Le blog-notes mathématique du coyote

Le site e-cureuil a pour objectif d'illustrer la plupart des énoncés du cours de Mathématiques rencontrés au lycée. Chaque définition ou théorème est accompagné d'une animation - souvent interactive - qui met en évidence ses caractéristiques principales ou son cadre d'utilisation.
Il peut donc être utilisé :

• par les élèves -en autonomie ou en pratique accompagnée- pour affiner ou compléter leur connaissance du cours,
• par les enseignants -en salle informatique ou en projection collective- pour introduire ou illustrer une notion ou un point particulier du cours

Le site de Wolfram (créateur de Mathematica) contient désormais une section sur la série TV Numb3rs : The math behind Numb3rs. (Rappelons que dans cette série, un agent de police demande à son frère mathématicien de l'aider à résoudre des affaires.) A partir de la saison 4, chaque épisode est analysé du point de vue mathématique avec des illustrations faites sur Mathematica. Probablement que les saisons précédentes seront analysées de la même façon.

Agrégé de mathématiques, Gérard-Olivier Maitry (est-ce son vrai nom ?) a voulu apporter sa pierre a un édifice d’acquisition de connaissances par l’humour. Employant la même rigueur qu'un livre de maths "normal", c'est-à-dire avec un cours et des exercices, Je fais des maths comme un(e) cochon (ne) est une méthode joyeuse, impertinente et décalée. Voici donc des maths sans fausse pudeur, avec de l'humour, du sexe, de l'escroquerie, de la connerie et de la vulgarité, comme dans la vraie vie. Exemples d'exercices :

• Gérard est PDG d'une grosse société à laquelle il a fait perdre quelques milliards d'euros. Le Conseil d'administration décide donc de le renvoyer et lui vers une indemnité de 2 683 700 euros. Écrire en toutes lettres le montant qui sera écrit sur le chèque.
• Albert, Bernard et Claude font une partouze avec Denise, Ernestine, Françoise et Géraldine. Combien d'associations hétérosexuelles peuvent-ils composer ?
• José boit 6 pastis avant de reprendre la route. Chaque verre augmente son taux d'alcoolémie de 0,25 g/L. Quel taux le médecin légiste va-t-il mesurer lors de l'autopsie ?
• Rocco a un braquemart de 18 cm avec lequel il effectue trois va-et-vient par seconde pendant 10 minutes. Calculer la distance parcourue par le morpion agrippé au bout de son gland.

Les bases de l’arithmétique, de la géométrie, de l’algèbre ou des calculs de probabilités sont ainsi abordées simplement dans ce petit livre qui ne vous apprendra pas grand-chose, mais qui vous fera bien rire.

Le samedi 29 novembre à 15h15, au centre professionnel "en Dozière" à Delémont, le cercle de mathématiques et de physique de la société jurassienne d'émulation propose une conférence donnée par le prof. Henri Carnal sur les paradoxes en calcul des probabilités. L'entrée est libre et les élèves du lycée sont vivement encouragés a suivre cette conférence.

Un de ces paradoxes est le célèbre "Paradoxe de Bertrand". Il met en évidence les limites du recours à l'intuition dans cette discipline. Il consiste à choisir au hasard une corde d'un cercle donné et d'estimer la probabilité que celle-ci soit de longueur supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle. Le paradoxe est que cette probabilité dépend du protocole de choix de la corde. Ce problème fut énoncé pour la première fois en 1888 par Joseph Bertrand dans son ouvrage Calcul des probabilités. Bertrand en donnait trois réponses différentes (une chance sur deux, une sur trois et une sur quatre), toutes les trois apparemment valides.
Soit un cercle de rayon 1. Le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle a pour longueur racine de 3. Le paradoxe de Bertrand consiste à déterminer la probabilité qu'une corde du cercle, choisie au hasard, possède une longueur supérieure à racine de 3.

1. Extrémités aléatoires : soit un point de la circonférence du cercle et le triangle équilatéral inscrit dont l'un des sommets est ce point. On choisit aléatoirement un autre point au hasard sur le cercle et on considère la corde reliant les deux points. Elle est plus longue que le côté du triangle si le deuxième point est situé sur l'arc reliant les deux sommets du triangle opposé au premier point. La probabilité est donc alors 1/3.
2. Rayon aléatoire : on choisit un rayon du cercle et on considère le triangle équilatéral inscrit dont un côté est perpendiculaire au rayon. On choisit aléatoirement un point sur le rayon et on trace la corde dont il est le milieu. Cette corde est plus longue que le côté du triangle si le point est situé plus près du centre du cercle que l'intersection de ce côté et du rayon, laquelle est située au milieu de ce dernier. La probabilité est donc alors 1/2.
3. Milieu aléatoire : soit un point choisi aléatoirement à l'intérieur du cercle et une corde dont il est le milieu. La corde est plus longue qu'un côté du triangle équilatéral inscrit si le point est situé à l'intérieur d'un cercle concentrique de rayon 1/2. L'aire de ce cercle est un quart celle du grand cercle. La probabilité est donc alors 1/4.

Le paradoxe de Bertrand met en évidence la dépendance à la méthode de sélection d'une corde « au hasard ». Dès que cette méthode est spécifiée, le problème possède une solution bien définie. En l'absence d'une telle méthode, le terme « au hasard », dans « choisir une corde du cercle au hasard », est ambigu. Les trois solutions présentées par Bertrand correspondent à des méthodes de sélection distinctes et valables, et en l'absence d'autre information, il n'y a aucune raison d'en privilégier une par rapport aux autres.

Pour illustrer ce paradoxe, plusieurs sites proposent des animations et des simulations :

• Le paradoxe de Bertrand sur le fameux site de Thérèse Eveilleau
• Le paradoxe de Bertrand ou Qu'est-ce qu'une simulation ?
• Bertrand's Paradox

Le jeu de Hex est un jeu de société abstrait pour deux joueurs. Il se joue sur un plateau en forme de losange dont les cases sont hexagonales. On peut choisir plusieurs dimensions pour le plateau mais la plus intéressante semble être 11 x 11. Au début de la partie, aucun pion n'est sur le plateau. Les joueurs posent tour à tour un de leur pion sur une case de leur choix et le plateau se remplit ainsi progressivement. Deux côtés opposés du plateau sont noirs et les deux autres sont blancs. Chaque joueur doit réussir à relier les deux côtés avec les pions qui portent sa couleur. Le jeu s'arrête dès qu'un joueur y est parvenu. Ci-dessous, les noirs ont gagné. Il ne peut pas y avoir de match nul.

Ce jeu a été inventé indépendamment par Piet Hein (Danemark, 1942) puis John Forbes Nash (USA, 1948). J. Nash a démontré que le premier joueur peut toujours gagner : il n'y a pas de hasard, juste de la stratégie. Cependant, sa preuve est non constructive, c’est-à-dire qu'elle n'indique pas la stratégie gagnante et celle-ci est sans doute beaucoup trop complexe pour être décrite !
Sur tout plateau rempli, un des deux joueurs et un seul possède une chaîne gagnante. Cela peut être démontré par exemple en utilisant le fait qu'une partie de hex puisse être vue comme une partie particulière de Y, et en se référant alors à la démonstration dans le cas du Y.
Ce jeu suscite d'importantes réflexions en mathématiques et notamment :

• en logique (des stratégies gagnantes ont été découvertes pour des dimensions jusqu'à 9 x 9 mais le problème de trouver une stratégie gagnante générale semble relié à des problèmes ouverts parmi les plus importants à l'heure actuelle)
• en intelligence artificielle (on cherche à programmer des ordinateurs à jouer le mieux possible au Hex, sans chercher à proprement parler de stratégie gagnante)

Pour jouer contre l'ordinateur : Mazeworks - Hex-7

Bonne question ! Le commun des mortels en connaît généralement trois : l'intersection des médiatrices, des bissectrices et des médianes. Mais saviez-vous qu'il existe environ 3500 définitions pour le "centre" d'un triangle ?
Vous trouverez quelques nouvelles définitions sur l'excellent blog Choux Romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes dans deux articles : Où est le centre de ce triangle ? et Il est là !.
Quant aux 3514 définitions actuelles, elles sont listées sur le site Encyclopedia of triangle centers.

Le but du SquarO : trouver les ronds à remplir. Pour cela il y a dans chaque case un chiffre, de 0 à 4, qui correspond au nombre de ronds à remplir parmi ceux situés aux quatre coins de cette case. Par exemple la grille suivante :

Pour jouer : squaro.fr

À travers les cultures et les millénaires, la couleur rouge a été associée aux passions sexuelles et à l'amour romantique.
Les psychologues Andrew Elliot et Daniela Niesta ont vérifié, dans une recherche publiée dans le Journal of Personality and Social Psychology, si la couleur rouge pouvait rendre les femmes plus attrayantes sexuellement aux yeux des hommes. Ils ont montré qu'effectivement c'est le cas et que les hommes sont inconscients de cette influence que la couleur exerce sur eux.
Dans différentes expériences, les participants regardaient des photos de femmes dont la bordure était rouge, blanche, grise, verte ou bleue et se faisaient demander dans quelle mesure ils trouvaient cette personne jolie.
Dans une autre expérience, la blouse d'une femme était digitalisée en rouge ou en bleu. En plus d'évaluer la beauté de la femme, les participants se faisaient demander s'ils aimeraient sortir avec cette personne et, s'ils avaient $100 dans leur portefeuille, combien ils seraient disposés à dépenser pour une sortie avec elle.
Dans toutes les conditions testées, les femmes entourées de rouge ou portant du rouge étaient considérées plus attrayantes et désirables sexuellement que les mêmes femmes montrées avec d'autres couleurs. Les hommes étaient aussi plus disposés à les inviter et à dépenser davantage pour cette sortie.
L'effet du rouge ne s'exerçait que sur les hommes et sur leurs perceptions de l'attrait. Le rouge n'influençait pas l'évaluation de l'attrait des femmes par d'autres femmes et n'influençait pas l'évaluation de la part des hommes d'autres traits comme l'amabilité, l'intelligence ou la bonté.
Bien que le rouge améliorait les sentiments positifs dans cette étude, des recherches précédentes ont montré que la signification des couleurs dépend du contexte. Par exemple, Elliot et d'autres ont montré que le rouge dans des situations de compétition, comme un examen écrit ou des événements sportifs, est lié à une moins bonne performance.
Bien que cet effet aphrodisiaque du rouge peut être causé uniquement par un conditionnement social, les auteurs argumentent que la réponse des hommes au rouge provient probablement de racines biologiques plus profondes. Ils font un lien avec des recherches qui ont montré que les primates non humains (chimpanzés, babouins) sont particulièrement attirés par les femelles chez qui cette couleur est plus présente.
Ces résultats, disent les chercheurs, peuvent avoir des implications pour les jeux de séduction, l'industrie de la mode ainsi que le design et marketing de produits.

Source : Psychomédia

Hier, juste après une épreuve, une élève me dit :

"Vous verrez m'sieur, au problème 4 j'ai fait tout le développement juste, mais je n'ai pas compris la question..."

Le grand mathématicien de l’avenir, comme celui du passé, fuira les chemins battus. C’est par des rapprochements que notre imagination n’aurait pas su atteindre qu’il résoudra, en les faisant changer de face, les grands problèmes que nous lui léguerons.

André Weil

J'ai vu plusieurs fois cette énigme cette année, d'abord dans Pour la Science (juin 2007, pp. 90-95), sous la plume de l'excellent Jean-Paul Delahaye, puis dans différents blogs. Elle est assez fascinante : savoir qu'un autre ne sait pas peut nous aider à savoir ! Voici l'énoncé :

On choisit deux entiers X et Y, avec 1 < X < Y et X + Y ≤ 100. On indique à Patricia le produit P de X et Y. On indique à Sylvie la somme S de X et Y. Le dialogue est alors le suivant :

Patricia : « Je ne sais pas quels sont les nombres X et Y. »
Sylvie : « Je savais que vous ne connaissiez pas X et Y. »
Patricia : « Eh bien alors, maintenant, je connais X et Y. »
Sylvie : « Eh bien, moi aussi je les connais maintenant. »

À vous de trouver X et Y.

Je vous laisse méditer sur ce problème. Pour la réponse, vous pouvez aller sur :

• L'incroyable problème de Freudenthal
• Pamphile et Salwa sont dans un bateau

Nous autres profs sommes souvent amenés à faire des schémas à main levée. Mais quelle est la précision de nos dessins ? Ce petit test vous le dira.

Les cycles de moussons auraient eu une influence sur le déclin de certaines dynasties chinoises, d’après des chercheurs de l’Université de Lanzhou.
Ces chercheurs ont daté les périodes de hautes et de basses moussons présentes en Chine depuis 1800 ans en analysant chimiquement une stalagmite contenant des concentrations anormalement élevées d’uranium trouvée dans une grotte du nord ouest du pays.
L’analyse de cette stalagmite de 1 mètre 18 a mis en évidence des cycles de mousson qui correspondent non seulement à des épisodes climatiques connus, comme la retraite des glaciers alpins, mais également à des périodes de l’histoire chinoise
D’après les chercheurs, les moussons étaient faibles à la fin des dynasties Tang (618-907), Yuan (1271-1368) et Ming (1368-1644), suggérant que les conditions climatiques auraient eu une influence sur la chute de ces dynasties.
De même, les périodes de moussons fortes correspondraient à des périodes de croissance : "Pendant les périodes de moussons fortes, certaines dynasties ont connu une augmentation de la culture du riz et la population a prospèré, comme celle des Song du Nord (960-1127)", ont déclaré les auteurs de l’étude.
D’après ces chercheurs, l’analyse de la stalagmite met également en évidence le rôle des activités humaines dans le changement climatique actuel : Dans le passé, les périodes de températures élevées correspondaient à des périodes de moussons relativement fortes, une relation qui a disparu depuis 50 ans, avec des températures qui augmentent et des moussons faibles.

Source : Sur la toile

Présentation de l'éditeur
Ce manuel a été conçu pour aider les étudiants à bien réussir leur première année d'études scientifiques. Il leur sera utile pour se préparer avant de commencer les études, et leur servira de support de cours durant les deux premiers semestres. Pédagogique et didactique, il présente des concepts de base des mathématiques, sous la forme de problèmes à résoudre et de rappels des notions théoriques s'y rapportant. Les étudiants pourront l'utiliser en commençant par le chapitre de leur choix ; il leur permettra d'évaluer leur capacité à résoudre un problème et à contrôler la justesse de leurs raisonnements.

Mon avis
Un bon petit livre composé d'un peu de théorie et de beaucoup d'exercices, avec solutions détaillées. Pour les élèves, l'occasion de voir le niveau demandé pour entrer à l'uni ou dans une école polytechnique (et de mieux comprendre pourquoi les profs sont si exigeants). Pour les profs, un bon résumé des objectifs à atteindre avec les élèves.

Daniel Mentrard : "Après avoir pratiqué des années sous le tableur Excel, j'ai découvert Geogebra. C'est un logiciel que je conseille fortement à tout le monde, non seulement pour sa gratuité, mais aussi pour sa facilité d'emploi vis-à-vis de certaines tâches. Voici quelques animations et des applications constructives pour vos séquences d'enseignement".
A découvrir sur Les mathématiques avec Geogebra.

Vérifier sans faille les démonstrations mathématiques par ordinateur

De nouveaux outils informatiques pourraient révolutionner la pratique des mathématiques en fournissant les démonstrations les plus fiables ayant jamais été produites. Ces outils, basés sur la notion de "preuve formelle", ont été utilisés ces dernières années pour donner des démonstrations presque infaillibles de nombreux résultats importants en mathématiques. Une série de quatre articles écrits par des experts reconnus, et qui vient d'être publiée dans les Notices of the American Mathematical Society, explore des développements nouveaux dans l'utilisation de la preuve formelle en mathématiques.

Lorsque les mathématiciens démontrent des théorèmes de manière traditionnelle, ils présentent leurs arguments sous forme narrative. Ils assument des résultats précédents, ils glissent sur des détails qu'ils pensent que les autres experts comprendront, ils prennent des raccourcis pour rendre la présentation moins pénible, ils font appel à l'intuition, etc. L'exactitude des arguments est déterminée par l'examen minutieux effectué par d'autres mathématiciens, au cours de discussions informelles, lors de conférences, ou dans des articles. Il est important de se rendre compte que les moyens par lesquels les résultats mathématiques sont vérifiés constituent essentiellement un procédé social donc faillible. Quand elle concerne un résultat primordial et bien connu, la démonstration est particulièrement bien contrôlée et des erreurs sont éventuellement trouvées. Cependant l'histoire des mathématiques a connu des résultats faux qui sont restés longtemps non décelés. En outre, pour quelques cas récents, des théorèmes importants exigeaient des démonstrations tellement longues et complexes que très peu de gens ont le temps, l'énergie, et le fond de connaissance nécessaire pour en vérifier l'exactitude par eux-mêmes. Enfin, certaines démonstrations contiennent un code informatique considérable pour, par exemple, vérifier de nombreux cas qu'il serait impossible de contrôler à la main. Comment les mathématiciens peuvent-ils alors être sûrs que de telles démonstrations soient fiables ?

Pour venir à bout de ces problèmes, des informaticiens et des mathématiciens ont commencé à développer le domaine de la preuve formelle. Une preuve formelle est une démonstration dans laquelle chaque inférence logique est systématiquement contrôlée vis-à-vis des axiomes fondamentaux des mathématiques. Les mathématiciens n'écrivent habituellement pas ces preuves formelles parce qu'elles sont si longues et "encombrantes" qu'il serait impossible de les faire vérifier par des mathématiciens humains. Mais on peut désormais obliger des "assistants informatiques" à procéder à ce contrôle. Ces dernières années, ces assistants sont devenus assez puissants pour manipuler des démonstrations complexes.

Dans quelques cas simples uniquement on peut donner un énoncé à l'ordinateur et s'attendre à ce que celui-ci fournisse une démonstration de lui-même. En règle générale, le mathématicien doit savoir démontrer cet énoncé ; la démonstration est ensuite exposée avec la syntaxe spécifique de la preuve formelle, chaque étape étant définie, et c'est cette preuve formelle que l'ordinateur contrôle. Il est également possible de laisser l'ordinateur explorer des mathématiques qui lui soient propres: il est arrivé dans certains cas que la machine propose des conjectures intéressantes qui étaient passées inaperçues aux mathématiciens. Nous sommes peut-être proches d'un temps où nous verrons les ordinateurs, plutôt que les êtres humains, faire des mathématiques.

Les quatre articles de Notices explorent la situation actuelle de la preuve formelle et fournissent des conseils pratiques pour l'utilisation de ces assistants informatiques. Si l'usage de ces aides se répand, ils pourraient changer profondément les mathématiques telles qu'elles sont actuellement pratiquées. Un rêve à long terme serait de posséder les démonstrations formelles de tous les théorèmes centraux des mathématiques. Thomas Hales, un des auteurs, indique qu'un tel ensemble de démonstrations serait apparentée au "séquencement du génome mathématique".

Les quatre articles sont:

• Formal Proof, par Thomas Hales, université de Pittsburgh
• Formal Proof - Theory and Practice, par John Harrison, Intel Corporation
• Formal proof - The Four Colour Theorem, par Georges Gonthier, Recherche Microsoft, Cambridge, Angleterre
• Formal Proof - Getting Started , par Freek Wiedijk, université de Radboud, Nimègue, Pays-Bas

Ces articles paraissent dans l'édition de décembre 2008 de Notices et sont en consultation libre sur le site de l'AMS.

Source : techno-sciences.net

L'étoile mystérieuse, par Hergé
Remarquez l'incroyable précision de 387'000'000'000'000,0005 ! A faire hurler les profs de physique et de maths...

LaTeX equation editor for the internet permet de créer des formules en ligne, qui pourront ensuite être collées sur une page web. Je ne l'ai pas essayé à fond, mais il me semble que c'est utilisable même si, comme moi, on est allergique à LaTeX.

Ce village situé sur la rive gauche du Rhin vaut son origine à Louis XIV qui fit appel à Vauban pour créer et fortifier une cité représentant la porte d'entrée de l'Alsace devenue vulnérable après le traité de Ryswick. C'est ainsi que cette ville a émergé d'un terrain vierge face à Vieux Brisach devenue propriété allemande. Neuf-Brisach a la forme octogonale pourvue d'une triple ligne de défense. Dernier ouvrage de Vauban, c'est un véritable bijou, témoin quasi intact de l'architecture militaire du Grand Siècle. Grâce à son système défensif, la cité a résisté au siège des Autrichiens en 1814, aux bombardements de la guerre de 1870 puis aux deux guerres mondiales.

Neuf-Brisach est inscrite sur la liste du patrimoine mondial de l'UNESCO depuis le 7 juillet 2008.

Pour en savoir plus sur les fortifications de Vauban : De la fortification
Un site sur Neuf-Brisach : http://neuf-brisach.net/