Le blog-notes mathématique du coyote

Actuellement dans les kiosques :

Un ballon de foot fractal... et d’autres objets étranges.

Un superbe article de Jos Leys, paru dans Images des Mathématiques, avec des illustrations d'une beauté toute... mathématique.

Le but du problème des huit dames est de placer huit dames d'un jeu d'échecs sur un échiquier de 8×8 cases sans que les dames se menacent mutuellement, conformément aux règles du jeu d'échecs. Par conséquent, deux dames ne devront jamais partager la même rangée, colonne, ou diagonale.
Le problème des n dames est une généralisation de ce problème classique : on considère un échiquier nxn au lieu d'un échiquier 8x8. Bien que ce ne soit pas à proprement parlé un problème d'optimisation, il présente de nombreux avantages :

• il est visuel et facile à comprendre ;
• on peut coder la position des dames très simplement : pour chaque colonne, on note sur quelle ligne se trouve la dame. Par exemple, une position sera notée [2, 4, 6, 8, 3, 1, 7, 5] ;
• on passe très facilement d'une configuration à une configuration voisine : il suffit d'échanger deux colonnes. Une position voisine (mais qui ne satisfait pas forcément les contraintes) de celle ci-dessus est par exemple [2, 1, 6, 8, 3, 4, 7, 5].

On peut le traiter comme un problème d'optimisation si l'on considère qu'il faut minimiser le nombre de conflits (on parlera de conflit quand deux dames se menacent mutuellement). Il s'agira ici de placer n dames sur l'échiquier nxn, sans aucun conflit, en partant d'une solution avec une seule dame par ligne et par colonne (par exemple toutes les dames sur la diagonale) et en échangeant deux colonnes. On ne cherchera pas toutes les solutions possibles : une seule nous suffira. Notons que dans un problème d'optimisation classique, il n'y a en général qu'une seule meilleure solution. Ici il y en a plusieurs.

Lire mon article complet : "Le problème des n dames pour illustrer les méta-heuristiques", Bulletin no 113 de la SSPMP, juin 2010

Comment choisir 1.000 parmi 100.000
De la hiérarchie militaire chez les Tatars

Intéressant article de Patrick Popescu-Pampu, Maître de Conférences, Université Paris 7. L'auteur présente la méthode utilisée par certains Tatars, telle qu’elle est rapportée par Marco Polo.

Lire l'article

Les Dossiers de La Recherche n°37 - Novembre 2009 :
Le pouvoir des mathématiques

Edito

Les mathématiciens sont des explorateurs. Le plus intéressant pour eux n’est pas tant de « résoudre des problèmes » que de définir des buts à atteindre et, surtout, de découvrir des paysages inédits sur les routes qu’ils empruntent pour y parvenir. Les diverses explorations du XXe siècle ont été très fructueuses. Au fil des démonstrations de théorèmes, tel celui de Fermat, ou de conjectures, telle celle de Poincaré, des passerelles ont été jetées entre des régions très différentes des mathématiques. Le XXIe siècle sera tout aussi passionnant. En particulier grâce aux liens des mathématiques avec les autres sciences. Champs habituels d’applications, celles-ci sont sources de problématiques purement mathématiques. Avec la physique, les interactions, anciennes, sont toujours aussi riches. Avec la biologie et, surtout, l’informatique, née il y a à peine plus de cinquante ans, elles commencent, mais leurs promesses sont immenses.

Les génies de la science
N°39 mai - juillet 2009

D'Alembert, mathématicien des Lumières

Tout étudiant de mathématiques a appliqué ou entendu évoquer le théorème de D'Alembert(-Gauss) ou théorème fondamental de l'algèbre, le principe de D'Alembert en mécanique ou le critère de D'Alembert pour les séries. Cependant, D'Alembert réserve nombre d'autres surprises.
Sait-on qu'il a été secrétaire de l'Académie française et non de l'Académie des sciences ? Sait-on que son principal correspondant était Voltaire, plus que Lagrange ? Sait-on que la moitié de son œuvre mathématique se situe après l'Encyclopédie alors qu'on dit qu'il n'en faisait plus guère ?
Alors, qui est D'Alembert ? Grand géomètre aux dires des littérateurs et bon littérateur aux dires des géomètres? Rarement un auteur, surtout scientifique, a suscité des avis aussi tranchés et aussi opposés. L'édition en cours de ses Œuvres complètes permet un regard nouveau.
Ce dossier, fruit de ces recherches, sera donc l'occasion de découvertes et d'imprévus, mais aussi de doutes, ce qui n'aurait pas déplu à ce savant des Lumières.

Au sommaire, vous croiserez le fameux nombre pi —qui nous a accordé une interview exclusive— et vous passerez une journée à Preum’s Academy, l’émission TV pour nombre premiers. Sans oublier un passionnant retour dans le passé sur l’histoire des nombres. SURTOUT, vous profiterez des 28 pages d’énigmes mathématiques pour ne pas laisser la poussière recouvrir votre belle cervelle.

Lire le début de l’interview du nombre pi.
Pour savoir comment les Chinois comptaient avec des baguettes.
Tester les jeux.

Pourquoi y a-t-il si peu de mathématiciennes ?
Jean-Luc Nothias, Le Figaro, 03/06/2009

HISTOIRES DE SAVOIR - Capacités intellectuelles ou problèmes d'orientation ? Jean-Luc Nothias s'interroge sur les vraies raisons de la faible présence féminine dans cette discipline.

C'est à la fin du XIXe siècle que les scientifiques commencèrent à s'intéresser, de manière «raisonnée», aux différences entre hommes et femmes du point de vue de leurs capacités intellectuelles respectives. La conclusion fut alors rapidement et «solidement» établie : le cerveau plus petit des femmes faisait que leurs capacités intellectuelles étaient limitées. Fort heureusement pour tout le monde, on n'en est plus là. Et les performances féminines, égales ou supérieures à celles des hommes, sont aujourd'hui reconnues. Pourtant, il reste, dans le monde de la science, quelques bastions où apparemment la masculinité l'emporte. C'est le cas des mathématiques.
Ainsi, à la Fondation Sciences mathématiques de Paris, un important pôle de recherche qui fédère de nombreux laboratoires français et regroupe environ mille chercheurs en mathématiques, il y a moins de 20 % de femmes. Une toute récente étude (PNAS, 2 juin), menée par deux scientifiques de l'université du Wisconsin (qui se prénomment toutes les deux Janet, Hyde et Mertz), a tenté de comprendre pourquoi il y avait tellement plus de mathématiciens que de mathématiciennes.
En analysant les données recueillies lors des épreuves d'évaluation dans le primaire et le secondaire (la plus vaste méta-analyse porte sur 3 millions d'individus), on constate qu'il n'y a aujourd'hui pas de différences de performances entre filles et garçons. Les capacités intellectuelles masculines et féminines sont en moyenne les mêmes.
En allant dans le détail, on voit que les filles ont, au début, un petit avantage pour le calcul, avantage qui disparaît par la suite. On ne trouve aucune différence en ce qui concerne la compréhension de concepts abstraits ou dans la résolution de problèmes complexes. Mais une différence apparaît en fin de cursus scolaire, les garçons prenant dans ce dernier domaine un avantage sur les filles. C'est le moment de l'orientation vers les études supérieures. Et, en France, il y a le système des classes préparatoires. Beaucoup moins de filles que de garçons vont choisir la voie des sciences dites «dures», parmi lesquelles les mathématiques. Pourtant, beaucoup de filles s'estiment «bonnes en maths», mais n'ont jamais envisagé d'y faire carrière ; un premier indice expliquant peut-être le faible nombre de femmes en mathématiques.
Pour tenter d'en savoir plus, les deux Janet ont voulu savoir s'il y avait une différence entre les «doués» ou «douées» en maths pour vérifier s'il y avait une «bosse» masculine. Là, les résultats sont mitigés et n'apportent pas une réponse claire. Car ils varient beaucoup en fonction de l'époque, du pays et du groupe socioculturel concerné. Une chose est sûre, la tendance est à une montée en puissance des femmes. Une fois encore, l'influence de l'environnement socioculturel semble importante.

Une «image» très masculine

Comme toujours, l'histoire peut apporter des enseignements intéressants. Y a-t-il, ou y a-t-il eu des génies féminins des mathématiques ? La réponse est oui. Et pas qu'une. L'une des plus emblématiques est Marie-Sophie Germain. Née en 1776, elle est l'une des premières mathématiciennes françaises autodidactes. Elle a sa «révélation» à 13 ans, et prendra un pseudonyme masculin, celui d'un ancien élève de l'École polytechnique, pour poursuivre ses travaux. Qui, revisités il y a peu, ont montré qu'elle avait imaginé les prémisses des travaux de Poincaré. Une équation, entre autres, porte son nom.
Mais aucune femme n'a encore eu la médaille Fields, l'équivalent du prix Nobel pour les mathématiques. Les maths font-elles peur aux femmes ? Interrogées, nombre de mathématiciennes le contestent. Mais des femmes ayant choisi d'autres disciplines scientifiques reconnaissent qu'elles n'ont même pas envisagé cette possibilité. Les femmes sont-elles traitées différemment des hommes quand elles sont mathématiciennes ? Elles, et ils, le démentent vigoureusement. Et on peut les croire.
Les dernières études d'imagerie cérébrale confirment qu'il y aurait bien une différence, non de capacité, mais de «fonctionnement» du cerveau des hommes et des femmes, en fonction de leurs centres d'intérêt. Mais ces recherches sur les différences n'en sont qu'à leurs balbutiements.
Mais il y a bien aussi, certains le reconnaissent, une sorte de problème d'image des maths. Et, même si cela est encore pire en informatique, les mathématiques véhiculent encore une «image» très masculine. Ce n'est de la faute de personne, mais il faudrait «désacraliser» les mathématiques. Mesdemoiselles et mesdames, à vous de jouer.

Source : Le Figaro

Les mathématiques sont partout : la théorie des graphes et la théorie du calcul s'immiscent dans des domaines où personne n'imaginait qu'elles avaient quelque chose à apporter. Dans un article publié il y a quelques mois (Computational Balloon Twisting: The Theory of Balloon Polyhedra), Erik Demaine, Martin Demaine et Vi Hart proposent une analyse des questions mathématiques que soulève l'assemblage des ballons. Cette discipline, mineure mais qui plaît aux enfants, est pratiquée dans les numéros de music-hall. Les artistes obtiennent des formes animales, des fleurs, des personnages, ou des polyèdres. Son analyse marque peut-être la naissance d'une nouvelle spécialité mathématique.

Graphes et algorithmes pour ballons est un article de Jean-Paul Delahaye dans Pour la Science No 380 de juin 2009.

L’artiste américain Jeff Koons a exposé en octobre 2008 dans la Galerie des glaces du château de Versailles des sculptures géantes (plusieurs mètres) en ballons, notamment le petit chien, le premier modèle que tout débutant assemble.

Un article intéressant dans Pour la Science de juin 2009 : La saga des trois petits octogones.
Les mêmes auteurs avaient déjà publié un article sur ce sujet dans la revue Matapli : Quatre petits octogones.