Le blog-notes mathématique du coyote

Les idées naturelles sont toujours celles qui viennent en dernier.

Jacques Salomon Hadamard

Sur l'excellent site Images des maths, une série de trois articles intéressants écrits par Rémi Peyre sur les systèmes électoraux :

1. La démocratie, objet d’étude mathématique
2. Et le vainqueur du second tour est...
3. La quête du Graal électoral

Une applet pour dessiner des graphes : Graph Drawer

Dubendorf, 05.03.2013 - Des chercheurs de l’Eawag et de l’EPFL auraient découvert une loi universelle de distribution de la taille des organismes vivants. Si celle-ci s’avère valable pour tout le règne animal, elle pourrait influencer profondément notre manière de comprendre les dynamiques de population de vastes écosystèmes.

Une volée d’oiseaux, des bancs de poissons ou tout autre groupe d’organismes vivants pourraient avoir en commun une fonction mathématique. En étudiant les micro-organismes aquatiques, Andrea Giometto, un chercheur de l’EPFL et de l’institut de recherche Eawag, a montré que pour chaque espèce étudiée, la taille des micro-organismes se répartissait en fonction de la même expression mathématique, où la seule inconnue réside dans la taille moyenne des espèces dans un écosystème donné. Son article a été publié dans PNAS (Proceedings of the National Academy of Sciences) en mars 2013.
De nombreuses observations suggèrent que la fonction de distribution de la taille pourrait être universelle. Giometto a basé ses observations en laboratoire sur quatorze espèces de micro-organismes aquatiques, y compris des unicellulaires ou multicellulaires qui sont très éloignés d’un point de vue évolutif. Les micro-organismes qu’il a étudiés variaient de quatre ordres de grandeur, soit la différence en taille qu’il y a entre une souris et un éléphant.
En outre, la fonction mathématique décrivant la distribution de la taille se maintient même lorsque les espèces s’adaptent à un nouvel environnement – changements de température, présence ou absence de compétiteurs par exemple – en modifiant leur taille moyenne.
À partir de ces observations, Giometto et ses collaborateurs suggèrent que deux facteurs distincts travaillent de conserve pour former la distribution de la taille d’une espèce. D’abord, les facteurs environnementaux influencent la taille moyenne d’une espèce. Ensuite, des facteurs physiologiques ou la génétique engendrent la variabilité observée par rapport à la taille moyenne.

Des espèces aux communautés

Jusqu’à présent, l’attention s’est portée sur la répartition de la taille des individus pour une espèce donnée. Mais les recherches de Giometto deviennent particulièrement intéressantes dans le contexte d’une observation bien connue des scientifiques: « Si vous prélevez de l’eau de mer dans un verre et que vous analysez tous les micro-organismes qu’il contient, vous constaterez qu’aucune taille n’est sur- ou sous-représentée au sein d’une même espèce », rappelle Florian Altermatt, l’écologiste dans le team. Les mathématiciens appellent « loi de puissance » la façon dont la distribution de ces tailles peut être décrite.
Dans leur ensemble, ces observations qui concernent à la fois les distributions de la taille au sein d’une même espèce et au sein de toutes les espèces dans un écosystème donné ont des implications intéressantes. Si dans un certain milieu plusieurs espèces commencent à converger autour de la même taille, une force autorégulatrice se mettra en marche pour rétablir la loi de puissance, en agissant soit sur l’abondance de chaque espèce, soit sur sa taille.
Si, comme le pensent Giometto et ses coauteurs, ces observations sont valides au-delà des espèces qu’ils ont étudiées, ils pourraient fournir une preuve supplémentaire de l’existence de lois universelles qui gouvernent les écosystèmes naturels. Ces lois seraient susceptibles de gouverner la taille et l’abondance des organismes vivants, mais aussi d’autres propriétés, comme le nombre d’espèces qui coexistent.
La découverte de lois de puissance et leur utilisation pour décrire des systèmes complexes ont déjà donné des résultats concluants. « En physique, les lois de puissance ont été déterminantes pour la compréhension des transitions de phase. De la même manière, nous pensons que ces lois de puissance permettront de mieux comprendre la façon dont les écosystèmes sont organisés», précise Andrea Giometto, physicien, qui cherche à appliquer les méthodes de son domaine à la compréhension des systèmes biologiques complexes.

Source : admin.ch

Algèbre linéaire
Joseph Grifone
Éditions Cépaduès
4e édition (13 mai 2011)
448 pages


Présentation de l'éditeur
Cet ouvrage de référence présente un cours complet d'algèbre linéaire recouvrant les programmes du premier cycle des Universités et des classes préparatoires. L'algèbre linéaire a sans doute une place spéciale parmi les disciplines enseignées en premier cycle. D'une part parce qu'elle est utilisée pratiquement dans toutes les branches scientifiques : la physique, l'économie, la chimie, l'informatique... Sa connaissance fait partie du bagage indispensable au futur chercheur, ingénieur ou agrégatif. D'autre part en vertu de son caractère pédagogique, car l'algèbre et la géométrie se mêlent constamment et l'imagination est sans cesse sollicitée. L'auteur s'est efforcé de rédiger un ouvrage qui, sans sacrifier à la rigueur, présente les différents sujets avec clarté et simplicité. Dans cette nouvelle édition, l'auteur a ajouté des exercices et des problèmes, ainsi que de nouveaux appendices afin de mieux faire comprendre les relations étroites entre Algèbre Linéaire et Géométrie : une étude plus fine du groupe orthogonal, la description du groupe des isométries en dimension 3, une introduction aux groupes cristallographiques.

Magma est un logiciel de calcul formel destiné à résoudre des problèmes d'algèbre, de géométrie algébrique et de combinatoire. Il est disponible sur les systèmes d'exploitation Linux et Windows.

Site officiel

La dernière livraison du mensuel « Pour la science », qui consacre sa première de couverture aux « fractales lisses », nous propose plusieurs articles où les mathématiques sont largement présentes. Pour commencer l’éditorial nous invite à réfléchir sur les liens entre les mathématiques, les arts, la magie … Les passerelles avec le monde des arts sont nombreuses et anciennes. Souvent les magiciens ont appuyé leurs tours sur des connaissances mathématiques. Et si les « enjeux des mathématiciens et ceux des magiciens sont à l’évidence différents … certaines stratégies semblent les rapprocher ».

Des cartes bien mélangées : La rubrique mensuelle « Logique et calcul » fait justement le point sur un sujet passionnant (et qui est loin d’être épuisé), le mélange des cartes d’un jeu. Comment arriver à un désordre suffisant qui ne favorise aucune distribution et aucun joueur ? « Depuis plus d’un siècle que l’on cherche à comprendre comment il faut s’y prendre pour mélanger et distribuer les cartes avant de faire une partie de bridge, de poker ou de belote, on a percé quelques mystères et élaboré de beaux résultats. Mais soyons certains que d’autres pépites sont restées cachées et attendent que l’oeil puissant du théoricien les découvre » affirme Jean-Paul Delahaye.

A la une : Les fractales lisses, défis à l’impossible. Depuis l’annonce en avril des première image d’un tore plat en 3D (classé par La Recherche dans « Les 10 plus belles découvertes de l’année »), les articles sur le sujet se multiplient (voir sur ce site : Gnash, un tore plat ! ou Rothorn, un tore plat !). Celui qui vient d’être publié dans le numéro de mars du mensuel « Pour la science » est co-signé par trois des chercheurs de l’équipe Hévéa à laquelle on doit ces images : Vincent Borrelli Francis Lazarus et Boris Thibert. Le lecteur pourra ici comprendre la méthode mathématique qui permet de construire un tore plat, un domaine en pleine expansion. « Les fractales lisses, chaînon manquant entre les fractales et les surfaces ordinaires, vont probablement surgir dans d’autres questions mathématiques. Ces structures joueront-elles également un rôle en physique, en chimie ou dans les sciences du vivant ? Il est fort probable que certaines des structures fractales déjà observées dans le monde physique sont en réalité des fractales C1... et que l’on en découvrira d’autres. »

Les coniques selon Dürer : C’est la version française d’un article publié par Daniel Silver dans l’American Scientist. Après avoir brossé une biographie complète du grand artiste, l’auteur s’intéresse à ses « Instructions pour la mesure à la règle et au compas » (publiées en 1525 et 1538) dans lesquelles Dürer développe de nombreuses questions de géométrie. Mais l’artiste « croyait à tord que l’ellipse était plus large à la base du cône qu’en son sommet » et, par exemple, l’ellipse de la cloche du tableau « Mélancolia » était un ovale. Une autre erreur de Dürer dans la construction du foyer d’une parabole serait liée à une lecture incorrecte de Johannes Werner. Cependant cet article souligne surtout le fait qu’Albrecht Dürer a ouvert « un passage à double sens entre les mathématiques et l’art ».

La courbe antisecousse : Il s’agit de la clothoïde ou spirale de Cornu qui est très utilisée dans les ponts et chaussées lors des raccordements de trajectoires rectilignes et circulaires. Cet article de la rubrique « Idées de physique » nous montre comment cette courbe intervient dans la construction des bretelles d’autoroutes, dans la géométrie des voies des TGV, dans la construction des montagnes russes ou des sabots des pylônes de téléphériques pour assurer la sécurité et le confort des véhicules.

Source : Images des Mathématiques

Leonhard Euler, mathématicien suisse est l’auteur d’une œuvre considérable. Mais son travail l’a conduit à être aussi physicien, ingénieur, astronome et même philosophe. En 1748, le roi Frédéric II de Prusse lui confie la conception des jets d'eau de son palais de Sans-Souci. Il écrit : "Je voulus faire un jet d'eau dans mon jardin; Euler calcula l'effort des roues pour faire monter l'eau dans un bassin, d'où elle devait retomber par des canaux, afin de jaillir à Sans-Souci ». A partir de ce travail, Euler se propose de "rechercher les principes généraux sur lesquels toute la science des fluides est fondée", "de sorte que s'il y reste des difficultés, ce ne sera pas du coté de la mécanique, mais uniquement du coté de l'analytique". En établissant les "équations d'Euler", il donne une base mathématique toujours valable aujourd'hui à la Mécanique des fluides, une des sciences de la nature les plus importantes. C’est ce travail qui est abordé dans ce rendez-vous de Continent Sciences. Et cela dans le cadre du partenariat entre France Culture et la Société Mathématique de France, et la BNF, pour le Cycle de conférences 2013 dénommé « Un texte, un mathématicien ».

Ecouter l'émission sur France Culture

La conjecture de Goldbach a-t-elle été démontrée ? Je n'en ai entendu parler qu'il y a quelques jours, mais il semble que depuis 2011 une mystérieuse démonstration a été proposée. Mystérieuse car introuvable sur Internet jusqu'alors. Une partie de cette démonstration est désormais disponible sur rxiv.org.
En cherchant "Sambégou Diallo" sur Google, je me suis rendu compte que l'on parle depuis plus d'un an de cette découverte sur Les Mathématiques.net, et que cela suscite un intéressant débat. On s'interroge sur la validité de cette démonstration, surtout qu'elle fait appel à des outils relativement simples. On se demande dès lors pourquoi elle n'a pas été validée depuis...
J'ai aussi constaté que les médias africains ont très largement diffusé cette découverte (Découverte mathématique : Les exploits d’un surdoué guinéen , Un Africain dans la cour de grands, ...) , alors qu'ailleurs dans le monde, on en parle très peu, et pas forcément en bien (La conjecture de Goldbach a-t-elle été prouvée ? ).
Une affaire à suivre...

Ci-dessous un extrait d'un article du groupe Obamaths :

2011. Le guinéen Sambégou Diallo annonçait une découverte mathématique majeure. Il s’agissait de la résolution du plus célèbre casse-tête en maths : la conjecture de Goldbach, qui stipule que « Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers ». Telle est la colle qui persiste depuis 1742 et résiste à toutes les tentatives de résolution.
Le travail, de longue haleine, du Guinéen semble achevé. Pour ainsi dire, la conjecture de Goldbach, qui est une question de partitions d’entiers, n’aurait plus de secret pour lui. Et ce, grâce à une méthode qui transcenderait avec toutes celles déjà utilisées par la communauté. Reste plus que la vérification à l’échelle mondiale.
Les pages que vous allez découvrir ici sont une partie du document (27 pages sur un total de 60). Le Tout devrait être publié, espère-t-on au Groupe OBAMATHS, d’un moment à l’autre. Vous y trouverez la base de la démonstration, un processus bien élaboré, simple et surtout des formules asymptotiques qui n’utilisent que des outils connus de tous : le théorème des Nombres premiers en progression arithmétique et le principe d’inclusion-exclusion de Moivre, entre autres.
Après les Russes en 2011, les Sénégalais en 2012, la vérification est ainsi portée au niveau mondial afin d’en apprécier la solidité, la rigueur et la cohérence, ou, éventuellement, y déceler des failles susceptibles de remettre ce résultat en cause.

Le dernier numéro d'Accromath (Volume 8 - Hiver-printemps 2013) est sorti. Rappelons qu'Accromαth est une revue semi-annuelle produite par l'Institut des sciences mathématiques et le Centre de recherches mathématiques. S'adressant surtout aux étudiants et enseignants d'école secondaire et de cégep, la revue est distribuée gratuitement dans les écoles secondaires et les cégeps du Québec.
Accromath est partenaire de "Mathématiques de la planète Terre 2013" (MPT 2013). Cette initiative internationale, sous le patronage de l'UNESCO, souligne le rôle essentiel des mathématiques dans la compréhension de notre planète et de ses écosystèmes et dans la recherche de solutions pour la protéger. Accromath publiera donc deux numéros spéciaux en 2013 sur le thème des mathématiques de la planète Terre.

Comprendre comment se propagent les épidémies peut être d’une importance capitale. Qu’il s’agisse de maladies ou de virus informatiques, il est utile d’analyser à partir de quel point une épidémie peut s’emballer, ou bien quelle est la meilleure manière de traiter une population si on possède un antidote.
Pour étudier cela avec des simulations, on fait appel à des modèles où les individus sont représentés par des noeuds d’un réseau dont les liens sont aléatoires et figurent la possible propagation de l’épidémie : on parle de graphes aléatoires.

Lire l'article sur Science étonnante

Les divagations mathématiques de Ian Stewart
Ian Stewart
Dunod (31 août 2011)
272 pages

Description de l'éditeur
Comment transformer un cornet de glace en cube ? Quelle est la forme d'une larme ? Ian Stewart propose une nouvelle sélection de 20 explorations mathématiques, du voyage dans le temps au comportement bizarre d'objets familiers... Nous y découvrons entre autres la cadence mathématiques d'une marche de quadrupèdes, la relation entre nombres premiers et sauts de kangourous et, bien évidemment, la meilleure façon de se faire des nœuds au cerveau.

Biographie de l'auteur
Professeur de mathématiques à l'université de Warwick, Ian Stewart est auteur d'articles et d'ouvrages de vulgarisation traduits en de nombreuses langues, dont en français : "Dieu joue-t-il aux dés?: Les mathématiques du chaos", "L'univers des nombres", "Mon cabinet de curiosité" et, chez Dunod, "Ta moitié est plus grande que la mienne!" et "Arpenter l'infini".

La Cathédrale Métropolitaine Notre-Dame de l'Apparition de Brasilia située dans la capitale de la république fédérative du Brésil est une œuvre du célèbre architecte Oscar Niemeyer consacrée à Notre-Dame d'Aparecida.
Cette structure hyperboloïde d'un diamètre de 70 m, obtenue par l'assemblage de 16 colonnes de 90 tonnes chacune, représente deux mains se rejoignant en direction du ciel. Son entrée souterraine est encadrée de quatre statues géantes représentant les Évangélistes ; Matthieu, Marc et Luc sur la gauche et Jean sur la droite. La cathédrale a été consacrée le 31 mai 1970.

La Cathédrale Metropolitana, Brasilia

Nous avons (presque) tous appris à l’école Primaire ou au Collège à savoir si un nombre entier donné est divisible par 2, 3, 4, 5, 6 ou 10. Parfois même, pour les plus chanceux d’entre nous, on nous a appris à reconnaître les nombres qui sont divisibles par 8. Mais s’il y a bien un critère qu’on se garde bien de nous expliquer, c’est celui de la divisibilité par 7.

Lire l'article sur blogdemaths

On estime qu'il y a actuellement 14 milliards de pages web, sans compter les documents... La découverte provient d'une simulation du web par un physicien hongrois, Albert-László Barabási. Il a découvert que dans cette simulation, quelque soit la partie où il porte son attention, il est toujours possible d'atteindre n'importe quelle autre page en moins de 19 « clics ».
Cela nous fait penser au jeu des « six degrés de Kevin Bacon » et à l'expérience des six degrés de séparation montrant que les Américains sont à 5 ou 6 contacts intermédiaires (en moyenne) d'une autre personne prise au hasard. Le professeur Barabási croit que ce « petit monde du web » vient de la tendance typiquement humaine d'organiser selon région, pays et thématiques. Sur la toile, le rôle de Kevin Bacon est assuré par les moteurs de recherche et outils d'agrégation ou encore de nœuds dans le réseau. Une recherche sur Facebook avait montré que sur ce réseau du réseau, le nombre de personnes entre vous et une autre personne X était de seulement 4.

Référence : Albert-László Barabási Network Science, doi: 10.1098/rsta.2012.0375 Phil. Trans. R. Soc. A 28 March 2013 vol. 371 no. 1987 20120375

Source : Sur-la-Toile

Les mathématiques du vivant
Ian Stewart
Flammarion (30 janvier 2013)
474 pages

Présentation de l'éditeur
La biologie a connu cinq révolutions : le microscope, la classification de Linné, la théorie de l'évolution, les découvertes du gène et de la structure de l'ADN. Une sixième révolution est en marche : on la doit aux mathématiques. Qu'il s'agisse du Projet génome humain, de la biochimie de la cellule ou des processus qui régulent le développement des organismes, la biologie, grâce aux mathématiques, n'a jamais été aussi près d'élucider les mystères du vivant. Avec un enthousiasme communicatif, Ian Stewart décrit les passerelles qui existent entre la théorie des graphes et la classification des êtres vivants, la géométrie en dimension quatre et la forme des virus, la théorie des noeuds et la structure des brins d'ADN, la théorie des jeux et les stratégies de reproduction, la théorie du chaos et la dynamique des populations, les automates cellulaires et la définition de la vie. Pour Ian Stewart, la biologie est le grand territoire à conquérir du XXIe siècle, et les mathématiques le moteur de nos avancées les plus spectaculaires.

Biographie de l'auteur
Ian Stewart (né en 1945), lauréat du prix Faraday en 1995 et membre de la Royal Society depuis 2001, est directeur du Mathematics Awareness Centre de Warwick (Royaume-Uni). Il est notamment l'auteur aux éditions Flammarion de Dieu joue-t-il aux dés (1992), de Mon cabinet de curiosités mathématiques (2009) et de La Chasse aux trésors mathématiques (2010).

Inspiré notamment par le mathématicien Grigory Perelman qui a résolu la conjecture de Poincaré, The Bold Studio a imaginé un boîte de crayons à son effigie au design coloré et très réussi avec une illustration signée Jules Julien. Un rendu à découvrir en images et en vidéo sur Fubiz.net.