Le blog-notes mathématique du coyote

WASHINGTON - Les exemples concrets sont loin d'être la meilleure méthode pour comprendre les mathématiques, selon une étude publiée jeudi aux Etats-Unis qui privilégie une approche d'assimilation abstraite.
"Il est très difficile de faire comprendre des principes mathématiques à partir d'un exemple concret", affirme Vladimir Sloutsky, co-auteur de l'étude et directeur du centre pour la Science cognitive de l'Université d'Etat de l'Ohio (nord). "Les exemples concrets peuvent être de bons moyens pour tester la maîtrise des connaissances acquises mais ce sont de mauvais instruments d'enseignement", ajoute ce chercheur dont les travaux paraissent dans la revue américaine Science datée du 25 avril. Les étudiants qui apprennent une règle mathématique à travers un ou plusieurs exemples concrets auront en effet plus de mal à la réutiliser dans un nouveau contexte comparativement à ceux l'ayant acquise seulement de façon abstraite, selon ces chercheurs. C'est ainsi qu'un grand nombre d'étudiants pouvant résoudre le problème de savoir à quelle heure le train A va croiser le train B, seront incapables d'appliquer cette solution à d'autres exemples s'ils n'ont pas acquis la formule de manière uniquement abstraite, explique Jennifer Kaminski, principale auteur de l'étude.
Les chercheurs ont testé leur théorie sur un groupe de 80 étudiants de niveau Deug-Licence qu'ils ont répartis en quatre sous-groupes. Ils leur ont enseigné un principe arithmétique simple illustré par un, deux et trois exemples concrets pour les trois premiers sous-groupes alors qu'ils se sont contentés d'une simple explication abstraite pour le dernier groupe. Ils ont ensuite soumis l'ensemble des 80 étudiants à un questionnaire à choix multiples pour tester la compréhension du principe de calcul enseigné.
Le meilleur score (80% de réponses exactes) a été réalisé par le groupe d'étudiants ayant appris ce principe de calcul de manière purement abstraite.Les autres sous-groupes n'ont obtenu que 51% et 43% de réponses justes respectivement, dont une grande partie attribuée au hasard. Les exemples concrets pourraient même distraire les étudiants en les empêchant de se concentrer sur le concept lui-même, explique Vladimir Sloutsky.
Selon lui, "ces conclusions remettent en cause une croyance de longue date en pédagogie". "Nous avons vraiment besoin de présenter ces concepts par des représentations très symboliques", insiste Jennifer Kaminski. "Les étudiants sont ensuite mieux préparés à les appliquer dans une variété de situations", dit-elle.

(©AFP / 25 avril 2008 02h06)

La feuille à problèmes : un lien entre enseignants de mathématiques pour chercher et faire chercher des problèmes à nos élèves, échanger des idées, communiquer des expériences.

Les auteurs présentent leur site ainsi :

- L’idée initiale était d’abord de se faire plaisir en cherchant des problèmes, ce qui avait été initié à l’IREM par l’organisation d’un atelier sur le problème.
- Ensuite l’idée d’un " enseignement par le problème " avait été vaguement agitée.
- Enfin vint l’idée qu’après tout, beaucoup de ces problèmes qui nous amusaient tant pouvaient aussi amuser nos élèves. En résumé, faire des mathématiques, pour nous, c’était avant tout, chercher et résoudre des problèmes, et nous voulions faire partager à tous, élèves et enseignants, notre plaisir. Assez rapidement, cette l’idée de faire découvrir à nos élèves ce qu’est vraiment un problème de mathématiques a prospéré sous forme du " problème ouvert ", qui a donné lieu à une brochure suffisamment diffusée pour qu’il soit inutile d’en parler ici. Mais la feuille à problèmes n’était pas la propriété d’un seul clan, et elle s’est ouverte aussi dans d’autres directions : échanges sur les erreurs des élèves, sur des situations problèmes, sur l’expérience maths en jeans, etc... Tout ce qui semblait intéresser et même passionner les enseignants dans leur travail quotidien y trouvait le cas échéant droit de cité, mais avec bien sûr toujours cet intérêt central porté au problème, considéré comme le coeur des mathématiques.
Que souhaiter à la nouvelle feuille à problèmes ? Le plus important, me semble-t-il, c’est que tous ceux qui y collaborent y trouvent le même plaisir que nous à l’époque : nous nous sommes bien amusés, car nous étions passionnés par le problème en mathématiques, à la fois pour nous et pour nos élèves. C’est tout le malheur que je souhaite à tous les collaborateurs, assidus ou occasionnels de la nouvelle publication : amusez-vous et amusez vos élèves !

Voici Mathonaire, une version mathématique du jeu "Qui veut gagner des millions ?" : une question, quatre réponses possibles. C'est en anglais.

Les années 1836-1934 du Journal de Mathématiques Pures et Appliquées ont été numérisées par la Bibliothèque nationale de France et sont présentes dans la collection numérique Gallica. Il manque encore un volume, qui n'a pas été numérisé.

Lemme est un site dédié à la mutualisation et à l'expérimentation de l'enseignement des mathématiques.

• Pour faire profiter de vos expériences rendez-vous dans le forum à la rubrique : Questions-Réponses.
• Vous pouvez trouver des ressources dans la rubrique Docs Pédagogiques
• Une rubrique blog est réservée à des articles techniques
• La clé Lemme propose des logiciels qui tiennent tous sur une clé USB.
• Souscrivez à la newsletter pour recevoir les dernières informations.

Nous savons tous qu'un point est une figure de dimension 0; qu'une ligne droite est un objet de dimension 1; qu'une surface plane est un objet de dimension 2; qu'un volume est de dimension 3... Ceci est la dimension euclidienne ou topologique (en réalité ces deux termes ne snt pas strictement synonymes). Qu'en est-il d'un objet fractal ?
Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d'un objet.
On peut tenter une approche simplifiée. Imaginons que je veuille mesurer la limite (supposée droite) entre deux terrains, que cette longueur soit de 10 m et que je dispose d'une règle de 1 m. Il est évident que je dois l'appliquer 10 fois le long de la limite pour faire la mesure. Si ma règle fait 0,5 m je devrai la reporter 20 fois. On voit que, si je divise par n la longueur de la règle je dois multiplier par n le nombre de fois où je la reporte, ce qui donne un rapport de n/n=1.
Si la longueur à mesurer est une courbe, on comprend qu'en utilisant une règle droite reportée n fois de la même manière on n'aura qu'une valeur approximative, notablement sous-évaluée. Plus la règle sera courte, plus l'opération sera fastidieuse, mais plus le résultat sera précis. Pour une règle suffisamment (infiniment) petite, si je divise par n sa longueur, je multiplie encore par n le nombre de fois où je l'applique le long de la ligne et j'obtiendrai la longueur exacte de la courbe. Ceci donne toujours un rapport de n/n, soit 1 (c'est vrai aussi si j'écris ln n/ln n, remarque qui va nous servir bientôt).
Imaginons maintenant que je veuille recouvrir une surface avec du carrelage. S'il me faut n carreaux de 20 cm de côté, et que changeant d'avis je veuille des carreaux de 10 cm de côté, je sais qu'il ne me faudra pas 2 fois plus de carreaux, mais 4 fois plus, puisque la surface est proportionnelle au carré des dimensions linéaires.
Autrement dit n'=n². Donc ln n'/ln n=ln n²/ln n=2 et ln n²/ln n=2. Chacun sait que 2 est la dimension euclidienne ou topologique de toute surface. On voit sans difficulté que cette relation se vérifie quelle que soit la taille choisie pour les carreaux. Cette manière de calculer la dimension est appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch ou "dimension fractale". Le même raisonnement s'applique sans difficulté à la dimension 3 pour les volumes.
La dimension de Hausdorff-Besicovitch est souvent difficile à calculer, mais il existe des exemples simples. Sans entrer dans les détails on peut penser qu'un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en n'emplissant qu'une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. L'image ci-dessous montre en effet clairement que chaque fois qu'on réduit d'un facteur 3 la longueur de la règle, on multiplie par 4 le nombre de fois où l'on doit l'appliquer le long de la figure. Ceci démontre que sa dimension de Hausdorff-Besicovitch est égale à ln 4/ln 3=1,26…

Les fractales sont des objets dont la dimension de Hausdorff-Besicovitch est strictement supérieure à la dimension topologique. On trouve sur Wikipédia une liste de fractales par dimension de Hausdorff.

A lire aussi :

• Les fractales, un dossier de Futura-Sciences, dont le texte ci-dessus est extrait.
• Dimension fractale

Une courbe de Peano est une fractale. Vous voyez ci-dessous les quatre premières itérations. Quand le nombre d'itérations tend vers l'infini, cette courbe passe par chaque point du carré unité. Bien que formée d'une simple ligne, elle est de dimension 2.
Cette courbe est nommée en l'honneur de Giuseppe Peano qui fut le premier à la décrire.

A lire : Les courbes de Peano

L’employée de maison d’un mathématicien célèbre, interrogée sur l’activité de celui-ci, répondit qu’il passait son temps dans son bureau à écrire sur des bouts de papier qu’il jetait ensuite consciencieusement à la poubelle.

Alain Connes

Tout le monde sait qu'il n'y a pas de prix Nobel en mathématiques. On connaît la médaille Fields, peut-être le prix Abel, mais saviez-vous qu'il y a une vingtaine d'autres distinctions ?

Adrian J.F. Leatherland produit des images à partir des nombres premiers, afin de visualiser leur distribution. Elles sont visibles sur son site Pulchritudinous primes. Il obtient des images qui ressemblent à des images astronomiques ou à un virus. Il a aussi créé une île qu'il a nommée Primes Island.

Proofs Without Words a été numérisé et est disponible sur Google Books.

TransMaths est un blog de Mihaï Stoënescu. Sa particularité est de contenir beaucoup de vidéos réalisées par l'auteur lui-même.

Le Futoshiki est le cousin du Sudoku avec, comme lui, des règles très simples :

• Comme dans le Sudoku, il faut placer les chiffres en ligne et en colonne sans répétition.
• Dans le Futoshiki, les seules indications pour obtenir une solution unique sont les signes < (inférieur) et > (supérieur) placés entre les cases. Ces signes sont à interpréter dans le sens mathématique du terme : la valeur d’une case doit être inférieure (ou supérieure) à celle de la case voisine.

Pour jouer en ligne

• www.e-futoshiki.com
• www.dofutoshiki.com