Le blog-notes mathématique du coyote

Le site Platonic Realms se propose de fournir du contenu mathématique de haute qualité pour les élèves du secondaire et du lycée qui soit gratuit, motivant et instructif. Ce site propose chaque jour des citations mathématiques, des notes historiques et des défis mathématiques. On trouve aussi une section sur l'art mathématique d'Escher.

Voici un livre que je n'ai pas lu, mais dont le concept me plaît: partir d'un thème et se poser des questions mathématiques. Ici le thème est le basketball (il existe aussi un livre dont le thème est le football américain), ce qui permet de renforcer pas moins de 46 concepts mathématiques différents: pourcentages, équations linéaires, représentation de données, opérations avec les fractions, nombres décimaux, etc.
Les étudiants ont la possibilité de participer à des matches dans lesquels ils créent et gèrent des équipes virtuelles composées d'athlètes professionnels qui gagnent des points d'après les statistiques des matches réels. Chaque semaine, les élèves calculent les points gagnés par leurs joueurs en utilisant des méthodes algébriques et non-algébriques. Ils construisent aussi une série de graphiques illustrant les performances de leur équipe. Le but du jeu est d'accumuler le plus de points possible.

A voir: Fantasy Sports and Mathematics

L'énigmatique sourire de Monna Lisa a été décrytpé par des scientifiques et un logiciel de reconnaissance des émotions. Il traduit à 83 % le bonheur, à 9 % le dédain, à 6 % la peur et à 2 % la colère.
Le chef d'oeuvre de Léonard de Vinci, qui garde son mystère depuis 500 ans, a été analysé à l'université d'Amsterdam aux Pays-Bas. Des chercheurs néerlandais et américains ont notamment étudié la courbure des lèvres et les pattes d'oie autour des yeux.
Epaulé par un logiciel, ils les ont mis en relation avec six émotions de base, écrit l'hebdomadaire britannique de vulgarisation scientifique New Scientist. Selon le journal, ce type de logiciel pourrait servir à adapter un ordinateur à l'humeur de son utilisateur.

(ats / 15 décembre 2005 12:51)

Comment peut-on être mathématicien ?, par Jean-Paul Delahaye, pour Futura-Sciences, le 2 juin 2002

Une proportion importante de gens considère que les mathématiques sont nécessairement ennuyeuses et que rien ne saurait justifier qu'on consacre son temps à les pratiquer une fois l'école quittée, à moins qu'on y soit professionnellement astreint.
Nul n'ignore cependant que des hommes et des femmes choisissent de faire des mathématiques leur métier, voire y consacrent leur vie avec passion. Ils ou elles sont professeurs, chercheurs ou ingénieurs. On les regarde comme d'étranges et improbables créatures et parfois peut-être on soupçonne que leur amour des mathématiques cache quelque anomalie mentale plus ou moins grave, voire un déséquilibre dangereux : l'amour de la rigueur et de ce qu'on croit être la froideur des mathématiques ne s'accompagne-t-il pas obligatoirement d'un dessèchement de la sensibilité et d'une atrophie du goût pour les arts et les choses humaines ? Mais comment peut-on être mathématicien ?
La réponse, je crois, chacun la porte en soi car chacun aime les mathématiques d'une façon ou d'une autre. Les joueurs d'échecs ou de bridge se doutent bien que le plaisir qu'ils tirent des calculs qu'ils mènent dans leur tête est assez proche de celui qu'éprouvent les mathématiciens. C'est vrai, jouer aux cartes, aux dés, aux dominos, ou pratiquer la confrontation par échiquier interposé est une activité mathématique et si vous avez goûté cela, même une seule fois dans votre vie, vous savez ce qu'est le plaisir mathématique. Mais mieux encore, si vous lisez des romans policiers avec délectation ou que les films d'espionnages provoquent votre excitation vous pouvez aussi comprendre ce qu'est la satisfaction d'un mathématicien : le raisonnement (parfois très complexe) les retournements d'intrigues, la recherche des indices et leur mise bout à bout pour élucider ce qui dans un premier temps apparaît comme absurde ou même impossible, est une activité ou forme et sens jouent l'un avec l'autre et se combinent de façon analogue à ce qu'on pratique en mathématiques.
La seule différence entre celui qui aime les jeux, les énigmes policières ou l'intrication des scénarios complexes et le mathématicien est que ce dernier continue à éprouver du plaisir même lorsque le partenaire en face de lui a disparu, lorsque le contexte psychologique ou social du roman ou du film n'est plus présent pour habiller et justifier l'activité de raisonnement et de recherche de combinaisons. Le mathématicien est donc cet être commun que nous avons tous en nous et qui comprend les symboles, les figures géométriques, les raisonnements et les calculs et qui comme enivré de ce plaisir pur cherche à en renouveler l'expérience jour après jour. Pour se procurer des doses de plus en plus forte de cette substance intellectuelle qu'est l'abstraction et le jeu des combinaisons le mathématicien entre alors dans un pays où, il est vrai, il se trouve vite isolé.
Il est malheureux que les mathématiciens le plus souvent ne sachent pas faire partager leur enivrante expérience et que les programmes et méthodes utilisées dans l'enseignement conduisent la majorité des élèves à la conclusion que ça n'est pas drôle ni intéressant. La musique enseignée à l'école produit souvent le même effet et si chacun n'avait rencontré la musique qu'à l'école elle aurait aussi peu d'amateurs que les mathématiques (elle est d'ailleurs comme elles, combinatoire, abstraite, formelle). Le malheur des mathématiques est qu'elles n'offrent pas de seconde chance comme la musique que finalement tout le monde aime car il l'a rencontre chaque jour dans sa vie.
Peut-être qu'une tradition plus développée du divertissement mathématique comme il existe aux États-Unis pourrait remettre les choses en place, et, non pas faire apprécier les mathématiques autant que la musique, mais en tout cas beaucoup plus qu'elles ne sont aimées aujourd'hui. En France, un effort important a été fait ces dernières années dans ce sens par diverses associations et éditeurs et je crois qu'il commence à porter ses fruits.
On peut parler des nombres, des paradoxes, de la géométrie, des codes secrets, des probabilités, de la programmation des ordinateurs, de manière attrayante en s'adressant à un public large. Il n'y a pas besoin d'être surdoué pour aimer les mathématiques, pas plus qu'il n'est nécessaire d'être virtuose ou de posséder l'oreille absolue pour apprécier une guitare soliste ou un orchestre de Jazz. Les mathématiques sont pour tout le monde et il m'apparaît qu'elles devraient être appréciées au moins dans certaines de leur forme par tous.
Je défends une vision culturelle des mathématiques : point n'est besoin de savoir comment on démontre chaque affirmation qu'on connaît (les démonstrations sont souvent plus difficiles que les énoncés) Point n'est besoin d'être érudit et de se souvenir de tout ce qu'on a tenté de nous apprendre pour se réjouir d'une belle figure géométrique ou d'un beau raisonnement.
Je ne crois pas qu'on peut se prétendre cultivé si on ignore qu'il y a une infinité de nombres premiers et qu'Euclide il y a vingt siècles savait en donner une preuve irréfutable qui aujourd'hui encore fait l'admiration de tous. Je crois sincèrement que les mathématiques sont pour tous et qu'il est du devoir des mathématiciens de faire ce qu'il faut pour qu'on connaisse leur discipline qu'ils doivent cesser de garder pour eux.
Les mathématiciens ne sont pas des martiens car chacun de nous est mathématicien d'une façon ou d'une autre. Il faut que les écrivains scientifiques s'appliquent à proposer des textes qui feront que chacun deviendra conscient de son goût pour les mathématiques comme il l'est de son goût pour la musique.

La formule de Good-Turing est mise au point pendant la Seconde Guerre Mondiale pour casser le code d'Enigma. Aujourd'hui, des chercheurs américains reviennent sur ses performances.
Comment évaluer la probabilité d'un événement en se basant sur un échantillon de données ? Cette question, sur laquelle se sont penchés nombre de mathématiciens, connaît un nouveau rebondissement avec la publication des travaux de trois chercheurs américains.

Voir l'article de Kha Dinh, dans Info Science

111'111'111² = 12'345'678'987'654'321

Les-Mathematiques.net est un site collaboratif de niveau universitaire, mais on trouve aussi des ressources utilisables au Lycée, par exemple une méthode de résolution du Rubik's cube. Le forum est très actif et est la grande force de ce site.

À travers le monde, 23% des problèmes aux photocopieuses sont causés par des gens qui s'assoient sur l'appareil pour photocopier leur derrière.

Quand on sait que notre photocopieuse est en panne au moins une fois par semaine...

Exploit pour la factorisation de RSA-640, par Salvatore Tummarello, Futura-Sciences, le 06/12/2005

L'équipe allemande qui s'était déjà illustrée en mai dernier en "cassant" une clé de 200 chiffres a annoncé la factorisation de RSA-640. Pour cet exploit, l'équipe de la "Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik" (BSI, agence fédérale pour la sécurité des techniques de l'information) se voit remettre un prix de 20 000$.

La sécurité du système de cryptage RSA repose en effet sur la lenteur des algorithmes de factorisation connus et les laboratoires RSA Security soumettent depuis 1977 une liste de grands nombres assortie de récompenses pour les premières équipes capable de les factoriser (i.e. retrouver les diviseurs).
Baptisés RSA suivi de leurs nombres de chiffres en écriture décimale ou binaire, les nombres proposés sont extrêmement difficile à casser et on estimait il y a 25 ans qu'il faudrait des millions d'année pour y parvenir... RSA-640 comprend 193 chiffres (décimaux) et n'a pourtant résisté que quatre mois et demi au crible mis en oeuvre par l'équipe allemande sur un réseau de 80 micro-processeurs Opteron cadencés à 2.2 GHz.
Les prochains défis? RSA-704 (212 chiffres) pour 30 000$ ... ou bien RSA-2048 (617 chiffres) pour 200 000$ !

La factorisation de RSA-640:

310 7418240490 0437213507 5003588856 7930037346 0228427275 4572016194 8823206440 5180815045 5634682967 1723286782 4379162728 3803341547 1073108501 9195485290 0733772482 2783525742 3864540146 9173660247 7652346609
=
1634733 6458092538 4844313388 3865090859 8417836700 3309231218 1110852389 3331001045 0815121211 8167511579
x
1900871 2816648221 1312685157 3935413975 4718967899 6851549366 6638539088 0271038021 0449895719 1261465571

Quatre éditeurs de logiciels créent le Numerical Mathematics Consortium

PARIS – Quatre éditeurs de logiciels mathématiques, l’Inria, National Instruments, Mathsoft et Maplesoft, annoncent la création du « Numerical Mathematics Consortium » (NMC), dont le but est de définir des bases « cohérentes et concrètes » pour le calcul numérique.
Comme l’indiquent les partenaires dans un communiqué, l’objectif initial du Consortium NMC consiste en l’établissement d’une norme ouverte pour la sémantique des fonctions mathématiques afin de permettre le développement d’algorithmes utilisables dans un grand nombre de disciplines et sous divers environnements matériels et logiciels.
Le Consortium NMC vise notamment les domaines du contrôle industriel, du développement de logiciels embarqués et diverses filières de recherche.
Et, espèrent ses initiateurs, un jeu standard de fonctions mathématiques fondé sur une sémantique commune devrait permettre de disposer de techniques portables et de bibliothèques et outils prêts à l’emploi, instantanément utilisables sous divers environnements.

Source: EETimes France, 2 décembre 2005

La revue La Recherche publie une version française du désormais célèbre calendrier mathématique de Theoni Pappas. A chaque jour de l'année correspond un petit problème dont la réponse est la date du jour. Par exemple le 3 mars le problème est:
"Quel est le reste de la division euclidienne de x³-24 par x-3 ?"

P.S: Merci à Olivianne de m'avoir signalé que ce calendrier était disponible en kiosque.

Est-ce que la série diverge ou converge? Avec le test de d'Alembert, on calcule que c>1, donc la réponse est: diverge..., même s'il n'y a que quatre garçons dans votre classe.

P.S. Ludivine, on attend les biscuits

CMathématique, un site sur les innombrables façons dont les mathématiques sont utilisées dans la vie de tous les jours avec des interviews, des événements à ne pas manquer, un forum, une revue de presse, un bottin de spécialistes et plus.
Ce site présente aussi treize dossiers thématiques dans des domaines où les mathématiques sont d'une utilité absolue : Internet, système monétaire, alimentation, télévision, recyclage, démographie, ressources du sous-sol, transport aérien, loterie, changements climatiques, divertissements, santé, services publics. Chaque dossier est illustré et les explications sont exhaustives. Bien plus, des capsules permettent d'approfondir encore davantage les concepts ou notions mathématiques abordés dans ces grands dossiers.

Les êtres vivants sont sensibles à la présence du vent. L'été, en période de canicule, on a tous déjà souhaité qu'une brise légère vienne rafraîchir l'air environnant.

Les manifestations du Dieu Éole ne sont toutefois pas toujours bienvenues durant la saison hivernale car le vent nous donne l'impression qu'il fait plus froid que le mercure ne l'indique. On parle alors de facteur de refroidissement éolien, lequel est calculé en combinant la température de l'air à la vélocité des vents. Ce calcul nous permet d'obtenir une lecture de la température ressentie par un être humain en présence de temps froid et venteux. En fait, le facteur de refroidissement éolien mesure la rapidité à laquelle le corps humain perd sa chaleur lorsqu'il est exposé au vent. Il a été créé dans le but de réduire les risques d'hypothermie, d'engelure et autres dangers reliés au froid. Consulter le facteur de refroidissement éolien avant de sortir nous permet de se vêtir adéquatement pour profiter pleinement des plaisirs de l'hiver.

La formule pour calculer la température équivalente reliée au facteur de refroidissement éolien est la suivante:

T(FRÉ) = 13.12 + 0.6215*T - 11.37*V^0.16 + 0.3965*T*V^0.16

Où:
T(FRÉ) est la température équivalente en degrés Celcius
V est la vitesse du vent en km/h mesurée à 10m de hauteur
T est la température, de l'air en degrés Celsius

Exemple: par un vent de 60 km/h et une température de -5°C, la température ressentie est de -16°C.

Source: MétéoMédia

Denis Guedj passe des maths au roman, par Pascal Gavillet, Tribune de Genève du 28.11.2005

Ses passions sont multiples. Denis Guedj en cultive particulièrement deux: la littérature et les mathématiques. Ecrivain et enseignant de math à la Sorbonne, il vient de mettre la main à son dernier roman, «Zéro», qui met justement en liaison ses deux pôles d'intérêt. Le récit présente, sur cinq mille années, les cinq vies d'une femme, Aémer, qui traverse les époques, tour à tour voleuse, oniromancienne, prostituée ou prêtresse de l'amour.

Sumer, point central de l'Histoire

La partie la plus lointaine de cette histoire, vers le début du livre, se situe à Sumer. Evidemment pas par hasard. «C'est là où tout commence. Quelque chose de nouveau y débute, la civilisation occidentale. Sumer est le point central de l'Histoire. La plupart des cultures sont nées là-bas.» Dans son roman, Denis Guedj montre aussi comment son héroïne, à travers ses vies successives, fait l'apprentissage des nombres et de leurs rapports, les mathématiques. «Pourtant, il y a davantage de philosophie que de mathématiques dans Zéro . Il y a d'ailleurs de l'émotion dans ces deux disciplines. Il y en a par exemple dans le théorème de Pythagore. La difficulté, c'est de sortir tous ces concepts de leur gangue universitaire. Pas seulement de les vulgariser. Pour ma part, je ne pense pas être dans mon livre. Je transmets uniquement ce que je suis à mes personnages.»

Pour bâtir son roman, Denis Guedj a entrepris des recherches en parallèle. Notamment en dévorant force quantité de livres. «Je lis et dévore les livres de mythologie ou d'histoire comme des romans. Mon imagination intervient ensuite. Puis je rédige. Invariablement au présent. Alors que les romans historiques sont souvent écrits au passé.»

L'auteur essaie également d'échapper aux étiquettes. «Je ne veux pas être catalogué comme matheux. Ou seulement comme écrivain. Je suis aussi comédien et scénariste. Mais tout ce que je fais, je l'entreprends à fond. Je ne peux pas survoler une chose. Pour faire du théâtre, j'ai suivi des cours durant quatre ans. Et pas pour m'amuser. Cependant, ma première spécialité reste les maths.»

Spécialisé dans l'algèbre et la linguistique mathématiques, il se considère comme un historien des sciences. «Mais j'ai arrêté de faire des recherches. On ne peut pas tout faire.»

«Zéro», de Denis Guedj, Robert Laffont, 313 pages.

Avec ses 1500 articles (seul Euler en a écrit davantage), les contributions de Paul Erdös aux mathématiques sont nombreuses: en théorie des nombres, en combinatoire, en mathématiques discrètes, il fut un maître. Erdös (1913-1996) avait une exceptionnelle aptitude à poser des questions, et à s'entourer des mathématiciens les plus compétents pour résoudre ses conjectures. Il en résulte que Erdös a eu beaucoup de collaborateurs: 504 mathématiciens ont écrit un article en commun avec lui.
Les mathématiciens se sont amusés à définir un nombre de Erdös: tout mathématicien qui a publié un papier en commun avec Erdös a un nombre de Erdös égal à 1. Toute personne qui a publié un article en commun avec une personne qui a un nombre de Erdös égal à 1 a un nombre de Erdös égal à 2. Et ainsi de suite.... Albert Einstein est l'un d'entre eux: son nombre de Erdös est 2. Actuellement, le nombre d'Erdös le plus grand est 15.
La tableau ci-dessous (tiré du site The Erdös Number Project) montre le nombre de personnes ayant un nombre d'Erdös de 1, 2, 3,..., mais en comptant seulement les articles avec deux coauteurs: c'est le nombre d'Erdös de deuxième espèce ("Erdös numbers of the second kind" en anglais).

Erdös 0 - 1 personne (Paul Erdös, évidemment)
Erdös 1 - 230 personnes
Erdös 2 - 2153 personnes
Erdös 3 - 10118 personnes
Erdös 4 - 28559 personnes
Erdös 5 - 47430 personnes
Erdös 6 - 44102 personnes
Erdös 7 - 25348 personnes
Erdös 8 - 11265 personnes
Erdös 9 - 4299 personnes
Erdös 10 - 1570 personnes
Erdös 11 - 533 personnes
Erdös 12 - 206 personnes
Erdös 13 - 61 personnes
Erdös 14 - 25 personnes
Erdös 15 - 2 personnes

A lire : Paul Erdos : l'homme qui démontrait des théorèmes, par Jean-Pierre Boudine

Votre mission consiste à contrôler la finale d'une course. Il faut que les voitures soient positionnées sur la piste de façon à ce qu'elles arrivent toutes à la ligne d'arrivée en même temps.
La tâche sera complexe, car vous devrez étudier adéquatement le mouvement de chacune des voitures pouvant participer à la course de manière à déterminer l'endroit exact où placer vos voitures ainsi que le moment où vous devrez les faire démarrer. Il vous sera possible d'expérimenter avec les voitures avant la course finale (l'évaluation) de façon à posséder toutes les connaissances nécessaires pour contrôler le «bon déroulement» de la course.
Lors de l'évaluation, vous devrez placer les voitures sur la piste de façon à ce qu'elles arrivent à la ligne d'arrivée en même temps qu'une autre voiture déjà placée sur la piste par quelqu'un d'autre.
Pour jouer, allez sur le site La course sans gagnant.
D'autres missions sont proposées sur le site de Patrick Moisan.

Sine Qua Non est un traceur de courbes écrit par Patrice Rabiller. Il est destiné spécialement aux professeurs de mathématiques de lycées, mais peut aussi être utilisé avec profit par les élèves. Il permet d’obtenir, très simplement, la courbe représentative de n’importe quelle fonction, ainsi que toute courbe paramétrée plane. Ces courbes peuvent ensuite être imprimées ou copiées dans un autre document (traitement de texte par exemple). Outre les courbes planes, Sine qua non permet de réaliser des figures géométriques planes quelconques, ainsi que des représentations graphiques de séries statistiques à une ou deux variables. Enfin, il est possible de représenter graphiquement les principales lois de probabilité (binomiale, Poisson et Laplace-Gauss), les suites numériques et les intégrales définies.

Mon avis:
Ce logiciel est très simple à utiliser et permet des faire de très belles choses. Son gros défaut: si l'on veut intégrer une courbe dans un traitement de texte, le résultat à l'impression est médiocre, car, pour l'instant en tout cas, on ne peut pas exporter le dessin obtenu, on est obligé de faire un copier-coller.

Le site Th!nklets, créé par l'Institut Freudenthal de l'université d'Utrecht, propose des jeux mathématiques, sous forme d'animations.
Le jeu "Find the function" me paraît très intéressant pour apprivoiser les fonctions classiques.