Le blog-notes mathématique du coyote

J'ai déjà écrit un billet sur les crop circles où je m'émerveillais de cet art, tout ce qu'il y a d'humain, n'en déplaise aux farouches défenseurs de la cause extra-terrestre.
Toujours vivace, ce phénomène bientôt trentenaire avait connu une flambée médiatique en 2002 avec la sortie du film Signes. C’est de nouveau le cas en France grâce à TF1 qui en fait le thème de sa série Mystère.
Voici un crop circle moins géométrique, mais porteur d'un message.

Le 16 Août 2002, sur un champ à environ 5 miles (env. 8 km) de Chibolton une nouvelle formation représentant une silhouette d'alien "gris", dans un rectangle, accompagnée d'un disque assimilable à un CD-ROM. La formation fait 110m sur 70 environ. Le décryptage du disque (blé debout = bit '1' et blé couché = bit '0') donne un message en anglais : Beware the bearers of FALSE gifts & their BROKEN PROMISES.Much PAIN but still time.BELIEVe..There is GOOD up there.We oppose DECEPTION.Conduit CLOSING.



Sources :

• Le gogogramme de Crabwoods
• Le mystère des crop circles
• Le mystère de Chilbolton
• Crop circles : les extraterrestres sont-ils artistes ?
• ... et plein d'autres en tapant "Crabwood" dans un moteur de recherche.

Le blogue Brouillon de poulet pour l'âne s'intéresse principalement aux mathématiques et à l'éducation. Comme l'éducation est la voie de l'épanouissement, comme la mathématique est l'expression de la beauté et de la justice et puisque que les mathématiques sont partout, ce blogue touchera à tout ce qui est beau et inspirant et dénoncera ce qui ne l'est pas.

La chronique de Jean-Luc Nothias. Publiée le 11 juillet 2007 dans le figaro.fr.

JE N'EXISTE PAS, mais je suis visible. J'existe, mais je suis invisible. Qui suis-je ? Ce pourrait être une définition qui irait comme un gant à la fameuse « bosse des maths ». Qui n'existe pas anatomiquement parlant, mais dont certaines personnes très douées sont de toute évidence pourvues. On peut être un « boss » sans avoir de bosse. Mais il faut pour cela bosser.
Le concept de bosse des maths est né au début du XIXe siècle. Deux drôles de fées se sont penchées sur son berceau : d'une part les démonstrations ahurissantes et « magiques » des calculateurs prodiges, d'autre part les premières tentatives pour comprendre le fonctionnement du cerveau.
Côté prodige, on peut citer, en 1811, ce jeune Américain de 7 ans, Zerah Colburn, qui pouvait répondre instantanément à des questions comme « combien y a-t-il d'heures dans 7 ans, 14 jours et 40 heures ? ». « 61 696 ». « Combien y a-t-il de secondes en 25 ans ? » « 788 400 000 ». Ou ce jeune berger italien âgé de 10 ans, Vito Mangiamele, qui fut interrogé en 1837, à Paris, lors d'une séance de l'Académie des sciences. Il parvint à résoudre des opérations comme « quelle est la racine cubique de 3 796 416 ? ». En moins d'une minute, il trouva la bonne réponse, « 156 », et bien d'autres encore plus difficiles. Ce jeune Vito fut d'ailleurs au centre d'une grande bataille scientifico-médicale entre les tenants et les opposants d'une théorie appelée « phrénologie ».
« Art de reconnaître les instincts, les penchants, les talents et les dispositions morales et intellectuelles des hommes et des animaux par la configuration de leur cerveau et de leur tête. » Tout ou presque est dit dans le titre du livre de Franz Josef Gall (1757- 1828), fondateur de la phrénologie qu'il appelait d'ailleurs à l'époque « cranioscopie ». Et il eut une influence très forte à Paris, car il vint s'y fixer. Et pas seulement dans les milieux médicaux, avec Broussais, Comte et de Broca, puisque Balzac, par exemple, fut « phrénologue ».
Gall eut la première idée de sa théorie en remarquant que ses étudiants qui avaient le plus de mémoire avaient les yeux les plus proéminents ! Donc l'organe de la mémoire devait se trouver derrière les yeux. Et l'idée était que, plus développée était telle ou telle capacité, plus grosse devait être la zone du cerveau où elle résidait. Il cartographia ainsi plus d'une trentaine de protubérances pour l'amitié, la ruse, la finesse, la prévoyance, l'esprit métaphysique... Il alla jusqu'à mettre au point une méthode de diagnostic par palpation du crâne...

Plusieurs zones du cerveau sont mobilisées simultanément

C'est aussi à cette époque que, sur les mêmes « principes », un professeur de médecine italien, Cesare Lumbroso, cherche ce que l'on pourrait appeler la « bosse de la délinquance ». À l'issue d'observations et de mesures de milliers de crânes, il va jusqu'à prétendre que certaines catégories de délinquants ont leurs propres caractéristiques anatomiques sur le crâne et le visage. Un « délit de faciès » avant l'heure.
On sait aujourd'hui que tout cela est faux et archifaux. L'idée, tout aussi fausse, qu'être doué en mathématiques est un « don » de naissance, est néanmoins encore fort répandue. Pourtant, mis à part quelques cas particuliers, toutes les études montrent que nous naissons égaux devant les maths et les autres matières. Les bébés, qui ont la notion des nombres dès leur septième mois, seront à l'aise en mathématiques si on leur en donne le goût très tôt.
Une autre idée reçue qui a du mal à disparaître est celle de la localisation unique, dans notre cerveau, de telle ou telle capacité. Ainsi, il y aurait un endroit bien précis pour le calcul, une espèce de « centre des maths ». Les plus récentes études du fonctionnement cérébral par imagerie médicale montrent le contraire. Plusieurs zones du cerveau sont mobilisées simultanément lors d'une tâche mathématique.
Plus étonnant encore, les différentes opérations de calcul ne s'effectuent pas aux mêmes endroits. Ainsi, pour une soustraction, ce sont les régions préfrontale et pariétale qui vont s'activer tandis que pour une multiplication, c'est le cortex pariétal inférieur qui va intervenir.
Tout comme existe la dyslexie, les troubles du calcul appelés acalculie touchent près de 5 % des enfants. L'enfant sait compter mais ne parvient pas à effectuer une addition simple. Un trouble qui peut tout à fait se soigner. Ce qui est plus difficile à réaliser chez l'adulte, suite le plus souvent à des accidents cardiovasculaires cérébraux. Cela se traduit, par exemple, par une incapacité au calcul mental tout en pouvant réciter les tables de multiplication. Ou ne pas pouvoir donner la solution à 2 + 2 lorsque l'opération est écrite, mais le faire à l'oral. Sans que l'on sache vraiment pourquoi.
On le voit, bien des mystères restent à résoudre pour comprendre le fonctionnement du cerveau. Le dernier en date provient de l'observation en imagerie médicale, au début des années 2000, du cerveau d'un prodige du calcul mental en action. Les zones du cerveau utilisées par tout un chacun pour un calcul ne sont pas plus développées ou actives chez le prodige. Ce qui le distingue des autres est qu'il fait appel à des zones cérébrales différentes du commun des mortels. En particulier celles qui concernent la mémoire à long terme. Pourquoi ? Je ne me souviens plus...

Un exerciseur est une collection automatisée d’exercices le plus souvent de forme «objective». Application pédagogique déjà populaire avant l’avènement des TIC, l’exerciseur connaît une nouvelle vie à cause de la multiplication des logiciels de d’édition et de gestion d’exercices. Cependant, la facilité technique ne doit pas faire oublier les limites pédagogiques d’un exerciseur ni les précautions qu’il faut prendre pour en calibrer les différentes composantes (questions et réponses, rétroactions, indices et explications, etc.). Ce dossier de Dominique Chassé et Sylvain Lefebvre présente des pistes de travail permettant de composer avec ces contraintes et de réussir la mise au point d’un exerciseur efficace en contexte d’apprentissage.

Lien : dossiers technopédagogiques

Comment éviter toute réclamation... Comme quoi ce n'est pas si simple de compter jusqu'à 5 !

Des chercheurs de la Northeastern University (Massachusetts), le professeur Cooperman et un étudiant en thèse, Dan Kunkle, ont prouvé une propriété qui va intéresser les fans de Rubik's Cube, alors que le record du monde de résolution de ce cube de 3x3x3 à 54 carrés de couleur vient d'être battu en 9.86 secondes le mois dernier par un français.
Un problème restait jusqu'à alors entier : en combien de mouvements minimum peut-on être sûr de venir à bout de ce casse tête quelle que soit la configuration de départ ? Jusque-là le chiffre de 29 puis, l'an dernier, celui de 27 avaient été avancés. Cooperman et Kunkle ont établi que l'on peut y arriver en 26 mouvements seulement.
La difficulté réside surtout dans le nombre de possibilités, parmi les 8! x 3 x 10E⁷ x 12! x 2 x 10E¹⁰ = 43.252.003.274.489.856.000 configurations possibles du cube. Il aura fallu 63 heures de calcul à 128 processeurs (soit 8.000 heures CPU) et 7 Tbits de données temporaires pour conclure qu'il faut au maximum 26 mouvements pour venir à bout du Rubik's cube quelle que soit la configuration de départ (le calcul s'appuie cependant sur un pré-calcul de ce que donne un mouvement donné pour chacune des 6,5x10E¹³ familles de configurations de départ ou cosets). Les calculs ont été effectués sur le réseau Teragrid en utilisant un disque distribué de 7 Tbits, un des premier noeud d'un espace de stockage de 20 Tbits financé par une bourse de 200.000 dollars de la NSF.
Ces travaux de recherche qui mêlent la théorie des groupes (théorie des groupes de permutation, en exploitant les 48 symétries du Rubik's cube) et l'algorithmie parallèle, contribuent à démontrer la faisabilité de calculs combinatoires en manipulant des nombres gigantesques à l'aide de l'informatique. En poussant plus loin les calculs, il faut s'attendre prochainement à un nombre de mouvements encore inférieurs.

Source : bulletins-electroniques.com (29/6/2007)

A lire : Twenty-Six Moves Suffice for Rubik’s Cube, par Daniel Kunkle et Gene Cooperman

J'ai lancé hier le troisième volet des aventures des soeurs Koukouchkina. Il s'agit de décrypter une série de message chiffrés selon différentes méthodes. De quoi s'occuper pour l'été, car cette série est particulièrement difficile. Aussi je conseille aux novices de d'abord tenter les volets 1 et 2.

Bravo et au revoir à tous mes élèves avec qui j'ai passé les deux dernières années. Vous avez été des classes très sympathiques. Plein succès pour la suite, même si j'ai envie de vous dire une dernière fois : "Vous êtes foutus!"
Je vous suggère un petit livre pour l'été :

Ceci dit, il y a un autre livre plus intéressant à lire, inutile de vous dire lequel (voir dans la marge en haut à gauche)

L'extrait ci-dessous du film de Jim Henson Labyrinth (1986) se passe dans un univers inspiré de la gravure d'Escher "Relativity".

Scilab est un logiciel de calcul scientifique gratuit. Il peut aussi bien être utilisé comme une super calculatrice graphique que comme un outil complet de résolution des problèmes de mathématiques appliquées les plus complexes. Pour cela il contient de puissantes bibliothèques de calcul, des boîtes à outils dans des domaines variés et un langage de programmation simple avec une syntaxe bien adaptée au calcul mathématique. Il permet de réaliser facilement des tracés de courbes et de surfaces et de faire des animations.

Christophe Caignaert du lycée Colbert de Tourcoing a mis son cours en ligne. Outre un cours "classique" sur les maths, on trouve aussi des TP Maple.

C’est presque par hasard que Patrick Tirone, marseillais de 41 ans, découvre le Kamaji (littéralement « additions mélangées » en japonais). Et pourtant, rien ne prédestinait cet agent municipal, qui n’a jamais eu d’attirance pour les maths, à inventer un jeu d’additions !
Immobilisé pendant 8 mois après un accident de moto, c’est muni d’un simple crayon et d’une feuille de papier qu’il met au point une grille remplie de chiffres : le Kamaji .Il finalise ensuite son jeu avec le concours d’un informaticien qui crée un logiciel, puis il l’envoie dans la foulée à plusieurs maisons d’édition.
Quel est le but du jeu ?
Basé sur le principe des mots mêlés, Kamaji est un jeu créé basé sur les additions dont les chiffres sont mélangés dans la grille. Il faut barrer toutes les séries de chiffres d'un trait horizontal, vertical ou diagonal, toujours en ligne droite, de façon à ce que la somme des chiffres barrés soit égale au chiffre de la case colorée. Le jeu est terminé lorsque toutes les cases sont barrées au moins une fois : il n'y a qu'une seule solution possible.

Pour jouer en ligne : Kamaji Factory.

Un mathématicien fou monte dans un bus et se met à menacer tout le monde :
"Je vais vous intégrer ! Je vais vous dériver !".
Tout le monde est effrayé et se sauve, sauf une jeune dame qui reste tranquille. Le mathématicien fou arrive vers elle et lui dit :
"Tu n'as pas peur ? Je vais t'intégrer ! Je vais te dériver !!".
La jeune dame répond : "Non, je n'ai pas peur, je suis exponentielle!"


Mon premier est un mammifère à queue plate qui ne peut pas s'asseoir.
Mon premier est un mammifère à queue plate qui ne peut pas s'asseoir.
Mon premier est un mammifère à queue plate qui ne peut pas s'asseoir.
Mon tout est le rapport de la circonférence au diamètre.
Qui suis-je ?
Réponse : pi (3 castors sans chaise)

ZSGCalc est un calculateur scientifique graphique (2D, 3D) fonctionnant sous Windows NT* et versions supérieures. ZSGCalc offre, outre la possibilité de créer, copier, imprimer, enregistrer et modifier des graphiques à deux et trois dimensions, celle de travailler de manière «naturelle» avec les nombres complexes (ce qui n'exclut nullement les réels purs ou les entiers: "Qui peut le plus peut le moins!").

ZSGCalc dispose d'un grand nombre de fonctions (opérateurs) prédéfinies, spéciales ou non, telles que les fonctions de Bessel, les polynômes orthogonaux (Chebychef, Legendre, …), les fonctions hypergéométriques confluentes, les fonctions bêta, gamma… et bien-sûr toutes les fonctions de base, trigonométriques et hyperboliques. Intégration, dérivation, résolution d’équations différentielles ordinaires sont également disponibles et cela dans le plan complexe! Avec ZSGCalc vous pouvez également travailler sur des vecteurs, des matrices ou des tableaux de dimensions quelconques, créer vos propres constantes, tableaux et fonctions à une ou plusieurs variables (complexes bien entendu).

ZSGCalc permet aussi de créer des graphiques ou dessins loin de toute considération académique. A cette fin, une trentaine de formes partiellement prédéfinies est disponible, l'insertion d'images ou de texte est gérée, les copier/coller également, polygones personnalisés et courbes de Bézier sont présents. En outre, ZSGCalc (version 1.1 et supérieures) dispose de l'anti-crénelage et de l'interpolation des images, ce qui assure une qualité excellente aux graphiques qu'il produit et rend ces derniers tout à fait dignes d'insertion dans vos documents.

ZSGCalc est muni de plusieurs systèmes d’aide, tels que bulles descriptives, exemples d’utilisation, mise en évidence des erreurs de syntaxe, bulles détaillant les arguments requis pour chaque opérateur/fonction entré au clavier, bulles d’aide à l’achèvement de syntaxe… Par suite ZSGCal ne dispose d’aucun fichier d’aide classique.

A la racine des nombres
une histoire du calcul numérique des origines à nos jours

Philippe A. Doisy, 2006
Editions Ellipse
496 pages

Présentation de l'éditeur

Ce livre est né dans la Prague historique à quelques pas de la maison où vécut Johannes Kepler il y a 400 ans. À cette époque la vie des astronomes était courte si l'on ne tient pas compte de l'énorme temps gaspillé pour les calculs numériques ! Mais depuis, les méthodes ont évolué et de nouvelles technologies ont permis de mécaniser le calcul. Cependant les technologies les plus modernes travaillent selon des algorithmes apparus il y a 4000 ans dans une civilisation dite « de l'argile », redonnant ainsi de l'intérêt à l'étude des vieilles méthodes tombées en désuétude. Ce livre relate, dans un contexte socio-historico-culturel, l'évolution du calcul numérique depuis les tablettes d'argile babyloniennes jusqu'aux puces de silicium japonaises. Pas moins de vingt méthodes analytiques, géométriques, algorithmiques et kinesthésiques sont proposées dans cet ouvrage pour calculer ou extraire la racine carrée d'un nombre. Cette opération, évidente sur nos calculatrices électroniques, fut à l'origine de la première grande crise des mathématiques chez les anciens Grecs, alors que les Prêtres babyloniens connaissaient un millénaire auparavant, une valeur très précise de la racine carrée de 2. Sur un exemple devenu banal, la recherche d'une racine carrée, le lecteur va parcourir 4000 ans d'histoire des mathématiques au Moyen-Orient, en Méditerranée, en Europe, puis sur l'ancienne route de la Soie, jusqu'au Japon.

Il y a une joie réelle à faire des mathématiques, à apprendre de nouvelles méthodes de pensée qui expliquent, organisent et simplifient. On peut ressentir cette joie en découvrant de nouvelles mathématiques, (…) ou en trouvant une nouvelle façon d’expliquer (…) une structure mathématique ancienne.

William P. Thurston

L'annuaire planète-éducation propose une rubrique mathématiques. De quoi faire son marché!

Vous venez de convoler, mais votre union va-t-elle durer ? Des chercheurs ont mis au point deux formules mathématiques qui permettraient de prédire avec 94 % de certitude si un mariage tiendra ou pas. Ces équations sont l'aboutissement de dix ans d'études menées auprès de 700 couples américains par le Dr Murray et le psychologue John Gottman, de l'université de Washington à Seattle. Tous les couples participant à l'expérience ont été observés peu après leur mariage, lors d'une conversation de quinze minutes. Ils devaient discuter de questions conjugales conflictuelles telles que l'argent, le sexe ou les enfants. Leur capacité à aborder du problème était évaluée selon une échelle attribuant des points positifs aux "bons signaux", comme l'humour, un ton de voix positif, les sourires et les gestes d'affection, et des points négatifs aux "mauvais signaux", comme le fait de rouler des yeux, de critiquer son partenaire ou se moquer de lui, de se montrer froid et négatif. "Nous avons utilisé un système de notation reconnu en psychologie, où le mépris équivaut à - 3 et l'humour à + 2, explique le Dr Murray. Ensuite, nous avons placé les points sur un graphique, et nous avons transformé les courbes en fonctions algébriques, ce qui nous a permis de déterminer s'il y aurait ou non divorce. Bien entendu, nous n'avons pas communiqué les résultats aux volontaires. Personne ne souhaite entendre que son mariage est voué à l'échec." Les résultats obtenus pour chacun des partenaires ont été mis en équation, puis les chercheurs ont contacté les couples tous les deux ans pour vérifier la santé de leur mariage. D'autres variables ont été prises en compte pendant l'expérience pour déterminer la compatibilité des conjoints, comme l'influence de l'un sur l'humeur de l'autre au cours d'une conversation. "Nous avons été capables de calculer la manière dont les gens influent l'un sur l'autre. Par exemple, si la femme est du genre à éviter les conflits et que le mari a un tempérament explosif, le mariage ne tiendra pas", précise le Dr Murray. Mais cette formule a également un aspect positif. "Elle nous dit pourquoi certaines personnes ont des problèmes et ce qui doit être fait pour sauver le couple", conclut-il.

Equation de l’épouse : f(t+1) = a + r1*f(t) + imf(m(t))
f - femme
m – mari
t - temps
a – constante representant l’état d’esprit de lorsqu’elle discute avec son mari.
r1*f(t) - facilité avec laquelle son état d’esprit change lorsqu’il discute avec sa femme.
imf - « fonction d’influence », mesure de l’influence que les remarques du mari ont sur sa femme.
m(t) - score du mari pendant leur conversation de quinze minutes.
f(t+1) - réaction de la femme aux propos de son mari.
Plus le résultat est élevé, plus les risques de divorce sont grands.

Equation du mari : m(t+1)= b + r2*m(t) + ifm(f(t))
b - constante représentant l’état d’esprit du mari lorsqu’il n’est pas avec sa femme.
r2*f(t) - facilité avec laquelle son état d’esprit change lorsqu’elle discute avec son mari.
ifm - « fonction d’influence », mesure de l’influence que les remarques de la femme ont sur son mari.
f(t) - score de la femme pendant leur conversation de quinze minutes.
m(t+1) - réaction du mari aux propos de sa femme.
Plus le résultat est élevé, plus les risques de divorce sont grands.

Les auteurs ont d'ailleurs publié un livre sur le sujet : The Mathematics Of Marriage: Dynamic Nonlinear Models, par John M. Gottman et al. (2005)

A voir : The Marriage Equation A Practical Theory for Predicting Divorce and a Scientifically-Based Marital Therapy

Slither Link, aussi connu sous le nom de Fences (clôtures), Loop the Loop (boucler la boucle) et Dotty Dilemma (dilleme des points) est un jeu de logique publié pour la première fois dans Puzzle Communication Nikoli n°26 (juin 1989). Dans la première version, toutes les cases comprenaient un nombre.
Le Slither Link se joue sur une matrice rectangulaire formée de points. Entre ces points, on retrouve parfois des nombres (entre 0 et 3). L'objectif est de relier horizontalement ou verticalement les points adjacents afin de créer une ligne unique continue. De plus, les nombres indiquent le nombre de côtés de la ligne qui doivent être adjacents au nombre. Par exemple, si une case contient le nombre 3, trois de ses côtés doivent être touchés par le trait continu. On indique souvent d'un X une ligne impossible à créer.

Pour jouer en ligne : Slither Link

Par Laurent Busslinger, 24 Heures, le 21 Juin 2007

Le taux de réussite des Vaudois à l’EPFL a dégringolé. En cause: le manque de connaissances en mathématiques.

Le taux de succès des étudiants vaudois en première année de l’EPFL s’est effondré. Pour 2004-2005, 77 élèves sur les 147 qui s’étaient présentés pour la première fois à l’examen propédeutique l’avaient réussi, soit un taux de 52,4%. Cela alors que la performance globale de tous les débutants de l’école était de 54,2%, et celle des Suisses de 53%. Pour 2005-2006, ils n’étaient plus que 69 Vaudois sur 167 à réussir leur première année, soit un taux de succès tombé à 41,3%. Bien en dessous de la performance générale (52,7%) et de celle des Suisses (46%).

Ces chiffres sortent d’une étude encore confidentielle, initiée pour mesurer l’arrivée dans la Haute Ecole des porteurs de la nouvelle maturité fédérale, qui a remplacé les anciennes sections (scientifique, classique, etc.) par des options (maths-physique, biologie-chimie, économie-droit, etc.). 24 heures a pu trouver les données concernant Vaud, et tous les Départements de la formation des cantons amenant à l’EPFL un échantillon suffisant d’étudiants ont été informés de leurs performances. Mais ils les gardent pour eux. Une publication n’étant pour l’instant «qu’envisagée». «Ces chiffres sont entre leurs mains, nous ne les communiquons pas», dit le président de l’EPFL Patrick Aebischer.

Valais et Fribourg en tête

Car c’est aussi dans les comparaisons que le bât blesse. D’après ce que nous avons quand même pu apprendre, Vaud n’enregistre pas seulement une baisse significative de la performance de ses élèves, mais est décroché par ses voisins. Grosso modo, les étudiants fribourgeois qui entrent à l’EPFL collent toujours à la moyenne suisse, avec, il est vrai des effectifs bien inférieurs à ceux des Vaudois. «Il n’y a pas chez nous de différence entre l’ancienne et la nouvelle maturité», lâche Nicolas Renevey, chef du service de l’enseignement fribourgeois. La performance des Valaisans, là encore avec de faibles effectifs, est significativement supérieure à la moyenne suisse y compris en 2006.

Patrick Aebischer, lui, s’en tient à des généralités: «Entre ancienne et nouvelle maturité, nous constatons une détérioration». Principal souci, la scission de l’ancienne section scientifique entre maths-physique et biologie-chimie: «Dans cette dernière, la base mathématique n’est plus suffisante.» Sans compter que s’ils n’ont pas choisi au gymnase l’option complémentaire des mathématiques renforcées, les élèves vont ramer doublement à l’EPFL. Ainsi, moins d’un quart des Vaudois qui se sont limités aux mathématiques standards ont passé leur première année. «Si l’on ne veut pas faire de sélection à l’entrée, il faut que les maturités soient des passeports vraiment valables, centrés sur ces savoirs fondamentaux que sont la langue maternelle, une ou deux langues étrangères, l’histoire, les mathématiques», poursuit Patrick Aebischer. Qui ajoute: «Sans se disperser, et avec assez d’heures d’enseignement.»

Trop éclectique?

Et c’est peut-être là que Vaud doit s’interroger. A Fribourg comme en Valais, l’enseignement secondaire (collège?+?gymnase) dure sept ans. Dans le canton de Vaud six ans, alors que les programmes vaudois ne cessent de se diversifier, qu’on s’aventure dans le droit matrimonial, l’informatique, etc. En attendant la publication complète des comparatifs de l’EPFL, avec toutes leurs nuances, il y a apparemment déjà là une piste de recentrage.