Le blog-notes mathématique du coyote

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Vaut-il mieux nouer ses lacets en boucles horizontales ou verticales, ou encore de façon croisée? A cette question existentielle, un chercheur australien, dont les travaux ont été publiés par la très sérieuse revue scientifique Nature, tente d'apporter une réponse mathématique.
Burkhard Polster, mathématicien à l'Université Monash (Etat de Victoria), a d'abord identifié toutes les variables de cet exercice quotidien d'une bonne partie de l'humanité: nombre d'oeillets de la chaussure, efficacité du laçage, effort nécessaire, longueur du lacet... Après avoir mis en équation l'ensemble de ces données, le scientifique australien a rendu son verdict: la méthode droite, utilisant des boucles horizontales entre chaque oeillet, et le zig-zag américain, à base de boucles croisées, sont les méthodes les plus courantes qui permettent le laçage le plus solide.
Mais le favori reste la méthode du "noeud papillon", une technique complexe et peu répandue combinant boucles horizontales, pour les oeillets du haut et du bas, et boucles croisées, pour les oeillets intermédiaires. Résultat: un laçage efficace et économe en longueur de lacet.

Source : Funny News
A lire : La révolution des oeillets, par Jean-Paul Delahaye, Pour la science no 352, février 2007
A voir : Ian's Shoelace Site

Pas facile d'écrire droit au tableau...

Wir müssen wissen, wir werden wissen. (Nous devons savoir, nous saurons)

David Hilbert

Cette phrase est gravée sur sa pierre tombale, à Göttingen, où de nombreux mathématiciens et autres scientifiques sont enterrés.

Trois gars vont dans un hôtel. Le réceptionniste annonce la chambre à 30 €. Chacun donne 10 €.
Un peu plus tard, le réceptionniste réalise que la chambre est en fait à 25 €. Il appelle le groom et l'envoie avec les 5 € chez les gars qui ont loué la chambre.
En route, le groom se demande comment il va partager les 5 € en trois. Il décide de donner à chaque gars 1 € et garde 2 € pour lui.
Donc, chacun des trois gars a payé 9 € pour la chambre ; cela fait donc un total de 27 €.
Ajoutons à ces 27 € les 2 € gardés par le groom ; cela fait 29 €.
Où est passé l'euro manquant ?

La NASA a finalement accepté de lancer ses futures missions lunaires en utilisant le système métrique décimal. Les propres scientifiques de l'Agence ont enfin eu gain de cause alors qu'ils en faisaient la demande depuis qu'une erreur de calcul due à une confusion entre miles et kilomètres avait provoqué l'échec de la mission d'une sonde martienne.
L'espace est devenu un business international et la NASA indique que seuls les Etats-Unis, la Birmanie et le Libéria utilisent toujours les miles pour mesurer les distances. L'agence spatiale, après des entretiens avec ses homologues de 15 autres nations, a annoncé la semaine dernière que le futur projet lunaire serait réalisé en utilisant uniquement le système métrique (et les unités SI).
En 1999, la sonde Mars Climat orbiter avait atteint Mars, mais était entrée sur une orbite beaucoup trop basse et s'était écrasée dès son premier passage au-dessus de la face cachée de la planète. La NASA avait plus tard révélé que ses ingénieurs s'étaient embrouillés lors de la simple conversion d'unités métriques en unités impériales (américaines !) d'une information orbitale.
La NASA a commencé à utiliser les mesures métriques pour quelques missions dès 1990, mais pour la plus grande partie d'entre elles, les navettes spatiales ou l'ISS par exemple, les miles, livres et gallons sont toujours de mise.
"Mon unité impériale favorite est le slug. La puissance de lancement de la navette est mesurée en slug", ironise Ben Quine, professeur d'ingénierie spatiale de l'université d'York. (Le slug est défini comme étant la masse qui, soumise à une force d'une livre, reçoit une accélération d'un pied par seconde par seconde).
Selon lui, le changement ne sera pas facile pour les américains. "Mais tout le monde doit faire attention avec les unités lors des conversions." Cependant il pense qu'à la longue, les calculs seront facilités. "Le pied est défini d'après la taille du pied d'un des rois d'Angleterre. Je ne me souviens pas lequel. Ce n'est vraiment pas une bonne façon d'envoyer des gens dans l'espace que de se baser sur la taille du pied d'un roi mort."

Source : Techno-Science.net

La brochure « Zoom sur les métiers des mathématiques » est l’initiative de quatre associations : la Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles (SMAI), la Société Mathématique de France (SMF), la Société Française de Statistique (SFDS) et l’association Femmes et Mathématiques. Le projet a été coordonné par Brigitte Lucquin et réalisé en partenariat avec l’Onisep.
Cette brochure présente une galerie d’une vingtaine de portraits de jeunes femmes et hommes récemment engagés dans la vie active dans des métiers essentiellement hors enseignement et recherche universitaire - pour lesquels une formation mathématique de base joue un rôle fondamental.
Elle vise un public de collégiens, de lycéens, d’étudiants ainsi que leurs parents, leurs professeurs et des responsables d’orientation et de formation.

Télécharger la brochure « Zoom sur les métiers des mathématiques » (format PDF 6 Mo).

Quatrième de couverture
Pour apprécier les 200 contes, énigmes et autres casse-tête réunis dans Oh, les Maths ! il suffit de posséder de modestes connaissances en mathématiques, c'est-à-dire quelques notions des règles élémentaires de l'arithmétique et de la géométrie. Oh, les Maths ! offre en un seul volume une variété étourdissante de problèmes amusants. Afin d'exciter la curiosité du lecteur, ce livre-jeu recourt à de stimulantes incursions dans l'histoire des sciences, mêlées à des applications inattendues de l'algèbre dans la vie quotidienne.

Yakov Isodorovitch Perelman est un des plus grands vulgarisateurs scientifiques du XXe siècle. Tous ses livres ont connu à travers l'Europe un immense succès ; Oh, les Maths ! demeure le plus apprécié : c'est l'ouvrage le plus représentatif de son talent de pédagogue et de son génie créateur. Il a rédigé une centaine d'ouvrages et des milliers d'articles. Ses ouvrages sont régulièrement réédités et ont été traduits dans dix-huit langues.

Google: nouvel outil pour mesurer l’impact d’une découverte scientifique ?
Par Dominique Selse
Article paru sur Futura Sciences le 16 mai 2006

C’est à une utilisation originale du moteur de recherche Google, ou plutôt de son algorithme de classement, que viennent de penser des physiciens américains. Avec le fameux « PageRank », qui donne une idée à la fois de la pertinence et de la popularité d’un site et d’un document web, ils proposent une méthode systématique pour mesurer… rien moins que la qualité du travail des scientifiques.

La communauté scientifique a pour pratique d’évaluer l’importance d’un résultat par l’impact qu’aura sa publication, lequel est lui-même mesuré en comptant le nombre de citations par d’autres articles sur une période donnée: c'est le "facteur d'impact" (ou "impact factor"). La technique de comptage manuel ou automatisé aboutissant à des « indices de citation » n’est pas infaillible. Il a pu arriver que certains « papiers », qui ont marqué la physique par exemple, n’aient eu que peu de citations… Parmi les « perles » égarées : le célèbre « Theory of the Fermi interaction » publié par Feynman et Gell-Mann en 1958, n’avait pas été abondamment cité. Il est pourtant à l’origine d’une nouvelle théorie devenue ensuite le « modèle standard » pour les interactions faibles. Pas moins ! Google vient de permettre de l’exhumer… (1)

Le PageRank à la recherche des papiers perdus…

Pour « déterrer » de tels papiers, des chercheurs de l’université de Boston et du laboratoire Brookhaven proposent une nouvelle technique en utilisant l’algorithme dit de « PageRank » du moteur de recherche. Arrêtons-nous un instant sur ses principes. Le PageRank, ou « PR », inventé par les deux fondateurs du moteur Sergueï Brin et Larry Page, et qui est en grande partie à l’origine du succès de Google depuis la fin des années 1990, représente la « popularité » d’un site ou d’un document sur la Toile à travers le nombre et le poids des liens qu’il entretient avec d’autres sites. Google compte ainsi le nombre de liens reçus par une page, et analyse leur « poids », c'est-à-dire l’intérêt de la page de provenance. Cela s’apparente à un « vote » permettant au contenu Web mondial d’élire en quelque sorte les sites et les documents les plus intéressants. Le PR se traduit par un nombre entre 0 et 10, qui permet de classer les sites selon leur pertinence à des requêtes par mots-clés.

Mathématiquement, supposons qu’une page A reçoive des liens entrants en provenance des pages T1, T2… Tn et émette des liens sortants vers d’autres pages au nombre de C(A). En tenant compte d’un facteur de pondération d, le PageRank est formulé ainsi (et déterminé par un calcul itératif):

PR(A) = (1-d) + d(PR(T1)/C(T1) + … + PR(Tn)C(Tn))

Les chercheurs américains ont appliqué cet algorithme à un réseau composé de la totalité des articles de Physical Review et de leurs citations entre 1893 et juin 2003. Ils l’ont représenté comme une matrice de 353 268 « nœuds » (les articles publiés durant la période) et de 3 110 839 « liens » (les citations entre articles de la revue).

Les scientifiques ont trouvé que les résultats obtenus par la technique du PageRank sont linéairement corrélés à ceux de la technique classique des indices de citations. Ainsi les articles les plus souvent cités sont aussi ceux qui ont un PR élevé ! Mais ils sont aussi découvert des « anomalies » : certains papiers exceptionnels ont un PR excessif comparé à leur indice de citation. Exemple de quelques « classiques » injustement enfouis dans la littérature : un papier de Wigner et Seitz (« On the constitution of metallic sodium ») paru en 1933, qui est une référence sur l’état solide ; ou l’article de Glauber en 1963 (« Photon correlations ») couronné plus tard par un Prix Nobel de physique…

Avec cette application inattendue du plus célèbre des moteurs de recherche, qui décidément ne cesse de surprendre, les chercheurs pourraient disposer d’une palette de techniques plus large et plus sûre pour organiser la littérature scientifique ainsi que la recherche d’informations au sein de la masse publiée chaque année.

(1) Physics/0604130, Finding Scientific Gems with Google, P. Chen, H.Xie, S.Maslov, S. Redner

Le solitaire est typiquement le genre de jeu que l'on peut étudier mathématiquement au lycée. Il n'est ni trop dur, ni trop facile. Emmanuel Harang a mis sur son site eternitygames.free.fr des ressources intéressantes sur ce jeu et sur "Le compte est bon".

Le site www.languageguide.org permet d'écouter la prononciation des nombres dans différentes langues, entre autres en anglais, allemand, italien, espagnol, portugais, russe, arabe, hébreux, chinois et japonais.

Tiré du site officiel du dessinateur de presse Chappatte.

Je reproduis ci-dessous l'article du 14 janvier 2007 "Mensonges, mensonges", provenant du blog Chez INCLASSABLE Le Math'Ador, particulièrement utile quand les journalistes nous abreuvent jour après jour de sondages.

J'ai entendu récemment lors d'un journal télévisé du 20 heures la soi-disant information suivante : "Dans un duel Royal-Sarkozy, Ségolène Royal l'emporterait avec 50,5% des voix".
Cette phrase est un mensonge, une fausseté mathématique et donc de la désinformation si elle est présentée en l'état. Ceci principalement pour 2 raisons.

Première raison :

La première raison est due à la problématique et est normalement expliquée dans le programme de 2nde de mathématiques! Dans l'ensemble de la population, on s'interesse à une sous-population, de n individus, qui vérifie un certain critère (par exemple : voterait pour X aux élections présidentielles si ...). On souhaite connaitre la proportion p de cette sous-population.

Méthode 1 : On sonde toute la population. On connaitra avec exactitude la valeur de p mais ce procédé est trop coûteux et irréalisable. On utilise donc la méthode 2.

Méthode 2 : On sonde une partie de la population qu'on appelle un échantillon (on s'arrange suivant certains critères qu'il soit "représentatif" de la population totale, on ne fait pas par exemple le sondage à la sortie d'un lycée car les personnes interrogées ne seraient pas un échantillon représentatif de la population). Le nombre n de personnes sondées est appelé la taille de l'échantillon. La proportion de personnes vérifiant le critère (voterait pour X...) dans l'échantillon est p'.
Avantage : Le sondage est peu coûteux.
Inconvénient : Il n'y a aucune raison que p'=p. de plus si l'on réalise deux sondages il n'y a quasiment aucune chance que les deux valeurs de p' (données en information) soit égales.

Alors que peut-on dire ?????

Théorème (vrai !) : La taille de l'échantillon étant supérieure à 50. p' étant compris entre 30% et 70% . Le "réservoir" de la population étant suffisamment grand de sorte que le prélèvement d'un individu ne modifie pas la composition de cette population ( on peut en effet assimiler le sondage au prélèvement au hasard d'un individu). Si ces conditions sont réunies (et c'est le cas lors d'un sondage correctement réalisé), alors il y a 95% de chances que la proportion réelle soit comprise entre p'-1/(racine de n) et p'+1/(racine de n).

On peut donc seulement dire dans le cas qui nous interesse, en supposant que le sondage a été fait auprès de 1000 personnes, que Mme Royal possèderait 95% de chances d'obtenir un résultat compris entre 47,34% et 53,66%.

Ce qui est d'un contenu informatif assez médiocre.

Si l'on considère 3000 personnes les chiffres deviennent 48,67% et 52,3%, ce qui ne modifie pas sensiblement la nature du résultat mais à multiplié par 3 les frais de sondage !

Pour obtenir une certitude quasi-totale (95% de confiance) sur le score de l'élection, il faudrait que les résultats du sondage soient en dessous de 47% ou au dessus de 53%.

Deuxième raison :

Il n'y a aucune raison que le sondage avant vote soit le reflet exact d'un vote. De plus connaissant une information sur elle même, une population la prend en compte et réagit afin d'amplifier ou d'atténuer la caractéristique correspondante (c'est d'ailleurs le principe de la bourse dont on voit nettement le caractère chaotique).

Il devrait donc y avoir une loi interdisant l'inférer les résultats d'un sondage en intentions de vote ou résultats probables d'une élection sans émettre toutes les réserves nécessaires comme c'est le cas dans d'autres domaines. Cela donnerait par exemple :

"Attention l'interprétation abusive des résultats de sondages nuit gravement à votre équilibre mental, à votre sérénité et à votre capacité de compréhension."

A moins que cela ne profite à quelques-uns...

S'il y a bien un outil que je déteste utiliser au tableau, c'est le compas géant. L'idéal serait de pouvoir dessiner d'aussi beaux cercles à main levée que ce prof nommé Alexander Overwijk :

En attendant de découvrir la fontaine de jouvence, la science lève le voile sur certains facteurs qui peuvent déjouer les cartes de l’hérédité. Nous savons déjà que l’alimentation et la richesse ont une incidence sur la longévité, tout comme la famille et les réseaux sociaux. Mais le facteur qui ressort plus que tout autre, et celui sur lequel s’accordent la plupart des experts, est l’éducation (New York Times: A Surprising Secret to a Long Life: Stay in School. L'image ci-dessous est tirée de cet article). Entre autres, les gens éduqués ont plus de facilité à entrevoir l’avenir et ainsi retarder la gratification. L’incidence positive de l’éducation sur la longévité se vérifie dans quasi tous les pays, comme en témoigne le schéma ci-dessous pour les pays de 10 à 50 millions de populations.

Cliquez sur l'image pour l'agrandir
Source : Guitef: Le secret de la longévité: l’éducation

Encore un article intéressant de Jean-Paul Delahaye dans la revue Pour la Science de janvier 2007 : L'étonnante loi de Benford. Le « 1 » apparaît en premier bien plus souvent que les autres chiffres! Ce phénomène est imparfaitement expliqué, mais il permet de dépister les tricheurs. Cette loi est tout à fait présentable en classe et étonne toujours les élèves (et pas seulement eux). On peut les impliquer pour "récolter" des nombres qu'ils analyseront exploiter en classe, comme je le fais depuis plusieurs années.
Notons enfin que Delahaye cite un article de Paul Jolissaint, qui travaille dans mon lycée.

Un site extraordinaire sur les calendriers : Calendriers saga. Des dizaines de manières de découper le temps à travers les âges et les civilisations.

Statistix : centre de ressources, lieu de partage et de mutualisation pour l’enseignement de la statistique. Pour qui? Les enseignants des collèges et des lycées de toutes les disciplines.

Juste après Noël, le laboratoire SecuServe a publié son analyse du spamming en France. Son évaluation est basée sur l'activité professionnelle de cette société (650 clients). Les chiffres sont alarmants. Pour décembre 2006, la plupart des mails sont des pourriels.
Fin 2005, 80% des mails reçus en France étaient des mails bidons, ces fameux SPAM, vous invitant à acheter du Viagra ou à investir dans une société quelconque. La même évaluation, un an plus tard, montre que c'est désormais 95% des mails circulant en France qui sont à jeter avant même de les lire.

Le graphique montre la répartition des types de courriers. On voit que les nouveaux spams à base d'images (difficiles à détecter par les logiciels anti-spam) représentent acteullement un quart du trafic. Et effectivement, j'en reçois au moins un par jour.

A lire : Le laboratoire SECUSERVE, présente l’Evolution des Menaces Emails en France pour l’année 2006