Le blog-notes mathématique du coyote

Une première preuve rigoureuse du Théorème de Pythagore :

Et une illustration pas rigoureuse du tout, mais plus facile à comprendre (même si les explications sont en russe) :

Voici l'équation de Gabriel Taubin pour un coeur algébrique en 3 dimensions :

(x² + (1.5)²y² + z² – 1)³ – x²z³ – (1.5)²/20 y²z³ = 0 ; x, y, z sont compris dans l'intervalle [-3 ; 3]

CultureMATH a mis en ligne un dossier sur les géomètres de la Grèce antique composé d'une série de dix articles, à partir desquels a été réalisé le numéro 21 des Génies de la Science paru en novembre 2004. Les articles seront mis en ligne progressivement, au rythme d'un article tous les deux mois environ.
La version proposée par CultureMATH est un peu différente de celle des Génies de la Science: l'iconographie est plus réduite, la mise en page est plus sobre, mais les textes sont, sur certains points, plus complets et les outils pour l'enseignement sont plus développés (bibliographie, chronologie, liste des sources, démonstrations mathématiques).

MathemaTeX est un forum francophone relatif aux Mathématiques avec support LaTeX. Personnellement, je ne suis vraiment pas fan de LaTex, mais je devrai sûrement m'y mettre prochainement. Le fait de devoir compiler le texte avant de voir le résultat me propulse des années en arrière. Il faut cenpendant reconnaître que le résultat est très bon et que ce logiciel est devenu un standard pour la publication.

Inspiré des oeuvres d'Escher et de Vasarely, le travail de Dominique Ribault s'appuie sur des théories mathématiques alliant la topologie à la théorie des groupes. Son site www.polytess.info est consacré aux pavages réguliers du plan ainsi qu’à de nombreuses applications aux polygones, spirales logarithmiques, cylindres, sphères, tores et nœuds.

Remarque
La classification algébrique donne 17 groupes de pavages. La classification topologique donne 19 familles car les groupes PG et PGG donnent chacun 2 types de pavés. Concrètement, avec les 2 pavés de type PG, on ne transformera pas par déformation continue le chameau en femme (de même pour le groupe PGG avec la femme et le zèbre).
Introduction à cette classification sur http://xavier.hubaut.info/coursmath/doc/pavages.htm

Mon séjour en camp de ski m'a finalement été profitable (même si je déteste ces camps) puisque j'ai (re)découvert dans un magasin de jouets un ancien jeu de 1982 : pente. Les règles sont simplissimes et pourtant les parties sont passionnantes. On peut y jouer sur un plateau de go. Il s'agit d'aligner 5 pions de sa couleur ou de capturer 5 paires de pions adverses en les prenant en tenaille. De plus, la version 2006 du jeu ajoute 4 pierres "mixtes", qui peuvent être considérées comme ayant les deux couleurs à la fois, ce qui change complètement la stratégie.

Pour en savoir plus

• Les règles du jeu
• Un site en anglais pour jouer en ligne

On dispose de 100 cartes. Sur chacune sont écrites deux entiers consécutifs, de sorte que chacun des entiers 1, 2, 3, ..., 199, 200 est écrit sur une et une seule carte.

1. Alice a choisi 21 cartes au hasard. Elle fait la somme de tous les entiers écrits sur ces cartes et annonce à Bob que cette somme est égale à 2004. Prouver qu'Alice s'est trompée dans son calcul.
2. Alice recompte et annonce 2005. Prouver qu'elle s'est à nouveau trompée dans son calcul.
3. En fait, le total d'Alice est 2003. Pendant ce temps, Bob a choisi 20 cartes au hasard parmi celles qui restaient. Il fait la somme des nombres écrits sur ses cartes et annonce à Alice que cette somme est 1396. Prouver que Bob s'est trompé dans son calcul.

Problème tiré des olympiades académiques mathématiques 2005 (Versailles). Cela devrait vous faire patienter jusqu'à samedi. Je pars en camp de ski avec mes élèves et je vais en profiter pour faire un petit jeûne informatique...

3D-XplorMath est une application de visualisation mathématique. Elle se présente comme une galerie d'objets mathématiques, passant des courbes (planes ou spatiales) aux polyèdres, équations différentielles ou encore aux fractales. Elle permet de rendre le résultat de la fonction dans une fenêtre graphique, et propose également différents modèles pré-intégrés. Les paramètres originaux peuvent même être modifiés à volonté dans un éditeur de formules, créant ainsi un laboratoire d'expériences mathématiques.

Pour un mathématicien, le Culbuto, célèbre mobile pour enfant, se définit comme un “corps mono-monostatique”. Sa particularité : il ne possède qu’un seul point d’équilibre stable (sa base arrondie) et un seul point d’équilibre instable (sa tête, qu’il suffit de toucher pour le mettre en mouvement). Son secret : sa base, lestée par un poids, est plus lourde que sa tête.
En revanche, une forme mono-monostatique homogène, c’est-à-dire pleine, faite d’un matériau de densité constante, n’était jusqu’ici possible qu’en théorie. Jusqu’à cette invention de deux chercheurs hongrois, cette forme étrange s’appelle Gömböc (sphère, en magyar). C’est le premier corps mono-monostatique homogène !

Travaillant sur les points d’équilibre de formes convexes, ces deux chercheurs Gábor Domokos, chef du département de mécanique, matériaux et structures de l'Université Technique de Budapest (BME) et un ancien étudiant, Péter Varkonyi, se sont passionnés pour une conjecture mathématique, émise par le Pr russe Vladimir Arnold, prédisant que certaines formes en 3D possédaient un seul point d’équilibre stable et un seul point d’équilibre instable –alors que la plupart des objets en ont plusieurs.
La fabrication du gömböc, par couche de 0,1 millimètre, prend environ huit heures. Une imprécision d’un millimètre fausse le résultat.
L’objet fini ressemble à une forme existant dans la nature : la carapace de la tortue étoilée indienne. Aucune tortue n’est équipée d’une carapace parfaitement monostatique mais quelques petits mouvements des membres suffisent à compléter leur retournement. Ces formes étonnantes auraient évolué pour permettre à ces tortues aux membres courts de ne pas rester coincées sur le dos.


A voir : le site officiel

L'imagination d'un mathématicien qui crée n'est pas différente de celle d'un poète qui invente... De tous les grands hommes de l'antiquité, Archimède est celui qui mérite le plus se savoir à la droite d'Homère.

Jean Le Rond D'alembert

On trouve sur le site www.tgl0be.org d'excellentes blagues sur les mathématiciens, dont celle-ci :

Deux logiciens se rencontrent :
- " Salut vieux ! J'ai de bonnes nouvelles ! Ma femme a récemment mis au monde notre premier enfant !
- Félicitations ! C'est un garçon ou une fille ?
- Oui."

Un jeune précepteur, Alexeï Ivanovitch, au service d'un général à la retraite et de sa famille, arrive en Allemagne à Roulettenbourg, ville d'eaux et de distractions pour la haute société. Là, il revoit Pauline Alexandrovna, la belle-fille, veuve, du général, et dont il est désespérément amoureux. Celle-ci lui demande de jouer à la roulette pour résorber ses dettes ; mais, très vite, il y prendra goût et jouera pour lui...
L'expérience de Dostoïevski fut si décisive dans ce roman, qu'on est allé jusqu'à se demander si celui-ci n'était pas de veine autobiographique : jeune, il est déjà passionné par les jeux de hasard, qu'il expérimente lors de ses voyages à l'étranger. Il se confond alors avec son personnage, « trop passionné », ainsi qu'il se décrit lui-même, pour pouvoir s'arrêter de jouer.

Certains passages du livre sont entièrement consacrés à la roulette et il est intéressant de les étudier sous l'angle des probabilités. C'est ce que j'avais fait comme exercice en classe il y a quelques années. J'ai retrouvé le document en faisant de l'ordre ce week-end : Le joueur de Dostoïevski.

Sur une île, chaque jour et dans cet ordre, chaque loup tue un mouton, chaque mouton tue un serpent et chaque serpent tue un loup. Après dix jours il ne reste plus sur l'île qu'un mouton et aucun autre animal.
Combien y avait-il d'animaux de chaque espèce au départ ?

Problème tiré des Olympiades académiques 2006 (Montpellier)

Sur le courrier que vous recevez par la poste, vous avez peut-être remarqué une série de bâtonnets de couleur orange inscrits en bas à droite des enveloppes. Il s'agit en fait d'un codage du code postal utilisé pour le tri automatique du courrier.
Le tableau ci-dessous vous montre cinq exemples de code postal avec leur codage en bâtonnets. Examinez-les attentivement afin de trouver quel code postal est représenté par la dernière série de bâtonnets.

Problème tiré des Olympiades académiques 2006 (Reims)

Le site Impossible world présente une collection d'oeuvres d'art jouant habilement avec notre sens de la vue. On y trouve non seulement des dessins, mais encore des animations, des articles et des programmes. Une autre particularité du site est qu'il existe aussi en russe.

István Orosz - My sun and your sun

On a peut-être du mal à l'imaginer, mais on peut vendre les maths sur des tee-shirts, des mugs, des horloges, des cartes de voeux, etc. Vous découvrirez tout cela sur le site spécialisé www.mathematicianspictures.com.