Le blog-notes mathématique du coyote

Intéressant article de Jean-Paul Delahaye dans Pour la Science du mois d'avril 2007.
Le problème de l’ange du mathématicien anglais John Conway est un casse-tête concernant le confinement d’un pion se déplaçant sur un échiquier. Cette énigme appartient à une catégorie de jeux inventés par David Silverman et Richard Epstein à la fin des années 1940. Voyons son énoncé. Un ange, qui occupe une case d’un échiquier infini à cases carrées, se déplace comme le roi du jeu d’échecs : d’une case vers la droite, ou vers la gauche, ou vers le haut ou vers le bas ou en diagonale. L’ange cherche à échapper au démon qui, à chaque coup, détruit une case de son choix de l’échiquier (différente de la case où l’ange est placé). Le démon commence, puis l’ange et le démon jouent à tour de rôle. Le but du démon est de coincer l’ange, c’est-à-dire de l’emprisonner au centre de huit cases détruites. Le but de l’ange est d’échapper indéfiniment au démon. Aucun élément de hasard n’étant présent dans le jeu, l’un des deux joueurs possède une méthode lui assurant de gagner : ou l’ange est confiné ou il ne l’est pas. Lequel des deux gagne et comment doit-il procéder ?

A lire :

• The Angel Problem, par John H. Conway
• The Angel Problem, par Oddvar Kloster
• The angel game in the plane, par Brian H. Bowditch
• The Angel of power 2 wins, par Andras Mathé

Présentation de l'éditeur
Comment montrer à partir des mêmes chiffres que les ouvriers gagnent plus et moins que les cadres ?
Comment les agriculteurs peuvent-ils consommer davantage de pommes de terre que les autres partout en France, mais en consommer moins que les autres en moyenne ?
Pourquoi les bus en bas de chez vous sont-ils systématiquement bondés alors qu'il y a statistiquement un tas de places vides ?
L'intelligence existe-t-elle, et pourquoi les chercheurs n'arrivent-ils pas à se mettre d'accord sur la question ?
Pourquoi certains sondages d'opinion, apparemment parlants, ne disent au fond rien sur les futurs résultats des élections ?
Comment les statistiques peuvent-elles démontrer que le carton est cancérigène ?
Bref : peut-on tout faire dire aux chiffres, et si oui comment ?
C'est à ces questions que répond Statistiques, méfiez-vous !. Evoquant de nombreux pièges, les multiples possibilités de manipulation régulièrement utilisées (sciemment ou non) par les acteurs des médias, depuis les chausse-trapes des statistiques les plus élémentaires jusqu'aux panneaux raffinés des statistiques multivariées en passant par les entourloupes de la statistique inférentielle, cet essai souhaite mettre en garde le lecteur qu'on essaie trop souvent de duper par l'autorité du chiffre.

Statistiques : Méfiez-vous ! (Broché)
de Nicolas Gauvrit
Ellipses (février 2007)
204 pages

L. A. V. Carvalho a publié un article, intitulé "On some contradictory computation in multi-dimensional analysis", publié dans Nonlinear Analysis. Cet article prétend prouver les choses suivantes : "les mathématiques multi-variables sont contradictoires avec l'arithmétique", "une rotation d'angle qui n'est pas un multiple entier de pi/2 est contradictoire avec l'arithmétique", "la théorie des nombres complexes est contradictoire", et enfin "les transformations de Lorentz sont contradictoires, sauf si la vitesse est nulle". Outre les curiosités de langage comme "mathématiques multi-variables", ce papier proclame finalement, et en toute modestie, que les mathématiques et la physique post-newtonienne, soit une partie substantielle de tout le savoir humain, sont absurdes. Il s'avère que ces nouvelles fantastiques sont le fruit d'une erreur grotesque...
Il y a évidemment de quoi rire et croire à un poisson d'avril. Il ne semble pourtant pas que ce soit le cas, ou alors celui-ci est préparé de longue date (l'article est paru en 2005). Quoi qu'il en soit une chose est certaine, l'article est paru dans une revue sérieuse, et en belle et nombreuse compagnie puisque le numéro en question de Nonlinear Analysis est consacré aux actes du 4e congrès mondial des analystes non-linéaires. En fait on tient là un début d'explication. Pour ce genre d'événement de nombreux chercheurs, en particulier des jeunes, soumettent leur papier en espérant avoir l'honneur d'une présentation orale de quelques minutes, ou plus modestement d'un poster affiché dans le hall. Les organisateurs, débordés de demandes, n'ont pas le temps nécessaire pour vérifier la solidité de tous ces articles. Le papier de L.A.V. Carvalho semble prouver qu'ils n'ont même pas le temps de les lire en diagonale. Il est cependant étonnant que l'article ait été publié par la suite avec les autres, compte tenu de l'énormité de ce qu'il affirme et qui n'est même pas caché derrière un jargon impénétrable. Cela pourrait signaler, comme j'en suis d'ailleurs persuadé, qu'il ne s'agit donc que de la partie émergée de l'iceberg...

Extrait du blog Mathéphysique (30 mars 2007)

Winplot est un traceur de courbes en deux et trois dimensions très puissant et complet pour Windows. Il permet l'étude des familles de courbes, accepte les équations cartésiennes, polaires, paramétriques ou implicites. Le programme génère des surfaces de révolution très facilement. Il est de plus doté de quelques capacités numériques. Enfin, Winplot est libre et gratuit. De plus, une version française de Winplot est maintenant disponible sur le site de l'auteur du logiciel.

A voir : le test sur ac-poitiers.fr

Le site Maths et Calculs d'Olivier Rochoir propose des informations sur les mathématiciens célèbres qui ont leur effigie sur des timbres, des descriptions de machines à calculer (au sens large du terme), quelques sujets à traiter en classe et chaque mois un nouveau problème.

Depuis les années 1990, les annonceurs exploitent l'aire de jeu de certains sports comme espace publicitaire. Le procédé est apparu aux États-Unis dans le cadre de sports utilisant des surfaces synthétiques (ex. : football américain) ou du parquet (ex. : basket-ball). Cette pratique a été transposée en Europe sur des sports utilisant des terrains gazonnés, en particulier au rugby mais l'angle de prise de vue rasant des caméras retransmettant les matchs à la télévision déformait les logotypes et les faisait apparaître très allongés. Des anamorphoses ont donc été appliquées aux visuels des annonceurs de façon à s'afficher à l'écran de manière conforme à l'apparence d'origine du logotype.
Voici un exemple plus original, un dessous de bière qui permet de lire le texte "redressé" sur le verre:

Ken Stephenson, professeur de mathématiques à l'université du Tennessee, a écrit un livre sur les empliements de cercles : Introduction to Circle Packing: the Theory of Discrete Analytic functions. On peut trouver sur son site les images du livre et quelques articles sur ce sujet.

LE PETIT VERT est le bulletin de la régionale Lorraine A.P.M.E.P.
Né en 1985, il complète les publications nationales que sont le bulletin (le 'Gros' Vert), PLOT et le BGV. Il paraît quatre fois dans l’année (mars, juin, septembre et décembre).
Son but est d’une part d’informer les adhérents lorrains sur l’action de la Régionale et sur la "vie mathématique" locale, et d’autre part de permettre les échanges entre les adhérents.
On y trouve un éditorial (rédigé par un membre du Comité) et diverses annonces, les rubriques "problèmes", "dans la classe" et "maths et médias", et parfois une "étude mathématique". Il est alimenté par les contributions des uns et des autres, et chacun d’entre vous peut y écrire un article.

Le photographe japonais Hiroshi Sugimoto a réalisé pour le New York Times une série de photos intitulée "Formes mathématiques". Les objets eux-mêmes ont un pied de haut pour le plus grand, mais ils paraissent monumentaux.

Roger B. Nelsen est un spécialiste des preuves sans mots. Il a d'ailleurs écrit deux ouvrages sur le sujet. Il met à disposition sur son site ses articles récents, dont plusieurs preuves sans mots.
Ces preuves peuvent s'utiliser en classe. On en trouve régulièrement dans Mathematics Magazine.
On trouve sur le site d'Angel Plaza de la Hoz une superbe version animée d'une preuve sans mots à propos des sommes alternées de carrés de nombres impairs.

Moi : "On peut calculer la probabilité d'attraper une maladie comme l'ébola."
Une élève : "C'est quoi l'ébola ?"
Un autre : "Des champignons..."

Vous trouverez sur le site d'André Ross des présentations Power Point sur l'histoire des mathématiques et des sciences ainsi que des documents PDF (Acrobat reader 4) sur les mêmes sujets.

Voici un petit jeu assez ancien, un casse-tête tout bête. Le genre de problème qui prend 2 minutes ou des heures...
Le principe est simple: vous lancez les dés, et vous devez alors deviner, en fonction du tirage, le nombre de pétales autour d'une rose imaginaire.

L'image ci-contre est de Sandro Del Prete. Comme toujours avec Del Prete, ce n'est pas une simple rose. Regardez bien!

Plusieurs collègues m'ont demandé comment changer de barême, car les notes étaient trop basses, tout en conservant certaines caractéristiques (on ne peut pas dépasser la note maximale par exemple). J'ai trouvé sur le web une page qui explique comment faire, mais pour le système français (notes de 0 à 20, moyenne 12). Voici comment faire avec le système suisse (notes de 1 à 6, moyenne 4).

Ce dont nous avons besoin, c'est une fonction qui :

• ne change pas les 1 ;
• ne change pas les 6 ;
• change les 3 en 4 ;
• respecte l'ordre des notes (si Anselme a plus que Barnabé, cela doit être maintenu après transformation) ;
• détermine sans ambiguïté ce que deviennent les autres notes, c'est-à-dire que la fonction doit être parfaitement déterminée sur base des informations précédentes.

Cela est possible si l'on impose à la fonction d'être une projectivité, c'est-à-dire de respecter le birapport : étant donné 4 nombres a, b, c, d et leurs images a', b', c', d', il faut que


Nous poserons c = c' = 1, d = d' = 6. Soit a la médiane obtenue et a' la médiane désirée (la médiane est la note du milieu si l'on classe les notes par ordre croissant). Soit b la note d'un élève "avant la magouille" et b' la note après. Soit k la valeur (a-1)(b-6)(a'-6)/(a-6)(b-1)(a'-1). Alors b' = (6-k)/(1-k).

Prenons un exemple. Supposons que la médiane a est 3 et que l'on souhaite une médiane a' de 4. Alors k=(24-4b)/(9-9b). Après quelques calculs, on trouve que b' = (10b-6)/(b+3). Que deviennent les notes ? 1 reste 1, 2 devient 2.8, 3 devient 4, 4 devient 4.85, 5 devient 5.5 et 6 reste 6.

Hier, en classe, je posais la fameuse question sur le paradoxe des anniversaires :
"Combien, à votre avis, faut-il mettre de personnes dans une salle pour qu'on ait une probabilité de 1/2 qu'au moins deux de ces personnes soient nées le même jour ?"
Parmi les nombreuses réponses (183, 100, 300), un élève me dit :
"366/365"
"Ah", lui dis-je, "donc environ 1 ?"
Il prend sa calculatrice : "Attendez je vérifie ! Oui, c'est cela !"
"Donc", repris-je, "il suffit d'une personne pour qu'on ait 1 chance sur 2 qu'au moins deux soient nées le même jour ?!"
"Ben oui..."

Plane graphic calculator est une applet java permettant de manipuler des vecteurs dans le plan, mais aussi des cercles, des droites, des fonctions et d'autres figures géométriques.

… Monsieur Fourier avait l'opinion que le but principal des mathématiques était l'utilité publique et l'explication des phénomènes naturels. Un philosophe tel que lui aurait dû savoir que le but unique de la Science, c'est l'honneur de l'esprit humain et que, sous ce titre, une question de nombres vaut bien une question de système du monde.

Gustav Jacobi