Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus ou, pourquoi pas, de créer leur propre blog...
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.


dimanche 7 avril 2013

Les défis mathématiques du Monde, épisode 2 : le cube tranché


Les défis mathématiques du Monde, épisode 2... par lemondefr

samedi 6 avril 2013

Le Dictionnaire de (Presque) Tous les Nombres Entiers


Le Dictionnaire de (Presque) Tous les Nombres Entiers
Daniel Lignon
Ellipses Marketing (27 novembre 2012)
720 pages

Présentation de l'éditeur
À quoi vous fait penser le nombre 13 ? Pour beaucoup c'est un nombre qui porte malheur… ou chance… Plus sérieusement, d'un point de vue mathématique, c'est un nombre premier. Mais savez-vous que c'est aussi un nombre de Fibonacci, un nombre de Fortune, que le carré de la somme de ses chiffres est égal à la somme des chiffres de son carré, qu'il y a 13 solides d'Archimède dont le fameux icosaèdre tronqué : c'est la forme d'un ballon de football… Qu'y a-t-il de commun entre 1 634 et 8 208, entre 28 et 496 ou entre 23 et 239 ? Les deux premiers sont égaux à la somme des puissances quatrièmes de leurs chiffres, 28 et 496 sont des nombres parfaits et les deux derniers ne peuvent pas s'écrire comme une somme de moins de neuf cubes. Le lecteur découvrira les nombreuses propriétés des nombres, qu'elles soient liées à leur écriture dans le système décimal, comme pour 1 634 et 8 208, ou intrinsèques et indépendantes de leur écriture donc plus intéressantes : c'est le cas des deux autres exemples cités plus haut (28 et 496, 23 et 239). Il y rencontrera le système de numération employé par les Shadoks, les solides de Platon, les nombres sociables, les jumeaux magiques, les nombres vampires, le cercle d'Euler, les nombres heureux, abondants ou colossalement abondants, les nombres premiers jumeaux, cousins ou sexy… Toutes les notions introduites seront, bien sûr, expliquées dans de nombreux encadrés. Au gré de cette promenade parmi les nombres entiers, on croisera aussi les mathématiciens les plus importants, toutes époques confondues : l'occasion de se rendre compte que l'histoire des mathématiques est avant tout une grande aventure humaine. En plus d'un glossaire, plusieurs index permettent de retrouver facilement la définition, le concept ou le mathématicien recherché.

vendredi 5 avril 2013

The sphere of the earth

The Sphere of the Earth est un logiciel gratuit qui permet d'illustrer les différentes projections cartographiques.

jeudi 4 avril 2013

Des théorèmes mathématiques prouvés en un tweet

C'est le compte twitter le plus geek qui existe: @tinyproof prouve des théorèmes de mathématiques en seulement 140 caractères... ou moins.
On peut dire beaucoup de choses en 140 caractères. Un ministre peut annoncer à la terre entière qu'il est fatigué et qu'il rentre se coucher et qu'il veut des câlins, une première dame qu'elle soutient celui qu'elle ne devrait pas soutenir publiquement... mais on peut aussi prouver quelques uns des grands théorèmes de mathématiques, comme le fait @tinyproof, ainsi que le relève The Next Web.
Ce compte élitiste par essence risque d'effrayer bien des utilisateurs du réseau social avec ses tweets si denses, composés de formules illisibles au commun des mortels. Mais les plus purs devraient s'y retrouver, et peut-être corriger une ou deux formules?

Source : BFMTV

mercredi 3 avril 2013

Les filles aussi peuvent avoir la bosse des maths

Les étudiantes réussissent aussi bien que leurs homologues masculins, dans les mathématiques et les sciences, confirme cette étude à paraître dans la revue Psychology of Women Quarterly. Tout est question d’estime de soi, d’envie de réussir et de considération pour les sciences.
Alors que les femmes continuent à être sous-représentées dans les cours de mathématiques jusque dans les carrières scientifiques, cette disparité n’est en aucun cas le reflet fidèle de la capacité respective des hommes et des femmes. Plus surprenant, cette recherche met en avant les capacités supérieures, aux Etats-Unis, des étudiants des 2 sexes d’origine asio-américaine.
Les chercheurs de l’Université du Maryland ont mené leur étude auprès de 367 étudiants blancs, noirs, hispaniques et asiatiques de classe équivalente à la 3ème, en mathématiques et en sciences. Les résultats de l'étude confirme que les adolescents garçons ou filles montrent les mêmes capacités mais que les étudiants américains asiatiques surpassent tous les autres groupes ethniques alors que les étudiants hispaniques et afro-américains sont lus « à la traîne ». Une image qualifiée par les auteurs eux-mêmes de stéréotypée.
Les perceptions des élèves sur leurs propres capacités différentes selon les sexes: Lorsque les chercheurs étudient les perceptions des élèves eux-mêmes de leurs compétences en mathématiques, les étudiants masculins rapportent une meilleure aptitude en mathématiques ainsi que plus d’envie et d’ambition alors que les étudiantes vont estimer les Sciences comme une matière de plus grand intérêt que leurs homologues masculins. Lorsque les chercheurs prennent en compte les facteurs revenu familial et éducation des parents, les 3 critères personnels, c’est-à-dire la perception de ses propres compétences, l’envie de réussir et la considération pour les mathématiques restent les principaux facteurs de réussite. On l’aura compris, c’est parce que les étudiantes ont tendance à penser que leurs capacités en maths ne sont pas aussi importantes que celles des garçons, qu’elles vont moins nombreuses opter ensuite pour des études supérieures et une carrière dans les sciences ou les technologies. Si les chercheurs souhaitent encore élargir leur approche en prenant en compte d’autres facteurs tels que l'anxiété, l'ennui ou l'apathie, le plaisir et la fierté, ces premiers résultats « déculpabilisent » déjà les étudiantes qui souhaitent poursuivre dans les sciences.

Source : Psychology of Women Quarterly March 29, 2013 doi: 10.1177/0361684313480694 Math and Science Attitudes and Achievement at the Intersection of Gender and Ethnicity (Visuel© michaeljung - Fotolia.com)

Source de l'article : Santé log

mardi 2 avril 2013

Le billet d'hier était un canular

Vous l'avez sûrement compris, le billet d'hier était un canular, créé par Ray Girvan le 1er avril 1999. La référence [9] dévoilait le pot aux roses.

lundi 1 avril 2013

Mandelbrot, 7 siècles plus tôt

Je suis tombé sur ce texte en anglais de Ray Girvan il y a quelques jours. J'en traduis ici les meilleures parties.

Jusqu'à récemment, Udo de Aachen était connu dans les livres d'histoire comme un poète mineur, copiste et essayiste en théologie. Les dates de naissance et de mort de ce moine bénédictin ne sont même pas connues, mais il a probablement vécu entre 1200 et 1270 [1]. Une nouvelle étude de son travail a conduit à sa reconnaissance en tant que mathématicien exceptionnellement original et talentueux.

Bien que Udo lui-même soit peu connu, une de ses oeuvres nous est certainement plus familière. Il est en effet l'auteur d'un poème intitulé Fortuna Imperatrix Mundi, connu sous le nom de Carmina Burana [2]. Orchestré par le compositeur Carl Orff en 1937, le poème d'Udo très connu en tant qu'oeuvre chorale, O Fortuna, a été utilisé par de nombreux médias, de la musique du film "Excalibur" jusqu'à la publicité d'une lotion après-rasage.
La première trace des talents cachés d'Udo a été retrouvée par le mathématicien Bob Schipke, un professeur retraité spécilaliste d'analyse combinatoire. Lors d'une visite à la cathédrale d'Aachen, lieu de sépulture de Charlemagne, Schipke vu quelque chose qui l'intrigua. Dans une crèche minuscule illuminant un manuscrit du 13ème siècle, O Froehliche Weihnacht, il remarqua que l'étoile de Bethléem avait l'air bizarre. En l'examinant dans le détail, il vit que l'image dorée semblait être une représentation de l'ensemble de Mandelbrot, l'une des icônes de l'ère informatique. [3]
Découvert en 1976 par Benoît Mandelbrot, l'ensemble de Mandelbrot est la fractale la plus célèbre. Seul l'avènement des ordinateurs rapides rendit possible l'application des calculs répétitifs induits - du moins c'est ce que l'on pensait. [4]
"J'étais stupéfait", dit Schipke. "C'était comme trouver une photo de Bill Gates dans les Manuscrits de la Mer Morte. Le colophon [la page de titre] indiquait que le nom du copiste était Udo de Aachen, et j'ai voulu en savoir plus sur ce personnage."
Schipke visita la Bavière, où les poèmes Cantiones profanae (désormais les Carmina Burana), ont été découverts en 1837. Rédigé par des spécialistes et des moines errants durant le 13ème siècle, ils ont été rassemblés dans une anthologie dans le monastère bénédictin de Beuron, près de Munich, et Schipke a commencé sa recherche là-bas. Avec l'aide de l'historien Antje Eberhardt de l'Université de Munich, Schipke eut accès à des archives ecclésiastiques, où il a trouvé un document appelé Udolphus Codex. Ecrit en latin, le Codex portait la signature de Udo lui-même.
[..]
Dans un article de 1999, Schipke et Eberhardt parlent des découvertes d'Udo [5]. Le premier chapitre, Astragali, était supposé être un discours sur les méfaits des jeux de hasard. Il s'est avéré être les recherches d'Udo dans ce que nous appelons aujourd'hui la théorie des probabilités. Il a trouvé des règles simples pour ajouter et multiplier les probabilités et conçu ainsi des stratégies pour plusieurs jeux de cartes et de dés.
La deuxième partie, Fortuna et Orbis, décrit comment Udo a déterminé la valeur de pi en lançant des bâtons égaux sur une surface graduée, et en comptant la proportion de bâtons croisant les lignes dessinées sur le sol. C'est une anticipation de la technique des aiguilles de Buffon, nommé d'après le mathématicien du 18ème siècle [6]. Il s'agit d'une méthode très laborieuse, mais Udo réussit à obtenir une estimation respectable -, mais très chanceuse - de 866/275 (3.1418...). Il avait assez confiance en elle pour contester la valeur de pi=3 de la Bible [7] (je dis "chanceuse" parce que la méthode de Buffon converge très mal, et il est bien possible que Udo ait obtenu ce bon résultat en choisissant de s'arrêter judicieusement - peut-être influencé par le 3,1418 cité par son contemporain, Léonard de Pise, aussi connu sous le nom de Fibonacci).
Schipke poursuit: "Ce qui était intéressant à ce moment, c'est que nous avons relu les paroles de O Fortuna, et tout à coup ils prennent tout leur sens. Le verset deux - "Luck / like the moon / changeable in state / We are cast down / like straws upon a ploughed field / Our fates measuring / the eternal circle" - est très clairement une allusion à la méthode des aiguilles de Buffon". [8]
Mais le plus beau était à venir. Dans le dernier chapitre (le plus long), Salus, Schipke a découvert l'oeuvre la plus radicale. Udo avait, semblait-il, étudié l'ensemble de Mandelbrot, sept siècles avant Mandelbrot!
Initialement, l'objectif d'Udo était de concevoir une méthode pour déterminer qui irait au ciel. Il a supposé que l'âme de chaque personne était composée de parties indépendantes qu'il appelait "profanus" (profane) et "animi" (spirituel), et il a représenté ces deux parties par une paire de nombres. Puis il a élaboré des règles pour le dessin et la manipulation de ces paires de nombres. En fait, il a conçu les règles de l'arithmétique complexe, les parties spirituelles et profanes correspondant aux nombres réels et imaginaires des mathématiques modernes.
Dans le Salus, Udo décrit comment il a utilisé ces chiffres: "l'âme de chaque personne subit des essais à travers chacune des 70 années de la vie imparties, [englobant?] sa propre nature, et subit la diminution ou l'augmentation dans la stature par d'autres [qu'elle] rencontre, velléitaire entre le bien et le mal jusqu'à ce que [elle] soit jetée dans les ténèbres du dehors ou amenée pour toujours vers Dieu. "
Lorsque Schipke a lu la traduction, il l'a tout de suite prise pour ce qu'elle était: une description allégorique du processus itératif pour le calcul de Mandelbrot. En termes mathématiques, le système d'Udo était de commencer par un nombre complexe z, puis de l'itérer jusqu'à 70 fois par la règle z -> z*z+c, jusqu'à ce qu'il soit écarté ou pris dans une orbite. [4]
"On a tendance à prendre pour acquis, dit Schipke, "que le calcul de l'ensemble de Mandelbrot est trop compliqué à faire sans ordinateur. Ce que nous devons retenir, c'est la dévotion pure de la vie monastique. Cela a été un travail de foi, et Udo était prêt à travailler pendant des années. Le calcul de certains pixels lentement convergents doit prendre des semaines. "
Pourquoi le travail de ce mathématicien surdoué est passé inaperçu pendant si longtemps? Schipke montre en partie du doigt la spécialisation. "Quand le Codex a été déterré en 1879, seul un non-mathématicien a pu le voir, et il ne savait pas ce qu'il regardait. C'est une histoire assez commune.
"Mais il y avait aussi des raisons contemporaines pour que les connaissances d'Udo ne rentrent pas dans le courant dominant. Sa croyance fondamentale - à savoir que le salut et la damnation pourrait être déterminé à l'avance - était hérétique, et son usage des chiffres arabes a été vu comme de la magie noire. Et il y avait son désaccord avec Thelonius."
[...]
Udo a toujours interprété l'ensemble de Mandelbrot comme Dieu. Thelonius a soutenu le contraire: il représentait le diable. Des chiffres qui s'échappent vers l'infini, selon lui, étaient des âmes volantes libres vers le ciel, et ceux qui sont pris dans une orbite étaient tombés dans la fosse de l'Enfer. Comme de nombreuses collaborations théologiques, cela s'est terminé par un schisme.
Udo a noté que leur différend a mené tous les travaux à l'arrêt, et, que tous les deux ont été réprimandés par l'abbé pour en être venu aux mains dans le réfectoire. "Malheureusement, j'écris", explique Udo [9] à la dernière page du Codex Udolphus, "que, sous peine d'excommunication, je dois laisser mes dés et mes nombres de côté. J'ai jeté un oeil dans un royaume céleste de la complexité, et mon coeur est lourd que la porte soit fermée. "
[...]

Références

[1] "The Benedictine Order: a Historical Miscellany", edited by Rose M Wolanski, Springer-Verlag, 1965.
[2] "Carmina Burana, Frequently Asked Questions", by Charles Cave. http://www.classical.net/music/comp.lst/works/orff-cb/carmina.html
[3] "O froehliche Weihnacht", ms. circa 1250 AD, Aachener Dombibliothek, acquisition nr. GM801-237, Blatt 1a. Photograph by Bob Schipke.
[4] "Chaos: making a new science", James Gleick, Abacus Books, 1989.
Voir aussi the sci-fractals FAQ, maintained by Michael C. Taylor and Jean-Pierre Louvet. (ftp://rtfm.mit.edu/pub/usenet/news.answers/sci/fractals-faq).
[5] Schipke, R.J. and Eberhardt, A. "The forgotten genius of Udo von Aachen", Harvard Journal of Historical Mathematics, 32, 3 (March 1999), pp 34-77.
[6] "Buffon's Needle, an Analysis and Simulation" by George Reese. (http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html).
[7] II Chronicles, iv, 2: "Also he made a molten sea of ten cubits from brim to brim, round in compass ... and a line of thirty cubits did compass it round about" (Authorized King James Version).
[8] Lyrics, translated by William Mann, to Orff's "Carmina Burana (Cantiones profanae)", EMI recording SAN 162, 1965.
[9] Udo of Aachen, http://en.wikipedia.org/wiki/Udo_of_Aachen

© Article original en anglais : Ray Girvan (ray@raygirvan.co.uk) 1.4.1999.

mercredi 27 mars 2013

Le biais du joueur expliqué par l'Évolution

En probabilités, on évoque souvent cette tentation classique : vous lancez 5 fois une pièce et vous obtenez 5 fois « pile ». Avouez que vous êtes très tenté de penser que les chances sont très fortes que la sixième fois, ce sera cette fois « face ». Or, les événements (lancés) sont indépendants. Les chances sont toujours « 50-50 » à chaque épreuve !
C'est le biais classique du parieur. Une récente étude vient de comprendre un peu mieux comment ce biais (mauvaise estimation) serait en réalité un résultat de l'Évolution, lorsque nous étions les « premiers humains ». Les parieurs d'aujourd'hui se fient encore à leur expérience passée pour déterminer ce qui va se passer dans le futur. Cette stratégie n'est pas si incongrue en soi, mais elle ne fonctionne pas si l'événement est aléatoire comme dans le cas d'un lancer de dés.
Ce biais du parieur reposerait donc sur des facteurs neurobiologiques, et plus exactement sur la manière dont nous focalisons notre attention. Deux expériences ont été menées à cet effet. D'abord, les participants devaient observer deux cibles qui étaient illuminées de manière complètement aléatoire. On leur donnait alors de l'argent pour parier sur la cible lumineuse de leur choix.
On a remarqué que dans les cas où ils gagnaient sur, disons, la lampe A, ils avaient bien plus tendance à choisir la B la fois suivante. De même, lors de la deuxième expérience avec un partenaire cette fois. Les humains prennent des décisions rationnelles en fonction de leur expérience passée. Ainsi, si vous prenez de nombreux fruits sur un arbre, le lendemain, vous allez changer d'arbre sans regarder le premier.
Il faut maintenant voir si ce type de comportement est dépendant de l'âge, d'autant que les personnes âgées semblent devenir plus facilement dépendantes aux jeux de hasard.

Source : Sur-la-Toile

lundi 25 mars 2013

Pierre Deligne, l’homme aux trois "Nobel" de mathématiques

Après la médaille Fields et le prix Crafoord, le Belge a reçu le prix Abel.

Par PHILIPPE DOUROUX

Pierre Deligne, qui vient de se voir décerner le prix Abel par l’académie norvégienne des Sciences et des Lettres aura reçu, tout au long de sa vie, les trois récompenses scientifiques qualifiées tour à tour de prix Nobel des mathématiciens. Longtemps avant la date limite, en 1978, il avait obtenu la médaille Fields, accordée tous les quatre ans à quatre mathématiciens de moins de 40 ans, à l’occasion du congrès mondial de mathématique. Dix ans plus tard, l’académie royale de Suède lui remettait le prix Crafoord, imaginé pour récompenser toutes les sciences privées de Nobel. Inutile d’énumérer ses autres récompenses pour souligner que l’homme figure parmi les plus grands mathématiciens du XXe siècle et du siècle à peine entamé.

Géomètre-algébriste

La voix est douce, le flux posé, les mots précis, choisis avec prudence. Du temps avait été nécessaire pour approcher Pierre Deligne. Il avait fallu tisser un cocon de confiance pour obtenir un rendez-vous; il y a de cela une dizaine de mois. Pour la rencontre, il avait choisi les jardins du palais du Luxembourg, à deux pas de l’Institut Poincaré où il participait à un séminaire. Très bel endroit, mais totalement inhospitalier quand le froid, la pluie et le vent s’unissent pour vous compliquer la vie. Au bout d’une heure de ce régime et la confiance s’installant il avait accepté de se réfugier dans un café. Devenant plus disert.

C’est une habitude chez les mathématiciens de mettre à distance ceux qui ne peuvent rentrer dans un monde inaccessible. Claire Voisin, de l’académie des Sciences évoque un «farouche silence». Géomètre-algébriste, Pierre Deligne fait partie de cette école qui tente de rapprocher les deux disciplines en utilisant la capacité à montrer de la géométrie et la puissance de l’algèbre quand il s’agit de démontrer. Tracez un cercle avec un compas vous êtes géomètre, écrivez X2 + Y2 = 1 vous êtes algébriste. Pour aller plus loin, Pierre Deligne cherche les mots justes avec patience et bienveillance, même s’il sait bien que la construction d’un pont vers les mathématiques, sur lesquelles il travaille depuis cinquante ans, est impossible.

Pourquoi une telle distance qui ne s’explique pas seulement par l’impossibilité de comprendre quand l’homme est d’une infinie courtoisie? Sans doute la crainte de devoir revenir sur des moments difficiles, sur ce que l’on ne peut pas appeler la brouille avec celui qu’il appelle aujourd’hui encore son maître, Alexandre Grothendieck. Il dit mon « maître » avant de préciser que l’admiration va au mathématicien et qu’il n’y a dans ce mot aucune idée de soumission à l’homme. Pour se brouiller il faut être deux et Pierre Deligne ne semble pas fait pour ce mot et ce type de rapports.

Dans les années 60, Pierre Deligne vient assez naturellement à Paris pour suivre le séminaire de celui qui trace des perspectives à dix, vingt ou trente ans dans la géométrie algébrique. Le maître et l’élève avancent ensemble sous le regard admiratif de la communauté scientifique. En 1988, le prix Crafoord est attribué simultanément aux deux chercheurs. Pierre Deligne l’accepte, Alexandre Grothendieck le refuse. S’installant dans un délire paranoïque, ce dernier entame un divorce avec le monde des hommes fait de compromis quand il cherche une vérité aussi pure que son idéal mathématique. Il vit aujourd’hui, à 84 ans, au pied des Pyrénées, refusant de voir qui que ce soit (à lire dans Libération: le trésor oublié du génie des maths). Coupé des hommes , il ne recevra probablement pas la nouvelle de la récompense que vient de recevoir son élève. Il n’entendra pas non plus l’hommage de ce dernier.

Ecole française

Né Belge, en octobre 1944, Pierre Deligne souligne à lui tout seul à quel point le décompte des nationalités a quelquechose de vain quand il s’agit d’établir des palmarès des mathématiciens. Elève d’Alexandre Grothendieck, lui même longtemps apatride, il fait incontestablement partie de l’école française de mathématique –il se trouve d’ailleurs actuellement en résidence à l’Institut des hautes études scientifiques, à Bures-sur-Yvettes-, mais il enseigne aux Etats-Unis, à l’Institut of advanced studies de Princeton (New Jersey). Allez vous y retrouver.

La remise du prix Abel est toujours une bonne occasion pour tordre le coup à l’histoire, trop belle, qui voudrait qu’Alfred Nobel, l’inventeur de la dynamite, ait refusé d’accorder un prix aux mathématiques parce que sa femme l’aurait trompée avec un mathématicien. Il n’était pas marié et il est peu probable, selon des historiens, qu’il ait jamais entendu parlé de l’amant supposé de sa maîtresse. Il souhaitait probablement privilégier des sciences qui trouvaient des applications dans la vie quotidienne comme la physique, la chimie, la médecine, auxquelles il avait ajouté la paix ou la diplomatie et la littérature. L’explication paraît moins drôle mais est probablement plus juste.

Source : Libération

dimanche 24 mars 2013

Le monde est mathématique : une collection pour percer les mystères des maths


"Le Monde est mathématique" : une collection... par lemondefr


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