Le blog-notes mathématique du coyote

Par Laurent Sacco, Futura-Sciences

On attribue généralement à Newton et à Leibniz la découverte de ce qui est probablement le plus puissant outil mathématique à la disposition de l’esprit humain : le calcul différentiel et intégral. Comme le montre George Gheverghese Joseph de l’University of Manchester, certains des résultats obtenus à l’aide de l’analyse infinitésimale à partir de la fin du 17ième siècle en Europe, étaient déjà connus des mathématiciens de l’école du Kerala, au sud-ouest de l’Inde, vers 1 400. Selon lui, on ne peut d’ailleurs pas écarter la possibilité qu’une partie de l’inspiration de Leibniz et Newton ne provienne de la transmission des travaux de Madhava et Nilakantha en Occident par les jésuites.
La brillance de l’école Indienne en mathématiques est reconnue depuis longtemps mais l’importance des résultats découverts dans le domaine du calcul différentiel et intégral par l’école du Kerala est curieusement assez mal appréciée et rarement citée. Pourtant, c’est dès 1835 que l’anglais Charles Whish avait attiré l’attention du monde savant en publiant un article sur quatre traités de mathématiques et d’astronomie Hindous de l’école du Kerala, ceux de Nilakantha (Tantra Samgraha), Jyesthadeva (Yuktibhasa), Putumana Somayaji (Karana Paddhati) et enfin le Sadratnamala de Sankara Varman.
Dans cet article, et certainement à son grand étonnement, il insistait sur le fait que les mathématiciens et astronomes de cette partie de l’Inde avaient non seulement jeté les bases d’un calcul différentiel et intégral mais qu’ils étaient aussi en possession de résultats obtenus des siècles après eux en utilisant les algorithmes du calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Ils connaissaient en effet, par exemple, les développements en séries de Gregory et Leibniz pour la fonction arctangente et ceux des fonctions sinus et cosinus généralement attribués à Mac-Laurin et Newton.
Ces résultats semblent tous venir d’un seul et même mathématicien né en 1350, Madhava de Sangamagramma, qui semble avoir bénéficié d’un génie comparable à son compatriote Srinivasa Aiyangar Ramanujan. Curieusement, et même si des centaines d’années les séparent, ce dernier était né à 400 km au sud-ouest de Chennai (Madras) dans l’état du Tamil Nadu. C'est-à-dire pas très loin du lieu de naissance de Madhava, Kochi, au Kerala. Il y a d’ailleurs certaines similarités entre les approches de Ramanujuan et Madhava, or il semble que la mère de Srinivasa Ramanujan possédait des connaissances assez profondes en mathématiques propres à la tradition Hindou. La connexion entre les deux génies est-elle autre chose que géographique ?

Une transmission à l'Occident ?

Joseph avait déjà publié un livre en 1994 pour lutter contre un certain eurocentrisme ayant tendance à minimiser l’importance des découvertes mathématiques en dehors de l’Occident.
Ce livre avait déjà pour but de faire plus largement connaître l’école de mathématiques du Kerala. Malheureusement, celui-ci n’avait pas eu un écho suffisant à ce sujet et c’est à l’occasion d’une troisième réédition, ainsi que suite à la découverte d’un nouveau document sur les accomplissements de ces mathématiciens dans le domaine de l’analyse, que Joseph revient à la charge.
Une des possibilités ouverte par ce livre est fascinante. Il faut savoir que le Kerala a toujours été l’un des états les plus riches et les plus civilisés de l’Inde. Déjà à l’époque de l’empire Romain, les bateaux européens accostaient ses berges pour rapporter des épices, ce qui fait qu’il n’est pas rare d’y trouver de grandes quantités de pièces frappées à l’effigie des empereurs. Surtout, en 1495, Vasco de Gama arrive à Calicut. Les jésuites s’implantent dès lors en Inde et commencent à étudier et traduire les textes Hindous. Un siècle plus tard Grégoire XIII lance la révision du calendrier. Or, dans le comité chargé de celle-ci se trouve le jésuite, mathématicien et astronome Clavius dont on sait qu’il avait demandé à ce que l’on examine systématiquement la façon dont les autres pays établissaient leur calendrier. Il semble donc très probable que les découvertes des mathématiciens et astronomes du Kerala aient ainsi été rapportées en Europe même si aucune preuve n’existe à ce jour.
Toujours est-il que l’emploi des séries infinies, et de certaines démonstrations, très similaires à celles de l’école du Kerala, commencent à faire leur apparition en Occident quelques dizaines d’années plus tard. Coïncidences ? Les archives du Vatican contiennent peut-être la réponse.

Des précurseurs ?

Peut-on vraiment considérer les Hindous comme des précurseurs et des devanciers de Newton et Leibniz, voire même leur inspirateurs secrets ?
Précurseurs certainement, devanciers, à part pour certains résultats particuliers, probablement pas, même si des textes surprenants dorment peut-être encore quelque part.
Il faut savoir que des notions de calcul différentiel et intégral avec des séries infinies étaient déjà présentes chez Archimède. De plus, il n’y a pas à proprement parler d’algorithmes généraux du calcul différentiel et intégral dans les travaux des mathématiciens Indiens. Les travaux de Leibniz et Newton sont beaucoup plus larges et même en imaginant une influence directe sur eux des découvertes de Madhava, ils sont allés au-delà.
Les circonstances des découvertes de Leibniz et Newton sont assez bien documentées et les sources pointent toutes en direction des travaux d’Archimède, de façon directe ou indirecte. Il est bien connu, de plus, que c’est en lisant les travaux de Pascal sur le problème de la cycloïde que Leibniz a pris conscience de la relation liant primitive d’une fonction et problème de quadrature d’une aire : il n’y avait pas de lien direct avec une série infinie.
Reste que les performances des mathématiciens de l’école du Kerala sont spectaculaires et méritent à juste titre d’être universellement reconnues. Incontestablement, leurs noms doivent maintenant figurer au panthéon des grands mathématiciens de l’humanité avec Archimède et Al-Khwarizmi.

En regardant les championnats du mode d'athlétisme à Osaka, je me suis demandé comment les points de l'heptathlon étaient calculés. La formule suit le format suivant:

• Points = A*(B-P)^C pour les épreuves de vitesse
• Points = A*(P-B)^C pour les autres épreuves

où P est la performance avec les unités précisées ci-dessous ; A, B, et C sont des constantes

Epreuves	A	B	C	P
100 m haies	9.23076	26.7	1.835	sec
Saut en hauteur	1.84523	75	1.348	cm
LAncer du poids	56.0211	1.5	1.05	m
200 m	4.99087	42.5	1.81	sec
Saut en longueur	0.188807	210	1.41	cm
Javelot	15.9803	3.8	1.04	m
800 m	0.11193	254	1.88	sec

A voir : Decathlon points calculator

Présentation de l'éditeur
À coup sûr, le zéro n'est pas un chiffre comme un autre. Aussi a-t-il tout naturellement suscité tant les interrogations des mathématiciens que les spéculations des théologiens et des philosophes. Le zéro est puissant parce qu'il triomphe des autres chiffres, rend folles les divisions et est le frère jumeau de l'infini. Les plus vertigineuses questions de la science et de la religion touchent au rien et l'éternité, au vide et à l'infinité. Des débats passionnés et souvent violents autour du zéro ébranlèrent les fondations de la philosophie, de la science et de la religion. De Pythagore à Aristote qui renièrent son existence, des chrétiens qui le craignirent aux musulmans qui le réintroduisirent en Occident, Charles Seife raconte avec clarté l'histoire extraordinairement mouvementée de ce concept, qui est aujourd'hui une des clefs de la physique quantique, de la compréhension des trous noirs et de la naissance de l'univers.

Zéro : La biographie d'une idée dangereuse (Poche)
Charles Seife
Hachette (2004)

Une nouvelle incroyable mais pourtant crue par beaucoup, circule depuis quelques jours sur Internet, puissamment relayée par les naïfs et les béotiens : le 27 août 2007, soit lundi prochain, la planète Mars se rapprocherait de la Terre de façon historique, jusqu'à devenir aussi grosse dans le ciel que la Lune !
Il s'agit naturellement d'un hoax, d'origine anglaise et traduit en français avec un franc succès, et sans doute destiné à tester encore une fois (comme si besoin était) la crédulité du monde.
Ce canular est basé sur un communiqué très scientifique et daté de 2003. Cette année avait connu en effet, le 27 août, une opposition martienne très intéressante. Le communiqué, avec une nouvelle date, repasse cette année comme un plat réchauffé. Résultat : d'innombrables internautes le répercutent avec délectation, avisant leurs amis de ne pas rater cette prochaine "nuit des deux lunes".
Le fait qu'il semble crédible à tant de gens qu'un jour Mars et la Lune puissent rivaliser en diamètre apparent, en dit long sur l'ignorance des choses du ciel (sans parler d'astronomie au sens strict) et sur l'insuffisance de sens critique.
A noter que le communiqué scientifique de 2003 précisait "Avec un grossissement de 75 fois, Mars apparaîtra aussi grande que la pleine lune à l'œil nu". Ce grossissement indispensable une fois subtilisé du texte, pouvait laisser le canular grossir, et bien plus que 75 fois !
Plus sérieusement, la prochaine opposition martienne aura lieu le 24 décembre 2007, vers 17 heures. La planète rouge symbole de la guerre et du feu accompagnera donc le Père Noël tout au long de la nuit dans sa tournée.

Source : Sur la Toile

Un carré gréco-latin est un tableau carré de n lignes et n colonnes remplies avec n² paires distinctes, et où chaque ligne et chaque colonne ne contient qu'un seul exemplaire. Il s'agit de la superposition de deux carrés latins orthogonaux. Si les deux carrés latins n'étaient pas orthogonaux, alors une paire pourrait apparaître plus d'une fois. Euler donna le nom "gréco-latin" à ces carrés car il utilisait souvent une paire composée de lettres provenant des alphabets grec et latin.

Carré gréco-latin d'ordre 5 Le problème des officiers

En 1782, Leonhard Euler imagine le problème mathématique suivant. On considère six régiments différents, chaque régiment possède six officiers de grades distincts. On se demande maintenant comment placer les 36 officiers dans une grille de 6x6, à raison d'un officier par case, de telle manière que sur chaque ligne et chaque colonne contiennent tous les grades et tous les régiments.
Il s'agit d'un carré gréco-latin d'ordre 6 (un carré latin pour les régiments, un carré latin pour les grades), problème dont la résolution est impossible. Euler l'avait déjà pressenti à l'époque, sans toutefois donner une démonstration formelle à sa conjecture. Il dira :
Or, après toutes les peines qu’on s’est données pour résoudre ce problème, on a été obligé de reconnaître qu’un tel arrangement est absolument impossible, quoiqu’on ne puisse pas en donner de démonstration rigoureuse.

En 1901, le français Gaston Tarry démontre formellement l'impossibilité du résultat grâce à une recherche exhaustive des cas et par croisement des résultats.
Euler crut pouvoir généraliser son constat en conjecturant qu’il n’y avait pas de telles dispositions pour 4k + 2 avec k ≥ 1. En 1959, avec l’aide d’ordinateurs, deux mathématiciens américains, Bose et Shrikhande, trouvèrent des contre-exemples à la conjecture d’Euler. La même année, Parker trouva un contre-exemple d’ordre dix. En 1960, Parker, Bose et Shrikhande démontrèrent que la conjecture d’Euler était fausse pour tous les n ≥ 10.



A voir

• La tête aux carrés gréco-latins
• A propos des carrés gréco-latins

Les méthodes statistiques se sont imposées par leur « déraisonnable » efficacité dans les années 1960, en particulier dans le domaine du contrôle de qualité et de la fiabilité. Depuis, elles envahissent bien des domaines de la société : sondages, notions de risque, aide à la décision dans un environnement aléatoire, modélisation…
Un des objectifs du site du Groupe Statistique de l'IREM Paris-Nord est de convaincre les sceptiques de l'intérêt de la statistique et de son enseignement dans les classes de lycée.
Depuis la rentrée 2005, un groupe « statistique et citoyenneté » se penche plus particulièrement sur les liens entre mathématiques et société. On y trouve de bonnes idées à traiter en classe.

L'esprit humain n'est pas particulièrement doué pour les probabilités ou les estimations. C'est ce qu'expliquait Daniel Gilbert, professeur de psychologie à Harvard, lors d'une conférence donnée au festival SxSW (South By Southwest) en mars 2006. Le titre de la présentation pourrait se traduire par "Comment faire le meilleur choix en toute circonstance?".

Comme promis, Daniel Gilbert a expliqué comment faire le meilleur choix possible, mais ce n'était pas le but de la manœuvre, sans quoi la conférence se serait terminée après deux minutes. En fait c'est très simple, pour faire le meilleur choix, il faut calculer l'espérance de gain, c'est à dire les chances de gagner quelque chose multiplié par la valeur de cette chose.
Par exemple, si on vous propose un jeu ou vous avez une chance sur dix de gagner 20 euros, et que la participation coûte un euro, devriez-vous participer? Et bien l'espérance de gain est de 20 euros X 10%, 2 euros! C'est plus que ce qu'on vous demande, vous devriez donc sauter sur l'occasion.
Facile, n'est ce pas? Et bien non! Car l'esprit humain a tendance à nous induire en erreur. Il n'y a cependant que deux types d'erreurs possibles, puisque l'équation ne comporte que deux paramètres. Vous pouvez soit mal estimer la probabilité de gain, ou mal estimer sa valeur.

La probabilité de gain

Le problème majeur dans l'estimation des probabilités de gains est que nous avons tendance à croire que ce qui nous vient le plus rapidement à l'esprit est forcément la chose la plus probable. Or, ce qui nous vient rapidement à l'esprit est ce qui a le mieux été mémorisé, soit parce que ça arrive souvent, soit parce que c'est lié à une émotion ou à une frustration marquante. Mais cela ne vaut pas dire que ce soit réellement plus probable.
Par exemple, combien de fois n'avons nous pas choisi la mauvaise file dans le supermarché? C'est presque systématique, à croire qu'on a du faire quelque chose de grave dans une vie antérieure pour mériter cela! Mais statistiquement, pour chacun d'entre nous qui pense prendre très souvent la file la plus lente, il devrait y avoir une personne qui se dit "Hey, à chaque fois que je fais les courses je me retrouve dans la file la plus rapide!".
Pourtant ce n'est pas le cas, en fait la majorité d'entre nous se considère malchanceux sur ce point. Pourquoi? Parce que notre cerveau ne prend pas la peine d'enregistrer les fois ou ça se passe bien. Ce sont les cas les plus frustrants qui se remémorent le mieux.
Cela nous mène à faire de très mauvaises estimations. Intuitivement, la plupart des gens pensent qu'il y a plus de morts à cause du terrorisme qu'à cause de l'asthme ou des piscines privées. Et cela se retrouve dans les programmes gouvernementaux, qui investissent des millions dans la lutte contre le terrorisme, mais réservent un budget très modeste à la prévention des noyades. Combien de morts à cause du terrorisme chaque année en France? Entre 0 et 5? Combien de noyades dans des piscines familiales? De 50 à 80! Mais le terrorisme on en entend parler tous les jours, tandis que les noyades ne font la une qu'une fois ou deux dans l'année.
Dans un même ordre d'idée, les statisticiens considèrent souvent le loto comme une taxe à la stupidité. Pourquoi? Parce que l'espérance de gain est inférieure au prix! Vous êtes donc presque certain d'être perdant. Mais dans les médias, nous voyons constamment des gagnants. Jamais d'entrevue des millions de perdants qui jouent chaque semaine. Et heureusement, car selon le calcul de Gilbert, si chaque joueur était interviewé pendant 30 secondes, vous devriez regarder 10 ans d'entrevues 24h/24h avant de voir un gagnant. Et pourtant, nous jouons!
Un autre aspect des probabilités est l'évaluation de nos chances de réussite dans un projet. Nous planifions toujours de réussir, ce qui pousse notre cerveau à sous-estimer la probabilité d'échec. Cela est particulièrement apparent dans l'estimation des délais, on sait qu'en cas de problème on va prendre plus de temps, mais on part toujours du principe qu'il y aura peu ou pas de problème. D'ou de fréquents dépassements de délais et de coûts.

L'évaluation du gain

Mais comme nous l'avons vu, il y a une autre source d'erreur, celle de l'évaluation du gain obtenu. Nous avons évolué de manière à distinguer non pas les stimuli, mais les changements de stimuli. Autrement dit, lorsqu'on entend toute la journée le bruit d'un ordinateur, on fini par ne plus s'en apercevoir. Même chose pour les odeurs, on ne sent jamais la nôtre, seulement celles des autres. En fait, même nos yeux sont obligé de faire constamment de petits mouvements pour nous permettre de distinguer une image fixe. Nous ne percevons que ce qui change.
Identiquement, nos évaluations ne se basent pas sur la valeur réelle d'un objet, ou sur ce que nous pourrions faire d'autre avec le même investissement, mais sur la comparaison avec la valeur antérieure de l’objet ou celle d’un autre objet comparable.
Les agents immobiliers l'ont bien compris, ils vous emmènent toujours voir le meilleur appartement en dernier. De cette manière, il apparait bien plus intéressant par contraste avec l'appartement minable que vous avez visité juste avant. Les publicitaires se servent aussi abondamment de ces erreurs de jugement. Une vente aura beaucoup plus de succès si l'article vendu passe de 120 euros à 60, que si son prix avait toujours été de 60 euros.
Certains vendeurs vont jusqu'à garnir leurs tablettes d'articles hors de prix qui ne seront jamais achetés, pour fausser notre comparaison. Car nous avons souvent tendance à acheter l'article milieu de gamme, pas le moins cher qui serait de trop mauvaise qualité, pas le plus cher, mais un compromis entre les deux. En ajoutant un pseudo-article plus cher, on nous pousse à augmenter notre limite supérieure de comparaison et à nous donner envie de payer plus pour obtenir la même chose.
Nous avons également tendance à évaluer nos gains en fonction du contexte. Si au moment d'acheter on propose d'économiser 100 euros sur le prix d'une chaine hifi, en allant dans un magasin à l'autre bout de la ville, la plupart des gens seront intéressés. Si on propose 100 euros sur le prix d'une voiture, dans les mêmes conditions, la plupart des gens ignoreront l'offre, car elle est trop faible par rapport au prix du véhicule. Pourtant dans les deux cas, le gain est le même, mais le contexte différent nous pousse à agir d'une autre façon.

Conclusion

Toutes ces erreurs ne signifient pas que nous sommes idiots, ou que notre cerveau est primitif. En fait, nous avons évolué durant des centaines de milliers d'années en ayant toujours à faire des choix à court terme sur des options peu nombreuses et facilement comparables. Vais-je manger ces fruits verts ou ces baies rouges? Vais-je m'accoupler avec cette femelle ou cette autre? Nous vivons à présent dans un monde complètement différent, avec de nombreux choix complexes à faire en tout temps. Notre cerveau n'est tout simplement pas adapté à cela.
Dans la plupart des cas, ce n'est pas bien grave. Là ou cela devient dangereux, c'est quand des choix de société sont basés sur ces estimations instinctives. Bien qu'on ne soit jamais à l'abri de l'erreur, le meilleur moyen d'éviter ce type de raisonnement irrationnel est de baser les grandes décisions sur des faits scientifiques prouvés.
Car si contrairement aux autres espèces nous n'avons plus de prédateurs, et que nous pouvons planifier nos actions afin d'éviter les problèmes, il reste cependant un grand danger pour notre survie: celui de sous-estimer nos échecs futurs, ou de surestimer nos réussites.

Source : Sur la Toile

Il se peut que les grains de beauté vous semblent assez inutiles, mais la mesure du nombre de ceux-ci s'avérerait utile comme indicateur de rapidité du vieillissement corporel.
Des scientifiques du King's College à Londres ont en effet trouvé grâce à l'étude de 1800 jumeaux que plus une personne avait un nombre important de grains de beauté, plus leur ADN avaient de propriétés de luttes contre le processus de vieillissement.
Cette étude diffère cependant avec une autre qui avait trouvé un lien entre nombre de grains de beauté et risque de cancer de la peau. On a démontré en effet qu'un grand nombre de grains de beauté accroissait le risque d'apparition de mélanome malin, une forme rare de cancer de la peau.
Les grains de beauté apparaissent durant l'enfance et disparaissent souvent en milieu de vie. Ils varient en taille et en nombre pour chaque individu. Le nombre moyen de grains de beauté chez une personne de peau blanche est de 30. Certains arrivent à 400 ! On ne connaît pas la raison de l'existence de ces grains de beauté ni de leurs variations en nombre chez les individus.
Comme les grains de beauté disparaissent avec l'âge, les chercheurs ont donc naturellement pensé à comparé leur nombre avec la longueur des télomères (région hautement répétitive, donc non codante, d'ADN à l'extrémité d'un chromosome) dans les cellules. La longueur des télomères est un bon indicateur du taux de vieillissement de certains organes vitaux comme le coeur, les muscles mais aussi les os et les artères.
On compare souvent les télomères au bouts en plastique qui termine nos lacets de chaussure : ils servent à maintenir les extrémités de chromosomes bien tenues sans quoi les composants des chromosomes s'emmêleraient et se colleraient ensemble.
Les chercheurs ont remarqué que les personnes qui ont plus de 100 grains de beauté ont de plus longs télomères que ceux qui en ont moins de 25. Pour les chercheurs, la différence entre les deux groupes, plus de 100 grains ou moins de 25 grains, signifie plus ou moins 6-7 ans d'années d'existence !
Les résultats de cette étude sont donc très stimulants pour les chercheurs : la prochaine fois que vous voyez une personne couverte de grains de beauté, dites-vous qu'elle a certes plus de chances d'attraper un cancer de la peau mais que si elle ne s'expose pas trop au soleil, elle aussi a priori une espérance de vie plus importante par rapport à la moyenne !

Source : Sur la Toile

Il n'y a pas des problèmes qu'on se pose, il y a des problèmes qui se posent.
Il n'y a pas de problèmes résolus, il y a seulement des problèmes plus ou moins résolus.

Jules Henri Poincaré

Xcas est un logiciel libre qui permet de pratiquer à la fois le calcul formel, la géométrie dynamique et la programmation. Il dispose d'un tableur formel et peut être amélioré en fonction des demandes des usagers, en particulier pour des raisons pédagogiques. On peut donc utiliser Giac/Xcas aussi bien comme un logiciel gratuit compatible avec Maple, pour développer des algorithmes de calcul formel, ou de l'utiliser dans un autre logiciel... Il est disponible sur Mac, Windows et Linux.

Voir une introduction à ce logiciel.

La revue MathemaTICE est une revue collaborative libre portant sur l’utilisation des TICE en classe de Mathématiques.
Elle est collaborative car elle se nourrit essentiellement des témoignages et expériences des professeurs de Mathématiques, avec si possible un travail en coopération avec le comité de lecture pour enrichir ou expliciter certains points des articles écrits.
Elle est libre car placée sous une licence libre (la licence FDL), ce qui permet à chacun d’utiliser tout ou partie des articles dans le respect de cette licence.
Chaque numéro se compose de 2 parties principales. La première est thématique, sous la forme d’un dossier (par exemple, "les calculatrices" ou "la géométrie dynamique"...). Chaque dossier est constitué de plusieurs articles, si possible constituant divers points de vue venant éclairer la thématique. Aucune volonté d’être exhaustif (le pourrait-on ?) mais plutôt de profiter du creuset d’un thème pour approfondir le débat et élargir les points de vue. La seconde est libre et ouverte à tout type d’articles. Car tout ne se réduit pas à des thèmes, et les thèmes eux-mêmes ont besoin de respirer en dehors de leur dossier.

MathemaTICE est un projet de l’association Sésamath.

André et Bernard écrivent chacun un entier positif (ou nul) sur une feuille de papier. Chacun ignore le choix de l'autre, mais communique son choix à Chantal. Celle-ci écrit alors deux entiers au tableau, dans un ordre quelconque. Un des deux entiers correspond à la somme des nombres choisis par André et Bernard; l'autre est un entier quelconque, choisi au hasard.
Chantal demande à André s'il peut déterminer le nombre choisi par Bernard. Si André répond que non, elle demande à Bernard s'il peut déterminer le nombre choisi par André. Si Bernard répond qu'il ne peut pas non plus, elle redemande à André de trouver le chiffre de Bernard, puis continue si nécessaire avec Bernard, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'elle finisse pas obtenir une réponse affirmative.
Chantal est-elle stupidement entêtée ou est-elle sûre d'obtenir une réponse positive après un nombre fini d'étapes ? Evidemment, on suppose qu'André et Bernard ne mentent jamais, et qu'ils sont suffisamment intelligents pour répondre "oui" lorsqu'il existe un moyen de connaître le nombre de l'autre.