Le blog-notes mathématique du coyote

Les J.O. de Turin sont terminés. Tout au long des jeux, on nous a présenté le tableau des médailles. Voici le palmarès final:

Rang	Pays	Or	Argent	Bronze	Total
1	Allemagne	11	12	6	29
2	États-Unis	9	9	7	25
3	Autriche	9	7	7	23
4	Féd. de Russie	8	6	8	22
5	Canada	7	10	7	24
6	Suède	7	2	5	14
7	Corée	6	3	2	11
8	Suisse	5	4	5	14
9	Italie	5	0	6	11
10	France	3	2	4	9
10	Pays-Bas	3	2	4	9
12	Estonie	3	0	0	3
13	Norvège	2	8	9	19
14	Chine	2	4	5	11
15	Rép.tchèque	1	2	1	4
16	Croatie	1	2	0	3
17	Australie	1	0	1	2
18	Japon	1	0	0	1
19	Finlande	0	6	3	9
20	Pologne	0	1	1	2
21	Bélarus	0	1	0	1
21	Bulgarie	0	1	0	1
21	Grande-Bretagne	0	1	0	1
21	Slovaquie	0	1	0	1
25	Ukraine	0	0	2	2
26	Lettonie	0	0	1	1

Ce tableau me laisse songeur. Pourquoi ne tenir compte que du nombre de médailles d'or pour établir le classement ? On arrive à des absurdités: regardez la Norvège qui se place derrière l'Estonie, alors qu'elle a 16 médailles de plus! En fait, il y a deux classements: celui-ci et un autre basé sur le nombre de médailles, tout métal confondu. Le deuxième n'est pas parfait non plus, puisque l'Estonie et la Croatie auront le même classement, alors que l'Estonie a 3 médailles d'or et la Croatie une seule.
Il serait intéressant d'imaginer en classe d'autres systèmes de classement et de comparer les palmarès. Des idées? Attribuer des points aux médailles, tenir compte de la population des pays, de leur climat, etc. Il doit bien y avoir un moyen de faire passer la Suisse au premier rang

Source : Torino 2006 - Palmarès

Moi: "Pour continuer ce problème, il faut utiliser quelque chose qu'on a laissé de côté jusqu'à maintenant. Quelqu'un voit quoi ?"
Philibert: "Le cerveau ?"

Un intéressant article sur la confection et l'usage des QCM en math dans le bulletin 462 de l'APMEP (janvier-février 2006), pp. 11-30. Je suis justement en train d'en réaliser pour aider mes élèves à s'auto-évaluer en ligne avant les épreuves.

Lors d'une leçon sur les paraboles:
Moi : "De la même façon que par deux points on peut toujours faire passer une droite, par trois points non alignés, on peut toujours faire passer..."
Visar, m'interrompant : "... un triangle !".

La fin des certitudes en mathématiques ?
Par Salvatore Tummarello, Futura-Sciences, le 21/02/2006 à 16h21

Les preuves de certains théorèmes mathématiques sont-elles si compliquées qu'il serait impossible de vérifier leur validité ?

Une démonstration d'un énoncé mathématique doit respecter un ensemble de règles logiques : cette rigueur est garante de la validité de cet énoncé. Or certains experts dont Keith Devlin affirment cependant que certaines démonstrations sont désormais impossibles à vérifier avec certitude : "I think that we're now inescapably in an age where the large statements of mathematics are so complex that we may never know for sure whether they're true or false" ("Je pense que nous sommes désormais dans une ère où les grands théorèmes en mathématiques sont si complexes que nous ne pourrons jamais savoir avec certitude s'ils sont vrais ou faux"). Cette opinion a de quoi choquer : retour sur les raisons qui peuvent motiver un tel constat.

La classification des groupes simples finis

Au terme d'un travail de près de trente ans, un groupe de mathématiciens donne en 1983 la classification définitive des groupes simples finis (incluant les 26 groupes sporadiques, voir notre dossier sur la classification des groupes ). L'aboutissement de ce programme titanesque représente des milliers de pages : on conçoit aisément l'ampleur de la tâche que serait la vérification pas à pas de toutes les étapes de la preuve ! Est-ce à dire selon Keith Devlin que nous ne pourrions jamais avoir la certitude de la validité du théorème ?
Non, car les travaux ne se sont pas arrêtés en 1983 ! L'éminent mathématicien Jean-Pierre Serre fut l'un des premiers à émettre des doutes quant à la rigueur de la justification, la possibilité pour qu'un tel ouvrage contienne des erreurs n'étant évidemment pas à écarter. Des lacunes furent tôt mises en évidence et débuta le travail de les combler, qui fut achevé dans les années 90. De plus sous l'impulsion de Daniel Gorenstein, une révision et une simplification de la preuve fut mise en oeuvre, culminant avec l'édition en 2005 de six volumes consacrés à la classification des groupes simples finis.

Le théorème des quatre couleurs

En 1852, Francis Guthrie constate qu'il suffit de quatre couleurs pour colorier la carte (pourtant compliquée) des cantons d'Angleterre. Il pose alors la question à son frère mathématicien de savoir si ce fait est valable pour toute carte plane : la conjecture des quatre couleurs est née. Un an après sa publication en 1878 par Cayley, Kempe propose une preuve qui sera réfutée seulement en 1890 par Heawood. A cette occasion, ce dernier publie une démonstration valable, mais pour cinq couleurs.
Suite aux avancées majeurs de Heesch en 1969, le théorème sera finalement démontré en 1976 par Appel, Haken et... un ordinateur ! En fait, le programme de Heesch aboutissait à un grand nombre de configurations à examiner au cas par cas : cette tâche inenvisageable à la main pouvant s'effectuer de façon mécanique à l'aide de l'informatique, Appel et Haken ont pu démontrer après 1200 heures de calculs, figures à l'appui, le théorème des quatre couleurs.

La conjecture de Képler

Comment empiler des sphères en perdant le moins d'espace possible ? Comme le suggère l'intuition, il suffit de procéder comme l'épicier sur son étalage. Mais cette question apparemment élémentaire est un formidable casse-tête pour les mathématiciens ! Cette conjecture semble désormais être un théorème. Pourquoi ne l'est-elle pas ? Car les vérifications ne sont pas encore finies... après des années de relecture par un comité constitué de douze personnes.
La démonstration soumise par Thomas Hales en 1998 comprend en effet un article de 250 pages mais aussi un vaste programme informatique. L'analyse étant particulièrement longue et difficile, à défaut d'avoir pu terminer cette dernière, les relecteurs ont affirmé que la preuve est correcte "à 99%". S'agit-il d'un théorème ? Si la tentation est grande de céder à l'optimisme, l'avenir seul en apportera la certitude.

Conclusion

Keith Devlin voit d'un bon oeil cette faiblesse des mathématiques et trouve que cela les rend plus humaines ("It makes it more human"). Pourtant l'histoire fourmille de démonstrations qui furent soit invalidées, soit complétées pour les rendre rigoureuses : nous avons vu le cas de la fausse démonstration de Kempe. On pourrait également citer parmi les plus célèbres la démonstration de la loi de réciprocité quadratique par Legendre, la tentative de d'Alembert au sujet du théorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) ou encore les nombreuses fausses démonstrations du cinquième postulat d'Euclide. Les mathématiques, comme les autres sciences, sont élaborées par des hommes...
Au-delà de ces évidences, la difficulté de vérifier les démonstrations modernes invite à considérer le problème d'un point de vue qualitatif. Car un théorème peut souvent être démontré de plusieurs manières différentes : Tchebichev déploya par exemple une lourde machinerie pour montrer un résultat que Erdös parvint avec beaucoup d'habilité à résumer à de l'arithmétique élémentaire. De manière plus terre à terre, on peut constater qu'il existe des manières plus élégantes de calculer la somme des entiers de 1 à 100 que d'additionner péniblement les cent nombres.
Erdös précisait qu'une démonstration devait expliquer le pourquoi du théorème. Ce n'est pas le cas de la démonstration du théorème des quatre couleurs, pourtant irréprochable sur le plan logique. Toutes les démonstrations ne sont donc pas égales du point de vue qualitatif et il est très probable que les générations suivantes remplaceront les longues démonstrations actuelles par quelques lignes à l'aide de concepts nouveaux.
Affinant notre connaissance et engendrant des questions nouvelles, l'originalité et la fécondité des idées mises en jeu dans les démonstrations demeurent donc la clé de voûte des mathématiques : ce sont elles qui font dire aux amateurs et experts que les mathématiques sont belles.

Roumanie : une revue de mathématiques unique au monde

Bucarest, 20 fév. - L’édition électronique de Gazeta Matematica /la Gazette des Mathématiques/ a enregistré, trois mois après son lancement, plus de 2 000 ventes de la collection complète, étant considérée par les spécialistes comme un produit unique au monde par la valeur de son contenu et la réalisation technique, écrit le quotidien Romania libera. Selon le journal, ont été mis en format électronique plus de 80 000 problèmes et articles mathématiques parus dans la revue, couvrant plus d’un siècle d’existence de la revue d’éducation mathématique la plus ancienne et réputée de Roumanie.
"Avant de démarrer le projet, dans le pays il y avait moins de 10 collections quasicomplètes de la revue, affectées par le temps et inaccessibles au public", a affirmé pr Mircea Trifu, secrétaire général de la Société des Sciences mathématiques de Roumanie, cité par Romania libera.
Selon pr Trifu, "nous avons réalisé par cette initiative un premier pas important dans le retour de la Gazette à la place due parmi les valeurs roumaines authentiques".
Le premier numéro de Gazeta Matematica date du 15 septembre 1895 et a été publiée onze décennies sans interruption, même dans l’entre-deux-guerres, représentant "une véritable école pour de nombreuses générations de jeunes passionnés, mais aussi pour bien des élèves primés aux olympiades de math".
Avant 1990, la revue paraissait dans plus de 120 000 exemplaires, mais les derniers temps le tirage a chuté à 10 000 exemplaires.
Gazeta Matematica en format électronique a été lancée par la Société des Sciences mathématiques, en partenariat avec la société Softwin, à l’occasion du 110e anniversaire de la parution de la revue.

Source : Roumanie.com

Vous souvenez-vous de l'histoire des moutons de Panurge ? Un seul mouton saute à l'eau et c'est l'ensemble du troupeau qui se noie. Il se pourrait bien que les amateurs de musiques choisissent leurs idoles de la même façon. La Star Academy nous l'avait déjà montré, mais aujourd'hui l'Université de Columbia nous le prouve.
Les chercheurs de Columbia ont créé un test grandeur nature, plus de 14.000 auditeurs. Ils ont créé un catalogue de chansons pop. Les titres et interprètes des ces morceaux étaient complètement inconnus.
Ce catalogue a été soumis à plusieurs groupes de personnes. Le premier groupe devait noter les morceaux sans pour autant communiquer leurs impressions. Cette référence a permis de se donner une idée de la qualité des morceaux sans "effet de groupe".
Puis, l'expérience a consisté à créer 8 groupes. Dans chacun d'entre eux, les auditeurs avaient la possibilité de connaître le nombre de téléchargement du morceau. Le morceau le plus populaire est différent dans chaque groupe. Mais le plus probant est que les chansons élues sont celles qui faisaient partie des plus téléchargées.
En effet, plus une chanson était écoutée, plus les testeurs suivants pensaient qu'elle en valait la peine. Une espèce d'effet boule de neige, qui peut propulser une chanson au devant de la scène sans référence à sa qualité.
En fait, l'offre de musique est trop importante pour que le public en écoute l'intégralité. C'est donc tout simplement le filtre de la popularité qui attire les auditeurs.

Participer au MusicLab : MusicLab à Columbia
Sources : LiveScience.com, Sur la Toile

Edugraphe est un éditeur de graphes écrit en java, convivial et simple d’utilisation. Il est particulièrement adapté aux programmes de mathématiques du secondaire et permet de créer des applets java directement exploitables en cours.

Les principales caractéristiques d’Edugraphe sont :

• Création de courbes définies par y=f(x) ;
• Création de courbes par la méthode d’Euler (programmes de première et terminale S) ;
• Possibilités d’ajouter des points et des droites quelconques sur le graphique ;
• Création automatique d’une tangente à une courbe (il suffit de préciser le point) ;
• Représentation des suites définies par un+1=f(un), un=f(n) ou un+1=f(un,n) ;
• Représentation graphique et calcul de la valeur approchée de l’aire d’un domaine défini par une courbe (méthodes disponibles : rectangles, trapèzes, point médian et Simpson) ;
• Illustration graphique et calcul de la valeur approchée d’une solution d’une équation de la forme f(x)=y ;
• Chaque élément graphique peut-être rédéfini par un simple clic ;
• Possibilité de zoomer et d’ajouter un quadrillage ;
• Un texte (avec ou sans formules mathématiques) peut-être associé à chaque élément graphique ;
• Le graphique peut être exporté sous la forme d’une image (format png ou eps pour LaTeX) et imprimé ;
• Le graphique peut aussi être enregistré sous la forme d’une applet java incluse dans une page web : un simple navigateur suffit alors à réafficher le graphique avec uniquement les éléments désirés.

JavaSlide est une applet java qui simule une antique règle à calcul.

Le boulier est un instrument de calcul très ancien qui a été utilisé dans toutes les régions du monde. Actuellement, on le rencontre encore en Asie (Chine et Japon principalement) et même en Europe de l'est, où il constitue toujours une méthode de calcul très courante, notamment sur les marchés.
L'objectif de ce wikibook n'est pas de présenter l'histoire du boulier mais son utilisation : vous y trouverez une initiation au boulier en 10 leçons. Ce cours est dans sa première partie inspiré du livre Le Boulier - Initiation de Jean Cumin et Jean Hossenlopp.
Il existe plusieurs méthodes pour utiliser un boulier. Les méthodes présentées sont un mélange de méthodes personnelles et de méthodes très classiques et souvent japonaises (les méthodes japonaises sont réputées plus efficaces).