Le blog-notes mathématique du coyote

Un intéressant article sur la confection et l'usage des QCM en math dans le bulletin 462 de l'APMEP (janvier-février 2006), pp. 11-30. Je suis justement en train d'en réaliser pour aider mes élèves à s'auto-évaluer en ligne avant les épreuves.

Lors d'une leçon sur les paraboles:
Moi : "De la même façon que par deux points on peut toujours faire passer une droite, par trois points non alignés, on peut toujours faire passer..."
Visar, m'interrompant : "... un triangle !".

La fin des certitudes en mathématiques ?
Par Salvatore Tummarello, Futura-Sciences, le 21/02/2006 à 16h21

Les preuves de certains théorèmes mathématiques sont-elles si compliquées qu'il serait impossible de vérifier leur validité ?

Une démonstration d'un énoncé mathématique doit respecter un ensemble de règles logiques : cette rigueur est garante de la validité de cet énoncé. Or certains experts dont Keith Devlin affirment cependant que certaines démonstrations sont désormais impossibles à vérifier avec certitude : "I think that we're now inescapably in an age where the large statements of mathematics are so complex that we may never know for sure whether they're true or false" ("Je pense que nous sommes désormais dans une ère où les grands théorèmes en mathématiques sont si complexes que nous ne pourrons jamais savoir avec certitude s'ils sont vrais ou faux"). Cette opinion a de quoi choquer : retour sur les raisons qui peuvent motiver un tel constat.

La classification des groupes simples finis

Au terme d'un travail de près de trente ans, un groupe de mathématiciens donne en 1983 la classification définitive des groupes simples finis (incluant les 26 groupes sporadiques, voir notre dossier sur la classification des groupes ). L'aboutissement de ce programme titanesque représente des milliers de pages : on conçoit aisément l'ampleur de la tâche que serait la vérification pas à pas de toutes les étapes de la preuve ! Est-ce à dire selon Keith Devlin que nous ne pourrions jamais avoir la certitude de la validité du théorème ?
Non, car les travaux ne se sont pas arrêtés en 1983 ! L'éminent mathématicien Jean-Pierre Serre fut l'un des premiers à émettre des doutes quant à la rigueur de la justification, la possibilité pour qu'un tel ouvrage contienne des erreurs n'étant évidemment pas à écarter. Des lacunes furent tôt mises en évidence et débuta le travail de les combler, qui fut achevé dans les années 90. De plus sous l'impulsion de Daniel Gorenstein, une révision et une simplification de la preuve fut mise en oeuvre, culminant avec l'édition en 2005 de six volumes consacrés à la classification des groupes simples finis.

Le théorème des quatre couleurs

En 1852, Francis Guthrie constate qu'il suffit de quatre couleurs pour colorier la carte (pourtant compliquée) des cantons d'Angleterre. Il pose alors la question à son frère mathématicien de savoir si ce fait est valable pour toute carte plane : la conjecture des quatre couleurs est née. Un an après sa publication en 1878 par Cayley, Kempe propose une preuve qui sera réfutée seulement en 1890 par Heawood. A cette occasion, ce dernier publie une démonstration valable, mais pour cinq couleurs.
Suite aux avancées majeurs de Heesch en 1969, le théorème sera finalement démontré en 1976 par Appel, Haken et... un ordinateur ! En fait, le programme de Heesch aboutissait à un grand nombre de configurations à examiner au cas par cas : cette tâche inenvisageable à la main pouvant s'effectuer de façon mécanique à l'aide de l'informatique, Appel et Haken ont pu démontrer après 1200 heures de calculs, figures à l'appui, le théorème des quatre couleurs.

La conjecture de Képler

Comment empiler des sphères en perdant le moins d'espace possible ? Comme le suggère l'intuition, il suffit de procéder comme l'épicier sur son étalage. Mais cette question apparemment élémentaire est un formidable casse-tête pour les mathématiciens ! Cette conjecture semble désormais être un théorème. Pourquoi ne l'est-elle pas ? Car les vérifications ne sont pas encore finies... après des années de relecture par un comité constitué de douze personnes.
La démonstration soumise par Thomas Hales en 1998 comprend en effet un article de 250 pages mais aussi un vaste programme informatique. L'analyse étant particulièrement longue et difficile, à défaut d'avoir pu terminer cette dernière, les relecteurs ont affirmé que la preuve est correcte "à 99%". S'agit-il d'un théorème ? Si la tentation est grande de céder à l'optimisme, l'avenir seul en apportera la certitude.

Conclusion

Keith Devlin voit d'un bon oeil cette faiblesse des mathématiques et trouve que cela les rend plus humaines ("It makes it more human"). Pourtant l'histoire fourmille de démonstrations qui furent soit invalidées, soit complétées pour les rendre rigoureuses : nous avons vu le cas de la fausse démonstration de Kempe. On pourrait également citer parmi les plus célèbres la démonstration de la loi de réciprocité quadratique par Legendre, la tentative de d'Alembert au sujet du théorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) ou encore les nombreuses fausses démonstrations du cinquième postulat d'Euclide. Les mathématiques, comme les autres sciences, sont élaborées par des hommes...
Au-delà de ces évidences, la difficulté de vérifier les démonstrations modernes invite à considérer le problème d'un point de vue qualitatif. Car un théorème peut souvent être démontré de plusieurs manières différentes : Tchebichev déploya par exemple une lourde machinerie pour montrer un résultat que Erdös parvint avec beaucoup d'habilité à résumer à de l'arithmétique élémentaire. De manière plus terre à terre, on peut constater qu'il existe des manières plus élégantes de calculer la somme des entiers de 1 à 100 que d'additionner péniblement les cent nombres.
Erdös précisait qu'une démonstration devait expliquer le pourquoi du théorème. Ce n'est pas le cas de la démonstration du théorème des quatre couleurs, pourtant irréprochable sur le plan logique. Toutes les démonstrations ne sont donc pas égales du point de vue qualitatif et il est très probable que les générations suivantes remplaceront les longues démonstrations actuelles par quelques lignes à l'aide de concepts nouveaux.
Affinant notre connaissance et engendrant des questions nouvelles, l'originalité et la fécondité des idées mises en jeu dans les démonstrations demeurent donc la clé de voûte des mathématiques : ce sont elles qui font dire aux amateurs et experts que les mathématiques sont belles.

Roumanie : une revue de mathématiques unique au monde

Bucarest, 20 fév. - L’édition électronique de Gazeta Matematica /la Gazette des Mathématiques/ a enregistré, trois mois après son lancement, plus de 2 000 ventes de la collection complète, étant considérée par les spécialistes comme un produit unique au monde par la valeur de son contenu et la réalisation technique, écrit le quotidien Romania libera. Selon le journal, ont été mis en format électronique plus de 80 000 problèmes et articles mathématiques parus dans la revue, couvrant plus d’un siècle d’existence de la revue d’éducation mathématique la plus ancienne et réputée de Roumanie.
"Avant de démarrer le projet, dans le pays il y avait moins de 10 collections quasicomplètes de la revue, affectées par le temps et inaccessibles au public", a affirmé pr Mircea Trifu, secrétaire général de la Société des Sciences mathématiques de Roumanie, cité par Romania libera.
Selon pr Trifu, "nous avons réalisé par cette initiative un premier pas important dans le retour de la Gazette à la place due parmi les valeurs roumaines authentiques".
Le premier numéro de Gazeta Matematica date du 15 septembre 1895 et a été publiée onze décennies sans interruption, même dans l’entre-deux-guerres, représentant "une véritable école pour de nombreuses générations de jeunes passionnés, mais aussi pour bien des élèves primés aux olympiades de math".
Avant 1990, la revue paraissait dans plus de 120 000 exemplaires, mais les derniers temps le tirage a chuté à 10 000 exemplaires.
Gazeta Matematica en format électronique a été lancée par la Société des Sciences mathématiques, en partenariat avec la société Softwin, à l’occasion du 110e anniversaire de la parution de la revue.

Source : Roumanie.com

Vous souvenez-vous de l'histoire des moutons de Panurge ? Un seul mouton saute à l'eau et c'est l'ensemble du troupeau qui se noie. Il se pourrait bien que les amateurs de musiques choisissent leurs idoles de la même façon. La Star Academy nous l'avait déjà montré, mais aujourd'hui l'Université de Columbia nous le prouve.
Les chercheurs de Columbia ont créé un test grandeur nature, plus de 14.000 auditeurs. Ils ont créé un catalogue de chansons pop. Les titres et interprètes des ces morceaux étaient complètement inconnus.
Ce catalogue a été soumis à plusieurs groupes de personnes. Le premier groupe devait noter les morceaux sans pour autant communiquer leurs impressions. Cette référence a permis de se donner une idée de la qualité des morceaux sans "effet de groupe".
Puis, l'expérience a consisté à créer 8 groupes. Dans chacun d'entre eux, les auditeurs avaient la possibilité de connaître le nombre de téléchargement du morceau. Le morceau le plus populaire est différent dans chaque groupe. Mais le plus probant est que les chansons élues sont celles qui faisaient partie des plus téléchargées.
En effet, plus une chanson était écoutée, plus les testeurs suivants pensaient qu'elle en valait la peine. Une espèce d'effet boule de neige, qui peut propulser une chanson au devant de la scène sans référence à sa qualité.
En fait, l'offre de musique est trop importante pour que le public en écoute l'intégralité. C'est donc tout simplement le filtre de la popularité qui attire les auditeurs.

Participer au MusicLab : MusicLab à Columbia
Sources : LiveScience.com, Sur la Toile

Edugraphe est un éditeur de graphes écrit en java, convivial et simple d’utilisation. Il est particulièrement adapté aux programmes de mathématiques du secondaire et permet de créer des applets java directement exploitables en cours.

Les principales caractéristiques d’Edugraphe sont :

• Création de courbes définies par y=f(x) ;
• Création de courbes par la méthode d’Euler (programmes de première et terminale S) ;
• Possibilités d’ajouter des points et des droites quelconques sur le graphique ;
• Création automatique d’une tangente à une courbe (il suffit de préciser le point) ;
• Représentation des suites définies par un+1=f(un), un=f(n) ou un+1=f(un,n) ;
• Représentation graphique et calcul de la valeur approchée de l’aire d’un domaine défini par une courbe (méthodes disponibles : rectangles, trapèzes, point médian et Simpson) ;
• Illustration graphique et calcul de la valeur approchée d’une solution d’une équation de la forme f(x)=y ;
• Chaque élément graphique peut-être rédéfini par un simple clic ;
• Possibilité de zoomer et d’ajouter un quadrillage ;
• Un texte (avec ou sans formules mathématiques) peut-être associé à chaque élément graphique ;
• Le graphique peut être exporté sous la forme d’une image (format png ou eps pour LaTeX) et imprimé ;
• Le graphique peut aussi être enregistré sous la forme d’une applet java incluse dans une page web : un simple navigateur suffit alors à réafficher le graphique avec uniquement les éléments désirés.

JavaSlide est une applet java qui simule une antique règle à calcul.

Le boulier est un instrument de calcul très ancien qui a été utilisé dans toutes les régions du monde. Actuellement, on le rencontre encore en Asie (Chine et Japon principalement) et même en Europe de l'est, où il constitue toujours une méthode de calcul très courante, notamment sur les marchés.
L'objectif de ce wikibook n'est pas de présenter l'histoire du boulier mais son utilisation : vous y trouverez une initiation au boulier en 10 leçons. Ce cours est dans sa première partie inspiré du livre Le Boulier - Initiation de Jean Cumin et Jean Hossenlopp.
Il existe plusieurs méthodes pour utiliser un boulier. Les méthodes présentées sont un mélange de méthodes personnelles et de méthodes très classiques et souvent japonaises (les méthodes japonaises sont réputées plus efficaces).

Dmaths est destiné à tous ceux qui utilisent régulièrement l'éditeur d'équation de OpenOffice.org ou StarOffice, en particulier les professeurs de mathématiques.
Ce logiciel libre (sous licence GPL) fonctionne sous Linux et Windows. Il est en cours de développement. Il est disponible en français, anglais et allemand (guide d'installation et mode d'emploi compris).

BBgraf : un environnement pour le dessin mathématique. On trouve sur ce site des outils et des données libres (GNU General Public License) pour la production et l'édition d'images à tendance mathématique ou chimique (formats PostScript, jpeg et pdf). On y trouve aussi des papiers quadrillés, millimétrés, semi-logarithmiques, etc., directement imprimables pour des feuilles format A4. Et il y a encore d'autres surprises à découvrir d'urgence sur ce site très riche de Jean-Paul Vignault.

MusiNum est un programme gratuit de sonorisation écrit par Lars Kindermann qui transforme les nombres en musique fractale. Tout le monde peut créer une musique en quelques minutes. Intéressant pour les mathématiciens et les amateurs de musique. Les concepts des fractales, l'auto-similarité et de nouvelles sortes de symétries sont maintenant audibles.

Y a-t-il une courbe mathématique qui ressemble à un coeur? La réponse est oui. Il y en a même plusieurs:

Sources: Heart Curves - MathWorld

Et si vous voulez en savoir plus sur les différentes techniques pour dessiner un coeur (ça peut être utile aujourd'hui ), la page Heart Curve du site Mathematische Basteleien vous comblera.

Adolescents dévorés par la passion du blog
Par Sophie Balbo
Une version de cet article est parue dans le magazine L'Hebdo du jeudi 4 août 2005.

Des millions de jeunes se racontent sur internet. Parmi eux, de nombreux Romands y consacrent parfois tout leur temps libre. Témoignages.
«J'ai créé un blog pour que mes amis puissent découvrir tous les aspects de ma personnalité.»
Alex, collégien genevois de 16 ans, est un des 2,5 millions de jeunes francophones à avoir créé un skyblog. Ces journaux intimes, à la fois publics et interactifs, ont pris une place considérable dans la vie quotidienne des adolescents: ils n'hésitent pas à y passer plusieurs heures par jour, que ce soit pour les actualiser ou pour répondre aux commentaires qu'ils reçoivent.
Ils ont pour la plupart entre 13 et 16 ans, ils sont en pleine période de remise en question et ont besoin de partager leurs expériences, souvent en image. Dans ce but, ils créent des blogs (abréviation de weblog), autrement dit des pages personnelles sur internet, faciles à mettre à jour.
Les jeunes francophones utilisent le plus souvent la plate-forme de la radio française Skyrock, l'une des premières à avoir offert l'opportunité à tout un chacun de créer ce qu'elle appelle des skyblogs. Le site accueille plusieurs milliers de nouveaux blogueurs par jour, dont de nombreux Romands.
Poésie, sport, chagrins d'amour ou dernière paire de baskets achetée: les blogueurs parlent de tout. Sarah, Genevoise de 10 ans, a créé son skyblog en février, après avoir reçu un appareil photo numérique pour son anniversaire: «Je voulais pouvoir faire comme mes copines, confie-t-elle. Il y a des photos de moi, de mes amies, de ma famille, de ma chambre, de mon école, et je viens de mettre l'image de mon nouveau sac.»
S'il parle beaucoup de sa petite personne, il arrive tout de même que l'internaute dédie son blog à un individu qu'il admire, ou à une passion. On en trouve ainsi qui sont dédiés aux «plu bo mecs de la ter». L'un des plus populaires, «Lavachette33», contient uniquement des photos de vaches et de pis, qui invitent à poster des remarques inspirées.
Les blogueurs sont essentiellement motivés par les commentaires, qu'ils peuvent recevoir à tout moment et qui s'affichent à l'écran du plus récent au plus ancien. Karin Collaud, de Lausanne, se connecte une ou deux fois par jour sur son blog pour lire les nouveaux messages qui lui sont arrivés. «J'aime recevoir l'avis des personnes qui lisent mes poèmes», explique également Julie Matthey, collégienne genevoise de 16 ans.
Le blog est donc symptomatique du besoin qu'ont les jeunes de partager leur monde et de se libérer. Alex utilise le sien pour parler de son homosexualité. «C'est bien plus facile de l'exprimer ainsi, plutôt que de hurler dans la rue: "Je suis gay!", confie-t-il. Mes amis, à qui je donne mon adresse, le savent, et cela nous permet d'aborder le sujet librement.»
«Ces confidences publiques sont liées au besoin des jeunes de quitter le cercle familial et d'étendre le cercle d'intimité aux copains», explique Christophe Ginisty, directeur de PointBlog à Paris, un magazine en ligne dédié à la blogosphère. Dans ce sens, les blogs sont souvent compris comme une extension du journal intime.
Pour preuve, une étude menée en janvier 2004 par le Massachusetts Institute of Technology. Elle indique que 18% des blogueurs jugent que ce qu'ils publient est «très» ou «extrêmement privé», au sens personnel et confidentiel.
La Genevoise Emily Turrettini, pionnière des blogs et co-auteure de Blog Story*, y voit le signe d'une disparition progressive de l'intimité: «Les blogs contribuent à faire sauter les derniers verrous qui séparaient encore privé et public, personnel et collectif, intime et publiable.»
Cette nouvelle forme de sociabilité et d'exhibitionnisme s'accompagne pourtant d'un paradoxe: les blogueurs prennent des pseudonymes et tiennent à cacher leur identité. «Ils veulent exclure des blogs leurs parents et autres adultes», précise Christophe Ginisty. Ainsi, ils ne se dévoilent qu'à leurs amis - à qui ils donnent leur adresse - et aux inconnus.
«Pour les jeunes qui sont en pleine période de questionnements identitaires, ces pages deviennent une plate-forme d'expression qui leur permet de prendre racine dans un environnement, de s'affirmer et de se lâcher», explique Christophe Ginisty. Il s'agit, selon l'expert, d'un phénomène sain, qui permet aux adolescents de s'ouvrir aux autres, de dire ce qu'ils ont sur le coeur, de se sentir compris, sans pourtant être coupés d'une vie sociale, puisqu'ils s'en servent justement pour alimenter leur blog.
Sur lequel ils passent un temps considérable. La jeune Sarah y consacre deux heures par jour en période scolaire. Ce qui, d'après Christophe Ginisty, la situe dans la moyenne. Inquiétant? Pas pour sa mère, qui estime qu'il s'agit d'un «passe-temps comme un autre».
Ce n'est pas l'avis de la plupart des adultes. Sans parler de la pauvreté de l'orthographe, Emily Turrettini - qui édite des blogs sur la téléphonie mobile et qui est mère d'un jeune blogueur - y voit un danger dans la mesure où les adolescents s'exposent sans protection aucune à la critique, parfois virulente.
Les insultes fusent dans la blogosphère: «Il est nul ton blog», ou «T'as vu ta gueule, t'es trop moche» sont récurrents. «Il s'agit d'un nouveau média pour les ados, explique Emily Turrettini. Ils ne se rendent pas encore compte de l'impact de leurs remarques destructrices; ils n'oseraient d'ailleurs jamais les faire en face.»
Les proches qui figurent dans un blog à leur insu n'apprécient pas toujours la plaisanterie. Il arrive que des photos de profs avec commentaires dénigrants soient publiées, ce qui a contraint des établissements français à interdire les blogueurs.
'intimité de l'entourage peut aussi être violée. Aux Etats-Unis, une baby-sitter a été renvoyée suite aux propos qu'elle a tenus dans son blog sur les enfants de ses employeurs et sur ses déboires.
On a également reproché à Karin Collaud, de Lausanne, de «trop s'exhiber». Pourtant, son blog est dans la «norme»: il contient 145 pages illustrées de photos prises en famille ou en soirée. Alors que cette jeune femme de 25 ans a la maturité suffisante pour ne pas faire cas de ce genre de remarques, d'autres blogueurs craquent: «J'arèt ce blog, peut-on lire sur la page d'une internaute. J'en ai eu mar car la plupart des comenter sont des critique envers moi!!! comen pouvé vous me jujé alor ke vou ne me conécé méme pa???»
Emily Turrettini constate pourtant que le désir de notoriété est souvent le plus fort: «Cela fait cool de dire qu'on a un blog. On vit dans une société de spectacle, de confessions publiques, qui peut influencer les jeunes.» Et les tabous tombent, comme pour Julien Zehnder, 23 ans, auteur genevois de trois skyblogs: «Je n'ai pas de limites, c'est une manière de faire savoir ce que je ressens à mes proches.»
Les premiers blogs accessibles sont nés en 1999. «Ils ont pris de l'ampleur après les attentats du 11 Septembre, explique Emily Turrettini. Le public a commencé à chercher un autre outil pour s'informer.» Depuis, ils sont devenus de véritables vecteurs médiatiques et politiques. Simples à créer, ils ont commencé à s'immiscer dans la vie des ados et particulièrement des filles (60%) depuis 2003, notamment grâce à Skyrock.
Mais si l'on en croit Christophe Ginistry, la durée de vie des blogs d'ado ne dépasse que rarement une année. Car le besoin de partager son intimité est passager. «Une fois que le blog a permis au jeune de donner davantage d'importance à sa vie, il tend à passer à autre chose», remarque l'expert. Le nombre de blogueurs devrait donc se stabiliser à 3 millions d'ici à une année.

J'ai vu cette semaine sur "Planète" un reportage intéressant sur les "Crop Circles" (les "cercles du culture", ou d'agroglyphes en français). La beauté toute mathématique de ces dessins dans les champs m'a impressionné, surtout quand on sait qu'ils peuvent mesurer plus de cent mètres de long.

Stonehenge, Juillet 1996
Les illuminés pensent qu'ils ont été créés par les extra-terrestres. En fait, ils sont évidemment faits par des artistes bien de ce monde, traqués à la fois par les paysans dont ils saccagent les cultures et les illuminés qui les accusent de saboter les messages envoyés par les extra-terrestres. On voyait d'ailleurs dans le reportage une équipe en action, qui a créé un dessin en moins de cinq heures.


Ce reportage, "Cercles dans les blés", de Kirk Kirkland (2004) sera rediffusé sur Planète jeudi 16 février à 17h10.

A voir un site où on ne parle pas d'extra-terrestres: Crop Circles

Une petite carte sympathique que m'a envoyée ma chérie.

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