Le blog-notes mathématique du coyote

A la racine des nombres
une histoire du calcul numérique des origines à nos jours

Philippe A. Doisy, 2006
Editions Ellipse
496 pages

Présentation de l'éditeur

Ce livre est né dans la Prague historique à quelques pas de la maison où vécut Johannes Kepler il y a 400 ans. À cette époque la vie des astronomes était courte si l'on ne tient pas compte de l'énorme temps gaspillé pour les calculs numériques ! Mais depuis, les méthodes ont évolué et de nouvelles technologies ont permis de mécaniser le calcul. Cependant les technologies les plus modernes travaillent selon des algorithmes apparus il y a 4000 ans dans une civilisation dite « de l'argile », redonnant ainsi de l'intérêt à l'étude des vieilles méthodes tombées en désuétude. Ce livre relate, dans un contexte socio-historico-culturel, l'évolution du calcul numérique depuis les tablettes d'argile babyloniennes jusqu'aux puces de silicium japonaises. Pas moins de vingt méthodes analytiques, géométriques, algorithmiques et kinesthésiques sont proposées dans cet ouvrage pour calculer ou extraire la racine carrée d'un nombre. Cette opération, évidente sur nos calculatrices électroniques, fut à l'origine de la première grande crise des mathématiques chez les anciens Grecs, alors que les Prêtres babyloniens connaissaient un millénaire auparavant, une valeur très précise de la racine carrée de 2. Sur un exemple devenu banal, la recherche d'une racine carrée, le lecteur va parcourir 4000 ans d'histoire des mathématiques au Moyen-Orient, en Méditerranée, en Europe, puis sur l'ancienne route de la Soie, jusqu'au Japon.

Il y a une joie réelle à faire des mathématiques, à apprendre de nouvelles méthodes de pensée qui expliquent, organisent et simplifient. On peut ressentir cette joie en découvrant de nouvelles mathématiques, (…) ou en trouvant une nouvelle façon d’expliquer (…) une structure mathématique ancienne.

William P. Thurston

L'annuaire planète-éducation propose une rubrique mathématiques. De quoi faire son marché!

Vous venez de convoler, mais votre union va-t-elle durer ? Des chercheurs ont mis au point deux formules mathématiques qui permettraient de prédire avec 94 % de certitude si un mariage tiendra ou pas. Ces équations sont l'aboutissement de dix ans d'études menées auprès de 700 couples américains par le Dr Murray et le psychologue John Gottman, de l'université de Washington à Seattle. Tous les couples participant à l'expérience ont été observés peu après leur mariage, lors d'une conversation de quinze minutes. Ils devaient discuter de questions conjugales conflictuelles telles que l'argent, le sexe ou les enfants. Leur capacité à aborder du problème était évaluée selon une échelle attribuant des points positifs aux "bons signaux", comme l'humour, un ton de voix positif, les sourires et les gestes d'affection, et des points négatifs aux "mauvais signaux", comme le fait de rouler des yeux, de critiquer son partenaire ou se moquer de lui, de se montrer froid et négatif. "Nous avons utilisé un système de notation reconnu en psychologie, où le mépris équivaut à - 3 et l'humour à + 2, explique le Dr Murray. Ensuite, nous avons placé les points sur un graphique, et nous avons transformé les courbes en fonctions algébriques, ce qui nous a permis de déterminer s'il y aurait ou non divorce. Bien entendu, nous n'avons pas communiqué les résultats aux volontaires. Personne ne souhaite entendre que son mariage est voué à l'échec." Les résultats obtenus pour chacun des partenaires ont été mis en équation, puis les chercheurs ont contacté les couples tous les deux ans pour vérifier la santé de leur mariage. D'autres variables ont été prises en compte pendant l'expérience pour déterminer la compatibilité des conjoints, comme l'influence de l'un sur l'humeur de l'autre au cours d'une conversation. "Nous avons été capables de calculer la manière dont les gens influent l'un sur l'autre. Par exemple, si la femme est du genre à éviter les conflits et que le mari a un tempérament explosif, le mariage ne tiendra pas", précise le Dr Murray. Mais cette formule a également un aspect positif. "Elle nous dit pourquoi certaines personnes ont des problèmes et ce qui doit être fait pour sauver le couple", conclut-il.

Equation de l’épouse : f(t+1) = a + r1*f(t) + imf(m(t))
f - femme
m – mari
t - temps
a – constante representant l’état d’esprit de lorsqu’elle discute avec son mari.
r1*f(t) - facilité avec laquelle son état d’esprit change lorsqu’il discute avec sa femme.
imf - « fonction d’influence », mesure de l’influence que les remarques du mari ont sur sa femme.
m(t) - score du mari pendant leur conversation de quinze minutes.
f(t+1) - réaction de la femme aux propos de son mari.
Plus le résultat est élevé, plus les risques de divorce sont grands.

Equation du mari : m(t+1)= b + r2*m(t) + ifm(f(t))
b - constante représentant l’état d’esprit du mari lorsqu’il n’est pas avec sa femme.
r2*f(t) - facilité avec laquelle son état d’esprit change lorsqu’elle discute avec son mari.
ifm - « fonction d’influence », mesure de l’influence que les remarques de la femme ont sur son mari.
f(t) - score de la femme pendant leur conversation de quinze minutes.
m(t+1) - réaction du mari aux propos de sa femme.
Plus le résultat est élevé, plus les risques de divorce sont grands.

Les auteurs ont d'ailleurs publié un livre sur le sujet : The Mathematics Of Marriage: Dynamic Nonlinear Models, par John M. Gottman et al. (2005)

A voir : The Marriage Equation A Practical Theory for Predicting Divorce and a Scientifically-Based Marital Therapy

Slither Link, aussi connu sous le nom de Fences (clôtures), Loop the Loop (boucler la boucle) et Dotty Dilemma (dilleme des points) est un jeu de logique publié pour la première fois dans Puzzle Communication Nikoli n°26 (juin 1989). Dans la première version, toutes les cases comprenaient un nombre.
Le Slither Link se joue sur une matrice rectangulaire formée de points. Entre ces points, on retrouve parfois des nombres (entre 0 et 3). L'objectif est de relier horizontalement ou verticalement les points adjacents afin de créer une ligne unique continue. De plus, les nombres indiquent le nombre de côtés de la ligne qui doivent être adjacents au nombre. Par exemple, si une case contient le nombre 3, trois de ses côtés doivent être touchés par le trait continu. On indique souvent d'un X une ligne impossible à créer.

Pour jouer en ligne : Slither Link

Par Laurent Busslinger, 24 Heures, le 21 Juin 2007

Le taux de réussite des Vaudois à l’EPFL a dégringolé. En cause: le manque de connaissances en mathématiques.

Le taux de succès des étudiants vaudois en première année de l’EPFL s’est effondré. Pour 2004-2005, 77 élèves sur les 147 qui s’étaient présentés pour la première fois à l’examen propédeutique l’avaient réussi, soit un taux de 52,4%. Cela alors que la performance globale de tous les débutants de l’école était de 54,2%, et celle des Suisses de 53%. Pour 2005-2006, ils n’étaient plus que 69 Vaudois sur 167 à réussir leur première année, soit un taux de succès tombé à 41,3%. Bien en dessous de la performance générale (52,7%) et de celle des Suisses (46%).

Ces chiffres sortent d’une étude encore confidentielle, initiée pour mesurer l’arrivée dans la Haute Ecole des porteurs de la nouvelle maturité fédérale, qui a remplacé les anciennes sections (scientifique, classique, etc.) par des options (maths-physique, biologie-chimie, économie-droit, etc.). 24 heures a pu trouver les données concernant Vaud, et tous les Départements de la formation des cantons amenant à l’EPFL un échantillon suffisant d’étudiants ont été informés de leurs performances. Mais ils les gardent pour eux. Une publication n’étant pour l’instant «qu’envisagée». «Ces chiffres sont entre leurs mains, nous ne les communiquons pas», dit le président de l’EPFL Patrick Aebischer.

Valais et Fribourg en tête

Car c’est aussi dans les comparaisons que le bât blesse. D’après ce que nous avons quand même pu apprendre, Vaud n’enregistre pas seulement une baisse significative de la performance de ses élèves, mais est décroché par ses voisins. Grosso modo, les étudiants fribourgeois qui entrent à l’EPFL collent toujours à la moyenne suisse, avec, il est vrai des effectifs bien inférieurs à ceux des Vaudois. «Il n’y a pas chez nous de différence entre l’ancienne et la nouvelle maturité», lâche Nicolas Renevey, chef du service de l’enseignement fribourgeois. La performance des Valaisans, là encore avec de faibles effectifs, est significativement supérieure à la moyenne suisse y compris en 2006.

Patrick Aebischer, lui, s’en tient à des généralités: «Entre ancienne et nouvelle maturité, nous constatons une détérioration». Principal souci, la scission de l’ancienne section scientifique entre maths-physique et biologie-chimie: «Dans cette dernière, la base mathématique n’est plus suffisante.» Sans compter que s’ils n’ont pas choisi au gymnase l’option complémentaire des mathématiques renforcées, les élèves vont ramer doublement à l’EPFL. Ainsi, moins d’un quart des Vaudois qui se sont limités aux mathématiques standards ont passé leur première année. «Si l’on ne veut pas faire de sélection à l’entrée, il faut que les maturités soient des passeports vraiment valables, centrés sur ces savoirs fondamentaux que sont la langue maternelle, une ou deux langues étrangères, l’histoire, les mathématiques», poursuit Patrick Aebischer. Qui ajoute: «Sans se disperser, et avec assez d’heures d’enseignement.»

Trop éclectique?

Et c’est peut-être là que Vaud doit s’interroger. A Fribourg comme en Valais, l’enseignement secondaire (collège?+?gymnase) dure sept ans. Dans le canton de Vaud six ans, alors que les programmes vaudois ne cessent de se diversifier, qu’on s’aventure dans le droit matrimonial, l’informatique, etc. En attendant la publication complète des comparatifs de l’EPFL, avec toutes leurs nuances, il y a apparemment déjà là une piste de recentrage.

Mark Rosenfelder présente sur son site les noms des nombres de un à dix dans plus de 5000 langues.

La série Numb3rs revient demain sur M6 pour une troisième saison. On peut trouver sur Wikipédia un résumé des épisodes et les sujets de mathématiques traités.

Gisèle est allée faire ses courses. Elle a dépensé la totalité de ses sous dans cinq magasins. Dans chaque magasin, elle a dépensé la moitié de l'argent qu'il lui restait, plus 1 Euro.
Combien d'argent avait-elle en partant faire ses courses ?

Guillaume Connan propose son cours de Lycée sur son site Téhessin le Rezéen.
Vous trouverez à la rubrique "Tale S" les cours et exercices de ses précédentes classes de Terminale S spécialité maths : un poly de 350 pages où le cours est un dialogue entre Mathémator et son disciple Téhessin et où les exercices offrent le plus souvent des ouvertures vers les mathématiques enseignées dans le supérieur, qu'elles soient pures ou appliquées aux diverses sciences.
Vous trouverez aussi sous la rubrique "Informatique" une introduction au logiciel MuPAD.

Le carnet secret de Descartes
Amir Aczel
Edition Lattès

Décodée par Amir D. Aczel, la vie du père du rationalisme, avec ses mystères et ses coups de théâtre, s'avère un haletant suspense.

L'Histoire retient parfois de nos vies ce que nous n'aurions sans doute pas conservé nous-mêmes. Ainsi, qui sait que l'inventeur du cogito ne s'est tourné vers la philosophie que sur le tard? Que son fameux Discours de la méthode ne devait être, en réalité, que l'introduction à un ouvrage scientifique? René Descartes, qui, lorsqu'il habitait Amsterdam, passait chaque jour chez les bouchers pour disséquer les carcasses, était plus passionné de géométrie, d'algèbre, d'optique (il découvrit la loi de la réfraction de la lumière), et même de médecine, que de métaphysique. Le philosophe que l'on a réduit à une formule latine a été le précurseur des mathématiques modernes: il inventa la géométrie analytique. C'est à lui que nous devons, quatre siècles plus tard, la technologie du GPS, qui nous permet de nous repérer n'importe où sur le globe. L'histoire de la vie du philosophe, racontée par Amir Aczel dans Le Carnet secret de Descartes, avec ses codes, ses sociétés secrètes, ses cabales, vaut tous les Da Vinci Codes. Et l'auteur lève enfin le mystère sur la double vie du père du rationalisme.
Le 1er juin 1676, Leibniz, le grand philosophe et mathématicien allemand, tout juste arrivé à Paris de sa ville de Hanovre, frappa à la porte d'un certain Claude Clerselier. L'inventeur du calcul infinitésimal avait entendu dire qu'à sa mort, vingt-six ans plus tôt, Descartes avait laissé des documents dont il n'avait jamais parlé à quiconque. Après quatre années de recherches, Leibniz venait enfin de localiser le manuscrit chez un homme qui avait brièvement connu l'auteur du Discours de la méthode. Que ce document ait survécu près de trente ans à la mort du philosophe en Suède relevait du miracle: le navire qui rapportait en France les affaires de Descartes avait coulé.
Avec une extrême réticence, Clerselier ouvrit sa porte au jeune homme. Il lui remit un manuscrit. Mais, en lisant ce document, Leibniz «comprit que Descartes avait projeté d'écrire un livre sur une importante découverte mathématique sous couvert d'un pseudonyme», raconte Amir Aczel. Clerselier finit par admettre qu'il avait en sa possession un autre carnet. «Je l'ai étudié pendant des années, dit-il à Leibniz, mais rien de ce qu'il contient, symboles, dessins, formules, n'a de sens.» Après avoir fait jurer à son visiteur de ne jamais révéler ce secret, Clerselier lui remit un parchemin de 16 pages. «Certains symboles ressemblaient à ceux qui étaient alors associés à l'alchimie et à l'astrologie», raconte Aczel. Leibniz, comprenant qu'il fallait faire vite, travailla à déchiffrer le code de Descartes tout en recopiant le document. Peu de temps après, le carnet disparut à tout jamais. Peu importait. Le mathématicien avait percé le mystère de ces symboles et de ces chiffres: Descartes jetait les bases de l'une des branches essentielles des mathématiques modernes, la topologie.

Il fut mis à l'Index malgré ses précautions
Mais, alors qu'il aurait dû claironner urbi et orbi sa découverte, Descartes préféra la cacher. Pis: en 1633, il interrompt brusquement tous ses travaux scientifiques - en juin de cette même année, Galilée a été condamné par l'Inquisition et le philosophe juge alors plus prudent de se tourner vers la métaphysique.
Peine perdue: alors que, tout au long de sa vie, il avait pris un soin méticuleux pour éviter toute controverse avec l'Eglise, Descartes fut mis à l'Index en 1663. Ses œuvres ne seront plus éditées pendant cent cinquante ans. Le livre passionnant d'Amir Aczel nous fait (re) découvrir un personnage qui avait, jusqu'au bout, suivi la devise qu'il s'était choisie: «Bene vixit, bene qui latuit». Pour vivre heureux, vivons cachés.

Jean-Sébastien Stehli pour TV5Monde

Une version sous-titrée en français en disponible sur http://akbida.free.fr/mathgirl.html

Une version sous-titrée en français en disponible sur http://akbida.free.fr/mathgirl.html

Dieu créateur
Guiard des Moulins, Bible historiale
Paris, début XVe siècle
BNF, Manuscrits, Français 3 f. 3v

Dans le Timée, Platon décrit la création du cosmos sous forme d'une mise en ordre harmonieuse d'un état initialement indifférencié avec l'idée que le processus de création doit être guidé par les principes supérieurs de la géométrie. Cette thèse s'illustre au Moyen Âge par un Dieu géomètre, muni d'un compas, qui ordonne la création : "Dieu a créé toutes choses selon le Nombre, le Poids, la Mesure" dit le Livre de la sagesse de Salomon (XI, 21).
Au XVIIIe siècle, à mesure que la science se construit, la notion de création sur le mode mathématique se précise : les modèles cosmogoniques, tel celui développé par Laplace dans son traité sur la Mécanique céleste (1798-1825), font l'économie d'un créateur.

Pour tout x dans R, x² >= 0.
On a aussi : (x²)^0.5 >= 0^0.5.
Donc, x^{(2 x 0.5)} >= 0.
Donc, x¹ >= 0.

Ainsi, pour tout x dans R, x >= 0 !

Où est le problème ?

Un ancien élève, Cyril Castella, a complètement refait son site sur le Rubik's cube et d'autres case-tête, qu'il avait commencé en 1998, alors qu'il était encore au Lycée. Il s'appelle Rubik's cube: une méthode simple et pour tous et vaut le détour. J'ai été particulièrement intéressé par l'algorithme génétique qu'il a développé pour résoudre le cube.

1. Les révisions sont incompressibles: plus vous les commencerez tard, plus elle se finiront tardivement dans la nuit.
2. Loi de la Veille de l'Examen: Demain, ce sera pire.
3. Quand le prof annonce la correction à faire dans l’énoncé, vous avez déjà fini cette question depuis une heure et vous êtes incapable de la refaire avec la modification.
4. S'il y a plusieurs salles d'examen, c'est dans la vôtre qu'on annoncera en dernier qu'il y a une erreur d'énoncé.
5. Les examens commencent toujours avec un quart d’heure de retard, sauf le jour où vous arrivez avec un quart d’heure de retard.
6. Le temps se contracte pendant les examens, surtout vers la fin.
7. L’exercice que le major de promo explique à tout le monde deux minutes avant le début de l’examen et auquel vous ne vous intéressez absolument pas, car vous préférez vous fier à vos intuitions, tombera à l’examen.
8. C'est toujours pendant un devoir surveillé important et long qu'on tombe en panne d'encre.
9. Lors du décompte des points, les erreurs se feront toujours en votre défaveur.
10. Lorsque vous réclamerez un demi point sur le petit b, le correcteur s'apercevra que tout le grand I est faux.
11. Il fait toujours beau pendant les révisions. S'il fait mauvais temps pendant les révisions, il fera beau pendant les examens, puis le temps redeviendra maussade dès la dernière épreuve passée. S'il pleut pendant les examens, c'est qu'il aura plu avant les examens et qu'il pleuvra après.
12. C'est toujours cinq minutes avant la fin de l'examen que :
• vous comprenez que vous n'avez pas compris l'énoncé de la question,
• que le tipex est tout sec,
• qu'il ne sèche pas,
• ou que la bille du bic est tout plein de blanc,
• ou qu'il n'a plus d'encre,
• ou qu'il fuit.
13. Si plusieurs méthodes sont disponibles pour résoudre une équation, le sujet vous obligera par ses questions à le faire par la méthode la plus longue et la plus tordue.

Gapminder et Google ont joint leurs efforts pour produire GapMinder World, un outil spectaculaire qui schématise des statistiques. Pour l’instant, l’attrait de cette application réside dans son interactivité et l’animation des statistiques au fil du temps.

Source : Relief

Son altesse le Sultan doit remplacer son Vizir. Trois candidats se présentent. Il veut que son nouveau vizir soit un homme intelligent et trouve une astuce pour le dénicher. Il les fait aligner les uns derirère les autres. Ainsi, le troisième voit la tête des deux devant lui, le deuxième voit celle du premier et le premier ne voit rien. Il montre aux trois candidats cinq chapeaux: 3 noirs et 2 blancs, puis il leur met un bandeau sur les yeux. Il prend trois chapeaux et en met un sur chaque tête. Il enlève les bandeaux et leur demande quelle est la couleur de leur chapeau.

Quelques secondes de silence passent puis le dernier de la file répond: "Je ne sais pas..."
Le second répond: "Moi non plus..."
Alors, le premier de la file dit: "Je sais! La couleur de mon chapeau est...".
Comment a-t-il fait et quelle est la couleur de son chapeau?

Une étude récente, menée dans en Italie, a montré une étroite corrélation entre le taux d'équipement informatique et le taux de divorces. Partout où les ordinateurs sont nombreux, la proportion des divorces est elle importante; à l'inverse, les divorces sont rares là où les foyers sont peu équipés informatiquement. Sur cette base, des journalistes en ont déduit que les ordinateurs affaiblissent la cohésion des couples, et ont tendance à provoquer leur désunion. Ce raisonnement vous semble-t-il correct ?

Pas du tout ! Mais l'analyse a eu du succès, et l'idée que les ordinateurs sont très "prenants" au point de détruire fréquemment la vie familiale et la cohésion des couples s'est ancrée dans les esprits. La réalité est bien différente. Il y a des disparités importantes de développement en Italie; les régions du sud sont assez pauvres, peu équipées en ordinateurs, et la mentalité y est assez traditionnelle, influencée fortement par le catholicisme; le divorce est peu en usage. Le nord, par contre, est plus riche, moderne, équipée en ordinateurs, et divorcer est une pratique qui ne choque pas les esprits. C'est ainsi qu'il y a une corrélation entre le taux des divorces et celui des équipements en ordinateurs, mais on aurait tout aussi bien pu utiliser le taux d'équipement en lave-linge ou la surface des appartements ! Les mauvais raisonnements basés sur l'interprétation de chiffres statistiques sont devenus courants dans les médias. Par exemple, la plupart des accidents ont lieu près du domicile des conducteurs; certains en on déduit que l'on risque davantage près de chez soi. En fait, la corrélation est simplement due au fait que le voisinage du domicile est l'endroit le plus souvent fréquenté par les conducteurs. Autre exemple, les taux de mortalité par cancer du poumon ont longtemps augmenté en même temps que la consommation de tabac. Certains en ont déduit que le tabac a été la cause de la hausse de ces cancers. Certes, le tabac favorise bel et bien le cancer du poumon, mais ce n'est pas ce genre de résultats qui permet de le montrer. Durant une longue période, la consommation de tabac a augmenté en parallèle avec la durée de l'espérance de vie; en déduirait on pour autant que la cigarette augmente la longévité ? En réalité, le niveau de vie a progressé, ce qui a entraîné une augmentation de l'espérance de vie et le développement de nouveaux types de mortalité, en particulier, par cancer. En parallèle, la consommation de tabac ou d'eau minérale ont augmenté, mais cela était essentiellement une conséquence de l'augmentation du pouvoir d'achat. Un livre intéressant compile 133 erreurs d'interprétation de résultats statistiques dans les médias; à connaître, pour ne pas se faire piéger soi-même (le livre "Attention Statistiques" est écrit par Joseph Klatzmann, et publié à La Découverte).