Le blog-notes mathématique du coyote

Un article tiré du Magazine Tangente no 124, p. 38.

En mathématiques, le nième nombre taxicab, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1954 que de tels nombres existent pour tous les entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment les construire, et pour le moment, seuls les cinq premiers nombres taxicab sont connus :

Ta(1) = 2 = 1³ + 1³
Ta(2) = 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³
Ta(3) = 87539319 = 1673³ + 4363³ = 2283³ + 4233³ = 2553³ + 4143³
...

Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657 et fut plus tard immortalisé par une anectode impliquant les mathématiciens Hardy et Srinivasa Ramanujan :

« Je [G. H. Hardy] me rappelle qu'une fois en allant le voir [Ramanujan] lorsqu'il était couché et malade à Putney, j'ai été conduit dans un taxi-cab portant le n°1729, et remarquai que le nombre (7·13·19) semblait plutôt ennuyeux, et j'espérai qu'il ne fût pas un présage défavorable. « Non », me dit-il, « c'est un nombre très intéressant ; il est le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes [positifs] en deux manières différentes. »

Les nombres taxicab postérieurs furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs; John Leech obtint Ta(3) en 1957, E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent Ta(4) en 1991, et David W. Wilson trouva Ta(5) en novembre 1997.

Source : Wikipédia

La revue La Recherche publie un numéro Hors Série intitulé "Les Mathématiques en 14 mots-clés". Ce numéro est en fait une compilation des "Bac to basics" mathématiques déjà publiés dans la revue.

Les 14 mots-clés choisis sont : les nombres premiers, les nombres complexes, pi et la quadrature du cercle, les polynômes, les fonctions, les intégrales, le point, le triangle, les graphes, les algorithmes, le programme, la simulation numérique, le hasard, les sondages.

Les sondeurs n'ont qu'à bien se tenir. Un système mathématique permet de prédire sans faillir le vainqueur des présidentielles américaines. C'est en tout cas ce qu'affirme son co-inventeur, Allan Lichtman, professeur d'histoire à l'American University. Basé sur l'analyse des présidentielles de 1860 à 1980, ce dispositif, baptisé "Les treize clés de la Maison-Blanche", a été mis au point en 1981 avec le mathématicien russe Volodia Keilis-Borok. Il a fait l'objet d'une communication dans les Annales de l'académie américaine des sciences (PNAS) et d'un livre publié en 1990. Concrètement, il comprend 13 variables ou "clés" qualifiées de "positives" ou "négatives".
D'après les deux scientifiques, le parti au pouvoir ne doit pas récolter plus de cinq clés négatives s'il veut l'emporter. Les 13 clés prennent en compte la situation économique, intérieure et mondiale, l'existence de troubles sociaux et d'un scandale frappant le président sortant. La formule ignore les sondages, la stratégie des candidats, les débats présidentiels et le choix des colistiers. "Ce système est fondé sur la théorie selon laquelle l'élection présidentielle est surtout un verdict des performances des sortants. C'est la raison pour laquelle on peut faire des prédictions avant même de connaître le nom du candidat", explique le Pr Lichtman.

Voici les réponses aux 13 clés pour 2008 :

1. Après les dernières élections législatives, le Parti républicain a obtenu plus de sièges à la Chambre des représentants : Faux.
2. John McCain a été investi par les républicains sans véritable bataille au sein du parti : Vrai.
3. Le candidat du parti sortant est le président : Faux.
4. Il n'y a pas de candidat indépendant significatif : Vrai.
5. L'économie n'est pas en récession durant la campagne: ceci est théoriquement vrai mais la gravité de la crise financière est négative pour les républicains, relève Allan Lichtman.
6. La conjoncture économique a été meilleure durant la présidence sortante que lors des deux précédents mandats : Faux.
7. M. Bush a mis en oeuvre des politiques d'envergure ayant amélioré la vie des Américains : Faux.
8. Il y a eu des troubles sociaux comme des émeutes durant le mandat de M. Bush : Faux.
9. Un scandale a éblaboussé le président sortant : Faux.
10. L'administration Bush n'a pas subi d'échec majeur en politique étrangère : Faux.
11. M. Bush a obtenu un grand succès en politique étrangère : Faux.
12. Le candidat du parti au pouvoir est charismatique ou un héros national : Faux. "John McCain n'est pas charismatique. Il est un héros à titre personnel mais pas pour ses actes en tant que chef", note Allan Lichtman.
13. Le candidat d'opposition n'est pas charismatique : Faux.

Résultat, "on compte au moins neuf faux, ce qui fait que M. Obama remportera la Maison-Blanche", conclut l'historien, qui prévoit même un écart de huit points en faveur du démocrate. Résultat mardi prochain.

Source : lepoint.fr

Paru en 1990 chez Hatier dans une collection destinée à la jeunesse, La Princesse Hoppy ou le conte du Labrador de Jacques Roubaud se voit aujourd’hui offrir une deuxième chance grâce à la réédition que proposent les Editions Absalon. Une nouvelle édition sous forme d’un beau volume, augmenté d’un texte signé de l’auteur lui-même revenant sur la genèse du livre, d’une postface écrite spécialement par une universitaire qui s’est longuement penchée sur les structures mathématiques du conte et enfin d’illustrations créées par François Ayroles et Etienne Lécroart, deux membres de l’Ouvroir de Bande Dessinée Potentielle. Un groupe de dessinateurs fonctionnant évidemment sur les mêmes principes qui prévalurent à la création en 1960 de l’Ouvroir de Littérature Potentielle, une association d’écrivains et de mathématiciens qui donnèrent naissance à une littérature expérimentale fondée sur l’utilisation de contraintes formelles.

Aux côtés de Raymond Queneau, François Le Lionnais, Georges Perec ou Italo Calvino, Jacques Roubaud, compositeur de mathématique et de poésie comme il aime à se définir, demeure un membre toujours en activité de l’Oulipo. Artiste multiple, cet amoureux des formes, se régalant à inventer et à exploiter de nouvelles contraintes est l’auteur d’une cinquantaine d’ouvrages où se mêlent poésie et prose, textes fictionnels et autobiographiques, essais et même contes - genre auquel appartient de manière incontestable La Princesse Hoppy, livre réservé à tous lecteurs ayant tant soit peu conservé une âme de grand enfant. Divisé en neuf chapitres, le conte met en scène une princesse - cela va de soi - dotée d’un chien, de quatre oncles rois mariés à quatre tantes reines - ce qui va toujours de soi. On pourra ici donner quelques éléments sur le contenu du conte et les agissements des protagonistes : alors que les rois fomentent des complots et les reines cuisinent des compotes, la princesse toujours accompagnée de son chien savant - possédant deux niveaux de langage, dont le supérieur est resté à ce jour à peu près indéchiffrable - reçoit la visite d’un astronome venu de Bagdad et aide sa cousine à faire ses devoirs.

Des devoirs, le lecteur s’en voit aussi proposer, en quelque sorte, tout au long du récit. En parfait oulipien - le conte obéit lui-même à un certain nombre de contraintes, dont la principale et récurrente s’articule autour du chiffre quatre - Jacques Roubaud a agrémenté La Princesse Hoppy non seulement d’indications communiquées avant et pendant le conte, mais encore d’un appendice composé par l’érudit canidé sous forme de 79 questions aux difficultés variables.
Un conte commençant par « En ce temps-là » et non pas par l’incontournable « Il était une fois » attise forcément la curiosité. Les amateurs de Roubaud décèleront sans peine les influences majeures de l’auteur de Parc Sauvage, allant du mythe du Graal à la poésie des troubadours en passant par la connaissance da la littérature anglaise - pas étonnant par exemple que le hérisson à la recherche d’une fiancée introuvable se nomme Bartleby. Grâce aux différents niveaux de lecture, les lecteurs plus profanes, pour peu qu’ils aient conservé un esprit espiègle et joueur, s’en délecteront aisément. Mais il y a fort à parier que le décryptage passionnant et fouillé auquel se livre Elvira Laskowski-Cujolle dans une postface judicieusement sous-titrée L’Epluchure du conte-oignon incite à une deuxième lecture de La Princesse Hoppy.

Plus que d’une simple réédition, La Princesse Hoppy bénéficie aujourd’hui d’une collaboration étroite et jubilatoire entre un éditeur, deux illustrateurs et une universitaire, tous respectueux du travail et de l’esprit de l’auteur. Ainsi François Ayroles et Etienne Lécroart s’approprient-ils les contraintes du texte pour les transposer dans leurs illustrations, déclinées, comme il se doit, en quatre couleurs. Avec La Princesse Hoppy qui peut constituer un premier contact avec son œuvre, le poète et mathématicien Jacques Roubaud est plus que jamais un compteur-conteur.

Patrick Braganti, benzine

Une récente recherche, menée à l'Université de Pécs en Hongrie, révèle que les femmes auraient une forte tendance à être attirées par les hommes qui ressemblent à leurs pères, alors que pour les individus de la gent masculine, à choisir leurs partenaires en fonction de leurs similarités avec leurs mères.
L'équipe de psychologues, menée par monsieur Tamas Bereczkei, a donc mesuré 14 zones faciales déterminées chez les membres de 52 familles, chacune incluant un couple formé approximativement depuis 18,6 mois et dont la moyenne d'âge se situait entre 21 et 32 ans, et de leurs deux parents.
En comparant les mesures obtenues des proportions du visage de chacun des partenaires avec ceux de leurs beaux-parents, les chercheurs ont pu noter des similarités notables.
D'après les éléments de la recherche, il semble donc que les sujets féminins avaient une nette tendance à choisir des partenaires qui présentaient des traits faciaux semblables à ceux de leurs pères, plus précisément en ce qui concerne les proportions relatives aux yeux et au nez, sans pourtant qu'ils n'aient de ressemblances avec l'apparence du visage de leurs mères.
Quant à eux, les hommes étaient plus sujets à arrêter leurs choix sur des partenaires qui présentaient des similarités avec les caractéristiques faciales de leurs mères, notamment au niveau de la bouche et de la mâchoire, mais sans aucune se rapprochant de celles de leurs pères.
D'après l'équipe hongroise, ce serait probablement la marque, c'est-à-dire l'empreinte sexuelle, que laisserait le parent du sexe opposé sur l'individu durant l'enfance qui pousserait ce dernier, à l'âge adulte, à sélectionner des partenaires présentant des critères de ressemblances avec ce modèle.
Les détails de l'enquête Facialmetric Similarities Mediate Mate Choice: Sexual Imprinting On Opposite-Sex Parents sont publiés dans la revue scientifique Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences.

Source : Sur la Toile

C'est, par n'importe quel calcul, une création éblouissante d'ingéniosité. Sculpté dans un champ d'orge, on dit que ce grand dessin de 45 mètres est une représentation picturale des dix premiers chiffres de Pi, un des symboles les plus fondamentaux en mathématiques.

Ceux qui croient aux extraterrestres pourraient soutenir qu'il a été fait par des aliens mathématiciens lors d'un voyage en campagne sur la Terre. Les sceptiques diront que c'est l'œuvre d'humains ayant une prédilection pour les nombres et un penchant pour les puzzles. Mais quelle que soit son origine, les experts disent que c'est le crop circle le plus complexe jamais vu en Grande-Bretagne. Le motif est apparu au début du mois de juin près de Barbury Castle, un fort à coteau de l'âge de fer au-dessus du village de Wroughton dans le Wiltshire.
Au départ, les fanatiques de crop circle séchaient sur sa signification et même un tas d'experts ont dit qu'il était époustouflant. Puis l'astrophysicien retraité Mike Reed en a vu une photo et a fait le lien mathématique. Il a déclaré que le motif du crop « montre clairement » les dix premiers chiffres de Pi qui – comme beaucoup s'en souviendront de leur scolarité – est utilisé pour calculer l'aire d'un cercle en utilisant la formule Pi*R au carré. M. Reed a dit : « J'ai remarqué une photo du motif de Barbury Castle. Il montre une image codée représentant les dix premiers chiffres de Pi – le rapport de la circonférence d'un cercle au diamètre. Les dix chiffres de Pi ont même été correctement arrondis. Le petit point près du centre est la virgule de la décimale. Le code est basé sur dix segments angulaires, les sauts radiaux indiquant chaque segment. »
Après avoir compris la séquence, M. Reed a élaboré le diagramme ci-dessous. L'image est un exemple de ce que l'on désigne par fractale ou motif géométrique. Les fractales ont été une base des motifs de crop circles depuis de nombreuses années, le plus connu étant celle de Mandelbrot ou de Julia qui est apparu il y a 12 ans à Avebury Trusloe dans le Wiltshire.
Lucy Pringle, une chercheuse renommée en agroglyphes, détient la plus grande base de données au monde sur le phénomène. Elle a déclaré hier : « c'est une réalisation renversante – un événement fructueux. »
Bien que de nombreux individus se sont présentés au cours des ans pour avouer qu'ils avaient réalisé les crop circles, beaucoup de personnes croient toujours que les cercles sont liés au paranormal ou à des civilisations de galaxies lointaines. Jusqu'ici, personne n'a revendiqué la responsabilité du cercle de Barbury Castle.

Comment ça marche

Bien que cela semble compliqué à première vue, l'énigme prend tout son sens si on l'approche avec logique et étape par étape. L'image codée représente 3,141592654, les dix premiers chiffres de Pi. Comment est-ce fait ?
Premièrement, le diagramme est divisé en dix sections égales (un peu comme une cible ou un gâteau découpé en dix) parce qu'il y a dix bords décalés situés à des endroits stratégiques autour du crop circle.
Pour mieux comprendre comment on y parvient, regardez encore l'image ci-dessus et imaginez une règle géante alignée sur les bords (ne tenez pas compte des traces de tracteur qui étaient présentes avant que le cercle ne fut créé). Cela pose le cadre de base. Ensuite, chaque nombre de pi est représenté dans le diagramme par un nombre correspondant de blocs colorés. En démarrant au centre à la flèche marquée « start », le premier chiffre, « 3 », est représenté par trois blocs rouges dans le sens des aiguilles d'une montre.
Suivez en tournant et cela vous amène à la décimale qui est représentée par un petit cercle dans l'orge. Le chiffre suivant la décimale est « 1 », représenté par un bloc vert. Le même modèle continue pour chaque chiffre – quatre blocs violets, un orange, cinq bleus, neuf jaunes, deux violets, six rouges, cinq verts et puis quatre bleus foncés suivis de trois cercles ou points mentionnant que Pi est infini.

Source : Mail Online

Toutes les sciences ont leur chimère, après laquelle elles courent, sans pouvoir l’attraper; mais elles attrapent en chemin d’autres connaissances forts utiles.

Bernard Le Bouyer de Fontenelle

MagiCalculator est un calculateur pédagogique virtuel développer en ActionScript2 (il migrera en ActionScript3) utilisable par les enseignants et les élèves sur ordinateur compatible PC.

Il est très intuitif à utiliser, son interface s’adaptant au niveau de l’utilisateur pour l’aider à calculer ou vérifier, du CM à la terminale, la plus grande partie de son travail algébrique. Son interaction avec un traitement de texte lui donne une grande souplesse d’emploi. Il permettra facilement, même avec de très jeunes élèves, de commencer à construire des programmes de calculs ou élaborer des fonctions à une ou plusieurs variables afin de les réutiliser dans des expressions algébriques.
L'auteur : R. Mahieux

Le ken-ken est une grille de chiffres à compléter inventée par un instituteur japonais, Tetsuya Miyamoto. Proche du sudoku, il mêle intuition, logique et calcul. Comme pour le sudoku, le but du jeu est de remplir toutes les n² cases de la grille avec des chiffres allant de 1 à n sans jamais avoir deux fois le même chiffre dans la même colonne ou sur la même ligne.
La grille est constituée de n lignes et n colonnes contenant des blocs délimitées par un épais trait noir. Le chiffre inscrit en haut à gauche de chaque bloc est le résultat de l'opération effectuée avec les chiffres des cases d'un même bloc.
Chaque grille n'a qu'une seule solution.

Site officiel : www.kenken.com

Les plateaux de ces deux tables sont identiques !

Berhard Elsner a ouvert en juillet de cette année un blog de maths intitulé Math O Man. Encore un blog à ajouter à une liste que ne cesse de croître, et c'est tant mieux.

Vous avez des enfants, vous avez envies qu'ils jouent avec les mathématiques afin que la chose leur paraisse moins rébarbative ? C'est ce que c'est dit Alain Anaton en faisant "Folix". Bien lui en a pris : il a d'abord remporté la médaille d'or du concours Lépine 2008, puis a décidé de se lancer pour de vrai et voilà que son jeu est maintenant sur les étals.
Et pour ceux qui n'arrivent pas à le trouver en magasin, il est aussi disponible sur Amazon.fr.

L' illusion de la même couleur, également appelée le Checker shadow illusion of Adelson, le Checker shadow illusion ou seulement Checker shadow, est une illusion d'optique publiée par Ted Adelson en 1995. Il s'agit de l'échiquier ci-dessous. Croyez-le ou non, les cases A et B sont identiques!

Je sais, vous ne me croyez pas. Alors allez voir ce site pour vous en convaincre.

Extrait d'un article paru dans Agoraxox.

Les Français sont-ils favorables au travail le dimanche ?

Depuis un bon mois, les déclarations gouvernementales sur les intérêts potentiels d’une libéralisation du travail le dimanche se sont succédé. Cette opération de communication vient de franchir une étape supplémentaire avec la publication par Le Journal du dimanche d’un sondage laissant penser que ces propositions auraient le soutien de l’opinion publique. Est-ce bien sûr et que cache cette volonté de « réforme » du Code du travail ?

Depuis un bon mois, MM. Luc Chatel, porte-parole du gouvernement, et Xavier Bertrand, ministre des Affaires sociales, se relayent auprès des professionnels pour les assurer de leur volonté de promouvoir le travail le dimanche, en accord avec le slogan présidentiel « travailler plus pour gagner plus ». Un sondage Ifop-Publicis paru le 12 octobre dans Le Journal du dimanche laisse supposer que les Français y sont favorables à 67 %. Cette présentation des faits a été reprise tout au long de la journée de dimanche par les médias audiovisuels (France 2 et France 3, France-inter, France-info, RTL, Europe 1, etc.) avec un manque de recul étonnant ; elle mérite pourtant une analyse plus poussée.

Un sondage présenté de façon surprenante

Intéressons-nous tout d’abord au sondage lui-même. Première surprise, la question posée était « travailler le dimanche est payé davantage qu’en semaine. Si votre employeur vous proposait de travailler le dimanche, accepteriez-vous ». Cette formulation met donc en avant l’avantage salarial que procurerait le travail dominical, avantage dont on verra plus loin l’aspect fortement théorique, avant de poser la question objet. Il s’agit-là d’un biais de présentation de nature à induire une réponse a priori plutôt positive que négative. De façon plus perverse, cette question suggère aussi qu’il s’agirait d’une demande de l’employeur, et non pas d’une exigence, ce qui implique que les sondés seraient libres de refuser. On verra aussi plus loin ce qu’il en est...

Deuxième surprise, les réponses ne sont pas du type oui ou non, mais « non jamais » (33 %), « de temps en temps » (50 %) et « toujours » (17 %). Ceci signifie donc que la moitié des personnes interrogées n’est disposée à travailler le dimanche que de temps en temps le dimanche, notion vague et opinion modérée que les analystes du Journal du dimanche et leurs confrères de la presse n’ont pourtant pas hésité à agréger sous le titre « Les Français veulent travailler le dimanche ». L’article du Journal du dimanche portant ce titre a d’ailleurs été rédigé par le nouveau rédacteur en chef, M. Claude Askolovitch, dont l’arrivée au journal s’est traduite par un alignement étonnant de celui-ci sur la ligne politique présidentielle.

Une fracture entre droite et gauche, entre Paris et province

Ce souhait de voir libéraliser le travail le dimanche correspond à une fracture entre les habitants des grandes villes et particulièrement ceux de Paris, et ceux de la province. Un résultat d’un sondage équivalent réalisé en 2007 démontrait que seul 45 % des provinciaux étaient favorables au travail dominical contre presque 75 % de leurs concitoyens citadins. Ce clivage est aussi un double clivage puisqu’il oppose électeurs de droite (favorables à 66 %) et ceux de gauche (favorables à 44 %).

Ces deux typologies sont intéressantes. A priori, ceux qui sont les plus concernés par le travail le dimanche, c’est-à-dire ceux qui devront travailler ce jour-là et qui sont statistiquement plus « à gauche » qu’« à droite », n’y sont pas si favorables que cela. Même observation par niveaux de revenu : si l’on compare les revenus disponibles par ménage en région parisienne et en province, on constate que c’est a priori ceux qui ont les plus forts revenus - et qui sont donc plus à mêmes de profiter de l’ouverture des magasins le dimanche - qui sont favorables au projet. Il est donc plus que probable que parmi ceux qui ont répondu « oui toujours » ou « de temps en temps » à la question posée par Ifop-Publicis, une proportion non négligeable a réagi de façon quelque peu individualiste, comme bénéficiaire potentielle, probablement non concernée par le risque que constitue le travail dominical.

Pour que ce sondage ait vraiment une valeur indicative, il aurait fallu interroger non pas l’ensemble des actifs, mais l’ensemble des actifs risquant de devoir travailler le dimanche... Il n’est alors pas certain que la réponse aurait été la même !

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Mathgraph32 est un logiciel de géométrie dynamique gratuit réalisé par Yves Biton. Ce logiciel est destiné à produire des figures planes de mathématiques d’une façon très rapide et intuitive. La plupart des objets sont créés en quelques clics de souris. Il autorise aussi bien la réalisation de figures de géométrie pure que d’analyse avec en particulier la possibilité de tracer facilement des courbes de fonctions. Il permet aussi de simuler des expériences aléatoires, de créer des figures parlantes et animées, de superposer une construction ou courbe à une image... Facile à utiliser dès le collège, il sera utile également au lycée et même au-delà grâce à sa puissance. Il a été le premier logiciel français de géométrie dynamique à prendre totalement en charge le calcul sur les nombres complexes et leur représentation graphique.