Le blog-notes mathématique du coyote

Il serait fort à souhaiter que quelqu’un voulut prendre la peine de nous apprendre comment et dans quel ordre les découvertes des mathématiques se sont succédées les unes aux autres, et à qui nous en avons l’obligation… Quel plaisir n’aurait-on pas à voir la liaison des méthodes, l’enchaînement des nouvelles théories, à commencer depuis les premiers temps jusqu’au nôtre.

Pierre de Rémond, marquis de Montmort (1678-1719)

Cela faisait longtemps que je n'avais pas mis d'illusion d'optique. En voici une étonnante que j'ai découverte sur le blog d'ABC Maths.

L'image est fixe et vous n'avez pas de problèmes de vue ! Concentrez-vous sur le bord droit (ou gauche) de l'image et celle-ci redeviendra fixe.

Voici un documentaire sur Wolfgang Doeblin, une des grandes figures du calcul probabiliste moderne (1915-1940), à écouter sur France culture.

Jeune mathématicien juif français d’origine allemande, fils de l’écrivain Alfred Döblin (1878-1957), auteur de Berlin Alexanderplatz (1929). Durant la guerre, il fut incorporé comme soldat de deuxième classe au 291e régiment d’infanterie sous le nom de Vincent Doblin. Dans sa cabine de télégraphiste, il commença en 1939 à Sécheval, dans les Ardennes, une note sur l’équation de Kolmogorov. L’ayant terminée en 1940 à Athienville, en Meurthe-et-Moselle, il l’adressa sous pli cacheté à l’Académie des sciences de Paris. Accepté en séance du 26 février 1940, ce document fut rendu public le 18 mai 2000. Au-delà de son intérêt pour les mathématiques, notamment pour la théorie contemporaine des probabilités, ce document rappelle la fin tragique de ce jeune docteur ès sciences mathématiques (1938). En effet, le 21 juin 1940, alors que son bataillon est encerclé par la Wehrmacht à Housseras dans les Vosges, il se donne la mort afin de ne pas tomber entre les mains des nazis.

A quoi ressemblerait la forme qui, reflétée sur une sphère, donnerait un cheval ? Voici :

On pourra trouver d'autres images et une applet permettant de les créer sur Space Symmetry Structure.

L'édifice le plus imposant de la ville de Samarra, en Irak, est la mosquée d'al-Mutawakkil et son minaret hélicoïdal de 52 mètres de haut. C'est en admirant cet exceptionnel monument que les premiers voyageurs ont pensé que les ziggourats mésopotamiennes avaient des formes hélicoïdales. Cette assimilation a frappé l'esprit des Européens qui ont imaginé que la Tour de Babel avait aussi une forme hélicoïdale. La mosquée fut construite entre 848/49 et 852 par le calife Jafar al-Mutawakkil.

La mosquée d'al-Mutawakkil et son minaret hélicoïdal de 52 mètres de haut
Vu de dessus, ce minaret a la forme d'une spirale d'Archimède.

Pretty print permet d'inclure des formules mathématiques et des graphes dans des pages html et php. Cela a l'air simple d'utilisation. A tester.

Les mots et les maths
Dictionnaire historique et étymologique du vocabulaire mathématique
Bertrand Hauchecorne
Ellipses, 2003

Ce dictionnaire historique et étymologique propose plus de 500 mots utilisés en mathématiques. Il propose également une réflexion sur le lien entre un concept et le mot qui le désigne.

Présentation de l'éditeur

Quelle relation y a-t-il entre une base canonique et l'âge canonique, entre une combinaison linéaire et les combinaisons que portaient nos grands-mères, entre une série entière et une série télévisée ? Plus sérieusement, d'où viennent les mots que nous utilisons en mathématiques ? Quand sont-ils apparus ? Quel rapport y a-t-il entre un mot mathématique et son homonyme du langage courant ?
Cet ouvrage répond à ces questions en retraçant l'origine et l'histoire de plus de 500 mots utilisés en mathématiques. Vous pourrez l'utiliser comme un dictionnaire, en l'ouvrant pour consulter un mot qui vous intéresse. Vous pourrez aussi cheminer de rubrique en rubrique en fonction de vos intérêts et des suggestions faites par les nombreux corrélats.
Plus qu'un simple dictionnaire, cet ouvrage se propose d'amener le lecteur à une réflexion sur le vocabulaire mathématique, sur le lien entre un concept et le mot qui le désigne, sur le choix des termes en fonction de la place des sciences dans la société de l'époque et sur l'évolution d'une notion sous un même nom au cours des temps.
Alliant des éléments de linguistique, d'histoire et bien sûr de mathématiques, ce livre intéressera un public varié. Les passionnés de mathématiques auront plaisir à faire le lien entre les notions qu'ils connaissent et l'origine de leur nom. Les enseignants en profiteront pour enrichir leur cours. Les linguistes, les historiens des sciences ou les philosophes pourront y puiser réflexion sur les liens au cours du temps entre les concepts scientifiques et la manière de les introduire et de les nommer. Plus généralement tout esprit curieux prendra plaisir à comprendre d'où viennent des mots si courants comme droite, cercle ou nombre et comment ils sont passés du vocabulaire courant à celui des mathématiques ou inversement.

Vous connaissez sûrement cette curieuse amusette proposée pour la première fois par Lewis Carroll:

Mais saviez-vous qu'il existait un lien étroit entre ce découpage et la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... ? En effet, on peut "transformer" selon le même modèle un carré 8x8 en un rectangle 5x13 (chiffres précédant et suivant 8 dans la suite), un carré 13x13 en un rectangle 8x21, un carré 21x21 en un rectangle 13x34, etc.

A voir : D'où vient la différence ?

J'avais déjà parlé du site xahlee.org car il proposait une galerie de surfaces célèbres. Je suis retombé sur le même site quand j'ai cherché une galerie de courbes célèbres. Et on y trouve bien d'autres choses encore... Un site très riche.

L’Atomium est un monument de Bruxelles, rénové en 2006, représentant la maille élémentaire du cristal de fer agrandie 165 milliards de fois. Huit sphères sont disposées sur les sommets d'un cube et une neuvième sphère occupe le centre du cube.

Pour en savoir plus

• Le site officiel de l'atomium
• Wikipédia : Atomium

Louis ne possède pas de montre, mais il a une horloge très précise qu'il oublie souvent de remonter. Quand celle-ci s'arrête, il va chez son ami René, avec lequel il passe la soirée, puis il rentre à la maison, et peut remettre son horloge à l'heure.
Comment procède-t-il ? Il ne connaît pas la longueur de son trajet, mais il sait qu'il va aussi vite à l'aller qu'au retour.

Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.

Léonard de Vinci

Si vous vous êtes déjà trouvé bloqué devant un problème de Sudoku, vous avez peut-être imaginé que l'énigme n'avait pas de solution, ou, lorsque finalement vous en résolviez un, que votre solution n'était pas forcément la seule.

Ces questions et d'autres sont explorées dans l'article Sudoku Squares and Chromatic Polynomials d'Agnes M. Herzberg et M. Ram Murty, paru dans l'édition de juin-juillet 2007 des Notes de l'AMS (American Mathematical Society) dans lequel les auteurs utilisent des outils mathématiques de la théorie des graphes pour analyser systématiquement des problèmes de Sudoku. Ils y démontrent également que l'analyse de ce type de problèmes conduit vers certains problèmes non résolus de cette théorie.
Dans ce contexte, un "graphe" est un ensemble de noeuds reliés par des segments. On peut représenter les 81 cases d'un Sudoku comme les 81 noeuds d'un graphe, et l'on attribue à chacun des chiffres de un à neuf une couleur différente. Dans un graphe de Sudoku, deux noeuds sont reliés par un segment si les deux cases qu'ils représentent appartiennent à une même ligne, une même colonne, ou à un même bloc de 3 sur 3 cases. Puisque aucune ligne, aucune colonne, ni aucun bloc ne doit contenir plus d'une fois le même chiffre, le graphe ne possédera aucun noeud relié à un noeud de la même couleur. (Par exemple, en supposant que l'on représente le 1 avec la couleur rouge, deux noeuds rouges reliés par un segment signifieraient qu'une ligne, une colonne, ou un bloc posséderait deux 1, ce qui est interdit par la règle du Sudoku).
Dans le langage de la théorie des graphes, un graphique coloré sans connexion entre les noeuds de même couleur est appelé une "coloration propre". Ce que les amateurs de Sudoku tentent de réaliser chaque jour est d'étendre un graphe partiellement coloré à un graphe à coloration propre (le puzzle initial avec ses cases vides signifie que le graphe le représentant possède des noeuds qui demandent à être coloriés).
L'analogie entre les Sudoku et les graphes étant en place, Herzberg et Murty ont pu utiliser des outils de théorie des graphes pour démontrer des théorèmes sur ce type de problèmes. Par exemple, ils démontrent que le nombre de façons différentes d'étendre une coloration partielle est donné par un polynôme. Si la valeur de ce polynôme est zéro pour un Sudoku donné, alors le puzzle n'a aucune solution ; si la valeur est 1, le puzzle n'a qu'une solution ; et ainsi de suite. Ils démontrent également que, pour qu'un Sudoku quelconque puisse n'avoir qu'une solution unique, au moins 8 des 9 chiffres doivent apparaître dans le problème posé ; si seulement 7 chiffres apparaissent, alors le puzzle possède au moins deux solutions. Et ceci évoque une question mathématique non résolue: "il serait extrêmement intéressant de déterminer sous quelles conditions une coloration partielle peut être étendue à une coloration [propre] unique", écrivent les auteurs.
Certains Sudokus sont plus difficiles à résoudre que d'autres, les plus ardus ne contenant que très peu de chiffres au départ. La détermination de ce nombre minimum d'entrées nécessite de s'assurer qu'un problème n'a qu'une seule solution. Herzberg et Murty donnent un exemple d'un Sudoku avec 17 entrées qui ne possède qu'une solution (grille ci-dessous). Aussi le nombre minimum est au plus 17. Cependant cela pourrait être 16 ou plus petit encore, mais personne ne le sait. On pourrait penser par ailleurs qu'un problème avec de nombreux chiffres donnés au départ est susceptible de n'avoir qu'une seule solution, mais ce n'est pas forcément le cas. L'article donne l'exemple d'un puzzle à 29 chiffres donnés qui possède au final deux solutions différentes.

Et si vous vous demandez quand votre revue préférée manquera de problèmes de Sudoku, les auteurs affirment que le nombre de Sudoku distincts se situe quelque part autour de 5,5 milliards, ce qui devrait s'avérer suffisant pour occuper les afficianados pendant de nombreuses années encore.

Source : Techno-science (9 juin 2007)

A lire : Sudoku Squares and Chromatic Polynomials, by Agnes M. Herzberg and M. Ram Murty

Qui est Mike Williams ? Je ne sais pas vraiment. Un mathématicien peut-être, mais un artiste sûrement. On peut voir sur son site de merveilleuses oeuvres fractales, mais aussi plein de surfaces obtenues avec la commande isosurface du logiciel POV-Ray 3.5. A voir en particulier le Mathematical Zoo.

La théorie des noeuds m'a toujours intrigué, mais je n'ai pas encore trouvé le temps de l'étudier sérieusement. En tout cas, le site knotplot.com donne envie de s'y intéresser davantage, en particulier la page A Knot Zoo.

Les analystes financiers se méfient: les Japonaises se font de nouveau couper les cheveux.

Selon une enquête menée par la deuxième firme de cosmétiques japonaise, Kao Corp, citée par le quotidien économique Nikkei, les Japonaises ont tendance à garder les cheveux longs lorsque l'économie nipponne se porte bien et à adopter des coupes courtes en période de crise économique.
Se fondant sur ce postulat, le Nikkei ne se montre pas très optimiste pour l'évolution de l'économie japonaise alors qu'une tendance aux coupes plus courtes semble se profiler. Ce qui confirme une opinion partagée par différents analystes selon laquelle le cycle de croissance le plus important qu'ait connu l'archipel depuis la Seconde guerre mondiale pourrait avoir pris fin, l'économie nationale courant désormais le risque de connaître une récession.
Pour établir cette théorie faisant de la longueur des cheveux un indicateur économique, Kao a régulièrement conduit des enquêtes sur des échantillons de 1.000 femmes dans les rues de Tokyo et d'Osaka au cours des deux dernières décennies. Jusqu'au début des années 1990, lorsque l'économie japonaise était florissante, 60% des femmes âgées d'une vingtaine d'années portaient des cheveux longs, relate le Nikkei en citant les résultats de ces sondages. Pendant les années 1990, marquées par l'effondrement de l'économie nipponne, les coupes courtes (définies dans ce sondage comme une longueur de cheveux n'allant pas au-delà de la clavicule) sont devenues les plus répandues. Mais depuis 2002, alors que l'économie progresse de nouveau, les cheveux longs font leur retour, souligne le Nikkei, qui a cependant identifié un facteur pouvant affecter la validité de cette théorie: la popularité croissante du chignon.

Source : Yahoo Actualités

Un billet pour tester Scribd... Le document PDF est aussi téléchargeable.

Une étude suggère que les bébés mâles qui naissent en ayant une petite taille ont un risque double de suicide violent lorsqu'ils seront devenus adultes. Par ailleurs, tenter de rattraper la croissance durant l'enfance ne modifiera pas l'impact qu'a une petite stature à la naissance sur ce type de risque.
Ce résultat se fonde sur un échantillon de plus de 320 000 Suédois sur un total de 713 000 personnes nées entre 1973 et 1980. L'étude a utilisé les registres nationaux. On suivait les différents cas suivants : suicide, décès, émigration ou rien à signaler. On a remarqué que, statistiquement, les bébés mâles qui naissaient avec une taille de moins de 47 cm étaient, par rapport aux bébés nés de taille moyenne, plus susceptibles de faire une tentative de suicide. Ce résultat était manifeste quelle que soit la taille atteinte à l'âge adulte. On a remarqué ensuite que la petite stature à la naissance doublait le risque de suicide violent plutôt qu'un suicide non violent. Pour information, on considère comme violent une pendaison, l'utilisation d'une arme (à feu ou tranchante), le saut d'une grande hauteur, la noyade ou le saut devant un véhicule en déplacement. On a également noté que la petite taille une fois adulte augmentait le risque. Les hommes qui étaient nés de taille normale, mais plus petits que la moyenne une fois adulte, étaient 56 % plus susceptibles que les hommes de grande taille de s'en prendre à leur vie.
Plus un homme est grand, moins il est susceptible de faire une tentative de suicide.
Les hommes qui étaient nés en sous-poids (en dessous de 2,5 kg), mais qui atteignaient ensuite le poids normal étaient 2,5 fois plus susceptibles de faire une violente tentative de suicide. Ceux qui étaient nés prématurément (et donc petits et de faibles poids) étaient 4 fois plus susceptibles d'attenter à leur vie de manière violente que ceux nés après 38 ou 40 semaines de grossesse.
Pour les auteurs de l'étude, il se pourrait bien que la sérotonine soit la clé de ce résultat. Cette molécule est cruciale pour le développement du cerveau. Un manque de cette molécule peut conduire à l'agression, l'impulsivité et au comportement suicidaire.

Source : Sur la Toile