Le blog-notes mathématique du coyote

Spiral photo gallery a rassemblé une sélection d’images de spirales en tout genre. De très belles photographies!

L'AMQ (Association Mathématique du Québec) édite quatre bulletins par an qui sont disponibles sur leur site.

J'ai tenté hier pour la première fois de faire une épreuve sous forme de QCM. Je n'avais pas assez de matière pour une épreuve sur un nouveau thème, alors j'ai demandé à mes élèves de répéter cinq anciens chapitres, et j'ai testé leur connaissances sous forme d'un QCM de 10 questions à faire en 25 minutes (les 15 minutes que j'avais prévues au départ se sont vite révélées insuffisantes). C'était une épreuve sans calculatrice et je voulais plus tester leur compréhension de la théorie que leur aptitude au calcul.
Le résultat est assez étonnant: une moyenne basse (3,5 sur 6), mais pourtant la moitié de la classe est suffisante (moyenne > 4). Beaucoup d'élèves insuffisants ont fait une très mauvaise note, autour de 2.
Bref, l'expérience a été intéressante, et je pense que je vais la renouveler une fois par année. C'est l'occasion pour les élèves de revoir leurs anciens chapitres et pour moi de faire une épreuve vite corrigée!
Je vais mettre ces questions sur mon quiz en ligne.

Vous connaissez sans doute le formidable logiciel de géométrie dynamique Cabri-Géomètre. Le seul problème est qu’il est propriétaire et assez coûteux. Heureusement est arrivé GEONExT, le pendant libre et ouvert de Cabri. Lui aussi vient de l’université mais nos amis allemands de Bayreuth ont fait le choix de la licence libre GNU/GPL, somme toute plus conforme aux principes éducatifs.
Notons qu’il est possible de placer les figures construites avec GEONExT sur Internet via une Applet Java (comme Cabri le faisait avec CabriJava mais de façon libre !).

Voir ici GEONExT à l’oeuvre via internet et votre navigateur.

Futura Sciences propose un dossier sur le fabuleux destin de racine de 2, tiré du livre du même nom de Benoît Rittaud, auteur bien connu des lecteurs de Tangente et de La Recherche.

Une locomotive doit échanger les positions des wagons A et B, puis revenir à sa position initiale. Elle peut aller en avant et en arrière, mais elle ne peut passer qu'une seule fois dans le tunnel.
Y a-t-il une solution ?

Rappel des règles du Solitaire
Le plateau du jeu de solitaire est constitué d'une planchette creusée de trous pouvant recevoir des billes. Le plateau est percé de 37 trous pour le solitaire Français. Les trous sont garnis de billes au début du jeu sauf pour la case centrale. Il faut arriver à un plateau ne comportant plus qu’une seule bille. On ne peut déplacer une bille que si l'on effectue de cette manière une prise. Pour prendre une bille, on doit sauter par dessus avec une autre bille, vers une case vide du plateau. La prise en diagonale est interdite.

Les soldats de Conway
Une question, résolue par Conway, est de savoir jusqu'à quelle hauteur il est possible d'envoyer une bille en suivant ces règles. Etonnamment, la réponse et 4. On peut trouver sur le net la démonstration de l'impossibilité l'aller plus haut.

George I. Bell, Daniel S. Hirschberg, Pablo Guerrero-Garcia se sont intéressés à une généralisation de la question dans leur article The minimum size required of a solitaire army

A voir :

• Solitaire chez Jean-Paul Davalan (décidément un très bon site)
• Jouez au Solitaire sur L'internaute

Nikoli est un éditeur japonais spécialisé dans les jeux et les casse-tête. Son magazine le plus connu est le Puzzle Communication Nikoli. Nikoli devint populaire grâce au Sudoku. Les jeux publiés par Nikoli sont internationaux, car indépendants des langues et des cultures. Il faut dire que les casse-tête japonais sont purement logiques et souvent numériques.

Sur le site officiel, on peut découvrir et jouer à quelques casse-tête qui feront peut-être beintôt leur apparition chez nous, si ce n'est déjà fait : Slitherlink, Nurikabe, Heyawake, Akari et les déjà connus Hitori, Kakuro et Sudoku.

Cela fait longtemps que j'ai envie de parler des cadrans solaires en classe, surtout qu'il y en a deux superbes dans la cour du jardin botanique. Il faudra vraiment que je m'y mette un de ces jours. Quelques liens utiles :

• Cadran solaire et gnomonique par Yvon MASSE
• cadrans-solaires.org
• shadowspro.com
• Un cadran solaire horizontal
• Wikipédia : cadrans solaires
• Explications et construction d'un cadran solaire

Il n'est pas nécessaire qu'un problème de maths ait des applications pratiques pour qu'il soit intéressant et il peut être très agréable pour l'esprit d'essayer de résoudre des questions apparemment futiles.

Axel Thue (1863 - 1922)

JMath3D est une applet java gratuite de visualisation et manipulation en perspective d'objets mathématiques, conçue pour l'enseignement. Il suffit d'un navigateur avec Java 1.5 pour l'utiliser.
La géométrie des objets (points, arêtes, faces) est définie au format WaveFront .OBJ . Ce format de fichier est ouvert, et la plupart des logiciels de modélisation 3D peuvent importer et exporter des fichiers obj. Ceci rend la conception et l'échange de figures géométriques très simple, sur n'importe quelle plateforme. Les figures simples peuvent même être créées avec un simple éditeur de texte.

Nombre vampire : nombre dont les chiffres peuvent être arrangés en un produit qui redonne le nombre. Exemple : 1260 est un nombre vampire, car 21 x 60 = 1260. Ce concept a été introduit en 1994 par Clifford A. Pickover.

A lire : Les nombres vampires et Nombres vampires

Bruno Cailhol, du lycée Albert Calmette de Nice, partage ses exercices de mathématiques et ses animations Flash et Cabri.

Wyx est un jeu à deux joueurs, mais il peut aussi être joué seul, à la façon d'un casse-tête. L'idée est simple. Un cavalier se déplace sur un échiquer selon les mouvements indiqués par des dominos. Le but est de remettre dans l'ordre les dominos pour que le cavalier passe par tous les ronds de l'échiquier. Pour chaque grille, il n'existe qu'une seule solution. Voici par exemple une grille facile, où les deux premiers dominos sont indiqués (0 est la position de départ du cavalier):

Inutile de chercher ce jeu en magasin, il n'est pas (encore) édité.

A voir :

• Le site officiel wyx.fr, où vous trouverez d'autres grilles.
• Magnerama : test Wyx qui contient une visite guidée pour bien comprendre le jeu.
• Le jeu de Wyx, par Jean-Paul Davalan.

De nombreuses tentatives se sont succédé au cours des années pour franchir les barrières du lancement de l'avion en papier et lui faire passer le plus de temps en l'air. Ken Blackburn a détenu ce record du monde pendant 13 ans (de 1983 à 1996) et l'a reconquis le 8 octobre 1998 en faisant voler son avion en papier, en salle, pendant 27,6 secondes.
Pour vous entraîner, je conseille le simulateur de Solidworks : Paper Pilot. Mon record actuel est de 47.8 mètres. Je ne sais pas trop si c'est bien ou pas... A vous de me le dire!

A voir aussi :

• Wikipédia : Avion de papier
• CNN : Engineer's record-breaking hopes sail on paper wings
• Build the best paper airplane in the world
• Alex's Paper airplanes

Soit un entrepôt avec les dimensions données par le dessin ci-dessous. Une araignée se trouve au milieu d'une des parois, à 1 mètre du sol. Une mouche est posée sur la paroi opposée, au milieu, à 1 mètre du plafond. La vitesse de déplacement de l'araignée est de 0.5 km/h. D'après les dimensions de l'entrepôt, la mouche se dit qu'elle peut dormir tranquille pendant 5 minutes avant que l'araignée n'arrive sur elle. Mais la mouche se trompe...

Voilà un livre que, personnellement, j'hésiterais à acheter... Je sens que l'auteur doit bénir son éditeur!

Les 60 fiches mathématiques paraissaient chaque lundi dans le Soir, créées par Luc de Brabandere et Christophe Ribesse. Il s'agit d'une approche créative de concepts mathématiques. Vous pouvez les télécharger au format PDF.

Euler, le monde mis en équations

Il y a 300 ans, le 15 avril 1707, naissait à Bâle «l'un des plus grands savants de tous les temps», tant ses découvertes mathématiques influencent encore la science d'aujourd'hui.

Article du Temps, écrit par Olivier Dessibourg
Vendredi 13 avril 2007

En 1736 dans la ville de Königsberg en Prusse (Kaliningrad aujourd'hui), sept ponts permettaient d'atteindre l'île de Kneiphof cernée par les flots de la rivière Pregel, qui se scindait plus loin en deux bras. Ce plan urbain intriguait les savants de l'époque: était-il envisageable, en partant d'un bâtiment, d'y revenir après avoir franchi une seule fois chacun de ces ponts?

C'est un jeune mathématicien suisse, pieux et borgne, qui prouva l'impossibilité d'un tel trajet, jetant les bases de ce que les scientifiques appellent la «théorie des graphes». Cruciaux en topologie, ces travaux ont contribué à sa notoriété. Mais pour que l'homme fût et soit encore aujourd'hui considéré comme «l'un des plus grands savants de tous les temps», il en fallait davantage. Cosmopolite autant qu'ingénieux, Leonhard Euler, dont le tricentenaire de la naissance est fêté ce 15 avril, prouva jusqu'à son dernier souffle que cette étiquette n'est pas démesurée.

«Presque toutes les mathématiques et les lois de la physique actuelles utilisent les travaux d'Euler, souligne Gerhard Wanner, professeur de mathématiques à l'Université de Genève. Ainsi, le design de l'Airbus A380 et celui de la coque d'Alinghi ou l'établissement des prévisions météo recourent aux équations différentielles de la dynamique des fluides qu'il a développées.» Autre exemple: le viaduc de Millau, près de Clermont-Ferrand, plus haut pont autoroutier d'Europe. «Les calculs concernant les vibrations, la stabilité et les sollicitations induites par les vents reposent sur les formules d'Euler», mentionne un livre dédié à l'ouvrage. Bref, «évoquez un domaine scientifique, et vous y trouverez un soupçon du génie suisse», résume le professeur.

Leonhard Euler naît le 15 avril 1707 à Bâle, d'un père pasteur et d'une mère fille de pasteur. Autant dire que sa voie semblait toute tracée. Entré à 14 ans à l'Université de Bâle officiellement pour étudier la théologie, le grec et l'hébreu, il passe ses samedis en compagnie du mathématicien Johann Bernoulli. Grâce à l'intervention de cette sommité européenne auprès de son père, l'adolescent change de direction d'études, et passe brillamment en 1726 sa thèse de doctorat en sciences avec pour sujet la propagation du son. Durant toute sa vie, il gardera néanmoins une foi profonde et immuable.

C'est l'année suivante, lors du concours du Grand Prix de l'Académie des sciences de Paris, que le jeune homme acquiert ses galons de célébrité.

En ce XVIIIe siècle, les grandes questions techniques touchent à la navigation et à la construction des bateaux, les puissances navales de l'époque (Espagne, France et Angleterre) cherchant à étendre leur empire. Le problème posé consiste à localiser, sur le navire, le meilleur endroit où fixer le mât pour rendre l'embarcation la plus rapide et la mieux gouvernable. Euler, qui n'est jamais sorti de Suisse et n'a donc vu aucun de ces vaisseaux, propose une solution basée sur ses calculs de physique. Il n'emporte pas la mise, seulement une mention honorable - il obtiendra le prix à douze reprises par la suite. Mais son analyse est correcte et ses idées sont incorporées dans la conception des futures flottes anglaise et française. Audacieux, Euler écrit: «Je n'ai pas jugé nécessaire de confirmer ma théorie par l'expérimentation, car elle dérive des principes les plus sûrs de mécanique, si bien qu'aucun doute ne peut être émis.» Plus qu'aucun autre de ses homologues, le jeune savant avait une confiance immense dans l'idée, encore controversée, que les maths pouvaient fidèlement connecter le monde réel et un univers de symboles, de formules et d'abstraction. Au-delà des apparences, Euler, décrit comme ouvert, pas compliqué, plein d'humour et sociable, restait extrêmement modeste, notamment concernant la propriété scientifique. «Contrairement à la plupart des savants de son époque, il n'a jamais revendiqué la priorité d'une découverte. Il ne cache rien, et offre au lecteur les conditions de trouver par ses propres moyens quelque chose de nouveau», écrit de lui Emil Fellmann, membre de l'Académie suisse des sciences et spécialiste de l'œuvre d'Euler*. En témoignent encore ses ouvrages pédagogiques sur les maths, dont le contenu se retrouve presque littéralement dans les livres de collège d'aujourd'hui.

En 1727, le jeune Bâlois est invité par Catherine de Russie à rejoindre l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, établie par Pierre le Grand pour combler le fossé scientifique avec l'Europe de l'Ouest. Au XVIIIe siècle, les universités n'étaient en effet pas des centres névralgiques de la science car elles privilégiaient l'enseignement au détriment de la recherche. Cette direction était plutôt assumée par les académies royales, soutenues financièrement par des souverains généreux. Euler y reste jusqu'en 1741 avant de rejoindre l'Académie de Berlin, à la demande de Frédéric le Grand de Prusse.

L'aisance matérielle liée à ces postes permet à Euler de se concentrer sur ses travaux, et de faire avancer les mathématiques à pas de géants: «La notion f(x), qui désigne la fonction f appliquée à l'argument x, les notations modernes des fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, etc.), la lettre e - appelée nombre d'Euler - qui est la base du logarithme naturel et de la fonction exponentielle et figure sur chaque calculette, ou la lettre i décrivant le nombre dit «imaginaire» correspondant à la racine carrée de -1, qu'on dit impossible à calculer durant l'école obligatoire: tous ces concepts révolutionnaires, et surtout la manière inédite de les noter, nous les devons à Euler», explique Gerhard Wanner. Sans parler surtout des progrès énormes que le Bâlois réalise en analyse, dans le calcul différentiel et intégral, et dans la théorie des nombres. Environ 80 objets mathématiques (théorème, angles, constante, formule, etc.) portent son nom. Non content d'être le mathématicien le plus prolifique de tous les temps, le savant traite aussi de questions de physique, d'optique, de géométrie, de sciences économiques ou d'astronomie. Soit plus de 800 écrits qui remplissent entre 60 et 80 volumes in-quarto.

Selon Emil Fellmann, Euler avait pour lui «une régularité inlassable dans le travail et une rare capacité de concentration. Un enfant sur les genoux, un chat sur l'épaule, voilà comment il écrivait ses œuvres immortelles, raconte son ami et collègue Thiébaut.» Des enfants, le génie bâlois en eut treize, dont huit sont décédés en bas âge.

Mais surtout, «Euler avait une mémoire prodigieuse. Ce qu'il entendait ou voyait semblait se graver pour toujours dans son esprit», poursuit Emil Fellmann. Cette capacité exceptionnelle lui servit surtout durant les dix-sept dernières années de sa vie: «Une cécité totale suite à une cataracte ne l'a pas empêché de produire, de tête, des écrits plus admirables de complexité les uns que les autres, raconte le professeur Wanner en feuilletant un volume de ses Œuvres complètes. Au final, celles-ci sont encore aujourd'hui d'une incroyable actualité - certains de ses travaux n'ont trouvé confirmation expérimentale qu'avec l'avènement des ordinateurs - et ont débouché sur des applications en physique, en chimie, en biologie, voire en médecine, lorsqu'il s'agit par exemple de caractériser l'écoulement sanguin dans les artères.»

Dès 1766, Euler est de retour à Saint-Pétersbourg. Le 18 septembre 1783, alors qu'il calcule les lois d'ascension des montgolfières ou l'orbite de la planète Uranus découverte peu avant par Herschel, le savant subit une attaque cérébrale. Ce qui fait simplement dire au philosophe et politologue marquis de Condorcet: «... il cessa de calculer et de vivre.»

*«Euler, un enfant du soleil», Courrier de l'Unesco, oct. 1983.

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Pour en savoir plus, lire aussi l'article d'Eric CHANEY "Euler l'a dit!".