Le blog-notes mathématique du coyote

La formule préférée du professeur
Ogawa Yōko, Rose-Marie Makino-Fayolle (trad.)
Actes Sud, 2003
246 pages

Présentation de l'éditeur
Une aide-ménagère est embauchée chez un ancien mathématicien, un homme d'une soixantaine d'années dont la carrière a été brutalement interrompue par un accident de voiture, catastrophe qui a réduit l'autonomie de sa mémoire à quatre-vingts minutes.
Chaque matin en arrivant chez lui, la jeune femme doit de nouveau se présenter — le professeur oublie son existence d'un jour à l'autre - mais c'est avec beaucoup de patience, de gentillesse et d'attention qu'elle gagne sa confiance et, à sa demande, lui présente son fils âgé de dix ans. Commence alors entre eux une magnifique relation. Le petit garçon et sa mère vont non seulement partager avec le vieil amnésique sa passion pour le base-bail, mais aussi et surtout appréhender la magie des chiffres, comprendre le véritable enjeu des mathématiques et découvrir la formule préférée du professeur...

Un subtil roman sur l'héritage et la filiation, une histoire à travers laquelle trois générations se retrouvent sous le signe d'une mémoire égarée, fugitive, à jamais offerte...

Lire un extrait - Lire le commentaire dans Le littéraire.com

Hébergé par la North Dakota State University, the Mathematics Genealogy Project cherche à rédiger une histoire de tous les mathématiciens du monde - tous ceux qui ont obtenu un doctorat en mathématiques. Les utilisateurs peuvent entrer les données (noms, universités, titre de la thèse et rapporteur), puis le système les organise en arbre généalogique, où les rapporteurs sont les "parents" et les élèves les "enfants".
Cela fournit une manière simple et utile de voir l'évolution de la discipline. Par exemple, Willard Quine (Harvard University, 1932) a étudié sous la direction d'Alfred North Whitehead (University of Cambridge, 1884), son "ancêtre". Quine lui-même a eu 19 étudiants, qui a leur tour ont eu 90 "descendants" intellectuels, etc.
Bien qu'il y ait des lacunes, particulièrement en Asie, les données sont très étendues: Gottfried Leibniz (Universität Altdorf, 1666) a maintenant plus de 31'000 descendants enregistrés, en commençant par Jacob Bernoulli.

Lors de mon séjour à Saint-Pétersbourg, j'avais fureté dans les librairies pour voir à quoi ressemblaient les livres de math en Russie. J'avais constaté qu'ils ressemblaient beaucoup aux livres européens, en tout cas les manuels scolaires destinés aux lycéens.
J'en ai quand même trouvé un très original (en russe évidemment), dont le titre est "La brillante ville de Saint-Pétersbourg dans les leçons de mathématiques". Ce livre présente les principaux monuments historiques de Saint-Pétersbourg, du point de vue architectural et historique, mais il propose en plus 187 questions mathématiques en rapport avec la ville. Par exemple, le problème 65:
"Le nombre de chambres d'apparat du Palais Menchikov s'exprime par un nombre à trois chiffres. Le chiffre des dizaines est cinq fois plus élevé que le chiffre des centaines et le chiffre des dizaines moins le chiffre des unités donne cinq. Combien y a-t-il de pièces dans le palais Menchikov ?"
Les problèmes sont accessibles dès que l'élève sait résoudre des équations. Beaucoup de questions concernent les surfaces, les volumes, les masses et introduisent la notion de rapports.
Cette idée d'englober des équations mathématiques dans un thème donné me semble très intéressante pour inscrire les problèmes dans la réalité.

- ... et donc nous obtenons x² + 3x - 7 = 0.
- Monsieur, je ne comprends pas.
- Normal, c'est une parabole!

Quelques chiffres tirés de Technorati Weblog (17 octobre 2005)

• Le nombre total de blogs double tous les 5 mois (bel exemple de croissance exponentielle).
• La blogosphère est maintenant 30 fois plus volumineuse qu'il y a 3 ans, avec aucun signe de ralentissement de la croissance.
• Environ 70'000 nouveaux blogs sont créés chaque jour.
• Presque un nouveau blog est créé chaque seconde.

Mudd Math Fun Facts est une base de données de courts sujets de mathématiques destinée à enrichir vos cours. Chaque "fait" est présenté sur une fiche sur laquelle figurent également une idée de présentation et les maths qui se cachent derrière ce fait.

Le site aMATHeur propose des centaines de jeux mathématiques et logiques, avec solution.

Flammarion a décidé de rééditer sous un nouveau titre ("Sherlock Holmes en échecs") l'excellent livre de Raymond Smullyan "Mystère sur l'échiquier avec Sherlock Holmes" précédemment édité par Dunod. Vous découvrirez au travers des petits problèmes comment SH s'est servi des échecs pour résoudre certaines énigmes (non canoniques !) et comment il finit par affronter le professeur Moriarty grâce aux 64 cases. L'originalité de ce livre réside dans le fait qu'il ne s'agit pas ici de classiques problèmes d'échecs, mais de problèmes "à rebours", ce que l'on appelle la rétro-analyse (ou analyse rétrograde). Il faut donc déterminer au travers d'une position les précédents coups qui ont été joués.
Ces problèmes sont vraiment très intéresants et beaucoup plus difficiles que les problèmes classiques, genre "mat en 3 coups". Les questions qui peuvent se poser sont, parmi bien d'autres: "qui a joué en dernier?", "le roque est-il possible?", "quel a été le dernier coup?", etc.

Exemple de problème

Ce problème n'est pas tiré du livre, mais de la page web http://fabigz.chez.tiscali.fr/CLUB/Divers/retro.htm

La partie fut tellement endiablée que les blancs, alors qu'ils s'apprêtaient à roquer, renversèrent dans leur précipitation un fou de l'adversaire hors de l'échiquier. La partie fut laissée en l'état, le temps aux joueurs de retrouver la pièce noire qui avait roulé sous une grosse armoire...

Sur quelle case reposait ce fou ?

Vous trouverez la réponse dans les commentaires de ce billet.

Caissa.net propose d'autres problèmes d'échecs à rebours.

Tout le monde connaît Google pour faire des recherches sur le web, mais saviez-vous que vous pouvez aussi utiliser Google comme calculatrice?
Par exemple, tapez 15.74/9.2+1 dans le champ de recherche, puis appuyez sur « Entrée » ou cliquez sur le bouton de recherche Google.
La plupart des fonctions disponibles sont présentées sur Wikipedia et sur Google Guide.
On peut aussi utiliser Google pour convertir des devises, par exemple, on peut taper 1 euro en CHF.

Un de mes élèves (Stéphane) :

"Monsieur, il faut absolument que je bosse ma physique maintenant, parce qu'on a une épreuve cet après-midi. Mais je vous promets que pendant la leçon suivante de physique, je ferai des maths!"

Homéomath, site d'Arnaud Saint-Martin, regroupe les notions mathématiques du collège, du lycée essentiellement, voir un peu plus loin dans certains cas. Vous trouverez également des outils de calcul en JavaScript, de nombreux documents à télécharger, des qcms, et un forum d'aide en ligne.

Le projet SEL (Statistique en ligne) propose une initiation interactive à la statistique, articulée en trois couches.

1. La couche ARTICLES propose des textes, contenant des exemples d'utilisation de la statistique.
2. La couche LEXIQUE contient un index des termes statistiques, référencés dans les articles et expliqués dans des pages séparées. Ces termes sont de trois types.
   Termes nodaux. Ce sont des parties de termes simples ou développés plus précis. Par exemple "moyenne" renvoie à "moyenne empirique", "moyenne élaguée", "moyenne mobile".
   Termes simples. Ils renvoient à une page contenant une brève définition, des liens vers les autres couches et un bouton cliquable "voir aussi" qui renvoie sur des termes proches.
   Termes développés. Ils renvoient à une page contenant le même type d'information que celle des termes simples, plus une applet illustrant le terme par une expérimentation intéractive.
3. La couche COURS est un cours de statistique au sens classique. C'est à ce cours que renvoient les boutons "plus de détails" des termes simples et développés.

Les applets illustrant les mots développés utilisent le plus souvent des données réelles. Des activités de simulation sont également disponibles.

Gnumeric est un tableur sous licence GPL développé à l’origine pour l’environnement GNOME en vogue sous Linux. Léger, donc rapide, avec une prise en main immédiate, une compatibilité totale avec les fichiers XLS produits par son célèbre concurrent Excel ou exportés d'OpenOffice ou d'autres applications. Il est gratuit...

Web: http://www.gnome.org/projects/gnumeric/
OS: Windows, Linux
Langue: Francais, anglais
Taille: 16'475 Ko
Licence: GPL

Vous voulez savoir combien de cercles vous pouvez empiler dans un carré? Demandez au programme de packomania.com!
Le site montre aussi les meilleurs empilements connus de cercles identiques dans le carré unité. Par meilleur empilement, on entend celui où le rayon des cercles est le plus grand.

Les chemins de la logique
Dossier Pour la Science No 49, octobre 2005

Tout animal est mortel ; tout homme est un animal ; donc tout homme est mortel. C’est avec des syllogismes de ce type qu’Aristote a créé la logique au IVe siècle avant notre ère : deux prémisses mènent à une conclusion par l’intermédiaire d’un terme commun (ici, l’animal).
Depuis Aristote, la logique impressionne : discipline maîtresse, elle semble devoir régir tout raisonnement correct. La phrase : « Votre argument n’est pas logique ! » n’est-elle pas susceptible de clore un débat ? Pourtant des paradoxes soulignent les limites de l’entendement logique, tel le Menteur : quand j’affirme que je mens, mon affirmation est fausse si elle est vraie, et vraie si elle est fausse… Comment en sortir ? La logique est-elle de nature à décrire le raisonnement humain tel que nous le menons quotidiennement ? Ce « Dossier Pour la science » décrit l’état des connaissances actuelles en logique. Il vous guide sur les nombreuses voies que la logique moderne a empruntées dans le but de décrire les multiples facettes du raisonnement. Vous y redécouvrirez la logique classique, pratiquée durant des siècles jusqu’au XIXe, et comment le logicien allemand Gottlob Frege lui inventa un langage formel, qui réduisit le raisonnement à un calcul. Au début du XXe siècle, mathématiciens et logiciens nourrirent l’espoir de fonder les mathématiques sur cette logique formelle. Kurt Gödel démontra alors qu’il existera toujours des énoncés impossibles à montrer ou à réfuter.
Ce résultat important n’a toutefois pas remis en cause la toute puissance de la logique. Vous assisterez au renouveau de la discipline après cette crise de croissance. De nouveaux objectifs ont été poursuivis : mieux définir les conditions de vérités d’un énoncé sans tomber dans des paradoxes ; raffermir les liens de la logique avec la morale et le droit ; reconstituer les étapes de la formation d’un savoir et de sa révision ; prendre en compte la présence de plusieurs acteurs dans une conversation ou dans des jeux ; analyser la composante psychologique de nos raisonnements ; comprendre la structure et les imprécisions du langage commun… autant d’objectifs, autant de voies à explorer par une discipline en plein développement.

Dans le No 336 de la revue Pour la Science (octobre 2005), on trouve un article intéressant sur le mathématicien norvégien Sophus Lie (pp. 70-75).

(Agence Science-Presse, 10/10/2005)

Pendant que les vrais Nobel recevaient une récompense pour des choses aussi fondamentales que les ulcères d'estomac ou la mesure par laser au milliardième de millimètre, des collègues à eux démontraient cette année encore que la science, ça peut aussi faire rire.

Pourtant, plusieurs des recherches qui méritent à leurs créateurs "l'honneur" de recevoir un Ig Nobel étaient, à l'origine, tout ce qu'il y a de sérieux. Suivant leur slogan: de la science qui "d'abord vous fait rire, ensuite vous fait réfléchir".

Ig Nobel de biologie: à l'équipe internationale qui a reniflé et catalogué les "odeurs de sécrétions" émises par 131 espèces de grenouilles stressées.

Ig Nobel de chimie: à deux chercheurs de l'Université du Minnesota qui ont démontré qu'un nageur pouvait avancer aussi vite dans le sirop que dans l'eau.

Ig Nobel de la dynamique des fluides: à l'équipe européenne qui, sous la direction de l'Allemand Victor Benno Meyer-Rochow, a calculé la pression nécessaire à une défécation réussie chez les manchots de l'Antarctique.

Ig Nobel de médecine: à Gregg Miller, du Missouri, qui a inventé des testicules artificiels de remplacement... pour les chiens! Disponibles en trois tailles.

Ig Nobel d'économie: à Gauri Nanda, étudiante au Massachusetts Institute of Technology, qui a inventé un réveil-matin opportuniste. Si on tente d'arrêter la sonnerie, il se déplace... et n'arrête pas de sonner, obligeant le propriétaire excédé à se lever.

Ig Nobel de la paix: à deux chercheurs britanniques qui, dans le but d'étudier la vision des sauterelles, les a emprisonnées dans une cage et les a obligées à regarder Star Wars.

Ig Nobel de littérature: aux auteurs de la désormais célèbre "lettre du Nigéria", cette prose qui, sous de multiples formes, envahit les boîtes de courriels depuis des années, promettant une fortune à celui ou celle qui tombera dans le panneau et enverra de l'argent. "Ces entrepreneurs de l'Internet", écrit le jury, ont permis à des millions de lecteurs "de découvrir une riche palette de personnages".

Ig Nobel de physique: à John Mainstone, de l'Université du Queensland (Australie), qui a, avec beaucoup de patience, démontré qu'un dérivé presque solide du goudron peut effectivement se comporter comme un liquide, puisqu'il forme une goutte... tous les neuf ans! Mainstone a poursuivi une expérience entamée par le défunt Thomas Parnell en... 1927!

Comme quoi les scientifiques ont le sens de l'humour, ces "Nobel pour rire" –c'était la 15e édition– sont depuis plusieurs années remis à l'Université Harvard, et plusieurs des "gagnants", dont John Mainstone venu spécialement d'Australie, étaient sur place pour recevoir leur prix. Avec le sourire.

Pour en savoir plus : The Ig Nobel Home Page

Le site Visual Calculus est très intéressant pour illustrer des problèmes d'analyse. Il contient en effet moult animations Flash ou Java ayant comme sujets les limites, les dérivées, les intégrales, les équations différentielles et les suites et séries.

L'obsédante quête du Graal des mathématiques
Article de Michel Alberganti paru dans l'édition du Monde du 14.10.2005

Les personnages se nomment Bernhard Riemann, Carl Friedrich Gauss, David Hilbert, André Weil, Andrew Wiles ou Alain Connes. L'intrigue : une énigme sur laquelle planchent tous les mathématiciens de la planète depuis quelque 150 ans. Le décor : l'univers étrange des nombres premiers, dont l'unique originalité est de n'être divisibles que par eux-mêmes et par un. L'action : une succession d'espoirs, de fausses pistes, d'échecs, de défis et d'aventures. Le livre de Marcus du Sautoy, un pavé de près de 500 pages, peut se dévorer ou se grignoter au hasard, tant il regorge de richesses scientifiques et humaines peu ou mal connues. "Je voulais écrire un roman", reconnaît l'auteur.

Une gageure. A priori, quoi de moins excitant qu'une suite de nombres ? Qui, hormis le club fermé des chercheurs en mathématiques, peut se passionner pour une série incohérente de chiffres ? Erreur. Les nombres premiers n'usurpent pas leur nom. Ils constituent "les pierres précieuses enchâssées dans l'immense étendue de l'univers infini des nombres", écrit Marcus du Sautoy. Les mathématiciens sont fascinés par ces "atomes de l'arithmétique", ce "don de la Nature". Leur découverte pourrait remonter à 6 500 ans avant J.-C., si l'on en croit les gravures de l'os d'Ishango, mis au jour en Afrique équatoriale en 1960. Mille ans avant J.-C., les Chinois s'y intéressent déjà. Pourtant, ils conservent, aujourd'hui encore, une bonne part de leur mystère.

La fascination qu'ils exercent depuis les découvertes réalisées par les Grecs s'explique simplement : "Tout nombre qui n'est pas premier peut être obtenu en multipliant les uns par les autres ces éléments fondamentaux. Pour le mathématicien, une liste de nombres premiers est comme - le tableau périodique des éléments chimiques -, où les nombres 2, 3 et 5 correspondraient à l'hydrogène, à l'hélium et au lithium (...). La maîtrise de ces éléments lui permet d'espérer découvrir de nouvelles façons d'établir un cap pour parcourir la complexe grandeur du monde mathématique."

Loi secrète

Or la liste des nombres premiers contient une énigme majeure : existe-t-il une loi secrète régissant la façon dont ils s'égrènent sur la ligne infinie des nombres ? Au cours des siècles, les mathématiciens n'ont pas débusqué la règle qui, si elle existe, leur permettrait de calculer l'énième nombre premier ? L'un des héros de la quête de ce Graal des maths est sans conteste Bernhard Riemann (1826-1866). Marcus du Sautoy cite le poisson d'avril conçu par Enrico Bombieri en 1997 pour faire croire que quelqu'un avait réussi à démontrer l'hypothèse de Riemann selon laquelle il existe bien un ordre caché dans la succession des nombres premiers. La fausse nouvelle fit l'effet d'une bombe. Une telle démonstration aurait des conséquences catastrophiques sur le monde fragile du commerce électronique. Le cryptage des données sensibles utilise, en effet, les nombres premiers, et spécialement l'impossibilité de les calculer, pour protéger les transactions financières sur Internet. Découvrir l'ordre que Riemann laisse entrevoir remettrait en question les méthodes de chiffrement les plus utilisées, telles que le système RSA. En 1900, le célèbre mathématicien David Hilbert avait inscrit l'hypothèse de Riemann en huitième position dans la liste des 23 problèmes qu'il lançait comme défi à ses pairs du XXe siècle. En mai 2000, lors de la présentation au Collège de France de sept problèmes pour le XXIe siècle, "un seul était déjà présent dans la liste d'Hilbert : l'hypothèse de Riemann". Celui qui la démontrera gagnera le million de dollars offert par l'institut Clay de Cambridge.

L'ouvrage de Marcus du Sautoy n'épargne au lecteur aucune des étapes de l'épopée des nombres premiers au cours des derniers siècles, et même bien avant, tant les racines du problème plongent au plus profond de l'histoire des mathématiques. Son style passionné n'aplanit pas totalement les cols les plus escarpés. Mais la qualité du paysage fait oublier ces passages délicats. L'épaisseur du livre doit beaucoup à ce désir d'exhaustivité, mais aussi aux élans poétiques ou romanesques. Nombre de personnages se prêtent aux envolées, tel André Weil, l'un des préférés de l'auteur, qui échappe de peu à l'exécution capitale pour espionnage en Russie avant de se retrouver en prison pour désertion en France.

La passion de Marcus du Sautoy pour son sujet anime chaque page de ce livre, vendu à 50 000 exemplaires dans les pays anglophones. Un résultat identique a été atteint dans la seule Italie, sans doute en partie grâce à une critique d'Umberto Eco parue dans L'Espresso en août 2004. La BBC a diffusé, en septembre, un documentaire d'une heure réalisé à partir de l'ouvrage. Marcus du Sautoy, chercheur à l'université d'Oxford, ne donne pas de cours. "Le livre est ma façon d'enseigner", déclare-t-il en se félicitant d'avoir choisi un thème qui "brise l'image que la recherche en mathématiques serait achevée". De fait, l'hypothèse de Riemann résiste encore à la démonstration. Ce qui prive l'ouvrage d'une apothéose finale, mais prolonge le suspense.

LA SYMPHONIE DES NOMBRES PREMIERS de Marcus du Sautoy. Traduit de l'anglais par Raymond Clarinard, éd. Héloïse d'Ormesson, 496 p., 26 €.