Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus ou, pourquoi pas, de créer leur propre blog...
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.


mardi 4 mars 2008

A Visual Dictionary of Special Plane Curves

J'avais déjà parlé du site xahlee.org car il proposait une galerie de surfaces célèbres. Je suis retombé sur le même site quand j'ai cherché une galerie de courbes célèbres. Et on y trouve bien d'autres choses encore... Un site très riche.

lundi 3 mars 2008

Atomium

L’Atomium est un monument de Bruxelles, rénové en 2006, représentant la maille élémentaire du cristal de fer agrandie 165 milliards de fois. Huit sphères sont disposées sur les sommets d'un cube et une neuvième sphère occupe le centre du cube.


Pour en savoir plus

dimanche 2 mars 2008

Remettons les horloges à l'heure

Louis ne possède pas de montre, mais il a une horloge très précise qu'il oublie souvent de remonter. Quand celle-ci s'arrête, il va chez son ami René, avec lequel il passe la soirée, puis il rentre à la maison, et peut remettre son horloge à l'heure.
Comment procède-t-il ? Il ne connaît pas la longueur de son trajet, mais il sait qu'il va aussi vite à l'aller qu'au retour.

samedi 1 mars 2008

13 x 7 = 28

Aujourd’hui passés aux oubliettes de la cinéphilie, on a du mal à réaliser l’immense popularité que connurent Abbott et Costello dans les années 40-50. Prenant la suite du tandem Laurel et Hardy (même type de couple formé d’un petit gros froussard –Costello- et d’un grand dadais filiforme- Abbott-) , nos « deux nigauds » ne bénéficient pas de la même renommée.

vendredi 29 février 2008

Citation de Léonard de Vinci



Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.

Léonard de Vinci

jeudi 28 février 2008

La résolution des Sudoku, une affaire de couleurs...

Si vous vous êtes déjà trouvé bloqué devant un problème de Sudoku, vous avez peut-être imaginé que l'énigme n'avait pas de solution, ou, lorsque finalement vous en résolviez un, que votre solution n'était pas forcément la seule.

Ces questions et d'autres sont explorées dans l'article Sudoku Squares and Chromatic Polynomials d'Agnes M. Herzberg et M. Ram Murty, paru dans l'édition de juin-juillet 2007 des Notes de l'AMS (American Mathematical Society) dans lequel les auteurs utilisent des outils mathématiques de la théorie des graphes pour analyser systématiquement des problèmes de Sudoku. Ils y démontrent également que l'analyse de ce type de problèmes conduit vers certains problèmes non résolus de cette théorie.
Dans ce contexte, un "graphe" est un ensemble de noeuds reliés par des segments. On peut représenter les 81 cases d'un Sudoku comme les 81 noeuds d'un graphe, et l'on attribue à chacun des chiffres de un à neuf une couleur différente. Dans un graphe de Sudoku, deux noeuds sont reliés par un segment si les deux cases qu'ils représentent appartiennent à une même ligne, une même colonne, ou à un même bloc de 3 sur 3 cases. Puisque aucune ligne, aucune colonne, ni aucun bloc ne doit contenir plus d'une fois le même chiffre, le graphe ne possédera aucun noeud relié à un noeud de la même couleur. (Par exemple, en supposant que l'on représente le 1 avec la couleur rouge, deux noeuds rouges reliés par un segment signifieraient qu'une ligne, une colonne, ou un bloc posséderait deux 1, ce qui est interdit par la règle du Sudoku).
Dans le langage de la théorie des graphes, un graphique coloré sans connexion entre les noeuds de même couleur est appelé une "coloration propre". Ce que les amateurs de Sudoku tentent de réaliser chaque jour est d'étendre un graphe partiellement coloré à un graphe à coloration propre (le puzzle initial avec ses cases vides signifie que le graphe le représentant possède des noeuds qui demandent à être coloriés).
L'analogie entre les Sudoku et les graphes étant en place, Herzberg et Murty ont pu utiliser des outils de théorie des graphes pour démontrer des théorèmes sur ce type de problèmes. Par exemple, ils démontrent que le nombre de façons différentes d'étendre une coloration partielle est donné par un polynôme. Si la valeur de ce polynôme est zéro pour un Sudoku donné, alors le puzzle n'a aucune solution ; si la valeur est 1, le puzzle n'a qu'une solution ; et ainsi de suite. Ils démontrent également que, pour qu'un Sudoku quelconque puisse n'avoir qu'une solution unique, au moins 8 des 9 chiffres doivent apparaître dans le problème posé ; si seulement 7 chiffres apparaissent, alors le puzzle possède au moins deux solutions. Et ceci évoque une question mathématique non résolue: "il serait extrêmement intéressant de déterminer sous quelles conditions une coloration partielle peut être étendue à une coloration [propre] unique", écrivent les auteurs.
Certains Sudokus sont plus difficiles à résoudre que d'autres, les plus ardus ne contenant que très peu de chiffres au départ. La détermination de ce nombre minimum d'entrées nécessite de s'assurer qu'un problème n'a qu'une seule solution. Herzberg et Murty donnent un exemple d'un Sudoku avec 17 entrées qui ne possède qu'une solution (grille ci-dessous). Aussi le nombre minimum est au plus 17. Cependant cela pourrait être 16 ou plus petit encore, mais personne ne le sait. On pourrait penser par ailleurs qu'un problème avec de nombreux chiffres donnés au départ est susceptible de n'avoir qu'une seule solution, mais ce n'est pas forcément le cas. L'article donne l'exemple d'un puzzle à 29 chiffres donnés qui possède au final deux solutions différentes.


Et si vous vous demandez quand votre revue préférée manquera de problèmes de Sudoku, les auteurs affirment que le nombre de Sudoku distincts se situe quelque part autour de 5,5 milliards, ce qui devrait s'avérer suffisant pour occuper les afficianados pendant de nombreuses années encore.

Source : Techno-science (9 juin 2007)

A lire : Sudoku Squares and Chromatic Polynomials, by Agnes M. Herzberg and M. Ram Murty

mercredi 27 février 2008

La vache - Les bactéries

mardi 26 février 2008

Le site de Mike Williams

Qui est Mike Williams ? Je ne sais pas vraiment. Un mathématicien peut-être, mais un artiste sûrement. On peut voir sur son site de merveilleuses oeuvres fractales, mais aussi plein de surfaces obtenues avec la commande isosurface du logiciel POV-Ray 3.5. A voir en particulier le Mathematical Zoo.

dimanche 24 février 2008

Knotplot


La théorie des noeuds m'a toujours intrigué, mais je n'ai pas encore trouvé le temps de l'étudier sérieusement. En tout cas, le site knotplot.com donne envie de s'y intéresser davantage, en particulier la page A Knot Zoo.

samedi 23 février 2008

Economie japonaise et longueur des cheveux

Les analystes financiers se méfient: les Japonaises se font de nouveau couper les cheveux.

Selon une enquête menée par la deuxième firme de cosmétiques japonaise, Kao Corp, citée par le quotidien économique Nikkei, les Japonaises ont tendance à garder les cheveux longs lorsque l'économie nipponne se porte bien et à adopter des coupes courtes en période de crise économique.
Se fondant sur ce postulat, le Nikkei ne se montre pas très optimiste pour l'évolution de l'économie japonaise alors qu'une tendance aux coupes plus courtes semble se profiler. Ce qui confirme une opinion partagée par différents analystes selon laquelle le cycle de croissance le plus important qu'ait connu l'archipel depuis la Seconde guerre mondiale pourrait avoir pris fin, l'économie nationale courant désormais le risque de connaître une récession.
Pour établir cette théorie faisant de la longueur des cheveux un indicateur économique, Kao a régulièrement conduit des enquêtes sur des échantillons de 1.000 femmes dans les rues de Tokyo et d'Osaka au cours des deux dernières décennies. Jusqu'au début des années 1990, lorsque l'économie japonaise était florissante, 60% des femmes âgées d'une vingtaine d'années portaient des cheveux longs, relate le Nikkei en citant les résultats de ces sondages. Pendant les années 1990, marquées par l'effondrement de l'économie nipponne, les coupes courtes (définies dans ce sondage comme une longueur de cheveux n'allant pas au-delà de la clavicule) sont devenues les plus répandues. Mais depuis 2002, alors que l'économie progresse de nouveau, les cheveux longs font leur retour, souligne le Nikkei, qui a cependant identifié un facteur pouvant affecter la validité de cette théorie: la popularité croissante du chignon.

Source : Yahoo Actualités

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