Le blog-notes mathématique du coyote

Jos Leys est un artiste anversois qui utilise le logiciel Ultra Fractal pour transformer des concepts mathématiques en oeuvres d'art, par exemple les pavages de Voronoi, les empilements de disques, etc. Dernièrement, il a créé des oeuvres en hommage à Escher, mon artiste préféré. Un émerveillement pour les yeux, même si on n'aime pas les mathématiques.

A lire : Les beautés mathématiques de Leys, par Jean-Paul Delahaye, qui a également écrit un article sur le même sujet dans la revue Pour la Science no 342, avril 2006.

Geolabo est un logiciel qui permet de tracer des figures mathématiques, de les modifier dynamiquement, de les animer, de les exporter vers d'autres applications, ou sur le web! Les principaux points forts de Geolabo sont les suivants :

• c'est un logiciel libre, en particulier il est gratuit et librement distribuable.
• il est très facile d'utilisation, la construction des figures est très rapide et très précise.
• écrit sous Java, il est utilisable sous Windows, Linux ou Mac. Il dialogue parfaitement avec les logiciels de traitement de texte usuels (Word ou Latex). On peut aussi inclure très aisément des figures animées sur une page web.
• les tracés graphiques sont entièrement paramétrables : on peut représenter de multiples façons les codages de segments, il existe de nombreuses possibilités de traits de ligne, d'aspects de points, ou de remplissage de figures.
• il permet très facilement de construire des objets complexes comme des suites récurrentes, des polygones réguliers, des tangentes à des courbes, des figures avec des bords composées de diverses courbes...
• il est muni d'un système d'aide en ligne complet.
• grâce à son système de macro-constructions, il est extensible à l'infini : vous pouvez toujours ajouter les objets dont vous avez besoin!

Cela fait des années que j'ai cette image sur mon disque dur, sans avoir pu jusqu'à maintenant l'exploiter en classe. Je n'arrive pourtant pas à m'en séparer, elle a quelque chose de fascinant....

Il y a des manifs en France aujourd'hui (quelle surprise...). On va de nouveau assister à une bataille de chiffres pour savoir combien il y avait de manifestants. A qui se fier? Probablement à personne puisque les organisateurs ont intérêt à gonfler les chiffres et le gouvernement à intérêt à les baisser. On pourrait se dire que prendre la moyenne pourrait faire l'affaire. Oui, mais pas n'importe quelle moyenne. Il faut utiliser la moyenne géométrique. C'est la racine n-ième du produit des différentes valeurs :

On suppose qu'à l'issue d'une manifestation, la police annonce 10000 manifestants, et les organisateurs 100000. Quel est le nombre de manifestants? La première idée est de prendre la moyenne arithmétique : on trouverait alors 55000 personnes. Mais ceci surestime l'importance du chiffre donné par les organisateurs par rapport au chiffre de la police. Si cette dernière annonçait 1000 manifestants, on trouverait 50500, ce qui ne change pas grand chose.... Une meilleure idée est de se dire que les organisateurs et la police trichent de la même façon : si x est le nombre de manifestants réel, alors si les organisateurs annoncent 2 fois plus de manifestants, la police en annonce 2 fois moins, etc. Si x est le nombre réel de manifestants, et k le coefficent multiplicateur, la police annonce x/k manifestants, et les organisateurs kx. Prenons la moyenne géométrique du chiffre annoncé par les organisateurs et par les manifestants : on trouve exacement x. Une meilleure approximation que la moyenne arithmétique semble donc être pour notre problème la moyenne géométrique. Avec nos valeurs, on trouve environ 31600 personnes. Ce sont les organisateurs qui ne vont pas être contents!

Source : BibMath : diverses moyennes

Un mathématicien est une personne qui peut trouver des analogies entre les théorèmes ; un meilleur mathématicien est celui qui peut voir des analogies entre les démonstrations. Les très bons mathématiciens sont ceux qui peuvent déceler des analogies entre les théories. Mais on peut supposer que le meilleur des mathématiciens, est celui qui peut voir des analogies entre les analogies.

Stefan Banach

Comme le suggère son nom, le site Math à mâter tente de marier mathématiques, jeu et esthétique (psychédélique) autour des thèmes mathématiques favoris de l'auteur : les pavages et la 3D. La plupart des images ont été conçues avec le logiciel Mathematica. La visualisation et la manipulation des images tridimensionnelles, via un simple navigateur, sont rendues possibles par le fabuleux applet LiveGraphics3D, dont j'avais déjà parlé dans un précédent billet. Personellement, je trouve dommage que le fond d'écran soit aussi horrible. Les goûts et les couleurs...

En 1995 est paru dans la revue Pour la Science un article très intéressant, que je donne volontiers à mes élèves pour qu'ils apprennent à lire attentivement des articles scientifiques. Il l'intitulait "Surprise biologique". On y expliquait que la séquence des bases du chromosome 3 de dipneuste (voir photo) reproduit en base 4 les chiffres de pi.

Lire l'article

J'ai entendu ce matin que les votes pour la "Nouvelle star" sur M6 avaient été annulés, suite à une erreur de comptage. Cela me rappelle une autre émission "Loft story" (en 2001), toujours sur M6, où il y avait déjà eu des anomalies avec les votes. Fabien Muller s'était penché en détail sur les chiffres donnés avec beaucoup d'aplomb par Benjamin Castaldi :

Mardi soir : Loana fait un départ en flèche (71%) devant Julie (17%) et Laure (12%)

Mercredi soir : Changement de tendance: Laure (19,8%) devance maintenant Julie (18%), alors que Loana caracole toujours en tête (62,2%)

Mercredi, midi : Julie est toujours éliminée (21,2%), derrière Laure (24,1%) et Loana (54,7%)

19 h 30 : 54% pour Loana qui semble définitivement hors de danger, 24% pour Laure et 22% pour Julie

20 h 40 : Pour ouvrir le prime time hebdomadaire, Castaldi donne les dernières estimations. 1000 voix seulement séparent Julie (22%) et Laure (24%). On en déduit que seuls 50 000 votes ont été enregistrés les quatre jours précédents. C'est douteux, mais mathématique!

21 h 20 : Julie semble sauver sa peau avec 27% des suffrages, soit un point de plus que Laure (26%). L'animateur précise que 6000 voix séparent les deux candidates. Déduction toujours aussi mathématique: 600 000 votes ont été pris en compte.

21 h 40 : Au moment de clore les votes, Benjamin Castaldi, décidément bien imprudent, annonce que 3,5 millions d'appels ont été enregistrés et que les trois candidates se répartissent 28,4% pour la dernière, 31% pour la deuxième et 40,6% pour la première, Loana sans aucun doute. Double surprise pour l'esprit mathématique: plus de 3,4 millions de votes auraient été décomptés en une heure et l'écart réel entre les deux dernières candidates est de 91 000 voix!

La conclusion ne fait pas l'ombre d'un doute. Si les résultats finaux sont validés par un huissier de justice, les estimations diffusées sont totalement bidonnées et n'ont qu'une fonction: entretenir artificiellement le suspense de manière à inciter les téléspectateurs à voter massivement.

On peut même développer encore la démonstration, partant du principe que très peu de gens ont voté pour Loana au cours de la soirée d'hier (son score était clairement scellé). Comme elle perd environ 13 points dans la répartition des votes, on peut admettre comme probable qu'il y avait 3,1 millions de votes enregistrés à 20 h 40. L'écart réel entre Laure et Julie se chiffrait alors à environ 60 000 voix. Grâce à leur petite manipulation, M6 a réussi à réunir 400 000 votes en une heure, soit une moyenne de 111 votes par seconde. A 3,68 FF l'appel et 1 FF le sms, le jeu en valait assurément la chandelle.

Le portail de mathématiques de l'encyclopédie gratuite en ligne Wikipedia est une précieuse source d'informations. Malgré mes craintes, il semblerait, d'après certaines études, que Wikipedia soit finalement tout aussi fiable qu'une autre encyclopédie, même si des dérapages sont toujours possibles.