Le blog-notes mathématique du coyote

La littérature se réduit difficilement à une équation mathématique. Et pourtant, "un groupe de statisticiens a travaillé pendant plusieurs mois pour déterminer la recette du succès littéraire et a finalement conclu que, selon leur formule, Da Vinci Code aurait dû être un bide", rapporte The Guardian. Le best-seller écrit par Dan Brown n'affiche a priori que 36 % de chances de figurer au sommet des meilleures ventes, d'après Alvai Winkler et son équipe.
Cet ancien chercheur de l'université du Middlesex s'est lancé dans cette recherche à la demande de l'éditeur en ligne Lulu.com. Le principe adopté est qu'une grande partie du succès d'une fiction dépend de son titre. "L'équipe de trois statisticiens, assistés de programmeurs, a étudié 54 années de hit-parades littéraires du New York Times et les 100 meilleurs romans du classement de l'émission Big Read de la BBC."
D'après leur grille d'analyse, "les titres des livres qui marchent ont trois points communs : ils sont métaphoriques plutôt qu'explicites ; le premier mot est un pronom, un verbe, un adjectif ou une formule de salutation ; et leur structure grammaticale est caractérisée par la forme possessive d'un nom, par un nom et un adjectif épithète, ou par la formule 'Le ... de...'"
En appliquant ce modèle à 700 titres publiés ces cinquante dernières années, les statisticiens ont correctement déterminé, dans 70 % des cas, quels livres étaient des best-sellers. Un score plus qu'honorable. Mais ce modèle statistique a aussi ses limites, comme en témoigne le faible score attribué à Harry Potter (51 % de chances de succès) ou l'échec de l'ouvrage de Dan Brown - que les lecteurs classent meilleure vente de l'année.

Source : Da Vinci novel breaks code for success, par John Ezard, The Guardian, 28 décembre 2005

Comme j'étais en excursion à Bâle hier, j'en ai profité pour aller photographier la tombe de Jacques Bernoulli dans le cloître de la cathédrale de Bâle. Il s'agit en fait d'une plaque richement décorée placée sur un des murs du cloître, qui jouxte l'austère cathédrale. On remarque en bas de la plaque une spirale avec ces mots: Eadem mutata resurgo (Changée en moi-même, je renais). Bernoulli voulait que l'on grave sur sa tombe une spirale logarithmique, à laquelle il consacra un traité: "Spira mirabilis". La spirale logarithmique a des propriétés d'invariance très étonnante. En effet, lorsqu'on effectue une rotation de cette spirale, tout se passe comme si on avait effectué une homothétie. Malheureusement, le graveur s'est trompé et a dessiné une spirale d'Archimède!

A voir: La spirale logarithmique

Math Tools est une librairie communautaire d'outils technologiques, de leçons, d'activités et de supports pour l'apprentissage et l'enseignement des mathématiques. Tous les niveaux sont concernés, de la maternelle au Lycée.

Il n'est pas possible d'être mathématicien sans avoir l'âme d'un poète.

Sofia Vasilyevna Kovalevskaya

Le nombre 2^30402457 - 1 est devenu le plus grand nombre premier découvert à ce jour, c'est-à-dire un nombre divisible uniquement par 1 et par lui-même. Ce nombre est un nombre premier de Mersenne, c'est-à-dire dont l'écriture est la suivante: 2 puissance un nombre premier (ici 30402457) auquel on retranche 1.
Ce nombre, baptisé M43 (pour le 43ème nombre premier de Mersenne connu), contient tout de même 9'152'052 chiffres et a été découvert grâce au projet GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) par les docteurs Curtis Cooper et Steven Boone de l'Université Centrale de l'Etat du Missouri (CMSU). C'est la technique de la grille de calcul (grid computing), c'est-à-dire la distribution de la charge de calcul auprès d'une multitude d'ordinateurs interconnectés, qui a permis cet exploit.
Le projet GIMPS a pu regrouper au sein d'une grille les ordinateurs de volontaires et bénévoles répartis tout autour de la planète, grâce au réseau Internet. La plupart des projets utilisant le calcul distribué récupèrent la puissance informatique non employée des machines de ses contributeurs, de manière complètement transparente. Dans le cas présent, ce sont tout de même plus de 200 000 ordinateurs répartis sur les cinq continents, en plus des 700 ordinateurs de l'université CMSU, qui ont permis de découvrir M43 en à peine... 10 mois. L'appartenance de ce nombre à l'ensemble des nombres premiers a été vérifiée bien plus rapidement, en cinq jours à Grenoble par un chercheur de Bull grâce à un supercalculateur.

Source : www.techno-science.net
A voir: Mersenne.org

« S'il n'existait pas dans la nature, le chou-fleur variété romanesco aurait dû être inventé par un fractaliste. Parmi les objets de tous les jours, c'est la meilleure illustration qui soit du concept de surface rugueuse mais riche en invariances. » Benoît Mandelbrot.

Le chou romanesco est une variété de chou brocoli originaire d'Italie et plus précisément de Rome. Il est appelé aussi « brocoli à pomme ».
Bien qu'il s'agisse d'une variété ancienne, son introduction en France est relativement récente, il y est cultivé en grand depuis les années 1990, surtout en Bretagne (régions de Saint-Pol-de-Léon et de Paimpol). Sa commercialisation s'est répandue à partir de 1993 sur le marché du frais, puis par l'intermédiaire de la surgélation. Son importance économique reste toutefois très limitée.
La disposition des bourgeons floraux en spirales régulières illustre les lois de la phyllotaxie. Un examen attentif montre que le nombre de spirales orientées dans le sens des aiguilles d'une montre et le nombre de spirales orientées en sens inverse sont deux nombres de la suite de Fibonacci, le rapport de ces nombres est une valeur approchée du nombre d'or. De plus sa géométrie autosimilaire fait qu'il est souvent cité comme un exemple de fractale naturelle.

Un chou-leur Romanesco entier


Un détail du même chou-fleur. Remarquez que chaque pointe ressemble au chou-fleur entier.
C'est la propriété d'"autosimilitude", caractéristique des fractales.
A voir: A romaneco page

Mélancolie I, Albrecht Dürer, 1514
Extrait d'une analyse du blog Par les mots :

(…) Progressivement, DÜRER se détachera de la peinture pour s’intéresser au procédé diabolique de la gravure : technique lui permettant de diffuser l’œuvre d’Art mais surtout de contrarier l’œuvre unique. C’est à 43 ans qu’il grave sur cuivre : MELENCOLIA I, production au premier abord austère, mystérieuse, énigmatique, presque initiatique par la charge de ses symboles. DÜRER est passionné d’alchimie.
Mon œil se pose sur le protagoniste au regard fixe et intense, se tenant la tête de la main gauche d’un air désabusé ; homme, femme, ange ? Me voici face au visage de la mélancolie, tristesse vague, mal doux qui touche tout le monde... Mon regard se perd, ne sait où se poser.
L’œuvre m’impose une analyse minutieuse de chaque objet, seul moyen de saisir le message de l’artiste. Les objets évoquent le métier d’architecte, la menuiserie ou la géométrie, signifiant l’art et la science : ce sont des instruments qui permettent de mesurer, de tracer, de polir des surfaces mais aussi de créer ce que se représente la faculté imaginative. Cette mise en relation de la mélancolie et de la géométrie me renvoie à Saturne, planète qui les gouverne toutes deux et ce fait rend compte aussi de leur fusion ; l’une dotée d’une âme, l’autre d’un esprit. « Melencolia I » serait donc une première phase. Celle de l’introspection et de la pensée sans activité. Y aurait-il alors une ascension qui passerait par une mélancolie II ? L’imaginaire qui côtoierait le rationnel pour aboutir à une construction mentale ?
Les attributs sont particuliers : un compas pointant sur le nœud emblématique de la sexualité. Est-ce pour m’induire en erreur ou bien me dévoiler le cœur du problème ? Pourtant, le compas, image de la circonférence me laisse aussi supposer que la Mélancolie est un cercle vicieux d’où l’on ne sort pas !
À ses pieds, la Mélancolie dispose d’instruments permettant d’envisager les questions essentielles : le rabot et la scie, symbole de la perfection, les clefs signifiant la sagesse, les clous pour la passion... Mais aussi la meule traçant le destin de chacun, le marteau pour construire sa vie, la lampe à huile génitrice de vie et le chien osseux image de la mort.
L’échelle ne va nulle part, ni ne commence d’ailleurs. Et la perspective annonce qu’il n’y a pas qu’un seul chemin de vie… En revanche, la mélancolie est stable, posée devant le carré où l’échelle du temps est appuyée.
De la pleine maturité psychologique de l’auteur émergent les questions fondamentales.
Foisonnent sur ce carré de multiples objets, déterminant l’état même de la mélancolie : balance entre-deux, sablier à égalité, (en « milieu de vie », moment propice à la mélancolie ?), comme l’indication d’une obsession à voir le temps s’écouler, le temps paraît suspendu « temps entre les temps » ; cloche dans l’attente d’une éventuelle agitation et qui n’arrive pas à saisir autre chose qu’un éternel présent. (...)

Voici un agrandissement du carré magique situé au-dessus de l'ange. Remarquons déjà que l'année 1514 se retrouve dans les deux cases centrales de la dernière ligne du carré. Plus que magique, ce carré est "diabolique" (la même constante magique peut être trouvée non seulement dans les lignes, les colonnes et les diagonales, mais aussi dans une variété de configurations régulières et géométriques):

Les quatre coins donnent 34.
Les quatre cases au centre aussi.
Idem pour 2, 3, 15, 14
Si on partage le carré 4x4 en quatre carrés 2x2, on trouve encore 34: 34 = 16+3+5+10 = 2+13+11+8 = 9+6+4+15 = 7+12+14+1
On trouve aussi 9+15+2+8 = 34
etc.

A lire aussi: Christine Salvadé, Le blues du scientifique selon Albrecht Dürer, Le Temps, 23 juillet 2005

Combien existe-t-il de carrés magiques de 5 ? Alors que Martin Gardner, le célèbre auteur américain d'ouvrages de récréations mathématiques estimait, il y a plus de trente ans, que ce nombre avoisinait les 13 millions, Bernard Gervais, grâce aux moyens informatiques, nous montre qu'il était bien loin de la solution... Ce mystère, vieux comme le monde, se trouve enfin élucidé dans ce livre. L'auteur propose en outre des développements originaux et inattendus à travers le concept de mosaïque magique. A l'aide de démonstrations simples et imagées, il conduit le lecteur toujours en éveil dans un labyrinthe de propriétés qui s'emboîtent les unes dans les autres comme une suite infinie de poupées russes. Chaque page met à rude épreuve l'intuition du lecteur et ses facultés de raisonnement tout en le guidant naturellement vers la solution. Présenté sous la forme d'une récréation arithmétique et géométrique ce livre s'adresse aux curieux... qui savent compter jusqu'à 65.

A lire : Bernard Gervais, Les carrés magiques de 5, Eyrolles, 1999

Extrait de la présentation du site de Xavier Hubaut "Mathématique du secondaire" :

Dans cette toile ("web"), nous présentons un éventail de sujets qu'il n'est pas "classique" de traiter dans l'enseignement secondaire. Nous avons cru utile de les rassembler étant donné l'intérêt qu'ils peuvent présenter et surtout le fait qu'ils ne font pas appel à des matières étrangères au programme de l'enseignement secondaire.
L'idée qui a prévalu est que, pour intéresser les élèves, il faut que les mathématiques soient esthétiques, applicables ou amusantes sous peine de faire des mathématiques inesthétiques, inutiles et ennuyeuses.

Voici un graphique qui met en relation l'évolution de la popularité de George W. Bush (en rouge) et du prix de l'essence aux USA (en bleu). Attention, quand la courbe du prix de l'essence monte, cela signifie que le prix DIMINUE.

Source : http://www.pollkatz.homestead.com/files/NEWBUSHINDEX_28670_image001.gif

"Ah! Tu pensais que tu allais m'avoir comme ça?!"

Math Magic est un site web dédié à des récréations mathématiques originales. Chaque mois, un nouveau problème. Et cela dure depuis 1998...

En tant qu’utilisateurs modernes des chiffres dits "arabes", nous en attribuons rapidement l’invention à ces mêmes Arabes. Pourtant, bien avant eux, les Indiens connaissaient et utilisaient déjà le système décimal tel que nous le connaissons et l’utilisons de nos jours. Ce n’est que bien plus tard que les mathématiciens arabes le découvrirent, l’adoptèrent et l’importèrent. Ainsi devrions-nous plutôt parler de chiffres indiens, car ce système de numérotation a été mis au point et utilisé par eux dès le 3e siècle avant J.-C. Il a ensuite été introduit dans le monde arabe vers le 7e ou le 8e siècle de notre ère et les premiers documents attestant de l’usage finalement tardif de ce système en Europe datent de 976.

Plus encore, l’idée reçue attribuant la paternité du zéro aux Arabes est à laisser pour ce qu’elle est, car le zéro était lui aussi bien connu des Indiens (et même des Mayas avant eux). Les Arabes le rapportèrent de leurs nombreuses conquêtes.

Source: Tatoufaux.com

La revue Tangente Jeux & Stratégie propose depuis quelque temps un jeu de grille nommé Museum.

Règle du jeu

Ce musée est un vrai labyrinthe: on peut visiter toutes les salles, mais il n'existe qu'un seul chemin pour aller d'une salle quelconque à une autre sans repasser par la même salle. Lorsqu'on se trouve dans une salle, on peut en voir d'autres en enfilade (horizontalement ou verticalement sur le plan): celles dont on n'est pas séparé par un mur. Dans certaines cases, il est indiqué le nombre de salles que l'on peut voir, y compris celle où l'on se trouve. Tous les problèmes ont une seule solution. Le but du jeu est évidemment de placer les murs.

Exemple et solution

Ce jeu est beaucoup plus difficile qu'il n'y paraît, surtout si on utilise une grande grille (6x6 par exemple).

Le site Platonic Realms se propose de fournir du contenu mathématique de haute qualité pour les élèves du secondaire et du lycée qui soit gratuit, motivant et instructif. Ce site propose chaque jour des citations mathématiques, des notes historiques et des défis mathématiques. On trouve aussi une section sur l'art mathématique d'Escher.

Voici un livre que je n'ai pas lu, mais dont le concept me plaît: partir d'un thème et se poser des questions mathématiques. Ici le thème est le basketball (il existe aussi un livre dont le thème est le football américain), ce qui permet de renforcer pas moins de 46 concepts mathématiques différents: pourcentages, équations linéaires, représentation de données, opérations avec les fractions, nombres décimaux, etc.
Les étudiants ont la possibilité de participer à des matches dans lesquels ils créent et gèrent des équipes virtuelles composées d'athlètes professionnels qui gagnent des points d'après les statistiques des matches réels. Chaque semaine, les élèves calculent les points gagnés par leurs joueurs en utilisant des méthodes algébriques et non-algébriques. Ils construisent aussi une série de graphiques illustrant les performances de leur équipe. Le but du jeu est d'accumuler le plus de points possible.

A voir: Fantasy Sports and Mathematics

L'énigmatique sourire de Monna Lisa a été décrytpé par des scientifiques et un logiciel de reconnaissance des émotions. Il traduit à 83 % le bonheur, à 9 % le dédain, à 6 % la peur et à 2 % la colère.
Le chef d'oeuvre de Léonard de Vinci, qui garde son mystère depuis 500 ans, a été analysé à l'université d'Amsterdam aux Pays-Bas. Des chercheurs néerlandais et américains ont notamment étudié la courbure des lèvres et les pattes d'oie autour des yeux.
Epaulé par un logiciel, ils les ont mis en relation avec six émotions de base, écrit l'hebdomadaire britannique de vulgarisation scientifique New Scientist. Selon le journal, ce type de logiciel pourrait servir à adapter un ordinateur à l'humeur de son utilisateur.

(ats / 15 décembre 2005 12:51)

Comment peut-on être mathématicien ?, par Jean-Paul Delahaye, pour Futura-Sciences, le 2 juin 2002

Une proportion importante de gens considère que les mathématiques sont nécessairement ennuyeuses et que rien ne saurait justifier qu'on consacre son temps à les pratiquer une fois l'école quittée, à moins qu'on y soit professionnellement astreint.
Nul n'ignore cependant que des hommes et des femmes choisissent de faire des mathématiques leur métier, voire y consacrent leur vie avec passion. Ils ou elles sont professeurs, chercheurs ou ingénieurs. On les regarde comme d'étranges et improbables créatures et parfois peut-être on soupçonne que leur amour des mathématiques cache quelque anomalie mentale plus ou moins grave, voire un déséquilibre dangereux : l'amour de la rigueur et de ce qu'on croit être la froideur des mathématiques ne s'accompagne-t-il pas obligatoirement d'un dessèchement de la sensibilité et d'une atrophie du goût pour les arts et les choses humaines ? Mais comment peut-on être mathématicien ?
La réponse, je crois, chacun la porte en soi car chacun aime les mathématiques d'une façon ou d'une autre. Les joueurs d'échecs ou de bridge se doutent bien que le plaisir qu'ils tirent des calculs qu'ils mènent dans leur tête est assez proche de celui qu'éprouvent les mathématiciens. C'est vrai, jouer aux cartes, aux dés, aux dominos, ou pratiquer la confrontation par échiquier interposé est une activité mathématique et si vous avez goûté cela, même une seule fois dans votre vie, vous savez ce qu'est le plaisir mathématique. Mais mieux encore, si vous lisez des romans policiers avec délectation ou que les films d'espionnages provoquent votre excitation vous pouvez aussi comprendre ce qu'est la satisfaction d'un mathématicien : le raisonnement (parfois très complexe) les retournements d'intrigues, la recherche des indices et leur mise bout à bout pour élucider ce qui dans un premier temps apparaît comme absurde ou même impossible, est une activité ou forme et sens jouent l'un avec l'autre et se combinent de façon analogue à ce qu'on pratique en mathématiques.
La seule différence entre celui qui aime les jeux, les énigmes policières ou l'intrication des scénarios complexes et le mathématicien est que ce dernier continue à éprouver du plaisir même lorsque le partenaire en face de lui a disparu, lorsque le contexte psychologique ou social du roman ou du film n'est plus présent pour habiller et justifier l'activité de raisonnement et de recherche de combinaisons. Le mathématicien est donc cet être commun que nous avons tous en nous et qui comprend les symboles, les figures géométriques, les raisonnements et les calculs et qui comme enivré de ce plaisir pur cherche à en renouveler l'expérience jour après jour. Pour se procurer des doses de plus en plus forte de cette substance intellectuelle qu'est l'abstraction et le jeu des combinaisons le mathématicien entre alors dans un pays où, il est vrai, il se trouve vite isolé.
Il est malheureux que les mathématiciens le plus souvent ne sachent pas faire partager leur enivrante expérience et que les programmes et méthodes utilisées dans l'enseignement conduisent la majorité des élèves à la conclusion que ça n'est pas drôle ni intéressant. La musique enseignée à l'école produit souvent le même effet et si chacun n'avait rencontré la musique qu'à l'école elle aurait aussi peu d'amateurs que les mathématiques (elle est d'ailleurs comme elles, combinatoire, abstraite, formelle). Le malheur des mathématiques est qu'elles n'offrent pas de seconde chance comme la musique que finalement tout le monde aime car il l'a rencontre chaque jour dans sa vie.
Peut-être qu'une tradition plus développée du divertissement mathématique comme il existe aux États-Unis pourrait remettre les choses en place, et, non pas faire apprécier les mathématiques autant que la musique, mais en tout cas beaucoup plus qu'elles ne sont aimées aujourd'hui. En France, un effort important a été fait ces dernières années dans ce sens par diverses associations et éditeurs et je crois qu'il commence à porter ses fruits.
On peut parler des nombres, des paradoxes, de la géométrie, des codes secrets, des probabilités, de la programmation des ordinateurs, de manière attrayante en s'adressant à un public large. Il n'y a pas besoin d'être surdoué pour aimer les mathématiques, pas plus qu'il n'est nécessaire d'être virtuose ou de posséder l'oreille absolue pour apprécier une guitare soliste ou un orchestre de Jazz. Les mathématiques sont pour tout le monde et il m'apparaît qu'elles devraient être appréciées au moins dans certaines de leur forme par tous.
Je défends une vision culturelle des mathématiques : point n'est besoin de savoir comment on démontre chaque affirmation qu'on connaît (les démonstrations sont souvent plus difficiles que les énoncés) Point n'est besoin d'être érudit et de se souvenir de tout ce qu'on a tenté de nous apprendre pour se réjouir d'une belle figure géométrique ou d'un beau raisonnement.
Je ne crois pas qu'on peut se prétendre cultivé si on ignore qu'il y a une infinité de nombres premiers et qu'Euclide il y a vingt siècles savait en donner une preuve irréfutable qui aujourd'hui encore fait l'admiration de tous. Je crois sincèrement que les mathématiques sont pour tous et qu'il est du devoir des mathématiciens de faire ce qu'il faut pour qu'on connaisse leur discipline qu'ils doivent cesser de garder pour eux.
Les mathématiciens ne sont pas des martiens car chacun de nous est mathématicien d'une façon ou d'une autre. Il faut que les écrivains scientifiques s'appliquent à proposer des textes qui feront que chacun deviendra conscient de son goût pour les mathématiques comme il l'est de son goût pour la musique.