Le blog-notes mathématique du coyote

Vous avez dit hasard ? : Entre psychologie et mathématiques
de Nicolas Gauvrit
Belin, 2009

Présentation de l'éditeur
Q'est-ce que le hasard et existe-t-il vraiment? Par quels mécanismes près d'un tiers des personnes interrogées répondent-elles 7 à la question "donnez un chiffre au hasard"? Pourquoi n'y a-t-il rien d'improbable à partager un ami commun avec son voisin de siège en avion? Découvrez la réponse à ces questions et bien d'autres dans ce livre ludique et passionnant, à la croisée de deux disciplines: les mathématiques et la psychologie. Recourir aux mathématiques et à l'informatique paraît naturel pour définir formellement le hasard et en dégager les principales caractéristiques. Moins attendue pourtant est l'illusion qui nous affecte souvent face à l'imprévu et aux coïncidences: comme les psychologues l'ont montré, l'irrationalité de nos décisions, de nos superstitions, voire de nos croyances, tient en partie à une perception aussi fluctuante qu'imprécise du hasard! C'est ce qu'illustre l'auteur à travers de nombreux exemples issus de notre quotidien, de l'horoscope au loto en passant par le biais d'alternance ou l'apparition de la vie sur Terre...Un dialogue inattendu entre deux domaines-phares du savoir, une invitation à la découverte fascinante du hasard.

Les examens approchent... J'espère que mes élèves seront meilleurs que cette jeune fille.

Mais au fait, depuis quand les examens sont-ils filmés ?

Source : http://www.ritsumei.ac.jp/~akitaoka/pachinko.gif

Il n’y a pas au monde d’étude qui mette toutes les facultés de l’esprit plus harmonieusement en action que les mathématiques… Le mathématicien vit longtemps et reste jeune; les ailes de son âme ne fléchissent pas de bonne heure et ses pores ne sont pas obstrués par la poussière qui s’élève des grandes routes poudreuses de la vie vulgaire.

James Joseph Sylvester

"The Droste effect" est une expression hollandaise que l'on pourrait traduire par "mise en abyme". Il s'agit d'une image récursive : une partie de l'image se répète indéfiniment. Cette expression vient d'une boîte de cacao de marque "Droste" :

On peut maintenant créer, grâce aux logiciels de traitement d'images, des image plus sophistiquées telles que celle-ci :
Pour en savoir plus : Escher and the Droste effect

Pour voir d'autres trucages :

• Escher's Droste print gallery
• Droste effect

Prenez un segment de droite enduit de couleur et déplacez-le sur une surface noire. Appuyez et recommencez. Vous obtiendrez une figure en forme de voilage. On peut aussi utiliser des ficelles et des clous.
Xavier Gouchet a réalisé une version informatique du procédé.

D’après une étude de l’Université d’État de l’Ohio, les étudiants qui utilisent Facebook ont de moins bons résultats scolaires et travaillent moins que les autres. Cette corrélation n’implique pas que Facebook soit responsable de cette moins bonne performance, il est également possible que les moins bons élèves soient davantage attirés par les réseaux sociaux ou par l’internet en général.
Bref, il ne faut pas tirer de conclusions hâtives, nous rappelle Aryn Karpinski, coauteur de l’étude, mais il semble y avoir une relation. Une hypothèse serait que les étudiants qui manquent de motivation se laissent facilement séduire par la source de distraction la plus facilement disponible. En moyenne, les utilisateurs de Facebook étudient 1 h à 5 h semaine, contre 11 h à 15 h pour les autres.
Les statistiques montrent que les étudiants qui ont un emploi sont moins susceptibles d’avoir un compte Facebook, tandis que ceux qui sont dans un domaine scientifique le sont davantage que les littéraires.

Sources : LiveScience, Sur-la-Toile

Cette illusion sonore, appelée Paradoxe de Shepard, fait croire à l'oreille qu'elle entend une mélodie qui "monte" sans cesse alors que celle-ci ne fait que se répéter à l'identique indéfiniment.

Un sujet pas très facile à expliquer aux élèves est la composition de fonctions. Moi j'utilise dans un premier temps des "machines" connectées entre elles par des flèches. C'est exactement ce que propose Algebra arrows.

1. Tracer un segment [AB].
2. Placer son milieu I.
3. Tracer le cercle C de diamètre [AB].
4. Tracer la médiatrice du segment [AB]. Elle coupe le cercle C aux points E et F.
5. Tracer les demi-droites [AE) et [BE).
6. Tracer l'arc de cercle de centre A, de rayon [AB] et d'origine B. Il coupe la demi-droite [AE) au point H.
7. Tracer l'arc de cercle de centre B, de rayon [BA] et d'origine A. Il coupe la demi-droite [BE) au point G.
8. Tracer le quart de cercle de centre E, de rayon [EG] et limité par les points G et H.

Source : Maths et détente

Project Euler.net propose aujourd'hui 240 problèmes (un problème est ajouté chaque semaine environ) pouvant parfois être résolus avec un papier et un crayon, mais la plupart de temps requérant un programme informatique.
Une fois inscrit sur le site, vous pouvez soumettre vos solutions aux problèmes dans l’ordre qui vous plait et chaque bonne réponse vous apporte instantanément:

• la possibilité d’accéder à un forum où les solutions sont comparées et discutées ;
• un point. Après 25 bonnes réponses vous entrez dans le tableau des scores.

Une mine d'or où l'on trouvera des sujets intéressants à résoudre avec Mathematica, par exemple.

Mais comme pour tout le reste, donc pour une théorie mathématique, la beauté peut être perçue mais est inexplicable.

Arthur Cayley

Pour leur travail de maturité, trois de mes élèves, Manon Flury, Adeline Mertenat et Marwa Shams, se sont inspirées de l'article de Jean-Paul Delahaye Le hasard géométrique n'existe pas ! et ont fait des expériences mathématico-psychologiques sur des élèves de deux tranches d'âge. Il apparaît que les gens ne placent pas des points vraiment au hasard dans des formes.

Voir le dossier sur Issuu ou au format pdf.

Pour son travail de maturité, un de mes élèves, Paul Pellegrini, a écrit un programme qui illustre à merveille l'article de Jean-Paul Delahaye sur Interstices.

Télécharger le programme pour Windows (1.86 Mo) et son mode d'emploi.

Ce que j'aime bien dans le métier de prof, c'est que parfois les rôles s'inversent et que c'est les élèves qui me font découvrir des choses. Dernièrement, je me suis mis à lire des mangas et je dois dire que j'ai été époustouflé par la qualité de l'histoire de Death Note. Un vrai chef-d'oeuvre, à mon avis (et mes élèves sont d'accord).
En cherchant sur le web comment étaient représentés les profs de maths dans les manga, je suis tombé sur le manwha (manga coréen) Unbalance X 2, où la prof de maths ressemble à ceci :

Décidément, la prof de math suscite bien des fantasmes...

Un programme qui encode des textes en binaire et représente visuellement le code: c’est Waste Land. Waste Land, c’est aussi le nom d’un poème de T.S. Eliot, dont Sai Sriskandarajah, à l’origine du projet, semble particulièrement fan. La tapisserie qu’il a fait naître n’est pourtant qu’une suite de données, les carrés correspondant à des 1 ou des 0. Il faut cinq bits (donc cinq carrés) pour coder une lettre.

Algorythmes n'est pas seulement une faute d'orthographe, c'est aussi un blog qui "essaie humblement d'ouvrir quelques portes sur les maths : histoire, images étonnantes, culture, interactivité, humour, littérature... ".
Bref, tout ce que j'aime.