Le blog-notes mathématique du coyote

Il y a parfois des images qui vous marquent durablement. Voici la dernière en date en ce qui me concerne. C'est le robot Curiosity sur la planète Mars. Magnifique et incroyable photographie. Reste une question : qui a pris la photo ?

Il n'y a bien sûr qu'une réponse possible : la sonde Curiosity elle-même... Pas moins de 55 images ont été nécessaires pour réaliser ce montage qui montre le rover Curiosity. Ces photos ont été acquises à la fin du mois d’octobre par l’imageur Mahli situé au bout du bras robotique de Curiosity, une des caméras du rover, qui en compte 17! Quant à la caméra qui a acquis ces photos, elle est bel et bien présente à l’image ! On la voit dans le télescope de la Chemcam.

Source de l'image : Futura-Sciences

C'est le temps de l'Avent. Le magazine en ligne Plus propose un calendrier de l'avent mathématique.

A blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Sauf que cette citation n'est pas de Darwin, mais attribuée au juge anglais Lord Bowen. Ce dernier ne parlait d'ailleurs pas des mathématiciens!

Le Groupe OBAMATHS est une association réunissant des mathématiciens et chercheurs libres d'Afrique, ouverte à tous. Le Groupe publie des articles de presse concernant la vie des maths et des mathématiciens à travers le monde. La rédaction reprend les papiers de toutes les agences, les journaux et les websites qui ont tendance à promouvoir les mathématiques. Une façon, tant soit peu, de contribuer au développement de cette science.

Ce groupe a un blog officiel : obamaths.blogspot.ch (curieusement avec le suffixe .ch)

En mathématiques, il existe quelques problèmes très simples à énoncer mais incroyablement difficiles à résoudre. En géométrie aussi, il existe des conjectures qu’un collégien peut comprendre mais sur lesquelles les meilleurs mathématiciens du monde se cassent les dents. Et comme la géométrie est partout autour de nous, cela va nous permettre de faire un tour dans le monde des abeilles et celui des bulles de savon.

Lire l'article sur Science étonnante

Par rapport à leurs autres camarades de classe, et pour les mathématiques (pour l’instant), les jeunes enfants nés entre le mois de mai et le mois d’août sont environ un tiers plus susceptible d’avoir besoin de soutien scolaire. Le Every Child a Chance trust a ainsi suivi plus de 47 000 enfants de 6 à 7 ans qui étaient les plus en retard dans leur classe au niveau de l'aisance avec les chiffres et pour le calcul.
C’est ainsi que l’on a remarqué qu’une grande partie des enfants nés en été avaient 13 mois de retard par rapport à la moyenne de la classe typique lorsqu’il s’agissait de nombres et calculs. Une autre étude avait déjà montré que les enfants nés en été sont plus susceptibles d’être malheureux à l’école, d’avoir une faible estime de soi et d’être moins facilement acceptés dans les plus prestigieuses universités.
Il ne faut pas désespérer, car ces cas sont surtout des garçons issus des milieux défavorisés. De plus, après seulement 3.7 mois de soutien, les enfants avaient progressé de 15.7 mois sur ce plan ! On peut aussi réaliser ce soutien en groupes de deux ou trois pour le même résultat.

Sources : Sur-la-Toile, MailOnline

Le message codé d'un pigeon voyageur vieux de 70 ans a été retrouvé dans une cheminée en Angleterre lors d'un banal ramonage. Les employés ont découvert le squelette et un petit étui rouge. Ce dernier renferme un secret datant de la Seconde Guerre mondiale.

Le message codé cache peut-être des informations très intéressantes concernant la Seconde Guerre mondiale. Les spécialistes se sont donc empressés d'essayer les méthodes actuelles pour le déchiffrer. L'informatique n'a absolument rien donné, alors les historiens estiment qu'il y a deux possibilités. Soit, le code a été inscrit dans un livre mettant en avant une opération spécifique en 39-45, dans ce cas de figure, il sera impossible de trouver la clé puisque le précieux livre a dû être détruit. Deuxième solution, il existe un code qu'il faut trouver. Dans tous les cas cette cheminée de la maison de Surrey en Angleterre a mobilisé tous les spécialistes du GCHQ, ils essayent de découvrir à quoi correspondent les blocs de lettres. Certains estiment que le message pourrait avoir un lien avec le Débarquement.

Le message sera-t-il déchiffré ?

Depuis quelques jours, les experts se multiplient et personne n'a encore réussi à le déchiffrer. Le code pourrait reposer sur le One Time Pad, cela mettrait un terme à la recherche, car il serait impossible à déchiffrer. Deux numéros d'identification sont également présents dans ce message, les experts tentent de trouver un lien. Cette découverte a mobilisé toute la toile puisque sur de nombreux forums de spécialistes de cryptographie tentent de trouver la clé, celle qui permettra au monde entier de connaître le fameux texte envoyé par le pigeon voyageur.
Il y a de grandes chances pour que le message reste à jamais codé et le secret est mort avec le pigeon et la personne qui est à l'origine du texte. Il faut savoir que cette méthode était largement utilisée pendant la Seconde Guerre mondiale, près de 250 000 pigeons ont transmis des messages.

Article original : Begeek.fr

Les Maths au Carré
64 Problèmes corrigés : Algorithmes & Spéculations Diverses
Marie-Pierre Falissard
Ellipses Marketing (31 mai 2011)
176 pages

Extrait de la critique trouvée sur le site de l'APMEP
Ce recueil de récréations mathématiques est destiné aux lycéens, aux étudiants et aux amateurs curieux. Les anciens y retrouveront de nombreux classiques mais revisités et élargis et des problèmes à la mode. Il fait une part belle à l’algorithmique en utilisant Geogebra, Mathematica ou Maple. Un blog : http://trescarre.blogspot.com/ permet des échanges entre l’auteure et les lecteurs.
Le livre est divisé en trois parties : les énoncés avec pour chacun, le niveau (facile, moyen, difficile), et le thème (50 p.), les coups de pouce pour démarrer (15 p.) et les solutions détaillées (100 p.). L’index final ne permet pas de retrouver facilement un thème, ni un nom propre : Euclide figure à algorithme, Newton à méthode, Diophante à équation, Fermat à point et à théorème.
Les principaux thèmes concernés sont : la théorie des nombres (18), la géométrie (16), les probabilités (7), la dérivation et l’intégration (6), les fonctions (5), les suites (4), la logique (4), l’algorithmique (3) , les jeux (3), les complexes (3), les dénombrements (3).
Les solutions qui occupent suivant la question de quelques lignes à quelques pages, sont élégantes et limpides ; les figures sont soignées.

Une équipe du laboratoire commun Inria - Microsoft Research dirigée par Georges Gonthier a annoncé fin septembre la vérification par un ordinateur, plus précisément par l’assistant de preuve Coq, du théorème de Feit et Thompson, un résultat difficile d’algèbre prouvé en 1963 par deux cent cinquante pages ardues. La nouvelle semble susciter plutôt de la perplexité chez certains mathématiciens : qu’apporte une preuve par ordinateur à un résultat dont personne ne doute ? D’autres collègues, plus enthousiastes, saluent le tour de force de faire vérifier à un ordinateur un des fleurons de la pensée humaine.

Lire l'article sur Images des maths

Nous sommes nombreux à être anxieux en avion. On a coutume de penser que si l'avion venait à se « crasher », il est très probable de mourir en tant que passager. En réalité, il est bien plus fréquent que l'on croit d'en survivre ! Aux États-Unis, l'organisme National Transportation Safety Board a ainsi trouvé qu'en moyenne, sur tous les accidents d'avions civils entre 1983 et 2000, pas moins de 95,7 % des passagers impliqués ont survécu aux 568 accidents. Si l'on regarde les pires accidents, le taux de survie reste élevé : 76,6 %. On est donc plus en sécurité que l'on pense dans un avion.
En 2007, Popular Mechanics avait examiné 36 années de rapports et avait trouvé que la majorité des gens qui survivaient étaient plutôt placés à l'arrière de l'avion. Cela dépend toutefois du type de crash. Ce n'est donc pas une garantie.

Source : Sur-la-Toile

Les nombres et leurs mystères
André Warusfel
Points (4 octobre 2012)
Première édition : 1961

Présentation de l'éditeur
Les nombres à eux seuls présentent toute la fascination des mathématiques, des concepts les plus élémentaires : les nombres entiers, aux plus subtils : les nombres « complexes », des applications les plus concrètes : comptabilité, ingénierie, aux problèmes les plus abstraits, telle la théorie des nombres « premiers ». C’est une passionnante initiation que permet ce voyage dans l’univers des nombres dont la cohérence et l’équilibre, « plus parfaits encore que ceux du mouvement des planètes qui éblouissait déjà les bergers de Mésopotamie, sont les signes peut-être les plus purs de l’essence divine de notre pensée ». Un voyage où la science n’exclut ni l’art ni la philosophie, et où le sérieux n’interdit pas l’humour. Après un demi-siècle, cet ouvrage, devenu un classique, n’a rien perdu de son intérêt et de son charme.

Biographie de l'auteur
André Warusfel, né en 1936, a enseigné dès sa sortie de la rue d’Ulm dans les classes de mathématiques supérieures et spéciales de Rouen, Henri IV et Louis-le-Grand, avant d’être inspecteur général de 1994 à 2001 et de soutenir en 2010 une thèse d’histoire de la philosophie sur les mathématiques de Descartes. Ce livre fut le premier d’une longue série d’ouvrages de niveaux et sujets variés.

Source : Les céréales du dimanche matin

Tous les dix ans environ, le Quotient Intellectuel (QI) monte de 3 points. C’est intriguant, et le psychologue James Flynn a passé des décennies à travailler sur ce sujet qui a justement été nommé l’effet Flynn. La question est de savoir si cet effet montre, oui ou non, que l’Homme devient plus intelligent avec le temps. La réponse vient de tomber : malheureusement non.
Sa conclusion est que cet effet est simplement dû au fait que les tests de QI ne mesurent pas vraiment les données innées, mais apprises (et pouvant l’être si ce n’est pas le cas). Comme l’enseignement progresse avec le temps, les enfants se retrouvent meilleurs devant les tests de QI. Les notes grimpent donc. D’autres psychologues ont pu comparer certains résultats de tests des années 60 avec ceux de maintenant. La progression des notes entre les deux périodes est en accord avec l’effet Flynn.
Dans notre culture moderne, l’accent est mis sur l’abstraction. Pire : nos vies sont de plus en plus « abstraites ». Le seul fait d’utiliser un ordinateur et de placer des fichiers dans des dossiers virtuels n’a rien à voir avec ce que l’on faisait il y a 50 ans où l'on manipulait des objets et concepts encore relativement simples (d’où probablement la difficulté qu’ont certaines personnes âgées avec l’apprentissage de l’ordinateur).
Avec le temps, avec une culture qui change, notre capacité à gérer l’abstraction se modifie, comme bien d’autres aspects culturels. Cela signifie donc qu’il est probable que les générations précédentes vivaient de manière plus « littérale » : ils savaient manier les objets du monde réel.
Les psychologues ont tenté de mettre au point des tests qui mesurent la capacité innée et non pas sensibles à la culture. Le souci est qu’il est fort probable aussi que l’on ne puisse distinguer les deux : intelligence et culture. Pour s’en rendre compte, il suffit parfois de comparer au cinéma ce qui faisait rire les gens avant et maintenant.
Si notre QI est davantage le résultat de notre environnement qu’autre chose, qu’est-ce qu’il nous dit au juste sur notre intelligence ? Est-ce que certains d’entre nous naissent avec davantage de dispositions que d’autres ? Il est possible que, pour des individus « classiques » (on ne parle pas des cas pathologiques évidemment), cela ne varie pas tant que cela, d’après certains psychologues. Ce que l’on teste est en réalité bien plus notre environnement et nos expériences.
En gros, les tests de QI ne serviraient qu’à une chose : suivre l’évolution de la culture au cours du temps…

Pour aller plus loin : Fox MC, Mitchum AL. A Knowledge-Based Theory of Rising Scores on "Culture-Free" Tests. J Exp Psychol Gen. 2012 Oct 1.

Source : Sur-la-Toile

Deux chercheurs américains sont parvenus à mettre au point un algorithme mathématique qui permet de résoudre tous les sudokus, très rapidement et sans avoir à réfléchir ou observer la grille de chiffres.
5, non... 6 ou 3 ? ou 2 ? Depuis plusieurs années, le sudoku a fait une entrée en force dans les journaux. Alors que ceux-ci publiaient autrefois des mots croisés pour divertir leur lectorat, aujourd'hui, bon nombre d'entre eux ne jurent plus que par ces jeux en forme de grille. Le principe est simple : dans la forme classique, il faut remplir toute la grille en plaçant les chiffres de 1 à 9 de telle manière que deux identiques ne se retrouvent pas sur la même ligne, sur la même colonne ou dans le même carré. Pour cela, il faut partir des symboles déjà inscrits et s'adonner à une série de réflexions et de déductions, permettant de placer au fur et à mesure chaque chiffre.
De facile, à moyen puis difficile voire diabolique, il en existe désormais de tous les niveaux. Certains se résolvent ainsi en quelques minutes quand d'autres peuvent prendre plus d'une heure voire plusieurs. Quand on ne parvient pas à le finir, une seule possibilité s'ouvre alors... regarder la solution. Mais des chercheurs de l'université de Notre-Dame aux Etats-Unis ont décidé eux, d'aller chercher plus loin pour résoudre ses casse-têtes chiffrés. En effet, Zoltan Toroczkai et Maria Ercsey-Ravasz ont mis au point un algorithme mathématique capable de résoudre n'importe quel sudoku, très rapidement et sans même avoir à le considérer.
C'est dans le cadre de leurs recherches sur l'optimisation et la complexité informatique que les deux scientifiques se sont intéressés à ce jeu défini en 1979 par l’Américain Howard Garns. Selon eux, les fans de Sudoku utilisent un système de "force brutale" pour résoudre les problèmes, combiné avec un fort processus de déduction. Ils essaient alors tous les combinaisons de chiffres possibles jusqu'à ce que la réponse correcte soit trouvée. Mais si cette méthode est efficace, elle représente une grande perte de temps, estiment les chercheurs plutôt fiers de leur trouvaille publiée dans la revue Nature Physics.

Un nouveau classement des grilles de 1 à 4

A la place, ceux-ci proposent donc d'utiliser leur algorithme universel qui est entièrement déterminant et arrive toujours à la réponse correcte, ceci en bien moins de temps. Au cours de leurs travaux, les chercheurs ont d'ailleurs constaté que le délai nécessaire pour résoudre le problème avec leur algorithme dépendait de la difficulté de la grille attribuée par ses concepteurs. Ils sont ainsi parvenus à développer une échelle de difficulté des problèmes ou des puzzles.
Elle s'étend de 1 à 4 et correspond à peu près à la classification du "facile" à "très difficile" appliquée d'ordinaire. Plus en détail, l'échelle indique notamment qu'une grille de "force" 2 met 10 fois plus de temps à être résolue qu'une de force 1. Ajouté à cela, elle précise également que le puzzle le plus difficile connu aujourd'hui atteint le niveau de 3,6. Mais on ignore aujourd'hui si d'autres grilles encore plus complexes existent.

Savoir jusqu'où l'homme peut aller

"Je ne m'étais pas intéressés au Sudoku jusqu'à ce que l'on commence à travailler plus généralement sur la classe des problèmes SAT" (boolean SATisfiability problem), qui visent à savoir s'il existe une solution à une série d'équations logiques données, explique Toroczkai. "Dans la mesure où le Sudoku fait partie de cette classe, cela semblait être un bon banc d'essai pour notre résolveur, donc je me suis familiarisé avec. Pour moi, et d'autres scientifiques étudiant de tels problèmes, c'est une question fascinante de savoir jusqu'où les hommes peuvent aller en résolvant des Sudokus et sans faire marche arrière, autrement dit sans faire de choix au hasard, en voyant où cela mène et si cela ne fonctionne pas, en recommençant", ajoute t-il.
Reste que pour utiliser l'algorithme des chercheurs, il faut tout de même s'y connaitre un tantinet en mathématiques et qu'au final, les sudokus servent justement à occuper son temps. Quoi de plus satisfaisant que d'achever le remplissage de la grille, après trente minutes d'asticotage mental ? Outre l'intérêt scientifique, pas sûr donc que la résolution instantanée des grilles convainque tant que cela ! Mais les chercheurs estiment que leur algorithme pourrait servir pour résoudre une grande variété de problèmes rencontrés dans l'industrie, l'informatique et même la biologie.

Source : Maxisciences.com

• Lire l'article de Zoltan Toroczkai et Maria Ercsey-Ravasz : The Chaos Within Sudoku
• Lire aussi : The chaos of sudoku, dans Plus Magazine

Les Américains Alvin Roth et Lloyd Shapley ont obtenu le Prix Nobel 2012 d'Économie pour leurs travaux sur la meilleure manière d'accorder offre et demande sur un marché, avec des applications dans le don d'organes et l'éducation. "Cette année le prix récompense un problème économique central : comment associer différents agents le mieux possible", a indiqué l'Académie royale suédoise des sciences.
Lloyd Shapley, 89 ans, professeur à l'université de Californie à Los Angeles (UCLA), est un pionnier de la théorie des jeux. Celle-ci étudie mathématiquement la façon dont des acteurs prennent des décisions stratégiques pour servir leur intérêt propre et anticiper les réactions des autres, sans toujours y parvenir. Vu son âge, il était considéré comme l'un des "nobélisables" qui risquaient d'être oubliés dans le palmarès, même si son champ de recherche n'est pas le plus populaire chez les chercheurs en sciences économiques. Il a "utilisé ce qu'on appelle la théorie des jeux coopératifs pour étudier et comparer diverses méthodes" destinées à faire concorder offre et demande, a expliqué l'Académie royale suédoise des sciences. Et il est parti de l'exemple des mariages, donnant un algorithme qui permettrait (en théorie) de donner à chaque célibataire dans un groupe donné le meilleur conjoint.
Concrètement, l'une des applications est "l'affectation de nouveaux docteurs dans les hôpitaux, d'étudiants dans les écoles, des organes à transplanter avec les receveurs". "Lloyd Shapley a su démontrer comment la conception spécifique d'une méthode (devant accorder offre et demande, NDLR) peut systématiquement bénéficier à l'une ou l'autre partie d'un marché", a-t-elle ajouté.

Pour en savoir plus : lire l'article d'Images des mathématiques.

La Rosière dans les années 60, ce sont sept familles, vingt enfants et une école… Et pas n'importe laquelle, puisqu'on y applique déjà – et avec quel brio! – la méthode Cuisenaire. Cette méthode, dite aussi des nombres en couleurs, est basée sur l'apprentissage du calcul au moyen de réglettes de couleur et de longueur différentes.
Georges Cuisenaire, ce professeur belge interviewé par Boris Acquadro dans ce reportage, pensait que l'enfant avait besoin de concret pour comprendre les chiffres. Grâce à ces réglettes, que l'enfant manipule en diverses opérations, c'est en fait son cerveau qu'il entraîne dans une gymnastique qui lie le concret et l'abstrait. Vous souvenez-vous vous aussi de la couleur de chacune des réglettes? 1 = blanc, 2 = rouge, 3 = vert clair, 4 = carmin… Carmin, avant même de savoir que c'était une couleur, on savait que c'était 4! Et la suite, vous la connaissez?

Voir ce documentaire sur les archives de la RTS.

Merci à Nicolas Quinodoz qui m'a transmis ce lien.

Seule la mathématique peut purger l’intellect et préparer l’étudiant à acquérir tout savoir.

Roger Bacon

Dans beaucoup de jeux, il faut décider au hasard qui commence. On prend généralement un dé, et le plus grand chiffre commence. Mais il y a parfois des égalités. Comment éviter cela ? Eric Harshbarger a conçu 4 dés à 12 faces :

1. qui ne provoquent jamais d'égalité
2. avec lesquels chaque joueur a la même probabilité d'être premier, même si on n'utilise pas les 4 dés
3. qui peuvent aussi être utilisés pour déterminer l'ordre des joueurs (1er, 2ème, 3ème et 4ème)

Voici les nombres figurant sur chaque dé :

• D1: 1,8,11,14,19,22,27,30,35,38,41,48
• D2: 2,7,10,15,18,23,26,31,34,39,42,47
• D3: 3,6,12,13,17,24,25,32,36,37,43,46
• D4: 4,5,9,16,20,21,28,29,33,40,44,45

Quatre mathématiciens de haut niveau trouvent un algorithme de complexité polynomiale pour le problème du voyageur de commerce (on pense généralement que c'est impossible, mais on a échoué à le démontré depuis 40 ans que le problème a été posé), ce qui veut dire que P=NP. Le gouvernement américain cherche à acheter cet algorithme et à exiger leur secret. Que feront-ils ?
Précisons qu'un algorithme efficace pour résoudre des problèmes NP comme SAT ou la factorisation d'entiers pourrait servir à casser les principaux systèmes de chiffrement de communications. On mesure l'intérêt pour un gouvernement de posséder un tel secret.

Le site officiel du film

Des chercheurs du MIT et de plusieurs universités ont trouvé le moyen de décupler les débits du Wi-Fi sans apporter de modifications au matériel. Ils ont supprimé le système de correction d'erreurs habituellement utilisé, pour le remplacer par des équations mathématiques et reconstituer les éléments manquants.
Comment décupler les débits du Wi-Fi ? Augmenter la puissance de l’émetteur, la taille du spectre ? Rien de tout cela, aucune modification matérielle ne serait nécessaire : il suffirait de penser différemment. C’est la conclusion à laquelle sont parvenues des équipes de chercheurs du MIT, du Caltech, de Harvard, de l’université technique de Munich (Allemagne) et celle de Porto (Portugal). Ils sont partis du constat que ce qui limite les débits, c'est la perte de paquets de données durant le transfert. En effet, lorsque des paquets de données transitent dans les airs, il y a en moyenne 5 % de perte de données. Lorsqu’un paquet est perdu, il doit être renvoyé de nouveau. Le système doit alors transmettre des données à l’émetteur pour qu’il réachemine le paquet égaré. En multipliant ces manœuvres par le nombre de paquets perdus, le débit ralentit considérablement.
C’est cet inconvénient que les scientifiques sont parvenus à éliminer. Pour cela, ils ont créé un système reposant sur l’algèbre, qui reconstitue les données perdues au lieu d’occuper la bande passante inutilement.
Le paquet de données est transformé en équations mathématiques. Lorsque les données transitent, si un fragment est manquant, le récepteur utilise ceux dont il dispose, et se sert de l’équation qu’il a reçue pour recalculer le paquet manquant au lieu de le réclamer et d'attendre qu'il arrive. Comme les équations sont simples et linéaires, la charge de traitement est faible pour le matériel, qu’il s’agisse d’un mobile, ou d’un routeur Wi-Fi.
Lors de leurs expérimentations avec ce système qu’ils ont baptisé « Coded TCP » ou encore « E2E-TCP/NC », les chercheurs ont obtenu des résultats étonnants.
Ils avaient constaté que sur le réseau Wi-Fi du MIT, la perte moyenne des paquets s'élevait à 2 %. En utilisant leur système, une bande passante délivrant un débit habituellement limité à 1 Mbit par seconde a décollé à 16 Mbit par seconde ! Autre exemple, avec 5 % de perte de paquets sur une bande passante de 0,5 Mbit/s, le débit restait tout de même élevé à 13,5 Mbit/s.
Si cette technique peut être appliquée sur un réseau Wi-Fi, il est également possible de l’utiliser sur le réseau mobile en 3 et 4 G. Confiants, les scientifiques estiment que la technologie pourrait être déployée massivement sur les réseaux dans les 2 ou 3 ans. Et ce n’est pas du domaine du rêve, puisque le MIT et la Caldec ont déjà vendu des licences Coded TCP à plusieurs équipementiers via Code-On, une startup qu’ils ont créée pour l’occasion. C’est certainement pourquoi l’équipe ne délivre pas de plus amples détails sur sa technologie.

Source : Futura-Sciences