Le blog-notes mathématique du coyote

En route avec le célèbre Terry Jones, ex-Monty Python, pour un étonnant voyage à travers le monde afin de comprendre comment et pourquoi le chiffre 1 est apparu.

Les origines du chiffre 1 sont drapées de mystère. Seul indice, le bâton d'Ishango, un os couvert d'entailles datant d'environ 20000 ans avant notre ère, découvert au Congo en 1950. Il semble être le premier témoignage de l'acuité mathématique de nos ancêtres. Puis, en l'an 4000 avant J.-C., les peuples du Moyen-Orient utilisent des jetons offrant la possibilité d'ajouter et de soustraire. Ainsi naît l'arithmétique. Un système que les Egyptiens renient, mille ans plus tard, au profit d'une autre méthode, susceptible de refléter leur grandeur. Car cette dynastie, qui a besoin de mesures précises pour bâtir des temples pharaoniques, invente le système métrique. Cette unité de calcul transformée en unité de mesure devient l'essence même de l'univers. Les Grecs, les Romains, les Arabes puis les Indiens n'ont de cesse de la perfectionner au fil des siècles. Au gré des époques et des découvertes réalisées par des chercheurs sur ces peuples, Terry Jones nous éclaire sur l'évolution des mathématiques. Un étonnant périple au pays des chiffres, de leur naissance à l'arrivée système binaire, essence même de notre monde moderne, qui utilise le 1 et le 0 et permet à nos ordinateurs de fonctionner.

Voir le site de la chaîne Planète pour connaître les horaires des rediffusions (encore 5 jusqu'au 15 janvier)

Pensez à un nombre et suivez les instructions de la bestiole.
Vous pouvez vous amuser à trouver le truc de ce "tour de magie", c'est n'est pas très difficile.

Dans le plan q, cherchez le point G.

QBC => PQ

Depuis quelques années, le Poker Texas Hold'em a connu un succès phénoménal. Pour bien jouer, il faut de la psychologie, une grande maîtrise de ses émotions, un peu de chance et quelques connaissances en probabilités. Voici deux sites intéressants parmi des dizaines d'autres, en anglais: The wizard of odds: Texas Hold'em et Poker Odds calculator.

Beaucoup de choses intéressantes sur le site Des trucs et des maths, notamment l'étymologie des mots mathématiques, l'histoire des symboles, des programmes javascript et bien d'autres trucs...

Les peintures d'Irvine Peacock (né en 1948) s'inspirent largement des travaux d'Escher. Incroyable cette façon de tordre la perspective!

Castle of Illusion

Intéressant article de Jean-Paul Delahaye dans le numéro 360 de la revue Pour la Science (décembre 2006) sur le lemme de Burnside (qui n'est d'ailleurs pas de lui). Ce lemme est utile pour le dénombrement, par exemple pour calculer le nombre de façons différentes de colorier les faces d'un cube avec k couleurs. Et comme toujours, l'auteur présente ce lemme de manière compréhensible!

A voir : Wikipedia : Burnside's lemma et Applying Burnside's lemma to a one-dimensional Escher Problem

Les schémas du mathématiciens, comme ceux du peintre ou du poète, doivent être beaux ; les idées, comme les couleurs ou les mots, doivent s'assembler de façon harmonieuse. La beauté est le premier test : il n'y a pas de place durable dans le monde pour les mathématiques laides.

Godfrey Harold Hardy (1877-1947)

Parmi tous les tours de magie, il existe un ensemble particulier, celui des "tours de cartes automatiques". Pouvant être faits avec un jeu de carte usuel et ne demandant aucune manipulation préparatoire des cartes, ils sont liés aux mathématiques par des outils simples (symétrie, comptage, permutations...).
Arnaud Gazagnes présente quelques-uns de ces tours avec leur explication (ce qui permettra aussi bien à l'enseignant qu'à l'élève d'en construire sur le même modèle), et des idées d'utilisation d'un tableur.

Lire l'article

Les Prix IgNobel : La science qui fait rire... et réfléchir
de Marc Abrahams

Présentation de l'éditeur
Les tartines retombent-elles toujours du côté du beurre ? Pourquoi la musique d'ascenseur protège-t-elle des rhumes ? Comment calculer vos risques de finir en enfer ? Comment mettre une grenouille en lévitation ? Les palourdes ont-elles une libido ? Pourquoi la nourriture est-elle inutile ? Toutes ces questions absurdes ont des réponses 100 % scientifiques. Ces recherches improbables sont récompensées chaque année par des Prix Nobel alternatifs, devenus cultes, les Prix IgNobel, décernés par la communauté scientifique, dans le cadre prestigieux de l'université de Harvard. Bienvenue dans un monde délirant, absurde, parfois extrême, qui permet de comprendre, en s'amusant, les lois de l'univers. Un livre déjà traduit en une dizaine de langues.

Mathématiques sans frontières est un concours inter-classes.

• Des classes entières de troisième et de seconde ou de niveau équivalent dans des pays étrangers concourent entre elles.
• Une palette d'exercices variés leur est proposée (dix en troisième et treize en seconde).
• La solution de l'un des exercices doit être rédigée en langue étrangère.
• La classe s'organise pour résoudre les exercices en une heure et demie et rend une seule feuille-réponse pour chacun d'eux.

Un cavalier se promène sur un échiquier en passant par toutes les cases une seule fois et en finissant son parcours sur la case de départ. Combien y a-t-il de tels parcours ? Je suis tombé à la renverse en voyant l'estimation de Cancela et Mordecki : 1,22 x 10¹⁵ !

Lire l'article : Counting Knight’s Tours through the Randomized Warnsdorff Rule, Hector Cancela and Ernesto Mordecki, September 4, 2006
A voir : Knight's Tour Notes, le cavalier fou

Après avoir créé un origami, déplions la feuille de papier.

Soit la suite des angles a₁, a₂, ..., a_2n autour d'un sommet (notons au passage qu'il y a toujours un nombre pair d'angles autour d'un sommet). L’addition d’un angle sur deux autour d’un sommet sur le papier déplié est égale à 180° :

a₁ + a₃ + a₅ + ... + a_2n-1 = 180° ou a₂ + a₄ + a₆ + ... + a_2n = 180°
Les applications techniques de l'art de l'origami sont également très nombreuses: la conception de sécurité gonflable, le déploiement de panneaux solaires de satellite, la fabrication de télescopes de grandes dimensions, etc.

A voir : Kawasaki's Theorem, Origami & math

Différents mythes populaires ont relié la taille du pénis à celle d’autres organes : le nez, les mains ou les pieds. Dans la comédie "Coup de Foudre à Notting Hill", Julia Roberts demandait ainsi de manière ingénue : "Tu sais ce qu’on dit des hommes qui ont des grands pieds?"… Et bien tout comme dans le film, la réponse n’est certainement pas celle à laquelle vous pourriez vous attendre! Pour établir si ce mythe populaire reposait sur des observations "scientifiquement démontrables", deux urologues ont mesuré la longueur du sexe de 104 hommes dont ils ont également noté la pointure et l’âge. Toutes les mensurations ont été faites sur des sexes au repos mais "étirés". Alors que la vraie taille du pénis peut uniquement être déterminée en érection, les chercheurs indiquent que leur méthode reste une bonne indication de la longueur. Au terme de leur étude, ces amateurs du double-décimètres ont ainsi pu déterminer que : - La taille moyenne trouvée fut de 13 cm, mais varie de 6 à 18 cm ; - Les pointures moyennes étaient de 9 en taille anglaises, soit 43 en taille européenne. Mais en étudiant l’ensemble des données, aucune corrélation entre les deux mesures n’a pu être établie. La science a encore frappé et c’est bel et bien un nouveau mythe qui s’effondre. Source : BJU International, October 2002, vol.90, Issue 6, p. 586

Lire l'article

Notons qu'une autre équipe a reçu le prix Ig Nobel 1998 de statistiques pour une recherche similaire: Jerald Bain du Mt. Sinai Hospital de Toronto et Kerry Siminoski de l'université d'Alberta, pour leur étude "The Relationship Among Height, Penile Length, and Foot Size."

MAFALDA (Machine spécialisée dans la Fabrication de Labyrinthes et de Dédales aux tracés Aléatoires) permet de créer des labyrinthes de formes rectangulaires, polygonales ou circulaires, à partir de données entrées par les Internautes. Elle en calcule automatiquement la solution et enregistre les figures les plus complexes dans une galerie mise à jour en temps réel. MAFALDA vous propose égalemet de parcourir les dédales créés de façon interactive.

Présentation de l'éditeur
Galilée disait "le monde est écrit en langage mathématique" et en ignorer l'histoire aussi bien que les fondements ne peut être que préjudiciable à l'homme moderne. Ce livre a donc été écrit en pensant à tous ceux qui se demandent "à quoi ça sert les maths?" et pour qui la signification profonde de cette discipline est occultée par sa difficulté technique. Il s'adresse à toute personne concernée de près ou de loin par les mathématiques : mathématiciens, physiciens, biologistes, économistes, etc. Vous trouverez donc :

• 150 thèmes d'étude, des plus anciens aux plus modernes : musique pythagoricienne, hypothèse de Riemann, prix d'équilibre, symétries en physique, courbes de Bézier, diffraction, optique linéaire, taux d'intérêts, loxodromies, croissances de populations, fractales, chaos, transformée de Fourier, probabilités, relativité, etc.
• des rappels de cours couvrant l'essentiel des connaissances nécessaires à l'honnête homme et au futur scientifique: mathématicien, physicien, biologiste, économiste... émaillés de rappels sur l'histoire des sciences.
• 350 illustrations correspondant à autant de fichiers Excel, Chamois, Maple téléchargeables sur le site: http://promenades-mathematiques.net.

Les raccourcis et omissions pratiqués lors d'exposés sont bien pires que ceux qu'on trouve dans les textes écrits. Des recensions humoristiques de ces abus ont plusieurs fois été proposées. En voici une, largement inspirée par celle de la revue Plot (APMEP Orléans-Tour, n° 86).

• Démonstration par l'évidence : "La démonstration est triviale" ; "Immédiat à partir des définitions" ; "On obtient sans peine que..." ; "On voit que..."
• Démonstration par la confiance : "Vous n'avez qu'à essayer, vous verrez, ça marche". Variante : "Je l'ai démontré hier chez moi, aucune difficulté."
• Démonstration par consensus : "Tous ceux qui sont d'accord lèvent la main". Variante encore plus efficace : "Tous ceux qui ne sont pas d'accord lèvent la main."
• Démonstration par commodité dénommée "nos désirs sont des réalités" : "Ce serait si beau si c'était vrai, donc..." (Redoutablement dangereuse.)
• Démonstration par nécessité : "Ça doit être vrai, sinon toutes les mathématiques s'effondreraient." Variante : "Le cas contraire contredirait un résultat bien connu qui ne peut pas être faux." (Peu de travail est nécessaire pour en tirer une bonne vieille preuve par l'absurde.)
• Démonstration par plausibilité : "Ça a l'air bon, donc ça doit être vrai." (Très utilisé pour évaluer le résultat d'un long calcul ; ne pas en abuser.)
• Démonstration par intimidation : "Ne soyez pas stupide! Bien sûr que c'est vrai." Variantes du débutant : "Même un débutant sait ça" ; "Vous l'avez vu en sixième"." Variante du devoir pour demain : "Ceux qui en doutent feront la démonstration pour demain sur une feuille qu'ils me rendront." Variante du tableau : "Si quelqu'un a des doutes, il passe au tableau le démontrer."
• Démonstration par manque de temps : "Il ne me reste pas assez de temps, vous ferez la démonstration vous-même."
• Démonstration par complexité : "La démonstration est trop compliquée pour être donnée ici." Variantes : "Je ne peux pas vous le faire, car ça fait partie du programme de l'année prochaine." "J'ai fait le calcul en 1985, c'est assez pénible, je n'ai pas envie de le refaire."
• Démonstration par accident : "Tiens, tiens, qu'avons-nous là..." (En fait, tout était calculé par avance pour obtenir le résultat prétendument inattendu.)
• Démonstration par la définition dite méthode du postulat d'Euclide : "On le définit comme vrai." (En abuser risque de diminuer l'intérêt de votre cours.)
• Démonstration par la tautologie : "C'est vrai, parce que c'est vrai." (Risque de vous faire perdre du crédit, mieux vaut utiliser une des autres méthodes.)
• Démonstration par référence : "Comme c'est établi à la page 289 du ..." (Là encore, si vous en abusez, vous viderez votre cours de sa substance.)
• Démonstration par perte de référence : "Je sais que j'ai vu la démonstration quelque part." (Même si c'est du bluff, préférez la méthode précédente.)
• Démonstration par manque d'intérêt : "Y a-t-il quelqu'un qui souhaite vraiment voir la démonstration?" Variante en combinant avec la démonstration par complexité : "La démonstration est longue et pénible. Est-ce que je la fais?" Variante dite du calcul merdique : "En général, quand je me lance dans ce calcul, je me plante. On y va?"
• Démonstration par obstination : "Vous pouvez croire ce que vous voulez, moi je vous dis que c'est vrai." Variante du contre-exemple : "Trouvez-moi un contre-exemple, en attendant je considère que c'est vrai." (Contraire à la déontologie la charge de la preuve ne serait pas à celui qui affirme.)
• Démonstration par analogie : "C'est la même chose que..." ; "Il suffit de s'inspirer de..." "On procède comme pour..." (Moyen efficace d'obtenir des résultats faux : le procédé a coûté cher à de nombreux mathématiciens.)
• Démonstration par autorité : "Borsnbuch l'a dit." Variante dite de l'ascenseur : "J'ai rencontré Borsnbuch dans l'ascenseur, et il est d'accord."
• Démonstration par renvoi multiple : "On conclut en combinant les lemmes 1, 3, 8 et 15 avec le théorème 12, puis en utilisant les propositions 7, 9 et 21."
• Démonstration par appel à l'opinion publique : "Si c'était vrai ça se saurait, donc c'est faux..." (Contrairement aux apparences, ce procédé marche bien, car les résultats simples qui n'ont pas été démontrés sont généralement faux.)

Les femmes doutent facilement de leurs habiletés mathématiques
Stephanie Levitz, Presse canadienne, Vancouver

Il suffit d'expliquer à des femmes qu'il est dans leur nature d'être moins douées en mathématiques pour influencer négativement leur performance dans ce domaine, ont découvert des chercheurs de l'université de la Colombie-Britannique.
Les scientifiques voulaient vérifier si la nature de l'explication fournie aux femmes concernant leur inhabileté «stéréotypique» en mathématiques allait avoir un impact sur leur performance réelle. Il s'agit de la «menace du stéréotype», un concept selon lequel le rappel de croyances associées depuis longtemps à un groupe incite les membres de ce groupe à se conformer au stéréotype.
Sur une période de trois ans, les chercheurs de l'université de la Colombie-Britannique ont demandé à 135 femmes de se soumettre à des tests similaires à ceux utilisés pour l'admission aux études supérieures. Chaque femme devait notamment compléter une section mathématique complexe, mais seulement après avoir pris connaissance d'un article concernant les différences entre les sexes en mathématiques.
Des quatre articles fictifs, le premier faisait valoir qu'il n'existe aucune différence, le second que la différence est d'origine génétique, et le troisième que la différence découle de la manière dont les mathématiques sont enseignées aux femmes à l'école primaire. Le dernier traitait de la place des femmes dans le monde des arts, puisque les scientifiques croient depuis un moment que le simple fait de rappeler à une femme qu'elle est une femme aura un impact négatif sur sa performance.
Les femmes à qui il avait été expliqué que leurs expériences antérieures étaient responsables de leurs habiletés mathématiques ont obtenu deux fois plus de réponses exactes que les femmes à qui il avait été expliqué que leur code génétique était à blâmer. Les femmes à qui on avait rappelé qu'elles étaient des femmes ont aussi moins bien réussi que celles à qui on avait expliqué qu'il n'y avait aucune différence.
«J'ai été surpris de l'importance de la réduction de la menace (du stéréotype) chez les femmes à qui on avait souligné l'importance des expériences antérieures», a expliqué l'auteur de l'étude, l'étudiant au doctorat Ilan Dar-Nimrod.
La simple mention qu'il puisse exister une différence entre les hommes et les femmes en mathématiques peut se révéler explosive. L'été dernier, le président de l'université Harvard, Lawrence Summers, avait été contraint de démissionner après avoir déclaré que les femmes sont sous-représentées dans le domaine des sciences parce qu'elles n'ont pas les capacités innées pour y exceller.
D'autres chercheurs croient que les résultats de cette étude illustrent bien la complexité de l'association entre les gènes et un comportement donné.

Source : Cyberpresse

Je pense que je ne suis pas le seul à avoir vu ce genre de simplification...

Plus tard dans la journée, je corrige une épreuve et je lis : cos(2x)+sin(2x) = 2x(cos + sin)...

Xmaths est un cours de math en ligne gratuit de Xavier Delahaye. Il a pour but d'aider les lycéens, les étudiants, les personnes préparant certains concours à voir ou à revoir et à mieux assimiler les différentes notions de mathématiques. On y trouve des quiz, des cours, des démonstrations à connaître et des exercices.