Le blog-notes mathématique du coyote

On sait que trois tirelires contiennent : l'une deux billets de 10 Euros, la deuxième un billet de 10 Euros et un billet de 20 Euros, la troisième deux billets de 20 Euros. Sur chacune d'elles est fixée une étiquette indiquant une somme (20, 30 ou 40), mais quelqu'un a mélangé les étiquettes de sorte qu'aucune n'indique le contenu de la tirelire sur laquelle elle est fixée.
Comment, en retirant un seul billet d'une seule tirelire, peut-on connaître le contenu de chacune des trois ?

La loi des séries. Alors que je disais mercredi qu'il était rare qu'une chanson contienne des termes mathématiques, voilà la vidéo que je vois le lendemain sur plusieurs blogs de maths :

Je parlais hier des diagrammes de Voronoi. Voici une étagère Voronoi (série limitée) du designer Marc Newson.

Soit S un ensemble de n sites de l'espace euclidien en dimension d. Pour chaque site p de S, la cellule de Voronoï V(p) de p est l'ensemble des points de l'espace qui sont plus proches de p que de tous les autres sites de S. Le diagramme de Voronoï de V(S) est la décomposition de l'espace formée par les cellules de Voronoï des sites.

L'applet Java de Paul Chew permet de voir une construction d'un diagramme de Voronoi site par site.

J'ai trouvé l'image ci-dessous sur le blog Je Véronise.... Il s'agit du Diagramme de Voronoi formé par les McDo de Paris. Le McDo le plus proche de vous est celui qui se trouve dans la même cellule que vous.

Il est rare d'entendre une chanson dont les paroles comportent des termes mathématiques. Hier, j'écoutais la radio d'une oreille distraite quand j'ai entendu cela :

Un plus un égale un (de l'album Cheyenne song)

Paroles: Gaëtane Abrial - André Manoukian
Musique: André Manoukian
Durée: 4.02

Ecouter un extrait

Le chiffre 3, papa, maman et moi
Le chiffre 2, moi et mon amoureux
Le chiffre 7, c'est l' plus beau il se la pète
Le chiffre 9, c'est le jour où je suis sortie de l'oeuf

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma petite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique

Le chiffre 4, j'aime pas j' veux pas débattre
Le chiffre 5, Channel numéro 5
Le chiffre 8, il est mystique
Le chiffre 6, (666) est plein de maléfices

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma p'tite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique

Quand l'espace temps s'est courbé
Nos parallèles se sont croisées
Depuis ton problème c'est que je t'aime pour l'éternité,
Nos deux figures sont symétriques,
Il a de l'allure notre algorithme
Et nos courbes exponentielles s'emmêlent jusqu'au septième ciel

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma petite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique

Mon théorème, mon Pythagore
Je t'aime plus fort, que le nombre d'or
Tu es mon nombre entier, je serai ta moitié
Et nous deux au carré, on fera un beau bébé

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma petite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique

Car 1+1=1, c'est mon Amérique
Ma petite cuisine quantique
1+1=1, c'est numérologique
Mais pas de cabalistique non non non

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma petite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique.

Le lien entre Musique et Mathématiques a fasciné des siècles d'érudits. Pythagore découvrait il y a plus de 2000 ans que les intervalles musicaux plaisants pouvaient être mis en relation avec des fractions simples.

Aujourd'hui, Clifton Callender de la Florida State University, Ian Quinn de Yale et Dmitri Tymoczko de Princeton, trois professeurs de musique présentent une nouvelle manière d'analyser et de classifier la musique à partir des mathématiques. Le trio propose une méthode appelée "Théorie géométrique de la musique" qui regroupe par "famille" les séquences de notes. Ils ont mis au point une méthode associant ces familles avec des structures mathématiques formées de points dans des espaces géométriques complexes

Différentes façons de classifier la musique produisent différents espaces géométriques et reflètent les différentes manières dont les musiciens ont compris la musique au cours des siècles. Ce procédé permettra, espèrent-ils, aux chercheurs d'analyser et comprendre la musique plus profondément. Leurs travaux représentent un point de départ majeur dans la quantification de la musique selon Rachel Wells Hall du Department of Mathematics and Computer Science de la St Joseph's University de Philadelphie. Elle ajoute que cette avancée "est marquante de par le large spectre de ses applications musicales et compte tenu de la profondeur de son contenu mathématique".

Cette méthode promet de fournir de puissants outils pour la conceptualisation de la musique permettant ainsi à de nouveaux projets de voir le jour. "On pourrait créer de nouveaux types d'instruments de musique, de nouveau jouets, de nouveaux moyens de visualisation de la musique, de nouveaux accords musicaux ou de nouveaux moyens d'apprentissage de la musique et d'autres conséquences pratiques pourraient suivre" affirme Tymoczko. Sa plus grande satisfaction étant de pouvoir observer la structure logique liant divers concepts musicaux différents.

"Nos méthodes ne sont pas faîtes pour reconnaître Aerosmith des Rolling Stones mais elles permettent de visualiser les différences entre John Lennon et Paul McCartney. Et vous pourrez voir ce qui lie la musique classique au rock et ce qui la différencie de la musique atonale" conclue Tymoczko.

Source : http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/54348.htm

WASHINGTON - Les exemples concrets sont loin d'être la meilleure méthode pour comprendre les mathématiques, selon une étude publiée jeudi aux Etats-Unis qui privilégie une approche d'assimilation abstraite.
"Il est très difficile de faire comprendre des principes mathématiques à partir d'un exemple concret", affirme Vladimir Sloutsky, co-auteur de l'étude et directeur du centre pour la Science cognitive de l'Université d'Etat de l'Ohio (nord). "Les exemples concrets peuvent être de bons moyens pour tester la maîtrise des connaissances acquises mais ce sont de mauvais instruments d'enseignement", ajoute ce chercheur dont les travaux paraissent dans la revue américaine Science datée du 25 avril. Les étudiants qui apprennent une règle mathématique à travers un ou plusieurs exemples concrets auront en effet plus de mal à la réutiliser dans un nouveau contexte comparativement à ceux l'ayant acquise seulement de façon abstraite, selon ces chercheurs. C'est ainsi qu'un grand nombre d'étudiants pouvant résoudre le problème de savoir à quelle heure le train A va croiser le train B, seront incapables d'appliquer cette solution à d'autres exemples s'ils n'ont pas acquis la formule de manière uniquement abstraite, explique Jennifer Kaminski, principale auteur de l'étude.
Les chercheurs ont testé leur théorie sur un groupe de 80 étudiants de niveau Deug-Licence qu'ils ont répartis en quatre sous-groupes. Ils leur ont enseigné un principe arithmétique simple illustré par un, deux et trois exemples concrets pour les trois premiers sous-groupes alors qu'ils se sont contentés d'une simple explication abstraite pour le dernier groupe. Ils ont ensuite soumis l'ensemble des 80 étudiants à un questionnaire à choix multiples pour tester la compréhension du principe de calcul enseigné.
Le meilleur score (80% de réponses exactes) a été réalisé par le groupe d'étudiants ayant appris ce principe de calcul de manière purement abstraite.Les autres sous-groupes n'ont obtenu que 51% et 43% de réponses justes respectivement, dont une grande partie attribuée au hasard. Les exemples concrets pourraient même distraire les étudiants en les empêchant de se concentrer sur le concept lui-même, explique Vladimir Sloutsky.
Selon lui, "ces conclusions remettent en cause une croyance de longue date en pédagogie". "Nous avons vraiment besoin de présenter ces concepts par des représentations très symboliques", insiste Jennifer Kaminski. "Les étudiants sont ensuite mieux préparés à les appliquer dans une variété de situations", dit-elle.

(©AFP / 25 avril 2008 02h06)

La feuille à problèmes : un lien entre enseignants de mathématiques pour chercher et faire chercher des problèmes à nos élèves, échanger des idées, communiquer des expériences.

Les auteurs présentent leur site ainsi :

- L’idée initiale était d’abord de se faire plaisir en cherchant des problèmes, ce qui avait été initié à l’IREM par l’organisation d’un atelier sur le problème.
- Ensuite l’idée d’un " enseignement par le problème " avait été vaguement agitée.
- Enfin vint l’idée qu’après tout, beaucoup de ces problèmes qui nous amusaient tant pouvaient aussi amuser nos élèves. En résumé, faire des mathématiques, pour nous, c’était avant tout, chercher et résoudre des problèmes, et nous voulions faire partager à tous, élèves et enseignants, notre plaisir. Assez rapidement, cette l’idée de faire découvrir à nos élèves ce qu’est vraiment un problème de mathématiques a prospéré sous forme du " problème ouvert ", qui a donné lieu à une brochure suffisamment diffusée pour qu’il soit inutile d’en parler ici. Mais la feuille à problèmes n’était pas la propriété d’un seul clan, et elle s’est ouverte aussi dans d’autres directions : échanges sur les erreurs des élèves, sur des situations problèmes, sur l’expérience maths en jeans, etc... Tout ce qui semblait intéresser et même passionner les enseignants dans leur travail quotidien y trouvait le cas échéant droit de cité, mais avec bien sûr toujours cet intérêt central porté au problème, considéré comme le coeur des mathématiques.
Que souhaiter à la nouvelle feuille à problèmes ? Le plus important, me semble-t-il, c’est que tous ceux qui y collaborent y trouvent le même plaisir que nous à l’époque : nous nous sommes bien amusés, car nous étions passionnés par le problème en mathématiques, à la fois pour nous et pour nos élèves. C’est tout le malheur que je souhaite à tous les collaborateurs, assidus ou occasionnels de la nouvelle publication : amusez-vous et amusez vos élèves !

Voici Mathonaire, une version mathématique du jeu "Qui veut gagner des millions ?" : une question, quatre réponses possibles. C'est en anglais.

Les années 1836-1934 du Journal de Mathématiques Pures et Appliquées ont été numérisées par la Bibliothèque nationale de France et sont présentes dans la collection numérique Gallica. Il manque encore un volume, qui n'a pas été numérisé.

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Nous savons tous qu'un point est une figure de dimension 0; qu'une ligne droite est un objet de dimension 1; qu'une surface plane est un objet de dimension 2; qu'un volume est de dimension 3... Ceci est la dimension euclidienne ou topologique (en réalité ces deux termes ne snt pas strictement synonymes). Qu'en est-il d'un objet fractal ?
Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d'un objet.
On peut tenter une approche simplifiée. Imaginons que je veuille mesurer la limite (supposée droite) entre deux terrains, que cette longueur soit de 10 m et que je dispose d'une règle de 1 m. Il est évident que je dois l'appliquer 10 fois le long de la limite pour faire la mesure. Si ma règle fait 0,5 m je devrai la reporter 20 fois. On voit que, si je divise par n la longueur de la règle je dois multiplier par n le nombre de fois où je la reporte, ce qui donne un rapport de n/n=1.
Si la longueur à mesurer est une courbe, on comprend qu'en utilisant une règle droite reportée n fois de la même manière on n'aura qu'une valeur approximative, notablement sous-évaluée. Plus la règle sera courte, plus l'opération sera fastidieuse, mais plus le résultat sera précis. Pour une règle suffisamment (infiniment) petite, si je divise par n sa longueur, je multiplie encore par n le nombre de fois où je l'applique le long de la ligne et j'obtiendrai la longueur exacte de la courbe. Ceci donne toujours un rapport de n/n, soit 1 (c'est vrai aussi si j'écris ln n/ln n, remarque qui va nous servir bientôt).
Imaginons maintenant que je veuille recouvrir une surface avec du carrelage. S'il me faut n carreaux de 20 cm de côté, et que changeant d'avis je veuille des carreaux de 10 cm de côté, je sais qu'il ne me faudra pas 2 fois plus de carreaux, mais 4 fois plus, puisque la surface est proportionnelle au carré des dimensions linéaires.
Autrement dit n'=n². Donc ln n'/ln n=ln n²/ln n=2 et ln n²/ln n=2. Chacun sait que 2 est la dimension euclidienne ou topologique de toute surface. On voit sans difficulté que cette relation se vérifie quelle que soit la taille choisie pour les carreaux. Cette manière de calculer la dimension est appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch ou "dimension fractale". Le même raisonnement s'applique sans difficulté à la dimension 3 pour les volumes.
La dimension de Hausdorff-Besicovitch est souvent difficile à calculer, mais il existe des exemples simples. Sans entrer dans les détails on peut penser qu'un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en n'emplissant qu'une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. L'image ci-dessous montre en effet clairement que chaque fois qu'on réduit d'un facteur 3 la longueur de la règle, on multiplie par 4 le nombre de fois où l'on doit l'appliquer le long de la figure. Ceci démontre que sa dimension de Hausdorff-Besicovitch est égale à ln 4/ln 3=1,26…

Les fractales sont des objets dont la dimension de Hausdorff-Besicovitch est strictement supérieure à la dimension topologique. On trouve sur Wikipédia une liste de fractales par dimension de Hausdorff.

A lire aussi :

• Les fractales, un dossier de Futura-Sciences, dont le texte ci-dessus est extrait.
• Dimension fractale

Une courbe de Peano est une fractale. Vous voyez ci-dessous les quatre premières itérations. Quand le nombre d'itérations tend vers l'infini, cette courbe passe par chaque point du carré unité. Bien que formée d'une simple ligne, elle est de dimension 2.
Cette courbe est nommée en l'honneur de Giuseppe Peano qui fut le premier à la décrire.

A lire : Les courbes de Peano

L’employée de maison d’un mathématicien célèbre, interrogée sur l’activité de celui-ci, répondit qu’il passait son temps dans son bureau à écrire sur des bouts de papier qu’il jetait ensuite consciencieusement à la poubelle.

Alain Connes