflit armé comme un logiciel de météorologie prédit le temps ?" s'interroge The Economist. L'hebdomadaire rapporte l'histoire d'un colonel à la retraite qui a annoncé en décembre 1990, trente-cinq jours avant le début de la guerre du Golfe, un bilan de l'opération Tempête du désert qui se préparait. Or cet homme, un historien militaire nommé Trevor Dupuy, s'est révélé meilleur prévisionniste de guerre que le Pentagone lui-même. "Son arme secrète était un logiciel appelé Tactical Numerical Deterministic Model ou TNDM, conçu par le Dupuy Institute, un think tank militaire original basé près de Washington. Ce logiciel résulte de la collaboration de programmeurs en informatique, de mathématiciens, d'experts en armement, d'historiens militaires, de généraux à la retraite et de vétérans", précise l'hebdomadaire économique britannique.

La performance du TNDM n'a rien à voir avec le hasard. D'ailleurs, "la Bosnie fut son deuxième grand test", qui réussit à asseoir la réputation de fiabilité du Dupuy Institute. En fait, pour réaliser ses performances, le TNDM dispose d'"une des plus importantes bases de données historiques de combats au monde". En entrant les données les plus diverses et les plus précises, on obtient "un rapport de trois pages contenant des prévisions en pertes de personnel et en équipements, en captures de prisonniers de guerre et en gains et pertes de terrain".

Le TNDM est commercialisé à 93 000 dollars [78 000 euros], un tarif qui comprend "des cours de formation, une année de support technique et une inscription à la newsletter TNDM, mais les mises à jour sont payantes". Reste que, "au lieu d'acheter simplement le TNDM, la plupart des clients demandent directement au Dupuy Institute de réaliser des études qui combinent les prévisions logicielles avec l'analyse humaine". The Economist ajoute que le TNDM n'est pas le seul système de prévision de guerre, mais qu'il est clairement "leader dans son secteur".

Source : Courrier International, 5/10/05

Jean-Philippe Fontanille, compositeur et professeur de guitare à Paris, a composé une pièce intitulée Harmonisation de pi . Ce morceau, dont vous pouvez écouter la version pour guitare acoustique (format mp3), a la particularité de faire entendre les décimales de pi. Le compositeur a construit ce morceau de la façon suivante: la gamme possédant sept notes, il a commencé par écrire pi en base sept. Cette manipulation lui permettait de convertir toute décimale en une note selon le code suivant : 0 pour do, 1 pour ré, 2 pour mi, 3 pour fa, 4 pour sol, 5 pour la et 6 pour si. L'étape suivante est l'harmonisation. Cela signifie que chaque chiffre ne sera plus seulement affecté à une seule note, mais à un accord complet dont cette note est la fondamentale.
Les premières décimales de pi en base 7 sont: 3,06636514320361341102634022446...

Touching Soap Films est un film d'animation 3D de Hermann Karcher et Konrad Polthierune, qui a pour but d'expliquer aux débutants les surfaces minimales. Il est possible de télécharger gratuitement des extraits de ce film.
Un prof d'université a utilisé ces extraits lors d'un exposé à mes élèves (niveau Lycée), qui avaient l'air tout à fait intéressés, même si le sujet lui-même est très compliqué. On peut obtenir facilement des surfaces minimales en trempant des courbes fermées en fil de fer dans de l'eau savonneuse (les élèves s'y sont d'ailleurs essayés), mais, comme souvent, la nature est difficile à décrire mathématiquement.

Une légende raconte que sur la tombe de Diophante était écrite l'épitaphe suivante :

Passant sous ce tombeau repose Diophante.
Ces quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaître à quel âge il est mort.
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixième marqua le temps de son enfance;
Le douzième fut pris par son adolescence.
Des septs parts de sa vie, une encore s'écoula,
Puis s'étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère,
Reçut de jours hélas! deux fois moins que son père.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut.
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

Cela faisait longtemps que je cherchais un économiseur d'écran original et gratuit. Je l'ai trouvé avec Sun clock 5. Ce logiciel montre quelle partie de la Terre est dans l'obscurité, entre autres. Il est très intéressant de voir comment cela évolue au cours de l'année. J'ai d'ailleurs dans mon cours un exercice pour calculer cette zone (pp. 63-65).
La version 6, encore plus sophistiquée, est payante.

La SMF et la SMAI ont réalisé en juillet 2002 une brochure intitulée "L'explosion des mathématiques". Elle a bénéficié de la collaboration de nombreux collègues et a pour but de montrer à un large public l'intérêt et la modernité des mathématiques, et d'expliquer les enjeux de la recherche. Cette brochure est téléchargeable au format PDF.

Quelques liens très utiles pour des activités en classe autour du jeu Sudoku:

Tout d'abord, une introduction au jeu: http://www.mots-croises.ch/Manuels/Sudoku/.
Des grilles de tous les niveaux: http://www.websudoku.com/ ou http://www.menneske.no/sudoku/eng/.
Ensuite, un logiciel gratuit qui aide à résoudre les grilles: the sudoku susser (versions Mac, Windows et Unix).

J'ai d'abord donné des grilles faciles aux élèves, ce qui leur a permis de découvrir des stratégies de résolution simples. Puis, j'ai augmenté la difficulté des grilles, et ils ont dû développer d'autres stratégies. Ils ont utilisé pour s'aider le formidable logiciel Sudoku Susser. Puis je leur ai posé quelques questions difficiles:

1. Combien faut-il donner de chiffres pour que la solution soit unique?
   Réponse sur Minimum Sudoku
   
2. Combien y a-t-il des grilles différentes?
   Réponse sur There are 6670903752021072936960 Sudoku grids ou dans l'article Enumerating possible Sudoku grids de Bertram Felgenhauer et Frazer Jarvis.
   
3. Comment construit-on un problème de sudoku?
   Réponse sur Let's make Sudoku!.
   
4. Comment définit-on la difficulté d'une grille?
   Réponse sur le forum des cruciverbistes.

1960
Un paysan vend un sac de patates 10 fr. Ses frais atteignent 4/5 de son prix de vente. Quel est son bénéfice ?

1970
Un fermier vend un sac de patates 10 fr. Ses frais atteignent 4/5 de son prix de vente, c’est-à-dire 8 fr. Quel est son bénéfice ?

1970 (Math. modernes)
Un fermier échange un ensemble de patates P avec un ensemble de pièces de monnaie M. La cardinalité de l’ensemble M est égal à 10 et chaque élément de M vaut 1 fr. Dessinez dix gros ronds représentant les éléments de M. L’ensemble C des coûts de production est composé de deux gros ronds de moins que dans l’ensemble M. Représentez C comme un sous-ensemble de M et répondez à la question suivante :
Quelle est la cardinalité de l’ensemble des bénéfices ?

1980
Un fermier vend un sac de patates 10 fr. Ses coûts de production sont de 8 fr. et son bénéfice est de 2 fr. Soulignez le mot patates et engagez une discussion avec vos camarades de classe.

1990
Un(e) fermier(ère) vend un sac de patates 10 fr. Ses coûts de production représentent 80 % de son revenu. Sur votre calculatrice, dessinez le graphe du revenu en fonction des coûts. Utilisez le programme PATATES pour déterminer le profit. Discutez le résultat avec les élèves de votre groupe. Rédigez une brève dissertation qui analyse cet exemple dans le monde réel de l’économie.

2004
Un producteur de l’espace agricole câblé sur ADSL consulte en conversationnel une data bank qui display le day-rate de la patate. Il télécharge son progiciel SAP/R3 de computation fiable et détermine le cash flow sur écran pitch 0.25 mm Energy Star.
Dessine avec ton mulot le contour 3D du sac de pommes de terre, puis logue-toi au réseau Arpanot (Deep Blue Potatoes). Via le SDH boucle 4.5, extrais de MIE le graphe des patates.
Question : le producteur respecte-t-il la norme ANSI, ISO, EIAN, CCITT, AAL ?

Pour en finir (provisoirement?) avec la playmatologie, je signale encore cette étude où groupe de scientifiques a analysé les poids et mesures de 240 femmes ayant fait la page centrale de Playboy entre 1978 et 1998.
La conclusion est la suivante: de ces femmes, sept sur dix ont un poids très inférieur à la normale. En termes médicaux, on dirait que sept sur dix sont maladivement maigres. Le couple a été aidé dans sa recherche par le fait que chaque photo d'un modèle est accompagnée des données sur son âge, son poids, sa taille et ses mensurations. L'index de poids corporel moyen est de 18.1. On considère que quelqu'un a un poids insuffisant en dessous de 18.5. Près de 8 modèles sur 10 sont au seuil de l'anorexie, pesant moins de 85% du poids idéal.
Peter Katzmarzyk et Caroline Davis, de l'Université York, en Ontario, qui ont mené cette recherche, ne sont pas surpris, puisque c'était là leur hypothèse de départ. Plus tôt, même l'Association médicale britannique avait demandé aux éditeurs de telles publications, de même qu'aux publicitaires, qu'ils fassent un "usage plus responsable" de telles images, alléguant qu'elles sont responsables d'une augmentation des cas d'anorexie.
"Compte tenu de la perception qu'on a des modèles de Playboy comme étant des femmes idéales, le fait que 70% d'entre elles soient maladivement maigres met une pression sociale sur les femmes pour être maigres", concluent les chercheurs, dont l'étude a parue l'International Journal of Obesity. Ils notent cependant que "les femmes dans Playboy ne paraissent pas cliniquement sous-alimentées. Peut-être que leur poids et leurs mesures ne sont pas strictement exacts".

Katzmarzyk PT, Davis C (2001) Thinness and body shape of Playboy centerfolds from 1978 to 1998. International Journal of Obesity and Related Metabolic Disorders 25: 590-592.

L’analyse des couvertures de Playboy entre les années 1960 et 2000 révèle que les Playmates ont des yeux plus grands et des hanches plus larges quand le contexte économique est favorable. Décidément, comme on l'a déjà montré dans le billet d'hier, les scientifiques trouveront toujours de bonnes raisons de feuilleter Playboy...

Quelles femmes les hommes préfèrent-ils ? Petites, grandes, minces ou grosses ? Taille fine et larges hanches, grands yeux ou petits yeux ? Tout dépend de la conjoncture économique, selon les résultats d’une étude réalisée par les psychologues Terry Petitjohn et Brian Lungeberg, à l’Université de Meyhurst, aux États-Unis.
Ces derniers ont analysé en détail les dimensions du corps et du visage des « Playmates de l’année » du magazine Playboy, entre 1960 et 2000. Ils ont mesuré la largeur de leurs yeux, de leur taille et de leurs hanches, et... l’indice de qualité de la vie aux États-Unis ! Ce paramètre résulte d’un savant calcul qui prend en compte les chiffres du chômage, de l’inflation, du pouvoir d’achat des ménages, du produit intérieur brut par habitant, le tout pendant ces 40 années.
Ils ont constaté que les yeux des Playmates deviennent de plus en plus petits quand la conjoncture économique se fait plus difficile. Parallèlement, la taille s’élargit, les hanches deviennent plus étroites, et le tour de poitrine rétrécit. Au contraire, quand la vie est plus facile, on préfère les tailles fines, les grands yeux, les hanches larges et les poitrines plus amples. Pourquoi ? Il semble que les hommes préfèrent spontanément – au moins tant que les conditions de vie sont favorables – des personnes aux grands yeux, car cela leur rappellerait les enfants, dont les yeux occupent une proportion plus importante du visage : cela fait vibrer en eux une fibre protectrice. La finesse de la taille et la largeur des hanches sont des signes de féminité qui distinguent nettement une femme d’un homme, et seraient un signe de fécondité. Or, lorsque les conditions de vie sont favorables, on cherche à se reproduire.
Au contraire, lorsque les temps sont durs, les hommes seraient en quête de femmes aux caractéristiques à la fois plus adultes et plus masculines : les yeux plus petits contrastent avec les grands yeux des enfants, et sont typiquement ceux d’un adulte. La taille plus large et les hanches plus étroites sont des signes de masculinité, et toutes ces caractéristiques réunies deviennent intéressantes lorsqu’il est difficile de gagner sa vie. On cherche alors plus à être protégé qu’à protéger, et l’on a besoin d’un allié qui participe à des tâches masculines, davantage qu’à la reproduction.
Cette vision très sexiste de l’évolution des hommes et des femmes confine au cynisme si l’on accepte l’idée que le jugement esthétique est inconsciemment guidé par des impératifs économiques. C’est pourtant ainsi, prétendent les auteurs de cette étude, que l’espèce humaine aurait traversé les âges. Dans ce cas, il faudrait comprendre la passion de la noblesse du XVIIIe siècle pour les Vénus opulentes : à en croire cette étude, les larges hanches de l’époque reflétaient la prospérité économique de la cour de Louis XIV !

Tiré de Cerveau & Psycho, no 9, février 2005

Vous pouvez aussi lire l'article original : T. Petitjohn et B. Jungeberg, Playboy Playmate curves : changes in facial and body feature preferences across social and economic conditions, in Personality and social psychology bulletin, vol.30, pp. 1186-1197, 2004.

Si beaucoup de chercheurs ont le nez plongé dans Playboy, ce n'est pas seulement pour se rincer l'oeil. Il s'agit d'étudier comment évolue l'idéal féminin au cours du temps, courbes à l'appui. Photo: Eva Herzigova (2001).
Martin Voracek, chercheur au département de psychanalyse de l'université de Vienne, assisté d'une étudiante, Maryanne Fisher, ont dépouillé les 577 éditions de Playboy parues entre décembre 1953 et décembre 2001, afin de relever les mensurations des centrefold models. Ils ont extrait les données anthropométriques suivantes: hauteur, poids, tour de poitrine, tour de taille et tour de hanches. Ils ont aussi calculé les mesures composites suivantes: index de masse corporelle (poids divisé par le carré de la hauteur), rapport tour de taille/tour de hanche, rapport tour de taille/tour de poitrine, rapport tour de poitrine/tour de hanches et un index d'androgynie (tour de hanche/racine de (tour de hanche*tour de poitrine)). Ces mesures ont été corrélées avec les numéros de Playboy (no 1 à 577).
Toutes les mesures, excepté le poids qui était presque stable (r=0.02), ont montré des changements significatifs avec le temps. Alors que l'augmentation de la hauteur (r=0.36) reflète une tendance bien connue, tous les autres changements méritent qu'on leur prête attention. Avec le temps, le tour de poitrine (r=-0.36) et le tour de hanches (r=-0.29) ont diminué, pendant que le tour de taille a augmenté (r=0.27). Les mesures composites ont montré les mêmes tendances: l'index de masse corporelle (r=-0.46) et le rapport poitrine/tour de hanches (r=-0.13) a diminué, tandis que le rapport tour de taille/tour de hanches (r=0.47), le rapport tour de taille/tour de poitrine (r=0.48), et l'index d'androgynie (r=0.50) ont augmenté.
Conclusion brutale: les filles qui excitent les hommes sont passées du format sablier (comme Marylin Monroe), au format longue brindille, plutôt androgyne (comme Eva Herzigova).

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GeoGebra est un logiciel dynamique de mathématiques réunissant géométrie, algèbre et calcul. Il a été développé dans un but éducatif pour l'école (niveau secondaire) par Markus Hohenwarter à l'Université de Salzburg. Ce logiciel gratuit est disponible en plusieurs langues, dont le français.
D'une part, GeoGebra est un système géométrique dynamique. Vous pouvez élaborer des constructions comprenant des points, des vecteurs, des segments, des droites, des coniques et même des courbes représentatives de fonctions et modifier tout cela interactivement.
Par ailleurs, les équations et coordonnées peuvent être entrées directement. GeoGebra est capable de travailler avec des variables numériques ou vectorielles ainsi qu'avec des points, peut trouver les dérivées et intégrales de fonctions et propose des commandes comme Racine ou Extremum.
Ces deux points de vue sont représentatifs du fonctionnement de GeoGebra: une expression dans la fenêtre "algèbre" correspond à un objet dans la fenêtre "géométrie" et vice versa.