Le blog-notes mathématique du coyote

Source : Saturday Morning Breakfast Cereals en francais !

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Séminaire Mathématiques et Société

« Les mosaïques, ces ordinateurs qui s'ignorent »
Conférencière : Nathalie Aubrun, ENS, Lyon
Mercredi 24 mai 2017 à 16h15
Auditoire Louis-Guillaume, ALG, F 200
Rue Emile-Argand 11
2000 Neuchâtel

Le séminaire est ouvert au public.

Résumé
Les mosaïques permettent de recouvrir une surface de manière décorative, avec un nombre limité de pièces différentes. Au sens mathématique, elles réalisent un pavage, c'est-à-dire un agencement sans chevauchement ni trou. Dans cet exposé, on s'intéressera à des pavages dont les éléments de bases sont des pièces de puzzles : les tuiles de Wang. Ce modèle, en apparence très simple, permet néanmoins de construire les pavages les plus complexes, et même de réaliser n'importe quel calcul !

Organisation : Paul Jolissaint, Institut de Mathématiques, Emile Argand 11, 2000 Neuchâtel

Demandez à 3 amis de choisir un chiffre inférieur à 10 et de le noter sur un papier.
La première personne multiplie son chiffre par 2, puis y ajoute 3 et multiplie le tout par 5.
Elle communique ensuite ce chiffre au deuxième individu, qui ajoute son propre chiffre au résultat et multiplie l’ensemble par 10.
La troisième personne ajoute enfin simplement son chiffre choisi au total.
Et maintenant, vous devez soustraire 150 au résultat final. Le nombre obtenu vous donne les chiffres choisis par les personnes. Le chiffre des centaines est celui de la première, etc.

Le grand public tend à ignorer ce qu’est la cryptologie. Invisible, et donc essentiellement impensée, elle intervient aujourd’hui dans de nombreux usages de la vie quotidienne, de la carte bancaire au téléphone portable. La circulation de l’information se trouve ainsi régulée par des procédures secrètes, dont l’usage subreptice n’est pas sans interroger l’exercice de la démocratie.
Cette deuxième partie (la première étant ici) commence avec l’introduction du télégraphe et la volonté d’Auguste Kerckhoffs de mettre l’accent sur les systèmes cryptographiques plutôt que sur les messages secrets entre deux acteurs particuliers. Le traitement des systèmes cryptographiques a ouvert la voie à des moyens mécaniques et à leur mathématisation.
Cette évolution a permis d’en venir à bout et d’en produire de nouveaux. Avec les travaux de Shannon et le développement des ordinateurs, la cryptologie se nourrit aujourd’hui de recherches spécifiques en mathématiques, comme par exemple la théorie des nombres pour les systèmes cryptographiques à clé publique

Lire l'article de Philippe Guillot et Marie-José Durand-Richard sur Images des mathématiques.

Un accord est intervenu entre la famille du mathématicien et l'université de Montpellier qui détenaient 28 000 pages de notes. Elles seront bientôt accessibles sur Internet.
Nous avions laissé les archives d’Alexandre Grothendieck dans une situation bancale en décembre. Les choses ont avancé quand le directeur du département de mathématiques de l’université de Montpellier, Jean-Michel Marin, a entamé un dialogue constructif avec les héritiers du mathématicien. Depuis des années, l’institution et les cinq enfants du mathématicien se regardaient avec méfiance quand il s’agissait de répondre à deux questions : à qui appartenaient les 28 000 pages de notes récupérées par l’université ? Pouvait-on mettre les écrits, il parlait de ses «gribouillis», à la disposition de la communauté scientifique ?
Si les dessins retrouvés dans les archives de Montpellier laissent penser que les travaux d’Alexandre Grothendieck sont accessibles, il faut quand même dix heures de travail à un mathématicien expérimenté pour décrypter une page de ses notes.
Ce sera chose faite mercredi 10 mai à 16h30 sur le site de l’université de Montpellier. Dans un premier temps, 18 000 pages de notes seront en libre accès. Pour le reste, du courrier pour l’essentiel, il faudra attendre le feu vert des personnes à qui était adressé le courrier dont Alexandre Grothendieck conservait une copie.

100 000 pages de notes inédites

Celui que l’on désigne souvent comme le plus grand mathématicien du XXe siècle – disparu à 84 ans en novembre 2014, à Lasserre (Ariège), où il vivait reclus depuis 23 ans – avait laissé derrière lui 100 000 pages de notes auxquelles personne n’avait eu accès. Aux 28 000 pages de Montpellier il fallait ajouter 65 000 pages soigneusement enfermées dans une quarantaine de boîtes réalisées sur mesure, et trouvées dans sa maison après son décès.
Que peut-on trouver dans ce trésor ? Peut-être rien, à moins que… Alexandre Grothendieck travaillait la nuit et confiait le fruit de ses heures sans sommeil à des scribes qui passaient des heures à transformer les intuitions en théorèmes clairs et irréfutables. Son but tenait en quelques mots : réconcilier l’algèbre qui démontre et la géométrie qui montre. Une tâche toujours inachevée, à laquelle travaillent les géomètres et algébristes. Né en 1928 à Berlin, arrivé en France à la veille de la Seconde Guerre mondiale à l’âge de 11 ans, élève moyen jusqu’à ce qu’un professeur plus curieux que les autres l’incite à se rendre à l’Ecole normale supérieure, à Paris, alors qu’il vient d’avoir sa licence à l’université de Montpellier. Alexandre Grothendieck entre dans la vingtaine et découvre qu’il a un don pour les mathématiques. Il intègre le groupe des collaborateurs de Nicolas Bourbaki - ce mathématicien polycéphale qui invente le travail collaboratif dans les années 40 - et décroche la médaille Fields, l’équivalent du prix Nobel pour les mathématiciens, en 1966.
Sa vie sera faite de ruptures. Des ruptures conceptuelles, d’abord, quand il fait avancer la géométrie algébrique à coup de concepts nouveaux, comme les motifs. Mais aussi des ruptures sociales, familiales, culturelles, politiques et amicales jusqu’à la fin de sa vie. En 1969, il invente avec d’autres ce qui va devenir l’écologie radicale, et rompt avec la recherche scientifique qui, pour lui, débouchera sur la fin du «tout», selon son expression. En 1991, il se retire à Lasserre, où il refuse de voir les visiteurs qu’il éconduit parfois avec douceur, et parfois avec des piques verbales acérées.

Le travail de décryptage ne fait que commencer

Si la question des archives de Montpellier est réglée, il reste maintenant à trouver une solution pour les 65 000 pages de Lasserre. Seront-elles vendues ? Seront-elles accessibles un jour ? Pour l’instant, la Bibliothèque nationale de France (BNF) et l’Institut des hautes études scientifiques (IHES) ne parviennent pas à formuler une offre aux enfants du mathématicien. La question clé étant : ce trésor a-t-il un prix ?
Ceux qui cliqueront sur les archives Grothendieck doivent être prévenus d’une chose. Il se trouve au pied d’un Himalaya des mathématiques, puisque chaque feuille manuscrite nécessite une dizaine d’heures de travail pour un géomètre algébriste rompu aux «gribouillis» grothendieckien. Les choses misent à plat, le travail commence.
Pour organiser le décryptage, il faudra sans doute qu’une équipe de mathématiciens s’organise à travers la planète, sur le modèle des Polymaths. Un mathématicien pose une question, et qui détient un bout de la réponse apporte sa contribution. La publication scientifique finale pourrait mentionner une quarantaine de signatures de chercheurs qui ne se seront croisés que numériquement.

Source : Philippe Douroux, libération.fr

Le site Mesure du discours est une plateforme d'analyses statistiques du discours politique français. On peut faire des recherches par mots-clés, par candidat et par discours.
Le site Slate.fr a utilisé cet outil dans un intéressant article intitulé Marine Le Pen et les insoumis: le FN se gauchise-t-il ?

Le lézard ocellé fait exception dans le règne animal, sa coloration s'organise à l'échelle de l'écaille plutôt que de la cellule. Des chercheurs lémaniques démontrent que la chose peut être expliquée par un système mathématique inventé en 1948 par John von Neumann.

Equations de Turing impuissantes

Chez tous les animaux, du poisson-clown au léopard, les changements de couleur de peau et les dessins qu'ils produisent sont dus à des interactions microscopiques qui se déroulent au niveau cellulaire et que décrivent parfaitement les équations du mathématicien Alan Turing. Mais pas chez le lézard ocellé (Timon lepidus), comme l'indiquent ces travaux publiés dans la revue Nature.
Une équipe de biologistes, physiciens et informaticiens dirigée par Michel Milinkovitch, de l'Université de Genève (UNIGE) et de l'Institut suisse de bioinformatique (SIB), s'est penchée sur la transformation graduelle de la peau de ce lézard. Du brun chez le jeune, elle passe à un labyrinthe d'écailles vertes et noires chez l'adulte.
Cette observation ne correspond pas au mécanisme découvert en 1952 par Alan Turing, impliquant des interactions au niveau cellulaire. Pour comprendre pourquoi le patron de coloration s'organise à l'échelle des écailles plutôt qu'à celle des cellules biologiques, deux doctorantes, Liana Manukyan et Sophie Montandon, ont suivi la coloration de plusieurs lézards pendant quatre ans, depuis leur sortie de l'oeuf jusqu'à l'âge adulte. Elles ont reconstruit la géométrie 3D et la couleur du réseau d'écailles au moyen d'un système robotique à très haute résolution, développé précédemment dans le laboratoire du Pr Milinkovitch, a indiqué mercredi l'UNIGE dans un communiqué.

Premier cas chez un être vivant

Les chercheurs ont observé que non seulement les écailles changent de couleur du brun au noir ou au vert, mais qu'elles continuent, une fois le lézard adulte, de passer du noir au vert et du vert au noir. Cette observation étrange a poussé le Pr Milinkovitch à formuler une hypothèse: le réseau d'écailles forme un «automate cellulaire», un système computationnel ésotérique inventé en 1948 par le mathématicien John von Neumann.
Les automates cellulaires sont des réseaux abstraits dans lesquels chaque élément change d'état - en l'occurrence la couleur verte ou noire - en fonction de l'état des éléments voisins. Les éléments sont appelés «cellules», mais dans le cas des lézards, ils correspondent aux écailles et non aux cellules biologiques. Si ces automates ont été largement utilisés pour modéliser des phénomènes naturels, l'équipe de l'UNIGE a découvert ce qui semble être le premier cas de véritable automate de von Neumann apparaissant chez un être vivant.
L'analyse du changement de couleur sur quatre ans a permis aux chercheurs de confirmer l'hypothèse du professeur Milinkovitch: les écailles changent effectivement de couleur en fonction de la couleur des écailles voisines. Ce résultat est appuyé par des simulations informatiques utilisant cette règle mathématique et qui produisent des patrons de couleur identiques à ceux des vrais lézards.

Modèles superposés

Il fallait alors comprendre comment les deux modèles mathématiques se retrouvent liés chez le lézard ocellé. En particulier comment des interactions microscopiques entre des cellules pigmentaires, décrites par les équations de Turing, peuvent produire un automate de von Neumann exactement superposé aux écailles de la peau.
La peau du lézard n'est pas plate: très fine entre les écailles, elle est beaucoup plus épaisse en leur centre et cette variation d'épaisseur peut influer sur le mécanisme de Turing. Par le biais de simulations informatiques tenant compte de la géométrie de la peau, les chercheurs ont fait émerger un comportement d'automate de von Neumann. Ils ont ainsi démontré que les «automates cellulaires» comme systèmes de calcul ne forment pas simplement un concept abstrait imaginé par John von Neumann, mais correspondent également à un processus naturel généré par l'évolution biologique.

La boucle est bouclée

Malgré ce succès, les simulations restaient imparfaites, les mathématiques de Turing et celles de von Neumann étant très différentes. Michel Milinkovitch a fait alors appel au professeur de l'UNIGE Stanislav Smirnov, lauréat 2010 de la Médaille Fields en mathématiques.
Le Pr Smirnov modifia alors les équations de Turing pour établir un lien mathématique formel avec les automates de von Neumann. Anamarija Fofonjka, doctorante dans l'équipe du Pr Milinkovitch, a utilisé ces nouvelles équations de Smirnov dans des simulations informatiques, produisant un système indifférenciable d'un automate de von Neumann.
L'équipe multidisciplinaire bouclait ainsi la boucle de cette aventure scientifique, de la biologie à la physique, aux mathématiques, et retour à la biologie. (ats/nxp)

Source : Tribune de Genève

Tombé l’autre jour sur un problème idiot mais intéressant : calculer le 10¹⁹ ème terme de la suite de Fibonacci. Idiot parce que ça ne sert à rien. Intéressant parce que ça sous-entend qu’il existe une manière de calculer le n-ième terme de cette suite définie par récurrence sans calculer tous les termes précédents. En effet, calculer les termes les uns après les autres prendrait dans les 300’000 ans à raison d’une microseconde par terme…

Lire l'article du Dr Goulu sur son blog Pourquoi comment combien

Nous présentons un modèle de statistique bayésienne permettant de construire une chronologie d’événements archéologiques. Ce type de modélisation permet d’intégrer à la fois des datations archéométriques, par exemple un âge radiocarbone, et l’ensemble des connaissances a priori telles que des dates historiques ou les relations stratigraphiques observées sur le site de fouille.

Lire l'article d'Anne Philippe et Marie-Anne Vibet sur Images des mathématiques.