Le blog-notes mathématique du coyote

La mathématique du Chat
Daniel Justens et Philippe Geluck
Ed. Delagrave (14 mai 2008)
ISBN 978-2206013534

Présentation de l'éditeur
Mathématicien bruxellois doublé d'un amateur de bande dessinée, Daniel Justens ne pouvait ignorer l'œuvre de Philippe Geluck, son confrère en sciences graphiques et mathématiques. C'est en lisant les strips du Chat qu'il fit une découverte fondamentale : les syllogismes et les impasses logiques du félin, dont la fonction première était de faire rire, recelaient en fait tous les fondements des mathématiques modernes. L'oeuvre cryptée de Philippe Geluck peut enfin éclater au grand jour. Les nombreux amateurs du Chat vont pouvoir reprendre leur lecture et rire de plus belle, en découvrant qu'en fait, ils ont régulièrement fait des mathématiques sans le savoir et que cette science qui traduit si bien les angoisses existentielles du matou matheux, rend compte aussi des nôtres. Les mathématiciens découvriront dans ce petit opuscule nombre d'exemples utiles et de sujets de réflexion pour leurs élèves. Et puis surtout, ils y trouveront la réponse à la question qu'on leur renvoie sans cesse et qui les taraude : " A quoi servent les mathématiques ? "

Drôle d'observation réalisée par une équipe germano-tchèque, qui publie sa trouvaille dans une revue scientifique : au repos, les vaches, les chevreuils et les cerfs élaphes s'orienteraient préférentiellement dans le sens du champ magnétique terrestre, comme en témoignent, entre autres, les images de Google Earth ! Voilà un nouveau jeu pour les promenades en campagne, que les enfants adoreront sûrement : devant un troupeau de vaches, sortir une boussole et noter l'orientation de chaque animal par rapport au nord magnétique. Les jours de pluie, on peut poursuivre l'étude à la maison en scrutant patiemment les images de Google Earth à la recherche de bétail au pré.

Les adeptes de ce passe-temps ne manqueront pas d'envoyer les résultats à Sabine Begall, une biologiste allemande de l'université de Duisberg-Essen. Elle et quatre collègues (allemands et tchèques) ont passé beaucoup de temps à ce jeu, s'intéressant au bétail mais aussi aux chevreuils et aux cerfs élaphes. Ces deux derniers mammifères ont été observés sur le terrain, en République tchèque, et les vaches sur Google Earth.
Leurs résultats, inattendus et inexplicables, viennent d'être publiés dans les Pnas (Proceedings of the National Academy of Sciences), une revue scientifique américaine. Selon leur étude, portant sur 8.510 vaches, observés sur 308 sites, et sur 2.974 cerfs élaphes ou chevreuils (vus en 241 endroits différents), les animaux s'orienteraient plus souvent vers le nord ou le sud que vers les autres directions. Plus précisément, la préférence serait marquée par rapport au nord magnétique et non géographique.

Résultats des orientations relevées pour la vache (en A), le chevreuil (B) et le cerf élaphe (C). Les lignes noires donnent l'orientation moyenne et les triangles les moyennes observées dans différentes régions du monde. © Sabine Begal et al.
Les auteurs ont testé des hypothèses alternatives. Ils excluent par exemple la plus probable, qui voudrait que les animaux se positionnent par rapport au vent, pour éviter le refroidissement ou, à l'inverse, pour se rafraîchir. Les observations sur le terrain (donc ne concernant pas les vaches) ne montrent aucune corrélation, d'autant que chevreuils et cerfs élaphes ont surtout été observés en forêt, où le vent est faible. Pour le bétail, une orientation par rapport au vent ne conduirait pas, analysent les chercheurs, à un axe nord-sud préférentiel. Les mammifères pourraient aussi chercher à présenter un flanc au soleil, ce qui pourrait expliquer qu'ils se positionnent plus souvent vers le nord ou vers le sud. Mais les observations aux hautes latitudes, où la déclinaison magnétique est forte, contredisent cette hypothèse. Si elle était vraie, en effet, les animaux devraient s'orienter par rapport au nord géographique et non le nord magnétique, comme les observations semblent le montrer.
Mais il reste des inconnues de taille : outre que cette observation n'a jamais été rapportée par aucun éleveur de bétail durant les deux derniers millénaires et que les mécanismes impliqués sont totalement mystérieux, tout autant que l'intérêt pour l'animal, personne n'a mis en évidence une perception du champ magnétique chez les grands mammifères. Les seuls cas connus au sein de ce groupe concernent des rongeurs et une chauve-souris. Mais les chercheurs insistent sur le fait que s'aligner par rapport aux lignes d'un champ magnétique n'implique pas une perception consciente. Des mécanismes secondaires, affectés par le magnétisme ambiant, pourraient conduire à des comportements particuliers.
Les auteurs rapportent un résultat ancien (1987) selon lequel, chez l'Homme, le délai au bout duquel survient le premier sommeil paradoxal (une phase toujours présente) est plus court chez les personnes dormant dans le sens est-ouest que chez celles allongées dans le sens nord-sud. Une autre étude (en 1993) montrait des différences dans l'électro-encéphalogramme. Purement observationnels, ces résultats n'apportent aucune preuve de la réalité du phénomène mais ils ont le mérite d'ouvrir un débat et de susciter quelques expériences. Il suffirait de soumettre des vaches à un champ magnétique élevé pour vérifier si elles se positionnent différemment. La revue en ligne Nature rapporte que selon Sabine Begall les vaches seraient alignées différemment sous les lignes à haute tension, qui produisent justement un champ magnétique, mais ce détail instructif ne figure pas dans la publication des Pnas. Il reste donc encore du travail et une jolie question scientifique que nous pouvons tous mettre à l'épreuve des faits. Pour vos prochaines promenades champêtres, n'oubliez pas la boussole...

Source : Futura-Sciences

Lors d'un safari, un touriste observe des lionnes dans la savane. Le guide lui explique les moeurs de ces animaux, bien particulières dans cette région :

• Dès qu'une lionne a mangé, elle fait la sieste pour digérer.
• Dès qu'elle s'endort, la lionne devient elle-même une proie pour les autres lionnes qui la dévoreront immanquablement.
• La lionne est intelligente : elle ne mange que si elle est sûre de ne pas devenir une proie pendant sa sieste.
• La lionne est égoïste : elle ne partage jamais le produit de sa chasse.

Le guide compte les lionnes pour décider s'il peut ou non autoriser le touriste à sortir du van pour les observer de plus près. Combien doit-il y avoir de lionnes pour que le touriste soit en sécurité ?

Nous devons à la faiblesse de l’esprit humain une des théories les plus délicates et les plus ingénieuses des mathématiques, la science des hasards ou des probabilités.

Pierre-Simon Laplace

La photo-finish n’est pas une photo instantanée de l’arrivée, mais une représentation temporelle de ce qui se passe dans l’axe de la caméra, parfaitement calé sur la ligne d’arrivée.
L’image fournie par cette caméra est découpée pour ne garder que la bande centrale (la ligne d’arrivée). Cette image fait 1 pixel de large sur 1 024 pixels de haut. À chaque millième de seconde, le cadenceur du chronographe ajoute la bande centrale de l’image (1 pixel) à la suite de l’image précédente, créant une image non instantanée mais une sorte de "déroulant" du temps. Ceci explique l'aspect "déformé" des images produites par les caméras de photo-finish.
A l’époque de l’argentique, le système était identique. Il suffisait de faire défiler le film de façon ininterrompue devant une fente d’obturation, parfaitement alignée sur la ligne d’arrivée. Pour limiter la déformation de l'image, on faisait défiler le film à la même vitesse que les coureurs.

La revue Les Génies de la Science propose un numéro spécial sur Gauss, le prince des mathématiques. Un numéro à ne pas manquer !

Avant-Propos

Gauss a 24 ans quand il se voit couronné « prince des mathématiques » par des savants de toute l’Europe. La raison de ce succès ? Des contributions majeures en théorie des nombres – la « reine des mathématiques » selon lui – rassemblées dans un ouvrage qui deviendra une référence, les Disquisitiones arithmeticae.
L’expression « Titan des sciences » employée par son biographe G. W. Dunningon le désigne tout aussi bien. Son éclectisme et sa passion pour les sciences l’entraînèrent non seulement vers les mathématiques, mais vers nombre d’autres domaines : Gauss fut ainsi l’inventeur d’instruments tels que l’héliotrope, le magnétomètre bifilaire ou le télégraphe électromagnétique ; il élabora aussi des théories ad hoc pour résoudre divers problèmes de physique appliquée, comme sa célèbre formule d’optique caractérisant une lentille ou un assemblage de lentilles.
Cette faculté d’embrasser plusieurs disciplines lui permit de révéler les liens profonds qui les unissent. Elle lui inspira des théories mathématiques qui, aujourd’hui encore, sont couramment utilisées dans les sciences appliquées : grâce à sa méthode des moindres carrés, un des fondements de la théorie moderne des erreurs, Gauss optimisa les observations astronomiques et géodésiques ; de ses études en géodésie, en particulier de ses recherches sur la construction de cartes géographiques, naquit la théorie de la représentation conforme, étroitement liée à l’analyse complexe ; Gauss sut encore voir les liens entre la géodésie et la théorie des surfaces, une théorie qui, à son tour, le renvoya à ses réflexions de jeunesse sur la possibilité d’élaborer une géométrie non euclidienne.
Gauss considérait les mathématiques comme la science par excellence, le fondement naturel de toute science appliquée : « Toutes les mesures du monde ne valent pas un seul théorème, car seul ce dernier fait réellement avancer la science des vérités éternelles », écrivait-il à son ami Bessel. C’est bien ce que montre son œuvre, d’une envergure et d’une fécondité comparables à celles des travaux d’un Archimède ou d’un Newton.

Rossana Tazzioli

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Les sprinteurs sont des « monstres » de laboratoire, dont les bras et la poitrine sont paradoxalement beaucoup plus développés que les cuisses. Ces proportions sont dictées par les lois de la biomécanique. Les scientifiques du sport ont en effet découvert, au début des années 1980, que le position optimale pour un sprinter au moment du départ était la plus en avant possible. Mais cette posture entraînait un important déséquilibre lors des premiers mètres de course, d’où la nécessité de renforcer la musculature du haut du corps pour aider l’athlète à se redresser plus vite. Résultat ? Tous les grands spécialistes du 100 m ressemblent désormais à des culturistes survitaminés. Leurs muscles sont composés à plus de 80% de fibres à contractions rapides, contre 50% pour un non-sportif. « Au niveau international, ils sont presque tous capables de monter des charges de 250 kg » explique Christian Miller, Docteur en Sciences de la Vie et Maître de conférence à Paris XI. Chaque discipline exige désormais un entraînement spécifique pour sculpter des corps sur mesure. Les marathoniens doivent privilégier les fibres lentes pour supporter des efforts prolongés, et doivent réduire le taux de graisse dans le corps à 5% environ, contre 9% pour le commun des sportifs de haut niveau. On accentue au maximum les morphotypes naturels, au détriment de la polyvalence. Carl Lewis et Mark Spitz ne pourraient sans doute plus triompher dans plusieurs épreuves. C’est l’avénement des « sportifs éprouvettes », en natation comme en athlétisme.

Source : Marathons.fr

Le grand mathématicien français Henri Cartan est mort le mercredi 13 août, à l'âge de 104 ans. Ses obsèques auront lieu mercredi à Die, dans la Drome. La levée de corps aura lieu la veille à Paris, dans l'après-midi.
Fils d'Élie Cartan (1869-1951) qui fut avec Henri Poincaré, un des plus illustres mathématiciens français du début du XXe siècle, Henri Cartan a dominé la deuxième moitié du siècle. Ses travaux portent sur les fonctions analytiques de plusieurs variables complexes ainsi que sur la topologie algébrique et sur l'algèbre homologique.
Professeur à l'École nationale supérieure (ENS) de la rue d'Ulm de 1940 à 1965, il a joué un rôle majeur dans le développement de l'école mathématique française de l'après-guerre. Il a formé plusieurs générations de mathématiciens parmi lesquels Jean-Pierre Serre (médaille Fields 1954) et René Thom (médaille Fields 1958). Entre 1948 et 1964, Henri Cartan a animé un séminaire à l'ENS resté célèbre. Chaque année, un thème était choisi. Les exposés présentés à cette occasion constituent encore aujourd'hui des documents de référence.
Le nom d'Henri Cartan est associé à celui du groupe Bourbaki qu'il a fondé en 1935, avec entre autres André Weil, Claude Chevalley, Jean Delsarte et Jean Dieudonné. Ce groupe a publié à partir de 1939 Éléments de mathématique, un gros ouvrage composé de dix volumes, destiné à unifier la discipline. Son influence a été décisive durant la période 1940-1980, et reste encore très importante jusqu'à maintenant.
Henri Cartan a été président de la Société mathématique de France en 1950, membre du comité Fields en 1954 et président de l'Union mathématique internationale, de 1967 à 1970. Il a reçu la médaille d'or du CNRS en 1976 et a été l'un des premiers titulaires du prix international Wolf de mathématiques (Israël, 1980).
Mathématicien mais aussi militant de la liberté, Henri Cartan a activement soutenu avec Laurent Schwartz ses pairs persécutés par des régimes totalitaires comme les Russes Plioutch, Chikhanovitch et Chtcharanski et l'Uruguayen Massera. Partisan ardent de la construction de l'Europe, il s'était aussi engagé dans le Mouvement fédéraliste européen dont il fut président de 1974 à 1985.

Source : Le figaro

Jour de rentrée. Je propose que notre école mette ce message dans la boîte vocale.

Mathématique

Dans un parallélépipède rectangle se déplaçant le long d'une ligne intégrale solution de l'équation différentielle du second ordre y" + TCRP(x)y' + S = 84, deux homoïdes (dont l'un seulement, l'homoïde A, présente une partie cylindrique de longueur L > N et dont deux sinusoïdes dont le rapport des périodes = π/2 entourent la calotte sphérique) ne peuvent présenter de points de contact de la base sans avoir également un point de rebroussement. L'oscillation de deux homoïdes tangentiellement à la trajectoire ci-dessus entraîne le déplacement infinitésimal de toute sphère de rayon infinitésimal tangente à une ligne de longueur l < L perpendiculaire à la partie supérieure de la médiane du plastron de l'homoïde A.

Ensembliste

Dans l'autobus S considérons l'ensemble A des voyageurs assis et l'ensemble D des voyageurs debout. A un certain arrêt, se trouve l'ensemble P des personnes qui attendent. Soit C l'ensemble des voyageurs qui montent; c'est un sous-ensemble de P et il est lui-même l'union de C' l'ensemble des voyageurs qui restent sur la plate-forme et de C" l'ensemble de ceux qui vont s'asseoir. Démontrer que l'ensemble C" est vide. Z étant l'ensemble des zazous et {x} l'intersection de Z et de C', réduite à un seul élément. A la suite de la surjection des pieds de x sur ceux de y (élément quelconque de C' différent de x), il se produit un ensemble M de mots prononcés par l'élément x. L'ensemble C" étant devenu non vide, démontrer qu'il se compose de l'unique élément x.
Soit maintenant P l'ensemble des piétons se trouvant devant la gare Saint-Lazare, {x,x'} l'intersection de Z et de P, B l'ensemble des boutons du pardessus de x, B' l'ensemble des emplacements possibles des dits boutons selon x', démontrer que l'injection de B dans B' n'est pas une bijection.

Géométrique

Dans un parallélépipède rectangle se déplaçant le long d'une ligne droite d'équation 84x + S = y, un homoïde A présentant une calotte sphérique entourée de deux sinusoïdes, au-dessus d'une partie cylindrique de longueur l > n, présente un point de contact avec un homoïde trivial B. Démontrer que ce point de contact est un point de rebroussement. Si l'homoïde A rencontre un homoïde homologue C, alors le point de contact est un disque de rayon r < l. Déterminer la hauteur h de ce point de contact par rapport à l'axe vertical de l'homoïde A.

Raymond Queneau, Exercices de style

La partie mathématiques de l'université en ligne montre aux étudiants ce que seront les cours du premier cycle (en France). Ces cours sont très bien faits et peuvent vraiment aider. Certains sujets (déterminants, intégrations, ...) sont déjà abordés au lycée.

Xaos est un outil qui permet de zoomer rapidement sur des fractales. Cela permet des descentes vertigineuses dans des fractales connues telles que l'ensemble de Mandelbrot.

Après tous les jeux olympiques ou championnats du monde, la question se pose : quel est le meilleur pays ? Le très bon magazine en ligne Plus étudie la question dans l'article Harder, better, faster, stronger.

Les mathématiciens suisses du XVIIe siècle

La première contribution suisse importante au développement des mathématiques fut l'oeuvre de Jost Bürgi (1552-1632), originaire du Toggenbourg, horloger de la cour et astronome tout d'abord auprès du landgrave Guillaume IV de Hesse, puis auprès de l'empereur Rodolphe II à Prague et assistant du grand astronome Johannes Kepler (1571-1630). C'est à Prague qu'il calcula une table d'antilogarithmes entre 1603 et 1611. Il n'imprima ses Progress Tabulen, ses tables logarithmiques, qu'en 1620, bien des années après. Entre-temps, le mathématicien écossais John Napier (1550-1617) l'avait devancé en publiant en 1614 et 1619 son travail qui concerne le logarithme d'un sinus. Si d'un côté le "droit d'aînesse" de Bürgi est bien établi par Kepler, Montucla dit, d'une façon qui peut sembler d'une violence gratuite: "Remarquons toutefois que c'est à tort que de l'existence de cet ouvrage donné en 1620, on concluroit que Byrge auroit inventé les logarithmes antérieurement à Neper; car l'ouvrage de Neper avoit paru dès 1614, et c'est l'antériorité des dates des ouvrage, qui, au tribunal de l'opinion publique, décide l'antériorité de l'invention." Au delà de la priorité de publication, Bürgi et Neper travaillent indépendamment l'un de l'autre et les tables de logarithmes, qui répondaient pour les astronomes et les calculateurs à un besoin pressant, connurent un succès immédiat et considérable.
Saint-Gall, la ville de la toile de lin exporté dans toute l'Europe, donne naissance à Habakuk Guldin, qui, devenu Jésuite, prendra le nom de Paul. On le présente ici par les mots de Montucla : Le Père Guldin était né à St.-Gall, en 1577, et ayant abjuré le religion protestante, il entra dans la compagnie de Jésus, en 1597, sous la simple qualité de Frère, ou de Coadjuteur temporel. Mais les talents qu'il montra pour les mathématiques ayant frappé ses supérieurs, on l'envoya les cultiver à Rome, où il professa les mathématiques pendant quelques années. Il les enseigna ensuite successivement à Gratz [où il meurt en 1643] et à Vienne. La principale découverte qui rend l'ouvrage de Guldin (Centrobaryca ou de Centro gravitatis, 1635-1642) recommandable, consiste dans l'application qu'il fait du centre de gravité à la mesure des figures produites par circonvolution.
“Toute figure - dit Guldin - formée par la rotation d'une ligne ou d'une surface autour d'un axe immobile, est le produit de la quantité génératrice par le chemin de son centre de gravité”.
Pendant son séjour en Italie, Guldin rencontre Galileo Galilei (1564-1642), mais c'est avec un autre savant italien, Bonaventura Cavalieri (1598-1647), qu'il a une polémique assez violente. Dans son deuxième livre de la Centrobaryca (1640), Guldin attaque la théorie des indivisibles de Cavalieri sur le plan de l'originalité et sur le plan de la rigueur. Guldin affirme que les idées de Cavalieri viennent de Kepler et de Bartolemeo Souvey.
Bartolomeo Souvey (connu comme Sovero) vient d'une famille de Corbière (Fribourg) et il est né vers l'année 1577. Il sera "Lecteur" de mathématiques à Padoue à partir du mois de novembre 1624 jusqu'à sa mort en 1629. Sa seule oeuvre publiée, Curvi ac recti proportio, est sortie en 1630 en six livres dont le cinquième et le sixième sont les plus importants. Il s'intéresse entre autre aux proprietés des courbes transcendents.

Entre les XVIIe et XVIIIe siècles

Le mathématicien et astronome vaudois Nicolas Fatio (1664-1713) qui fut un collaborateur de Gian Domenico Cassini à Paris et plus tard de Newton en Angleterre, est représentatif d'un âge béni de la révolution scientifique où les savants pouvaient presque tout connaître et tout faire, où les grands esprits de L'Europe étaient en communication permanente, partageaient leurs résultats, se lançaient des défis et se posaient des problèmes les uns aux autres, enfin rivalisaient de rapidité pour apporter des solutions. Emigré à Londres, il est élu à la Royal Society et il s'intéresse entre autres à des problèmes mathématiques mis au concours. L'un de ces problèmes porte sur une question posée par Newton : Quelle est la forme de moindre résistance pour un solide ? Fatio publie en 1701 une réponse élégante à cette question. Comme on le sait bien la période à cheval des siècles XVIIe et XVIIIe c'est l'époque prestigieuse de la dynastie bâloise des Bernoulli qui se pencha sur le calcul infinitésimal, le calcul des probabilités, la théorie des nombres et la physique, en premier lieu Jakob Ier (1654-1705) et Johann Ier (1667-1748) dont le disciple Leonhard Euler (1707-1783) est le mathématicien le plus génial du XVIIIe siècle. De la mort de Fermat en 1665 à la naissance d'Euler en 1707, les conditions de la vie scientifique en Europe ont subi une considérable évolution.
Au temps des amateurs éclairés, échangeant entre eux une abondante correspondance, a peu à peu succédé celui des professionnels appointés, communiquant les résultats de leurs travaux dans des publications spécialisées. Euler fut à tous égards exceptionnelle: la publication de ses Oeuvres complètes, commencée en 1911 sous les auspices de la Société scientifique nationale helvétique a donné lieu à plus de 70 volumes.
D'autres mathématiciens du XVIIIe siècle, d'influence culturelle française ou allemande, sont passer dans l'histoire: Johann Heinrich Lambert (1728-1777) de Mulhouse (ville qui à l'époque - à partir de la paix de Westphalie en 1648 et jusqu'au 1798 - était dans la Confédération Helvétique), Samuel König (1712-1757) de Berne (élève de Johann Bernoulli), Niklauss Fuss (1755-1826) de Bâle, représentèrent les sciences mathématiques au sein des Académies de Berlin et de Saint-Pétersbourg, Gabriel Cramer (1704-1752) et Jean-Louis Calandrin (1703-1758) oeuvrèrent à Genève dans les domaines des mathématiques et de la philosophie.

Le XIXe siècle

Dans son Essai sur une matière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques paru en 1806, Jean Robert Argand (Genève 1768 - Paris 1822) fournit une représentation géométrique des nombres complexes. Après les résultats de Gauss dans ce domaine, on parle du plan D'Argand-Gauss. Au sein de l'école allemande, le fossé se creuse rapidement entre les géomètres, qui privilégient la forme et veulent créer une géométrie purement descriptive, et les analystes, qui favorisent les méthode algébriques. Les représentants les plus intransigeants de la première tendance sont Steiner et Staudt, tandis que Möbius et Plücker refusent de bannir les coordonnées de la géométrie projective.
Fils d'un agriculteur bernois, Jakob Steiner (1796-1863), élève de Pestalozzi à Yverdon, fut professeur de géométrie à l'Université de Berlin. L'oeuvre de Steiner s'inscrit dans le développement de la géométrie projective, après le travail de Poncelet, et consacre le renouveau de l'école mathématique allemand. Steiner devint un spécialiste de la géométrie dite "synthétique", discipline dans laquelle ses ouvrages font encore autorité de nos jours.
C'est au Genevois Charles Sturm (1803-1885) que l'on doit des connaissances importantes en algèbre, en géométrie et en calcul différentiel. Professeur à l'Ecole Polytechnique, auteur d'un cours de mathématiques, Sturm était desservi par une écriture alambiquée. son nom est resté attaché à un théoréme de nature algorithmique sur la recherche des racines réelles des équations algébrique. Sa contribution essentielle est l'étude entreprise avec Liouville de certaines équations différentielles du second ordre avec des conditions aux limites. Il publie ses résultats principaux dans les travaux : Mémoire sur la Résolution des équations numériques (1835) et Mémoire sur les Lignes du second ordre (1825-26).
Ludwig Schläfli (1814-1895) de Graswyll (Berne). Il fait ses études secondaire au Gymnase de Thun et ses études universitaires à l'Université de Berne où, en 1863, il devient Professeur. Il est un des créateurs de la géométrie pluridimensionnelle.

Extrait de Histoire des mathématiques en Suisse, par Lucia Grugnetti, Université de Parme