Le blog-notes mathématique du coyote

Les raccourcis et omissions pratiqués lors d'exposés sont bien pires que ceux qu'on trouve dans les textes écrits. Des recensions humoristiques de ces abus ont plusieurs fois été proposées. En voici une, largement inspirée par celle de la revue Plot (APMEP Orléans-Tour, n° 86).

• Démonstration par l'évidence : "La démonstration est triviale" ; "Immédiat à partir des définitions" ; "On obtient sans peine que..." ; "On voit que..."
• Démonstration par la confiance : "Vous n'avez qu'à essayer, vous verrez, ça marche". Variante : "Je l'ai démontré hier chez moi, aucune difficulté."
• Démonstration par consensus : "Tous ceux qui sont d'accord lèvent la main". Variante encore plus efficace : "Tous ceux qui ne sont pas d'accord lèvent la main."
• Démonstration par commodité dénommée "nos désirs sont des réalités" : "Ce serait si beau si c'était vrai, donc..." (Redoutablement dangereuse.)
• Démonstration par nécessité : "Ça doit être vrai, sinon toutes les mathématiques s'effondreraient." Variante : "Le cas contraire contredirait un résultat bien connu qui ne peut pas être faux." (Peu de travail est nécessaire pour en tirer une bonne vieille preuve par l'absurde.)
• Démonstration par plausibilité : "Ça a l'air bon, donc ça doit être vrai." (Très utilisé pour évaluer le résultat d'un long calcul ; ne pas en abuser.)
• Démonstration par intimidation : "Ne soyez pas stupide! Bien sûr que c'est vrai." Variantes du débutant : "Même un débutant sait ça" ; "Vous l'avez vu en sixième"." Variante du devoir pour demain : "Ceux qui en doutent feront la démonstration pour demain sur une feuille qu'ils me rendront." Variante du tableau : "Si quelqu'un a des doutes, il passe au tableau le démontrer."
• Démonstration par manque de temps : "Il ne me reste pas assez de temps, vous ferez la démonstration vous-même."
• Démonstration par complexité : "La démonstration est trop compliquée pour être donnée ici." Variantes : "Je ne peux pas vous le faire, car ça fait partie du programme de l'année prochaine." "J'ai fait le calcul en 1985, c'est assez pénible, je n'ai pas envie de le refaire."
• Démonstration par accident : "Tiens, tiens, qu'avons-nous là..." (En fait, tout était calculé par avance pour obtenir le résultat prétendument inattendu.)
• Démonstration par la définition dite méthode du postulat d'Euclide : "On le définit comme vrai." (En abuser risque de diminuer l'intérêt de votre cours.)
• Démonstration par la tautologie : "C'est vrai, parce que c'est vrai." (Risque de vous faire perdre du crédit, mieux vaut utiliser une des autres méthodes.)
• Démonstration par référence : "Comme c'est établi à la page 289 du ..." (Là encore, si vous en abusez, vous viderez votre cours de sa substance.)
• Démonstration par perte de référence : "Je sais que j'ai vu la démonstration quelque part." (Même si c'est du bluff, préférez la méthode précédente.)
• Démonstration par manque d'intérêt : "Y a-t-il quelqu'un qui souhaite vraiment voir la démonstration?" Variante en combinant avec la démonstration par complexité : "La démonstration est longue et pénible. Est-ce que je la fais?" Variante dite du calcul merdique : "En général, quand je me lance dans ce calcul, je me plante. On y va?"
• Démonstration par obstination : "Vous pouvez croire ce que vous voulez, moi je vous dis que c'est vrai." Variante du contre-exemple : "Trouvez-moi un contre-exemple, en attendant je considère que c'est vrai." (Contraire à la déontologie la charge de la preuve ne serait pas à celui qui affirme.)
• Démonstration par analogie : "C'est la même chose que..." ; "Il suffit de s'inspirer de..." "On procède comme pour..." (Moyen efficace d'obtenir des résultats faux : le procédé a coûté cher à de nombreux mathématiciens.)
• Démonstration par autorité : "Borsnbuch l'a dit." Variante dite de l'ascenseur : "J'ai rencontré Borsnbuch dans l'ascenseur, et il est d'accord."
• Démonstration par renvoi multiple : "On conclut en combinant les lemmes 1, 3, 8 et 15 avec le théorème 12, puis en utilisant les propositions 7, 9 et 21."
• Démonstration par appel à l'opinion publique : "Si c'était vrai ça se saurait, donc c'est faux..." (Contrairement aux apparences, ce procédé marche bien, car les résultats simples qui n'ont pas été démontrés sont généralement faux.)

Les femmes doutent facilement de leurs habiletés mathématiques
Stephanie Levitz, Presse canadienne, Vancouver

Il suffit d'expliquer à des femmes qu'il est dans leur nature d'être moins douées en mathématiques pour influencer négativement leur performance dans ce domaine, ont découvert des chercheurs de l'université de la Colombie-Britannique.
Les scientifiques voulaient vérifier si la nature de l'explication fournie aux femmes concernant leur inhabileté «stéréotypique» en mathématiques allait avoir un impact sur leur performance réelle. Il s'agit de la «menace du stéréotype», un concept selon lequel le rappel de croyances associées depuis longtemps à un groupe incite les membres de ce groupe à se conformer au stéréotype.
Sur une période de trois ans, les chercheurs de l'université de la Colombie-Britannique ont demandé à 135 femmes de se soumettre à des tests similaires à ceux utilisés pour l'admission aux études supérieures. Chaque femme devait notamment compléter une section mathématique complexe, mais seulement après avoir pris connaissance d'un article concernant les différences entre les sexes en mathématiques.
Des quatre articles fictifs, le premier faisait valoir qu'il n'existe aucune différence, le second que la différence est d'origine génétique, et le troisième que la différence découle de la manière dont les mathématiques sont enseignées aux femmes à l'école primaire. Le dernier traitait de la place des femmes dans le monde des arts, puisque les scientifiques croient depuis un moment que le simple fait de rappeler à une femme qu'elle est une femme aura un impact négatif sur sa performance.
Les femmes à qui il avait été expliqué que leurs expériences antérieures étaient responsables de leurs habiletés mathématiques ont obtenu deux fois plus de réponses exactes que les femmes à qui il avait été expliqué que leur code génétique était à blâmer. Les femmes à qui on avait rappelé qu'elles étaient des femmes ont aussi moins bien réussi que celles à qui on avait expliqué qu'il n'y avait aucune différence.
«J'ai été surpris de l'importance de la réduction de la menace (du stéréotype) chez les femmes à qui on avait souligné l'importance des expériences antérieures», a expliqué l'auteur de l'étude, l'étudiant au doctorat Ilan Dar-Nimrod.
La simple mention qu'il puisse exister une différence entre les hommes et les femmes en mathématiques peut se révéler explosive. L'été dernier, le président de l'université Harvard, Lawrence Summers, avait été contraint de démissionner après avoir déclaré que les femmes sont sous-représentées dans le domaine des sciences parce qu'elles n'ont pas les capacités innées pour y exceller.
D'autres chercheurs croient que les résultats de cette étude illustrent bien la complexité de l'association entre les gènes et un comportement donné.

Source : Cyberpresse

Je pense que je ne suis pas le seul à avoir vu ce genre de simplification...

Plus tard dans la journée, je corrige une épreuve et je lis : cos(2x)+sin(2x) = 2x(cos + sin)...

Xmaths est un cours de math en ligne gratuit de Xavier Delahaye. Il a pour but d'aider les lycéens, les étudiants, les personnes préparant certains concours à voir ou à revoir et à mieux assimiler les différentes notions de mathématiques. On y trouve des quiz, des cours, des démonstrations à connaître et des exercices.

ABC Maths propose cours, exercices, géométrie dynamique, QCM et animations mathématiques de l'école primaire aux classes préparatoires de lycée. Les animations, par exemple celles sur les fonctions, sont particulièrement réussies. On y trouve aussi un blog d'informations et de divertissements mathématiques en images ou séquences vidéo.
Ne pas confondre avec un autre site homonyme, et qui a presque la même adresse, mais qui est payant.

Monsieur Dehun et Madame Egalzéro ont une fille. Comment l'appellent-ils ?
Hélène.

Messieurs Exponentiel et Logarithme vont boire un verre. Qui est-ce qui paie ?
Exponentiel, car Logarithme ne paie rien.

P.S. Merci à Quentin pour la seconde blague.

Le site Studies into Polyhedra - Regular propose de superbes dessins de polyèdres. Tellement superbes qu'ils égayeraient une salle de maths...

Lorsque l’on pense aux débuts de l’informatique, viennent à l’esprit d’énormes ordinateurs décorés d’une multitude de câbles, meublant des pièces entières. Pourtant, derrière ces mastodontes se cache une machine… de papier. En 1936, alors que les rares machines à calculer déjà construites peinent à donner le résultat pour lequel elles ont été conçues, un étudiant britannique de 24 ans, Alan Turing, imagine une machine d’une simplicité enfantine, mais d’une puissance colossale : constituée d’un ruban, d’une tête de lecture et d’une liste d’instructions, celle-ci réalise tout ce qui peut être mis sous la forme d’un algorithme. La multitude des machines devient une : l’ordinateur est né.
Qui est ce jeune homme et comment a-t-il conçu une idée aussi ingénieuse ? Telles sont les questions auxquelles Jean Lassègue, chargé de recherche au CNRS attaché au Centre de recherche en épistémologie appliquée de l’École polytechnique, répond ici, nous entraînant sur les traces d’un scientifique qui avait tout pour lui, sauf d’être homosexuel dans une Angleterre conservatrice. Se dessine alors un parcours des plus romanesques : en à peine 20 ans, Turing obtint des résultats révolutionnaires dans des domaines aussi variés que les mathématiques, la logique, la construction des premiers ordinateurs ou la morphogenèse biologique. Pendant la Seconde Guerre mondiale, au départ quasi seul, il décoda les messages cryptés de la marine allemande. Ces gloires ne suffirent pas, toutefois, à racheter, aux yeux de la justice anglaise, son attirance pour les hommes : condamné à la castration chimique, Turing, à bout de ressources, tira sa révérence dans la fleur de l’âge.
À côté de ce pèlerinage aux sources de l’informatique, ce numéro vous propose de découvrir les mathématiques indiennes de l’époque médiévale, de suivre le parcours de Joseph Norman Lockyer, un pionnier de l’astrophysique qui renouvela la vision des sciences au XIXe siècle, de rechercher la recette du parfait énoncé de concours, ou encore de goûter au raffinement de l’illustration scientifique du XVIIIe siècle.

Voir le sommaire.

La machine d'Anticythère est un artefact antique conservé au Musée national archéologique d'Athènes, qu'on pense être un mécanisme permettant de calculer la position de certains astres, tels que le soleil et la lune. Elle a été découverte en 1900 par des pêcheurs d'éponges, dans une épave près des côtes de l'île grecque d'Anticythère, entre Cythère et la Crète. Elle est datée des alentours de 87 av. J.-C.

La diversité des opinions ne convergent que sur un point : c’est un calculateur. Or en Occident, le premier calculateur connu fut celui que créa Pascal en 1641 (la Pascaline). Soit, pour Anticythère, une antériorité de 17 siècles ! Cette machine de bronze, de forme circulaire, actuellement fragmentée en 3 parties, occupe le volume d'un petit boîtier haut de 21 cm, large de 16 et épais de 5 (dimensions d’un livre de taille moyenne). Elle est composée de 32 éléments dont une vingtaine de roues dentées. Elle devait probablement être actionnée à la main ou par un système hydraulique. Son fonctionnement se base sur les mouvements différentiels des engrenages permettant de « calculer » la position des astres à un moment donné.
Ceci pose immédiatement nombre de questions, par exemple :

• Comment les Grecs, peu réputés pour leur culture technologique, ont-ils pu réaliser un tel instrument, si en avance sur son temps ?
• Comment une telle technologie a-t-elle pu se créer puis disparaître ?
• Que se serait-il passé si cette technologie avait pu se répandre dans les civilisations gréco-romaine, puis médiévale ?

A voir :

La chaîne Planète diffuse ce mois un reportage sur L'invention de l'ordinateur, où il est question de la machine d'Anticythère.

A lire:

• Wikipédia : Machine d'Anticythère
• The Antikythera Mechanism I
• Antikythera Mechanism animation files

Un cryptarithme est un casse-tête purement arithmétique, où il s'agit de retrouver une opération mathématique qui a subi une transformation littérale selon un code bien déterminé. Les cryptarithmes les plus courants sont dits de substitution bijective. Voici les règles que ces cryptarithmes doivent suivre:

• un chiffre donné sera toujours remplacé par une même lettre;
• une lettre donnée représente toujours le même chiffre;
• aucun nombre ne peut commencer par un zéro;
• les accents sont sans incidence (sauf précision de l'auteur);
• idéalement, il n'y a qu'une solution.

Évidemment, les plus beaux cryptarithmes sont ceux dont les lettres forment des mots du dictionnaire. Si en plus ces mots ont un rapport entre eux, cela confine à l'art. Par exemple :

       CINQ
     + CINQ
     +VINGT
     ------
     TRENTE

Pour en construire, il existe un site génial: Cryptarithmetic Puzzle Solver. Essayez!

A voir aussi :

• Cryptarithmes (Nicolas Graner)
• Cryptarithms (cut the knot)
• Cryptarithmes (Le coyote)

J'ai enfin trouvé le temps de terminer mon calendrier mathématique façon Theoni Pappas, que j'ai commencé il y a un an et demi. Si j'avais su que cela allait me prendre tant de temps, je ne me serais sûrement pas lancé...
372 petits problèmes (31x12) dont la réponse est un nombre entier entre 1 et 31, ayant principalement comme sujet la matière du bac. Vu l'investissement, je vais soumettre à l'examen oral de maturité à chaque élève 8 de ces problèmes et ils auront 8 minutes pour les résoudre. Je l'ai déjà fait à la dernière session et ça a bien marché. J'encourage donc mes élèves à s'entraîner dès maintenant au jeu des huit problèmes pour préparer leur oral sereinement.

Je rêve d'un jour où l'égoïsme ne régnera plus dans les sciences, où on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académiciens des plis cachetés, on s'empressera de publier ses moindres observations pour peu qu'elles soient nouvelles, et on ajoutera "je ne sais pas le reste".

Évariste Galois (1811-1832)

Math93 : Une histoire des mathématiques. Site forcément incomplet mais quand même très intéressant, notamment parce que l'histoire des mathématiques y est traitée par thèmes : Alexandrie, les symboles, les nombres, les équations, l'infini, etc. Par contre, un truc qui me dérange beaucoup, c'est la page de pub qui s'affiche quand on arrive sur le site...

Surface étudiée par Klein en 1882. L'appellation "bouteille" proviendrait d'une erreur d'un traducteur qui aurait confondu en allemand "kleinsche Fläche" (surface de Klein) et "kleinsche Flasche" (bouteille de Klein), et désigné en anglais cette surface par Klein bottle. Vous remarquerez à la fin de l'animation que l'on obtient un ruban de Möbius.

A voir : Mathcurve : la bouteille de Klein
A lire : Imaging maths - Inside the Klein bottle, de Konrad Polthier, paru dans le magazine en ligne Plus.

Ce matin, en classe, un élève : "Dites Monsieur, elle est compliquée la formule d'Héron !"
Moi, voulant faire un jeu de mots : "Oui, elle est un peu plus dure que la formule des carrés..."
C'est alors qu'un autre élève me demande : "Elle est où cette formule des carrés ?"

J'ai trouvé ce matin un superbe site sur les échecs artistiques. Cela m'a rappelé cet étrange problème que j'avais vu chez Gilles Jobin :
Thomas Rayner Dawson (1889-1951), compositeur échiquéen Anglais, a composé plus de 4000 problèmes. Il s'est intéressé à la portion appelée « échecs féériques ». On retrouve l'ensemble de son oeuvre chez Dover : Five classics of fairy chess, 1973.

T. R. Dawson
Bolton Football Field, 1911



Les Blancs jouent et font mat en 21 coups.
A voir : Wikipédia : les échecs féériques

En mettant les jeunes aux prises avec d'authentiques problèmes, "MATh.en.JEANS" inverse la tendance courante de la classe de mathématiques et assigne à l'enseignant un rôle différent. Pour se lancer dans l'étude, il n'est plus nécessaire de posséder tous les outils et la démarche de résolution n'est plus détenue par le maître. Certitudes et réponses cèdent la place au doute et au questionnement. Loin d'être réservée à une élite, l'activité s'adresse à tous : c'est par la représentation, la formulation, le débat et la critique que se forgent les connaissances et s'affirment les capacités créatrices.

Ingrédients types : 1 mathématicien(ne), 2 établissements, avec, dans chacun, un enseignant et une vingtaine d'élèves qui choisissent cette activité ; un bouquet de sujets à la fois attractifs et sérieux ; un calendrier prévoyant, sur l'année, un atelier hebdomadaire (travail collectif en petit groupes de 1h30 à 2h) , 4 "séminaires" réunissant tous les participants, et une présentation "officielle" des résultats (communication en congrès + article). Et, bien sûr "une méthode" de régulation de la recherche…

Les ateliers MATh.en.JEANS fonctionnent en lycée, en collège mais aussi en primaire et à l'université. Ils apportent aux élèves, y compris aux plus démotivés ou à ceux qui sont scolairement faibles, un lieu de découverte, de création et d'investissement possible, un environnement qui encourage et valorise leur initiative.

Présentation de l'éditeur
Pourquoi un film est-il plus court à la télévision qu'au cinéma ? Comment planter des arbres dans un verger ? Quelle chance avez-vous de gagner à la loterie ? Comment gagner à coup sûr aux échecs grâce aux maths ? Ce livre anti-prise de tête s'adresse à tous ceux qui voient dans les mathématiques un jeu où ils peuvent exercer leur curiosité. Retrouvez les grands paradoxes et les énigmes des mathématiques présentés sous forme ludique et divertissante : comment vous rendre d'un point à un autre en voiture par le plus court chemin. Pour le savoir, révisez le théorème de Pythagore !!! Vous devez raccompagner en voiture quatre passagers, qui devez-vous déposer en premier pour parcourir le trajet le plus court ? Comment calculer la durée du jour et de la nuit selon la période de l'année et votre localisation géographique ? Sans le savoir, dans la vie de tous les jours, vous raisonnez en mathématicien... Avec du bon sens et une dose de curiosité, les maths n'auront bientôt plus de secrets pour vous. Si vous avez la bosse des maths, vous allez vous régaler !

Biographie de l'auteur
Robert Ghattas est universitaire, brillant mathématicien. Il s'attache à enseigner les mathématiques de façon amusante et pédagogique.

On trouve de plus en plus de livres et de revues numérisés sur le web. La DML (Digital Mathematics Library) propose des centaines d'articles, provenant de dizaines de revues mathématiques.

Jean-Francois COLONNA présente sur son site des centaines d'images et d'animations obtenues par ordinateur. Une machine virtuelle à explorer l'espace-temps est un pont entre l'art et la science.