Le blog-notes mathématique du coyote

Entendu hier lors des répétitions des examens :

- Donnez la définition du cercle trigonométrique.
- Le cercle trigonométrique est un triangle rectangle.

Non, rien.

Un nombre de Friedman (également nommé nombre autodigital ou nombre narcissique) est un nombre entier qui est le résultat d'une combinaison de tous ses chiffres dans une base donnée, à l'aide d'opérations arithmétiques.

Par exemple, 347 est un nombre de Friedman en base 10 car il est possible de l'écrire sous la forme 7³ + 4.

En base 10, les nombres de Friedman inférieurs à 1000 sont : 25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688 et 736 (suite A036057 de l'OEIS). A vous de trouver les opérations...

Je regardais Koh-Lanta hier en replay et mes poils se sont hérissés plusieurs fois... C'était le fameux épisode des ambassadeurs: deux aventuriers (Louana et Colin) doivent se concerter pour éliminer un de leurs camarades ou bien participer à un tirage au sort qui se déroulera ainsi:

• Louana a dans son sac une boule noire (perdante) et une boule blanche.
• Victime d'une malédiction, Colin a dans son sac à lui 2 boules noires et une boule blanche.
• Chaque ambassadeur tire une boule dans son sac.
• Si chacun tire une boule de la même couleur, on recommence le tirage.

Durant toute l'émission, on nous a répété que Louana avait 1 chance sur 2 de perdre et Colin 2 chances sur 3. Selon Denis Bregnard : "50% de risque de tirer la boule noire pour Louana, 66% pour Colin, soit un gap de 16%". C'EST TOUT FAUX !

Premier problème : ce serait un "gap" de 16 points, pas de 16%.
Deuxième problème : la somme des probabilités doit faire 1. Or 1/2 + 2/3 = 7/6 = 1.1666...
Voici les calculs :

• Probabilité que Colin soit éliminé : 2/3 * 1/2 = 1/3 (il tire une boule noire ET Louana tire une boule blanche)
• Probabilité que Louana soit éliminée : 1/2 * 1/3 = 1/6 (elle tire sa boule noire ET Colin sa boule blanche)
• Probabilité qu'il y ait un nouveau tirage car les deux ambassadeurs tirent la même couleur de boule : (2/3 * 1/2) + (1/3 * 1/2) = 1/2

On voit que la somme des trois probabilités vaut bien 1/3 + 1/6 + 1/2 = 1.
On voit aussi que Colin avait deux fois plus de chance d'être éliminé que Louana. Il a donc eu raison, du point de vue des probabilités, de refuser le tirage au sort.

C'est d'ailleurs dommage qu'il n'y ait pas eu de tirage au sort. En effet, il y avait 1 chance sur 2 qu'il y ait match nul. Le suspense aurait pu être grand, car on aurait pu procéder à plusieurs tirages au sort. Au passage, la probabilité de procéder à n tirages est de (1/2)ⁿ.
Entre parenthèses, dans cette même saison de Koh-Lanta, Stéphanie avait été très malchanceuse en tirant 5 fois de suite une boule noire : comme il y avait chaque fois 4 boules blanches et une noire, il y avait 1 chance sur 5⁵ que cela arrive, donc une chance sur 3125...

Pour finir, on peut ajouter qu'on aurait pu procéder au tirage au sort avec un seul sac contenant 1 blanche et 2 noires. Mais là, seul Colin aurait dû tirer une boule (il aurait alors eu 2 chances sur 3 d'être éliminé, contre 1 sur 3 pour Louana). Gageons que cette façon de faire aurait déchaîné les commentaires sur Twitter...

Math Games with Bad Drawings
75 1/4 Simple, Challenging, Go-Anywhere Games
―And Why They Matter
Ben Orlin
Black Dog & Leventhal (5 avril 2022)
368 pages


Présentation de l'éditeur
Bestselling author and worst-drawing artist Ben Orlin expands his oeuvre with this interactive collection of mathematical games. With 70-plus games, each taking a minute to learn and a lifetime to master, this treasure trove will delight, educate, and entertain.
From beloved math popularizer Ben Orlin comes a masterfully compiled collection of dozens of playable mathematical games.This ultimate game chest draws on mathematical curios, childhood classics, and soon-to-be classics, each hand-chosen to be (1) fun, (2) thought-provoking, and (3) easy to play. With just paper, pens, and the occasional handful of coins, you and a partner can enjoy hours of fun—and hours of challenge.
Orlin’s sly humor, expansive knowledge, and so-bad-they’re-good drawings show us how simple rules summon our best thinking.
Games include:

• Ultimate Tic-Tac-Toe
• Sprouts
• Battleship
• Quantum Go Fish
• Dots and Boxes
• Black Hole
• Order and Chaos
• Sequencium
• Paper Boxing
• Prophecies
• Arpeggios
• Banker
• Francoprussian Labyrinth
• Cats and Dogs
• And many more.

(lien rémunéré par Amazon)

“Bonus Chocolate” by @Rubingo, uses the magic of tessellation to generate infinite amounts of chocolate (apparently). pic.twitter.com/cfmrIJHh1v

— Henry Segerman (@henryseg) April 10, 2022

Un nombre premier permutable est un nombre premier qui reste premier pour toutes les permutations de ses chifffres. Par exemple : 199, 919, 991.

Le plus grand nombre premier permutable connu est : (10²⁷⁰³⁴³ - 1) / 9.

Le saviez-vous ? Le logo de Twitter est une intersection bien choisie de 13 cercles.

En mathématiques, le concept de « théorie du chaos » a un sens spécifique. Cette discipline étudie le comportement des systèmes dynamiques, systèmes qui évoluent avec le temps, très sensibles aux conditions initiales. Ainsi, des différences infimes dans les conditions initiales entraînent des évolutions totalement différentes, rendant toute prédiction impossible ou difficile à long terme. La théorie du chaos a de nombreuses applications : météorologie, sociologie, physique, informatique, ingénierie, économie, biologie et philosophie.

Lire l'article de Waleed Mouhali sur The Conversation

Internet a aussi popularisé le cadenas dans les navigateurs, pour indiquer que les communications entre le navigateur et le serveur sont protégées par des mécanismes cryptographiques. Pour fonctionner correctement, ces mécanismes nécessitent d’utiliser des nombres aléatoires, dont la qualité (plus précisément leur non-prédictibilité) participe à la sécurité des protocoles.

Lire l'article d'Hervé Debar et Olivier Levillain sur The Conversation

Aire bleue = ?

Source : Daniel Mentrard

Les chercheurs connaissent bien les propriétés des différents modes de scrutin. Il y a déjà plus de deux siècles que les travaux des deux académiciens français, Borda et Condorcet, ont mis au jour la difficulté à définir une méthode de vote satisfaisante dès qu’il y a au moins trois candidats.

Lire l'article de Herrade Igersheim, Antoinette Baujard et Isabelle Lebon sur The Conversation

La calculatrice de Google utilise des nombres calculables au lieu de flottants, ce qui lui permet d’afficher des résultats plus précis.

Lire l'article de Lucas sur www.netcost-security.fr

Yulia Zdanovskaya a été tuée le 8 mars 2022 lors d'une attaque des forces russes contre Kharkiv, en Ukraine.
C'était une véritable prodige. En 2017, elle a concouru avec des élèves de 44 pays à l'Olympiade mathématique des filles européennes et a remporté une médaille d'argent pour l'Ukraine.
Elle a obtenu un diplôme en informatique de la meilleure université d'Ukraine et pourrait travailler pour n'importe quel géant de la technologie, mais elle a choisi de poursuivre son rêve d'être professeur de mathématiques et d'inspirer les enfants avec les mathématiques. C'est ainsi qu'elle a rejoint le projet Teach for Ukraine et qu'elle enseignait l'informatique à l'école de la région de Dnipropetrovsk depuis six mois.
La guerre a commencé et Julia est restée dans sa ville natale de Kharkiv aux moments les plus difficiles. Le dernier message de Julia dans Telegram était: "Merci, mais je resterai à Kharkiv jusqu'à la victoire."

La théorie des jeux démystifiée
Vincent Rollet
Coédition Institut Pandore/FantasticBook (1 juillet 2020)
237 pages


Présentation de l'éditeur
Dès le xix siècle, mathématiciens et économistes ont cherché à expliquer des conflits politiques ou des relations humaines complexes en les représentant sous la forme de jeux mathématiques, plus simples, plus intuitifs.
Est-il vraiment possible d’analyser des guerres, des décisions politiques, des choix économiques par le prisme des mathématiques pour mieux les comprendre ?
C’est tout le principe de la théorie des jeux. Dans chacun des chapitres de ce livre, Vincent Rollet vous présentera une situation réelle, qu’il étudiera ensuite sous le regard de la théorie des jeux avec beaucoup de pédagogie.
Ce livre s’adresse à toute personne curieuse qui souhaite avoir un aperçu de cette branche des sciences sociales ou simplement voir le monde d’un autre point de vue. Aucun prérequis n’est nécessaire.
Au-delà de cette découverte de la théorie des jeux, vous aurez plaisir à naviguer au gré des divers sujets choisis par Vincent pour illustrer son livre. De l’évolution des espèces à Donald Trump, en passant par des problèmes d’urbanisme, vous découvrirez des applications de la théorie des jeux dans des contextes insoupçonnés.

(lien rémunéré par Amazon)