Le blog-notes mathématique du coyote

Le lycée Jacob Holtzer à Firminy possède en son cœur un puits cylindrique vers lequel convergent plusieurs couloirs et qui sert de plaque tournante pour distribuer différentes parties du bâtiment. Ce puits central donnait envie de le remplir par une structure légère qui n’alourdisse pas trop le vide mais invite à prendre la mesure. Vu les dimensions on pourrait songer que toute proposition nécessiterait des moyens matériels et financiers qui dépasseraient l’enveloppe qui peut être accordée dans le cadre d’un projet avec les élèves. C’est à ce stade que les mathématiques, en lien avec l’art plastique, trouvent leur intérêt.

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Andrew Wiles vient de remporter le Prix Abel pour sa démonstration du Grand théorème de Fermat qui dit qu’il n’existe pas de solution de l’équation aⁿ+bⁿ=cⁿ pour a, b, c, n entiers et n>2. Pourtant (mauvaise foi=on) :

1. il a en réalité « seulement » démontré un cas particulier du théorème de modularité (aussi appelé conjecture de Shimura-Taniyama-Weil) dont le théorème de Fermat résulte directement
2. quelques semaines après la publication des quelques 100 pages de la démonstration d’Andrew Wiles en 1995 [1], Homer Simpson se promène nonchalamment et en 3D devant un contre-exemple: 1782¹² + 1841¹² = 1922¹²

Cette égalité est due à David X. Cohen, matheux et co-scénariste de cette série pleine de références scientifiques. Si on la vérifie sur une calculatrice standard, on trouve que le terme de gauche vaut 2.541210259e+39 et que celui de droite vaut… 2.541210259e+39 ! C’est un contre-exemple du Grand théorème de Fermat, et la démonstration d’Andrew Wiles ne vaut pas tripette! (mauvaise foi=off)

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Des chercheurs ont fait jouer des étudiants à pierre-papier-ciseaux contre des ordinateurs. D'après eux, les joueurs faisaient des choix « irrationnels », notamment après un échec. Et comme la pierre semble l'objet préféré des joueurs, pour gagner, ils suggèrent de jouer plus souvent la feuille.

Qui n’a jamais joué enfant à chifoumi ou « pierre-papier-ciseaux » ? En théorie, il s'agit d'un jeu de hasard, puisque chaque objet a autant de chance de gagner : la pierre casse les ciseaux qui coupent la feuille qui enveloppe la pierre. Au-delà d’un simple jeu de récréation, les scientifiques y voient un modèle pour comprendre comment des individus prennent des décisions.
Dans cette étude, les chercheurs ont recruté 31 étudiants qui ont joué à pierre-papier-ciseaux contre un ordinateur, avec 225 essais en trois sessions de 75. Pour chacune, l'ordinateur jouait au hasard l'un des trois objets (25 fois chacun). Les participants devaient appuyer sur le bouton de leur choix pour jouer soit la pierre, soit le papier, soit les ciseaux ; ils avaient comme consigne d’essayer de gagner. Les chercheurs se sont intéressés à la stratégie des participants au cours du jeu pour voir comment ils réagissaient à une victoire ou à un échec.
Un choix « rationnel » face à un ordinateur qui choisit aléatoirement l’un des trois items consisterait à jouer au hasard l'un des trois objets. Mais d'après les chercheurs, les gens faisaient des « choix irrationnels » à ce jeu. Pourquoi ? Les émotions l'emporteraient sur la raison. Les joueurs, s'ils gagnaient, avaient tendance à conserver l'objet gagnant, et s'ils perdaient à en changer.

Un échec induit une réponse émotionnelle irrationnelle

En cas d'échec, les joueurs choisissaient plutôt l'objet contre lequel ils auraient gagné : par exemple, ils remplaçaient un caillou par des ciseaux. Après une égalité, le joueur avait tendance à choisir l'objet qui aurait gagné contre le choix précédent (par exemple en remplaçant le caillou par la feuille).
Pour Benjamin Dyson, de l'Université du Sussex, principal auteur de cet article paru dans Scientific Reports, « il est inquiétant que les gens aient tendance à prendre des décisions plus irrationnelles après avoir perdu ». Car, comme il l'explique dans le DailyMail, cela pourrait avoir des conséquences plus graves dans des situations risquées où les gens doivent faire des choix importants : en économie ou en politique par exemple.
« Ces décisions irrationnelles sont entraînées par une réaction émotionnelle à un résultat négatif et laissent les personnes vulnérables à un adversaire intelligent. L'émotion pourrait avoir un certain effet distrayant qui détériore la qualité de notre pensée. Si nous pouvons apprendre à séparer l'émotion du résultat, comme les joueurs de poker à succès, nous pourrions être en mesure d'atténuer ce risque. »
L'étude suggère aussi que pour avoir plus de chances de gagner, il vaut mieux choisir le papier, car les gens ont plutôt tendance à choisir le caillou. Dans d'autres travaux, en effet, les participants faisaient ce choix en moyenne dans 36% des cas.

Source : Marie-Céline Jacquier, Futura-Sciences

Un petit jeu tout simple, mais vite addictif : Is this prime ? Des nombres de 3 à 99 défilent et il faut dire s'ils sont premiers sans se tromper, le plus longtemps possible.

Il est bien difficile de donner une définition scientifique à un phénomène maritime aussi exceptionnel que les vagues scélérates, ces vagues dont l’amplitude et la violence sont totalement inattendues. Des mathématiciens américains ont pourtant décidé de se jeter à l’eau. Parfois, lorsqu'une onde se forme, elle subit de petites perturbations ; les chercheurs ont décrit les conséquences possibles de ce phénomène.

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Pourquoi pouvait-on naître un 29 février en l’an 2000 et pas en 1900 ? Certains soutenaient que comme en 1900 ou 1800, cette année ne serait pas bissextile ; d’autres au contraire, affirmaient que 2000 était une année à part... Mais au fait, pourquoi dit-on année « bissextile » ? et depuis quand ? Toutes ces questions étaient un très bon prétexte pour se pencher sur l’histoire de notre calendrier d’introduire les fractions continues.

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Le savant bâlois n’a pas seulement révolutionné les mathématiques. Celui qu’on surnommait «le Cyclope» a aussi été très actif à la cour de Russie et à celle de Prusse. Parue en 2015, sa biographie cartonne aux Etats-Unis

Le public suisse le connaît mal. Tout au plus se souvient-on de son visage sur l’ancien billet de 10 francs. Mais pour les mathématiciens, à commencer par son célèbre contemporain Pierre-Simon de Laplace, «il s’agit de notre maître à tous». Près de 80 objets mathématiques portent son nom: équations, angles, théorème, constante… Leonhard Euler (1707-1783) a donné un formidable coup d’accélérateur au savoir de son temps, depuis la physique jusqu’à l’astronomie, en passant par la dynamique des fluides et l’optique. Mais au-delà des nombres, l’homme apparaît comme un génie des Lumières au parcours incroyablement romanesque dans la nouvelle biographie qui lui est consacrée, un livre qualifié de «fascinant» par The Economist. Sur près de 700 pages, l’auteur américain Ronald S. Calinger raconte la trajectoire de cet érudit précoce et prolifique, depuis son enfance dans une famille de pasteur à Bâle et Riehen, jusqu’à sa mort à Saint-Pétersbourg.

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Séminaire Mathématiques et Société

« Chiffres, fraudes et hasard »
Conférencier : Pr Paul Jolissaint, Université de Neuchâtel
Mercredi 24 février 2016 à 16h15
Auditoire Louis-Guillaume, ALG, F 200
Rue Emile-Argand 11
2000 Neuchâtel

Le séminaire est ouvert au public.

Résumé
Lorsque l’on considère un ensemble de données numériques telles que la liste des prix de produits variés dans un supermarché, ou la liste du nombre d’habitants des communes de Suisse, ou encore la liste des superficies des lacs d’Afrique, pour ne prendre que quelques exemples, on constate un phénomène curieux : les diverses valeurs commencent plus souvent par un 1 que par un 2, ce dernier étant plus fréquent que 3, et ainsi de suite jusqu'à 9 qui apparaît le moins souvent. Nous verrons entre autres que cette propriété étrange, observée pour la première fois à la fin du XIXe siècle et partiellement inexpliquée, peut être utilisée pour détecter les fraudes dans les comptabilités et dans d’autres domaines. Elle permet également de montrer à quel point il peut être difficile d’imiter le hasard…