Le blog-notes mathématique du coyote

Si l’on veut atteindre la vérité, il est nécessaire, une fois dans sa vie, de mettre tout en doute, aussi complètement que possible.

René Descartes

N marins rentrent complètement ivres sur leur bateau. Ils s'affalent chacun sur une couchette au hasard. Quelle est la probabilité qu'aucun marin ne dorme dans sa couchette?

Spéciale dédicace... à tous mes élèves !

Le mot "acratopège" signifie "sans propriété particulière" et on ne le trouve plus que sur l’étiquette de quelques bouteilles d’eau faiblement minéralisée. Le Dr Goulu (grâce au blog duquel j'ai découvert le Project Euler) s'est lancé dans la chasse aux nombres acratopèges, donc au départ inintéressants, mais qui vont le devenir puisque plus ils seront inintéressants, plus ils seront intéressants (vous me suivez ?).

A lire :

• Chasse aux nombres acratopèges
• La minéralisation des nombres

Article paru dans Le Monde du 4 mai 2009

Il est à peine 7 h 30, Anaheim s'éveille tranquillement en ce samedi d'avril. Cette banale banlieue de Los Angeles somnole encore quand 80 adolescents débarquent sur le parking de leur école privée, certains en Porsche, d'autres en BMW. Pour ces élèves de la Fairmont Preparatory Academy, le spring break, la pause des vacances de printemps, peut attendre : c'est bientôt l'heure de leur cours de mathématiques. Rien d'obligatoire, juste un cours d'approfondissement.
A peine arrivés, les élèves, âgés de 14 à 18 ans, se dépêchent de vider la classe de ses chaises et de ses bureaux. Un assistant du professeur inscrit, au feutre noir, sur la main de chacun, un chiffre (de 1 à 80). Ceux qui ont déjà été marqués papotent devant la porte d'entrée sur laquelle est collée une grande étoile dorée. Une étoile pour la star de l'école : le professeur de maths, Sam Calavitta, "Mister Cal" pour ses élèves.
La quarantaine passée, cheveux courts façon militaire, yeux couleur lagon, gueule de boxeur, ce prof au sourire immuable est un ovni de l'enseignement "made in USA". 8 heures. Après avoir salué ses élèves, il lâche : "C'est bon d'être champion du monde." Les élèves répètent la réplique en choeur. "Cette formule est un outil de motivation, explique le professeur. C'est une métaphore parce que je veux que mes élèves s'efforcent d'être les meilleurs."
Ce matin-là, le cours va commencer, comme souvent, par une compétition : la "Cal-competition". "Les numéros pairs à gauche, les impairs à droite", débite le prof. Ça hurle, ça rigole... "J'appelle d'abord les numéros 1 à 20, les deux équipes en ligne devant moi", clame-t-il. La règle est simple : deux élèves doivent résoudre une équation ou répondre à une question. Le gagnant va à l'arrière de sa file, le perdant est éliminé et va s'asseoir. Armé d'une pile de papiers à la main, Sam enchaîne les questions : "Dites-moi les trois noms des dérivés ?" Un élève se montre le plus rapide. "Yeahhhh, tu l'as...", crie le prof de sa voix rocailleuse. Tout le monde applaudit.
Enième question. Silence. Aucune des deux filles ne trouve la réponse. La tension monte, les cerveaux chauffent. "Maison", hurle le professeur. C'est une manière d'appeler Robert Shelton, 39 ans. Chargé de la sécurité de l'établissement, il aime participer à cette compétition pour "le plaisir". Robert tient un saut en fer rempli de jetons numérotés, y plonge la main, touille. "45 !", tonne-t-il. "45 ?", demande Sam. Un élève, qui lui montre sa main où y est inscrit ce numéro, répond à la question. Le 45 vient de sauver sa camarade, qui reste en jeu. On applaudit encore : d'ailleurs, c'est une obligation.
La Cal-competition se déroule en trois manches : une équation simple à résoudre ; le "flash", où le prof montre une formule qui doit être complétée ; des équations plus complexes. "Cette compétition a pour but de confronter les élèves, explique l'enseignant. S'ils veulent gagner, ça les oblige à être les meilleurs." Les vainqueurs de la compétition reçoivent comme récompense des "Cal bucks", sortes de faux dollars : des rouges, des verts, des gris. En cas de mauvaise note, avec ces billets, ils peuvent s'en acheter une meilleure. Le prof sourit : "C'est une bonne source de motivation. Ils sont plus impliqués quand on crée des situations où ils peuvent réussir."

9 heures. Les garçons et les filles ont rendu à la classe ses chaises et ses tables. On sort les trousses : au programme, le calcul des volumes. Et pour illustrer la leçon, le professeur utilise en guise de compas ou d'équerre du... pain de mie, du fromage et du salami. "Ahhhhhh !", se dégoûtent en choeur les élèves quand il colle le salami sur le tableau pour démontrer une formule. Tous sont concentrés, hypnotisés, boivent les théorèmes comme du soda. 10 heures, c'est la fin. Normalement. "J'ai besoin encore de quinze minutes, mais on arrête si vous voulez ?", raconte M. Calavitta. "On reste", crie la classe. Et au bout de ce quart d'heure, avant de quitter l'établissement, tous les ados lâchent d'une même voix : "Quelle merveilleuse journée M. Cal !"


Drôle de méthode ? Dans cette école (qui coûte près de 13 000 euros l'année), les élèves de la Fairmont Preparatory Academy obtiennent l'un des meilleurs résultats du pays aux examens de mathématiques de l'Advanced Placement. En 2008, les 81 élèves de l'école a qui ont passé ces tests ont été reçus avec une moyenne de 4,79 sur 5. Soixante-neuf ont obtenu la note maximale quand la moyenne nationale fut de 3,03.
Sam Calavitta a reçu, le 19 février, le prix Siemens qui récompense chaque année 50 professeurs aux Etats-Unis (un par Etat) pour "l'excellence de leur travail". Dans sa classe, aux côtés de photos d'anciens élèves, de sa famille, de poèmes, d'un tee-shirt jaune du Tour de France (Sam en est fan), de posters aux slogans bienveillants ("Ne jamais, jamais abandonner"), une lettre de 2006 du... président des Etats-Unis, George Bush, qui le félicite pour sa méthode d'enseignement.
"Dans les autres cours, on regarde la montre, assure Richal Asija, 17 ans, mais avec lui, le temps passe trop vite. On ne s'ennuie jamais !" "J'ai trop hâte d'être en cours de maths, jure Anar Bhansali, 18 ans. M. Cal ne s'énerve jamais, il fait tout pour qu'on puisse comprendre : avec lui, les maths, c'est facile." "Il a changé ma vie", souffle Stephen Whitlock, 22 ans, un ancien de l'école devenu son assistant, qui se prépare à être professeur de mathématiques. Tout comme Elisabeth Thaï, 19 ans, une ancienne élève de Fairmont. "Un jour, se souvient-elle, il a mis une chaise sur la table, et s'est assis dessus pour faire cours : c'était fou ! On se demande toujours ce qu'il va inventer." "L'enthousiasme est contagieux", rigole leur prof. La clé de son enseignement ? Chasser l'ennui, faire preuve de considération pour ses élèves, capter sans cesse leur attention.
La trajectoire de ce professeur de mathématiques n'a pas été une simple ligne droite. A 25 ans, cet ingénieur aérospatial s'ennuyait à imaginer des satellites. Issu d'une famille de professeurs, il voulait lui aussi enseigner. "Mais ce job a tellement été dévalorisé par des gens qui se foutent des élèves, qui sont là juste pour passer de l'info, raconte-t-il amer. Il n'y a pas de coeur, pas de passion." Il le constate dès le premier jour de sa carrière, en 1989, à Victor Valley High School, à Victorville, banlieue lointaine de Los Angeles. Quand il demande où est la salle 141, un collègue lui répond : "Vous voulez dire le royaume sauvage ?"

Sa première classe ? Des membres de gang, de jeunes filles qui se prostituent, des suicidaires... Un élève sera exécuté quelques semaines plus tard, certains finiront en prison... "La dernière chose qu'ils avaient à l'esprit était d'apprendre, explique l'enseignant. Ils cherchaient surtout à rester en vie." Il tente en vain de gagner leur respect, de les faire taire... "J'avais compris que mes étudiants n'allaient pas changer à moins qu'ils n'aient une raison de changer", se souvient-il. Beaucoup d'entre eux viennent de familles brisées, vivent parfois dans des maisons abandonnées... "Il fallait que je sois capable de leur donner cette raison", argue-t-il.
Sa solution : d'abord, rendre ses cours attirants et drôles. "Si ça marchait, la moitié de ma bataille serait gagnée", explique-t-il. L'autre partie : faire venir ses élèves à l'école et dans sa classe. Pour cela, il les met dans un environnement "positif", les salue un par un, prouve qu'ils sont importants pour lui... "J'ai voulu qu'ils sachent qu'ensemble, nous pourrions avancer, assure le professeur. Parce que c'est ça, la vie. Puis, vient l'école et après les maths." Ainsi est née la "Cal method".
Depuis, Sam Calavitta a écrit deux livres, Calgebra et CALculus, et il finit de rédiger son autobiographie, Making the difference ("Faire la différence"). Après avoir enseigné dans d'autres établissements publics, il "(s')éclate" dans l'école privée de Fairmont (550 élèves) depuis plus de cinq ans, où son président, Robertson Chandler, se réjouit d'avoir un prof qui attire de nouvelles inscriptions. Combien ? On ne le saura pas, histoire de ne pas créer trop de jalousie avec les autres enseignants.
Sam Calavitta est un fervent chrétien. "C'est ce qui explique pourquoi j'aime mes élèves et que je ne les juge pas", raconte-t-il. Dans sa discrète maison de Yorba Linda, les repas commencent toujours par le bénédicité. Une image du Christ trône au-dessus des photos de ses neuf enfants. Agés de 1 à 18 ans, ils ont tous un nom italien, pour rappeler les origines du père. "Beaucoup de nos copains nous l'envient", sourit Ciena, l'aînée. Cette passionnée d'armes, qui a reçu un 9 mm quand elle a eu son diplôme à la fin de sa scolarité, aime, comme les autres membres du clan, chasser le buffle dans leur ranch du Montana.
Là-bas, Sam Calavitta, un ancien lutteur qui participe régulièrement à l'Ironman (un triathlon de 3,8 km à la nage, 180 km en vélo et 42,2 km de course à pied), organise chaque été l'Eternal Warrior Wrestling. Sur la brochure, ce camp de lutte réservé aux ados de 13 à 18 ans, est présenté comme l'un des plus durs des Etats-Unis : quinze heures d'entraînement par jour pendant deux semaines pour 900 euros - le prof de maths paie pour ceux qui n'ont pas les moyens. "Les jeunes doivent apprendre que la vie est dure, souligne-t-il, car pour lui, l'effort est l'essence de l'existence. Des juges nous envoient des jeunes qui appartiennent à des gangs. A la fin du camp, je vous assure qu'ils ont appris l'humilité et à s'entraider."

Mustapha Kessous Anaheim (Etats-Unis), envoyé spécial


Lire aussi l'article dans Courrier International.

Nos capacités mathématiques s’appuient-elles sur des régions cérébrales liées à l’attention spatiale? Cette question est soulevée dans une étude menée par des chercheurs du CEA, de l’Inserm, de l’Inria, de l’Université Paris-Sud au sein de l’unité Inserm/CEA "Neuroimagerie cognitive", à NeuroSpin.
Grâce à l’imagerie cérébrale par résonance magnétique à 3 Teslas de NeuroSpin, ces équipes viennent de mettre en évidence un rapprochement inattendu entre les représentations des nombres et celles de l’espace dans le cerveau. Ces travaux, qui sont publiés dans Science Express, pourraient avoir des conséquences importantes pour l’enseignement de l’arithmétique.

Carte des régions activées par le calcul (en jaune)
et par les mouvements oculaires (saccades en bleu), avec leurs intersections
Au sein de l’équipe de Stanislas Dehaene dans l’unité Inserm/CEA de neuroimagerie cognitive à NeuroSpin, André Knops a enregistré l’activité du cerveau au moyen d’un appareil d‘imagerie par résonance magnétique (IRM) de 3 Teslas, alors que des adultes volontaires effectuaient, soit des additions et des soustractions mentales, soit des mouvements des yeux vers la droite ou vers la gauche de l’écran. Un logiciel de traitement du signal a ensuite permis d’identifier des régions du cerveau impliquées dans les mouvements des yeux, et d’en déduire un algorithme qui, à partir de l’activité cérébrale, dévoile un aspect du comportement des sujets.
À partir des images IRM de haute résolution obtenues, les chercheurs ont été en mesure de déduire, essai par essai, si la personne avait orienté son regard vers la droite ou vers la gauche, avec un taux de succès de 70 %. Plus surprenant, cette classification s’est étendue au calcul mental: les chercheurs ont ainsi observé la même distinction entre l’activité cérébrale évoquée pendant les mouvements à gauche ou à droite et pendant les opérations de soustraction ou d’addition – que ces opérations soient réalisées avec des ensembles concrets d’objets (calcul non symbolique) ou avec des nombres symboliques (calcul symbolique) présentés sous formes de chiffres arabes.
Ils en ont conclu que le calcul mental ressemblait à un déplacement spatial. Par exemple, dans une certaine mesure, lorsqu’une personne qui a appris à lire de gauche à droite, calcule 18 + 5, son attention se déplace "vers la droite" de 18 à 23 dans l’espace des nombres, comme si les nombres étaient représentés sur une ligne virtuelle.
En mettant en évidence l’interconnexion entre le sens des nombres et celui de l’espace, ces résultats éclairent l’organisation de l’arithmétique dans le cerveau. Ils sont compatibles avec l’hypothèse, développée par Stanislas Dehaene, que les apprentissages scolaires entraînent un recyclage neuronal de régions cérébrales héritées de notre évolution et dédiées à des fonctions proches.
Chez les enfants en difficultés, l’utilisation de jeux qui insistent sur la correspondance entre les nombres et l’espace, tels que le jeu des "petits chevaux", peut conduire à des améliorations prononcées des compétences en mathématiques. Sur ce principe, un logiciel ludo-pédagogique en libre accès, "La course aux nombres", a été développé par le même groupe afin de faciliter l’apprentissage de l’arithmétique.

Source : Techno-Science

Fujiya & Miyagi est un groupe anglais qui a réalisé ce clip en stop-motion avec des centaines de dés.

Certains dés possèdent la forme d'un polyèdre autre que le cube. Jadis peu employés dans le jeu, ils sont devenus plus populaires depuis les années 1950 particulièrement à l'introduction des wargames, jeux de rôle, jeux de cartes à collectionner et certains jeux de société. Ces dés sont généralement en plastique et leurs faces possèdent des nombres plutôt que des motifs de points.
S'il s'agit d'une nouveauté aux temps modernes, il semble que certaines cultures anciennes en ont utilisé (en particulier, deux dés icosaédriques datant de la Rome antique sont exposés au British Museum de Londres).
Les solides platoniciens sont utilisés de façon courante pour les dés à 4, 6, 8, 12 et 20 faces. D'autres formes peuvent être trouvées pour des dés à 2, 3, 5, 7, 10, 16, 24, 30, 34, 50 ou 100 faces, mais à part le dé à 10 faces, ils sont peu utilisés, au cause de leur rareté, mais aussi parce que la lecture du nombre devient difficile, les faces étant presque sur le même plan, et la verticalité non distingable.
Un grand nombre de distributions de probabilités différentes peuvent être obtenues à l'aide de ces dés. Par exemple, deux dés à 10 faces peuvent être utilisés pour produire un nombre compris entre 1 et 100 (l'un des dés donnant le chiffre des dizaines, l'autre celui des unités, le tirage « 00 » correspondant à 100 ou 0 suivant le jeu pratiqué) afin d'obtenir une distribution linéaire de pourcentages. En additionnant les résultats de plusieurs dés, il est possible d'approcher une distribution normale ; en éliminant les tirages les plus (ou les moins) élevés, de modifier ces distributions, etc. à l'aide de ces techniques, les jeux peuvent approcher avec suffisamment de réalisme les probabilités des événements qu'ils simulent.
L'équiprobabilité de ces dés (c’est-à-dire la probabilité égale d'obtenir n'importe laquelle de ses faces) est sujette à controverse ; les dés à 6 faces utilisés dans les casinos ont l'obligation légale d'être équiprobables. Les procédés de fabrication utilisés pour les autres types de dés n'ont aucune obligation de ce genre.
Des dés sphériques existent aussi ; leur fonction est identique à celle des dés à 6 faces, mais ils possèdent une cavité interne octaédrique dans laquelle un poids se déplace et provoque leur arrêt dans une direction parmi six. Ils nécessitent cependant une surface plane et horizontale pour fonctionner correctement.

Pour en savoir plus : Wikipédia

Voici un clip vidéo utilisant abondamment le "Droste Effect", dont je parlais il y a quelques jours.

Et voici le making off :

Soit un quadrillage formé de L lignes et C colonnes. Le nombre de rectangles que l'on peut tracer est :

Ainsi, il y a 18 rectangles possibles sur un damier de dimensions 2x3 :


Voilà une formule qui m'a été bien utile pour m'attaquer au problème 85 du Project Euler.