Le blog-notes mathématique du coyote

Parlons d’une construction mathématique très jolie et injustement méconnue : les fractions continues. Vous allez voir que les fractions continues sont à la fois simples, amusantes, belles et utiles !

Lire l'article sur Science étonnante.

SCIENCES - Une équipe de mathématiciens a bouleversé le monde des maths en découvrant un nouveau type de pentagone capable de "paver un plan", c'est-à-dire que les tuiles peuvent s'assembler sur une surface plane sans qu'elles ne se chevauchent ni ne laissent de trous.
Seuls quinze pentagones de ce type ont été découverts jusqu'ici. On n'en avait pas découvert depuis trente ans. C'est presque aussi impressionnant que de découvrir un nouvel atome, a déclaré Dr. Casey Mann, maître de conférences en mathématiques à l'université de Washington Bothell et membre de l'équipe.
L'équipe a fait cette découverte grâce à un programme informatique conçu pour l'occasion.
"Nous avons découvert la tuile en faisant une recherche exhaustive sur un ordinateur grâce à un ensemble de possibilités très large mais fini", a expliqué Casey Mann au journal Le Guardian, en ajoutant que l'équipe avait été "un peu surprise" de découvrir un nouveau type de pentagone. Avec lui, on retrouve le Dr. Jennifer McLoud-Mann, qui est également maître de conférences en mathématiques à l'université, et David Von Derau, récemment diplômé de cette même université.
En plus d'offrir une nouvelle façon de carreler son sol de salle de bains, Mann a déclaré que la découverte pourrait faire avancer la chimie et la biologie structurale – particulièrement dans l'étude des cristaux et dans l'auto-assemblage, un domaine en pleine expansion qui consiste à créer des structures qui s'assemblent de façon spontanée grâce à leur forme et leurs propriétés distinctes.


Le nouveau pentagone.
Bien sûr, les modèles de pavage (aussi appelé dallage) ont un intérêt estéthique considérable - tout du moins pour les mathématiciens.
"Nous les étudions principalement pour notre plaisir", a raconté Dr. Steven Strogatz, un mathématicien de l'université Cornell non impliqué dans la découverte, au Huffington Post. Il trouve que la nouvelle découverte est "cool" et fait remarquer que les dallages sont aussi présents dans les dessus-de-lit en patchwork, dans les motifs de papier peint et dans les nids d'abeilles, mais également dans les bâtiments tels que l'Alhambra et dans les gravures sur bois d' Escher comme celle-ci.
Cette nouvelle découverte vient complexifier un peu plus l'ensemble de faits connus sur les dallages et les polygones convexes (les conventionnels, avec les angles qui pointent tous vers l'extérieur).
Les mathématiciens ont prouvé qu'aucun polygone convexe possédant plus de six cotés ne peut paver un plan, selon Mann. Tous les triangles et les quadrilatères le peuvent, tout comme trois sortes d'hexagones.
Il est clair que les pentagones réguliers (ceux qui ont les côtés et les angles égaux) ne peuvent pas paver un plan. Selon Mann, on ne sait toujours pas non plus combien de sortes de pentagones irréguliers en sont capables. La découverte du nouveau ne change pas cette donnée.
"Après plus de 100 ans d'observation, nous ne savons toujours pas si nous avons découvert tous les types de pentagones convexes qui peuvent paver un plan", a-t-il affirmé dans l'e-mail. "C'est une énigme mathématique fascinante !"

Cet article a été publié sur le Huffington Post américain et traduit de l'anglais par Clémence Lecornué.
Lire aussi A five that fits par Marianne Freiberger dans la revue Plus.

Comme chaque année, une ONG calcule le « Jour du dépassement », date théorique et symbolique à laquelle l’humanité a consommé les ressources biologiques produites par la planète en une année calendaire. Le calcul ne peut être parfait mais l’évolution de son résultat au fil des années est édifiante.
Dans les années 1970, affirme le communiqué du WWF Suisse (partenaire de Global Footprint Network), cette date tombait en décembre. Depuis, ce jour remonte progressivement le calendrier et a atteint le 22 août en 2012, le 19 août en 2014 et le 13 août en 2015. Plus que le jour précis, basé sur une méthode que l’on peut toujours contester, c’est la progression de cette date qui est à considérer. Elle montre qu’au prix de la déforestation et de la surexploitation des ressources marines, nous consommons actuellement davantage que ce que peut produire la nature. Une autre manière de le dire est de compter en « planètes ». Nous sommes le 225e jour de l’année et 225/365 = 0,62. Notre consommation actuelle, pour l'année 2015, correspond donc à la production de 1/0,62 fois celle de notre planète, soit 1,6 Terre.

Lire l'article complet de Jean-Luc Goudet sur Futura-Sciences.

Les hommes sont comme les chiffres. Ils n'acquièrent de valeur que par leur position.

Napoléon Bonaparte

En repensant à cette merveilleuse pub (il y en a) de 1997, je suis posé des questions. On voit bien que le Chinois est sur la muraille de Chine. Mais d'où téléphone l'autre personnage ? Et peut-on dire à quelle époque de l'année l'action se situe. Enfin, est-ce tout simplement possible ?

J'ai toujours eu un problème avec les anniversaires : je sais quelques jours avant que c'est bientôt l'anniversaire de quelqu'un, mais j'oublie presque systématiquement de lui souhaiter le jour même... Et quand j'y repense, c'est trop tard. A force, cela fait rire tout le monde (sauf ma femme).
Toujours est-il que je me suis réveillé ce matin en me disant : "Cela doit bientôt faire 10 ans que j'ai créé ce blog". J'ai regardé la date de mon premier billet : c'était le 28 juillet 2005. La malédiction continue. J'y ai pensé, mais trop tard...
Je n'ai pas vu le temps passer. Et pour dire que les mathématiques sont d'une richesse incroyable, je crois que chaque fois que me suis assis devant mon ordinateur pour rédiger un billet, j'ai trouvé un sujet à traiter. Et des billets, il y en a eu plus de 2700 !
Je ne me lasse toujours pas...

Un documentaire sur John von Neumann passera mardi 4 août à 22h30 sur Arte.
Rediffusions jeudi 13.08 à 10h15 et lundi 17.08 à 9h50
Réalisateur: Philippe Calderon
Producteurs : ARTE France, Bfc Productions

John von Neumann, mathématicien hongrois, devenu américain après-guerre, a façonné le 20e siècle et continue de façonner ce début du 21e, sans que nous le sachions.Inconnu du grand public, il a pourtant laissé sa trace partout : dans les sciences, mais aussi au cinéma, où il a servi de modèle pour deux personnages mythiques de Stanley Kubrick : Docteur Folamour et HAL, l'ordinateur de "2001, l'odyssée de l'espace".
L'homme possédait une telle puissance de calcul qu'il donnait des complexes à ses pairs, dont Einstein. Il était à l'origine des théories les plus fondamentales et abstraites du siècle dernier, comme de leurs conséquences les plus radicales. Fondement des mathématiques, physique de l'infiniment petit, élaboration théorique de la mécanique quantique, économie et théorie des jeux, théorie de l'information et de l'intelligence artificielle, physique statistiques et automates cellulaires, fondements des neurosciences, il aura été à l'avant-garde des concepts forgés au siècle dernier qui transforment notre 21e siècle.

Portrait

Il a appris le grec ancien à 6 ans, dans sa ville natale de Budapest. Dans la trentaine, il a découvert l'Amérique, le pouvoir, le capitalisme, les femmes et l'alcool. Au centre des études avancées de Princeton, il était connu pour ses blagues salaces et son habitude de mettre de la musique militaire allemande à plein volume afin d'agacer Einstein. D'une légèreté insoutenable, capable de donner une fête de 300 personnes et de rester calfeutré dans son bureau, Von Neumann semblait avancer masqué. Il mourra des suites de ses travaux sur la bombe, c'est-à-dire les conséquences des radiations des tests nucléaires auxquels il assista. Bien plus que le portrait d'un homme, le film est le portrait d'une époque charnière dans l'histoire de l'humanité. A travers le regard d'un de ses membres le plus brillants et énigmatiques, nous verrons comment un groupe de penseurs européens a puisé ses idées dans la vieille Europe de l'entre-deux-guerres, et comment celles-ci ont traversé l'Atlantique dans les années 30, avant de transformer le monde.

Un joli problème, lu sur le "Tangente" no 165, provenant des jeux mathématiques et logiques :

Une entreprise a inventé un modèle de vase «super-fort». Dans un immeuble suffisamment haut, un testeur veut vérifier l'étage le plus élevé à partir duquel un vase «super-fort» peut être lâché sans être cassé à son arrivée au sol. Cet étage est au moins égal à 1 et au plus égal à 16. Il est le même pour tous les vases.
Un vase peut être lâché un très grand nombre de fois sans être cassé, cela ne change en rien ses caractéristiques techniques. L'entreprise a donné au testeur deux vases qu'il a le droit de casser.
Au minimum, dans le cas le plus défavorable, quel est le nombre de tests qui garantit la vérification de l'étage le plus élevé à partir duquel un vase peut être lâché sans être cassé à son arrivée au sol ?
Le rez-de-chaussée de l'immeuble est considéré comme l'étage numéro 0.

Derrière ce jeu tout simple en apparence se dissimulent des problèmes calculatoires difficiles. C'est probablement pourquoi Candy Crush est aussi addictif.
Il paraît qu'en ville, on n'est jamais à plus de quelques mètres d'un rat. Mais de nos jours, il est encore plus probable que l'on ne soit jamais à plus de quelques mètres de quelqu'un qui joue à Candy Crush Saga. C'est actuellement le jeu le plus populaire sur Facebook. Il a été téléchargé et installé sur des téléphones, des tablettes et des ordinateurs plus d'un demi-milliard de fois. Essentiellement sur la base de ce succès, son développeur Global King a récemment été introduit à la Bourse de New York avec une valorisation initiale de plusieurs milliards de dollars. Pas mal pour un petit jeu consistant simplement à échanger des bonbons virtuels pour former des chaînes d'au moins trois pièces identiques !
Une grande partie de l'attrait de Candy Crush pour les joueurs est liée à la complexité qui sous-tend ce passe-temps apparemment si simple. De façon surprenante, le jeu est aussi intéressant pour les chercheurs : il apporte un éclairage original sur l'un des problèmes ouverts les plus importants des mathématiques, ainsi que sur la sécurité des systèmes informatiques.

Lire la suite de l'article de Toby Walsh sur espace-turing.fr. L'article a été publié dans Pour la Science d'août 2015.
On peut aussi lire l'article de T. Walsh "Candy Crush is NP-hard", prépublication arXiv du 11 mars 2014

Spurious correlations compile toute une série de corrélations bizarres. Par exemple l'âge de Miss America corrélé avec les meurtres où ont été utilisés la vapeur ou des objets brûlants...

C'est aussi un livre.

L'arithmétique, c'est être capable de compter jusqu'à vingt sans enlever ses chaussures.

Walt Disney

En Février 1994, Mary Tai, chercheuse dans le domaine médical, publia un article de recherche intitulé

A mathematical model for the determination of total area under glucose tolerance and other metabolic curves.

ce qui peut se traduire par: Un modèle mathématique pour déterminer l’aire totale sous les courbes de la tolérance au glucose et d’autres métabolismes. Dans cet article, le Dr Tai annonce tout fièrement qu’elle a découvert une méthode pour calculer l’aire sous la courbe d’une fonction (donc une intégrale) qu’elle nomme tout simplement la méthode Tai et dont l’élément essentiel est une formule, elle aussi sobrement appelée formule de Tai.
Mais le pire dans tout cela, c’est que cette méthode et cette formule révolutionnaires n’ont en fait rien de bien nouveau car ce que vient de redécouvrir sans le savoir cette chercheuse n’est rien d’autre que… la méthode des trapèzes !

Lire l'article sur blogdemaths

Avec le petit programme qui estime la probabilité de réussite du tour.

Le cerveau est une structure extrêmement complexe, tant dans son fonctionnement que dans son développement. Les nombreuses circonvolutions de sa surface semblent en être une illustration. Pourtant, des chercheurs brésiliens proposent aujourd'hui de les comparer à du simple papier froissé.

Lire l'article sur Futura-Sciences

Les architectes qui ont dessiné cette église ont réussi à créer un monument unique et magique. Une véritable œuvre d’art qui se transforme en fonction de l’angle de vue de celui qui la regarde.

Cette église se situe en Belgique, dans la campagne de Looz, et elle a été conçue par le groupe d’architectes « Gijs Van Vaerenbergh ».

Plus d'images sur positivr.fr

Chaque jour, les site Images des mathématiques vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.
Cette figure sans paroles est délibérément présentée sans texte explicatif, ni énoncé. A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Mariez une belle idée originale, un produit de tous les jours entièrement réinventé, du financement public 2.0 et une bonne dose de communication virale, et vous obtenez un succès comme celui qu'est en train de vivre le Québécois Philippe Chrétien avec son horloge Fibonacci.

L'horloge Fibonacci de M. Philippe Chrétien a été conçue pour les gens curieux et inventifs pour qui la lecture du temps sera à chaque instant un défi... mathématique.
Mathématique, parce que la lecture de l'heure s'effectue selon la fameuse séquence des nombres du mathématicien Fibonacci, qu'il a élaboré au 13e siècle.
L'écran de l'horloge est constitué de cinq carrés dont les longueurs de chacun correspondent aux cinq premiers nombres de Fibonacci: 1, 1, 2, 3 et 5.
Les heures sont affichées en rouge et les minutes en vert, par incrément de cinq minutes. Et quand un carré est utilisé pour afficher à la fois les heures et les minutes, il tourne au bleu. Les blancs sont ignorés.
De plus, l'heure peut être affichée de différentes façons, jusqu'à 16 combinaisons différentes par exemple pour indiquer 6h30.

Source : canoe.ca

Énigmes Mathématiques Corrigées
du Lycée à Normale Sup'
Guillaume Deslandes, Clément Deslandes
Ellipses Marketing (2 décembre 2014)
192 pages

Présentation de l'éditeur
Cent énigmes et aucune astuce ! Cent pour cent logiques, cent pour cent mathématiques, les connaisseurs apprécieront. Pour les plus jeunes qui sont encore au lycée… ou pour ceux qui l'ont quitté il y a un certain temps, les auteurs ont inclus des rappels mathématiques « musclés ». Qu'ils n'hésitent pas à s'appuyer dessus pour être mieux armés dans leur tentative de résolution. Pour celles et ceux qui maîtrisent bien leurs sujets, taupins, colleurs, professeurs ou petits génies de la finance, qu'ils plongent directement dans la difficulté, ils ne seront pas déçus. Et si ça coince un peu plus que prévu, chaque énigme est assortie d'un indice qui peut éviter le recours trop rapide à la solution. Prenez le temps qu'il faut, ne gâchez pas votre plaisir !

Source : Choux romaneco, vache qui rit et intégrales curvilignes