Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus ou, pourquoi pas, de créer leur propre blog...
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.


vendredi 30 janvier 2009

Règle de Golomb

Les règles de Golomb doivent leur nom au docteur Solomon W. Golomb, un professeur de mathématiques qui s'est particulièrement intéressé à l'analyse combinatoire, à la théorie des nombres, à la théorie du codage et aux communications. Le docteur Golomb s'intéresse aussi aux jeux et aux énigmes mathématiques : il est l'auteur de nombreux articles parus dans la rubrique "Jeux Mathématiques" de Scientific American. Les OGR ont de nombreuses applications dont entre autres : le positionnement des capteurs pour la cristallographie à rayons X, et la radioastronomie. Les règles de Golomb jouent également un rôle en combinatoire, en théorie du codage et dans les communications, et le docteur Golomb est l'un des premiers à avoir analysé leur utilité dans ces domaines.
Une règle de Golomb est une manière de placer des marques sur une droite de sorte que chaque couple de marques mesure une longueur différente des autres. Voici une règle de Golomb à cinq marques :

| |     |         |   |
0 1     4         9   11
Le nombre situé sous la marque donne la distance au bord gauche. La longueur de cette règle est 11; il se trouve que cette règle est l'une des deux règles à cinq marques les plus courtes. L'autre règle est celle dont les marques se situent aux positions 0, 3, 4, 9 et 11. (les images inversées de ces deux règles, 0, 2, 7, 10, 11 et 0, 2, 7, 8, 11 constituent également des règles de Golomb optimales. On ne mentionne habituellement qu'un représentant de chaque paire d'images inversées.)
Pour vérifier que la règle ci-dessus est effectivement une règle de Golomb, on peut écrire la table de toutes les paires de marques possibles en indiquant pour chacune la distance correspondante :

Marque 1  Marque 2  Distance
   0          1         1
   0          4         4
   0          9         9
   0         11        11 
   1          4         3 
   1          9         8
   1         11        10 
   4          9         5 
   4         11         7 
   9         11         2 
Notez que la troisième colonne ne contient aucune répétition. La distance 6 n'apparaît pas non plus, mais ce n'est pas grave : une règle de Golomb n'est pas censée permettre de mesurer toutes les distances, mais seulement des distances différentes d'une paire de marques à l'autre.
Le but de l'"optimisation" des règles de Golomb est de les rendre aussi courtes que possible, tout en ne duplicant pas les distances mesurées. Les deux règles à cinq marques données ci-dessus sont optimales.
On caractérise habituellement les règles de Golomb par l'espacement entre les marques plutôt que par la position absolue des marques, comme c'est le cas sur le diagramme ci-dessus. La règle ci-dessus s'écrirait ainsi 1-3-5-2 (ou encore 0-1-3-5-2, mais on oublie souvent le 0 initial).
Par exemple, voici la plus petite règle à 21 marques connue :

2-22-32-21-5-1-12-34-15-35-7-9-60-10-20-8-3-14-19-4

James B. Shearer a compilé une liste des plus petites règles de Golomb connues jusqu'à 150 marques. Si vous comparez les règles, vous constaterez que la règle à 21 marques mentionnée sur la page de James est l'image inversée de celle ci-dessus.
Malheureusement, la complexité de la recherche d'OGR croît de manière exponentielle avec le nombre de marques (de la même manière que ce que les mathématiciens décrivent sous l'appellation "problème NP complet" ... comme l'infâme "problème du voyageur de commerce").

Source : distributed.net

jeudi 29 janvier 2009

Où est le centre des USA ?

Une comme application intéressante des intégrales que l'on pourrait exploiter en classe : THE CENTER OF THE UNITED STATES AND OTHER APPLICATIONS OF CALCULUS TO GEOGRAPHY, par David Richeson.

mercredi 28 janvier 2009

Mathématiques expérimentales

Mathématiques expérimentales est une exposition virtuelle présentant plus de 200 situations mathématiques qui proposent aux élèves d'expérimenter, tâtonner, faire des hypothèses, les tester, essayer de les valider, chercher à prouver et débattre autour de propriétés mathématiques.

mardi 27 janvier 2009

La surface de Boy


La surface de Boy, du nom de Werner Boy, mathématicien ayant le premier imaginé son existence en 1902, peut être « vue » comme une sphère dont on a recollé deux à deux les points antipodaux, ou encore un disque dont on a recollé deux à deux les points diamétralement opposés de son bord. On peut également la construire en recollant le bord d'un disque sur le bord d'un ruban de Möbius.
De nombreuses images de la surface de Boy peuvent être trouvées sur l'album Le Topologicon de Jean-Pierre Petit qui contient également une animation, sous forme d'un folioscope montrant comment faire croître un Ruban de Möbius à trois demi-tours pour le transformer en surface de Boy.

Pour en savoir plus : Le retournement de la sphère

lundi 26 janvier 2009

Après Folix, voici Foli+


Quelques mois après la sortie de "Folix", Alain Anaton récidive avec un jeu presque pareil, "Foli+". Cette fois, on passe de l'apprentissage de la multiplication à celui de l'addition mais les mécanismes restent absolument les mêmes. Chaque chiffre est aussi représenté par une couleur qui permet de jouer avec des enfants en phase d'apprentissage. Ce qui permet de jouer avec des enfants très jeunes. Pour le reste, il s'agit toujours d'un mémory où il faut retrouver deux pions.
Pour comprendre comment fonctionne "Foli+", il suffit donc de regarder la vidéo consacrée à "Folix" et de remplacer les multiplications par des additions.

dimanche 25 janvier 2009

Citation de Laplace (3)



Le calcul des probabilités : «C’est une science qui est née avec le jeu, mais qui de par son évolution est devenue l’objet le plus important de la connaissance humaine».

Pierre-Simon Laplace

vendredi 23 janvier 2009

L'escalier de Santa Fe


Dans la chapelle du collège de Notre-Dame de Lorette, à Santa Fe (Nouveau-Mexique), un mystérieux escalier attire de très nombreux curieux. Cette chapelle fut construite en 1873, sur les plans de l'architecte Mouly. Seul hic : aucune liaison n'avait été prévue pour l'accès au jubé ! L'installation d'une cage d'escalier s'avérait techniquement impossible. Les braves nonnes se mirent alors en prière en quête d'une solution.
Le dernier jour de la neuvaine, un vieil homme, tirant un âne chargé d’outils, se présenta et proposa de construire un escalier. Son outillage comportait simplement une scie, un marteau et une équerre en té. Au bout de six mois, son travail achevé, il disparut sans se faire connaître ni demander la moindre rémunération. Et personne, dans les environs, n'avait entendu parler de ce charpentier !
Autre mystère, et non des moindres : l'escalier est un authentique chef-d’œuvre qui fait deux tours complets (2 x 360°) sur lui-même, mais, contrairement à la technique habituelle de construction des escaliers circulaires, il ne comporte aucun pilier central pour le soutenir et ne fut même équipé de rampe que cinq ans après sa construction. Pas un seul clou pour l'assemblage, mais uniquement des chevilles en bois. Son poids repose sur la première marche. «Normalement», depuis plus de cent ans qu'il est utilisé quotidiennement, il aurait dû s'écrouler. Quant à la nature et à la provenance du bois utilisé ? Mystère itou ! La "sorte de pin granuleux sur les bords" ne satisfait personne...
Des milliers de visiteurs, dont de très nombreux architectes, viennent du monde entier pour admirer cet étrange escalier aux courbes très harmonieuses, oeuvre d'un non moins étrange charpentier.

Pour en savoir plus : Christ-roi.net

jeudi 22 janvier 2009

Applications des mathématiques au Collège du Sud

Mes collègues du Collège du Sud propose sur le site de leur lycée une série d'activités pour l'option applications des mathématiques.

mercredi 21 janvier 2009

Pyromaths

Vous êtes professeur de mathématiques, et vous en avez marre d’inventer des calculs, d’écrire des pages d’additions, de factorisations, d’équations et vous vous dites : « Un ordinateur pourrait faire ça en une seconde ! ».
Vous êtes élève consciencieux, et voulez réviser chez vous les techniques de calcul, de résolution d’équation, les théorèmes de Pythagore et de Thalès, mais votre grande soeur refuse de vous corriger ?
Pas de panique, Pyromaths est là pour vous sauver ! Ce générateur de fiche d’exercice vous fabriquera en quelques clics des pages et des pages de fractions, de racines, de puissances et même de PGCD, sans oublier la trigonométrie, le calcul mental, les symétries et les multiples !
Ce logiciel propose des exercices rituels pour les classes de 6e à 3e, principalement concernant les nombres et les opérations, mais aussi le calcul littéral, les équations et la géométrie.
Pyromaths est très facile à utiliser. Il suffit de cocher les cases correspondant aux thèmes que l’on souhaite aborder et de paramètrer le nombre d’exercices à générer. Ensuite, on clique sur le bouton Créer et après avoir renseigné le dossier de destination, Pyromaths s’occupe de créer un feuille d’exercices ainsi que le corrigé détaillé. Les fiches sont générées avec des valeurs numériques aléatoires, de façon à n’obtenir jamais deux fois le même exercice.
Pyromaths génère un fichier LaTeX qui est ensuite compilé et transformé en un agréable document Pdf directement imprimable. Le corrigé suit évidemment le même chemin. Et attention, ce ne sont pas seulement les réponses qui y sont données, mais également les détails des calculs ! D’ailleurs le corriger est plus long que l’énoncé, c’est dire !

mardi 20 janvier 2009

Solutions d'expert


Solutions d'expert : Volume 1 (Broché)
de Arthur Engel (Auteur), Jean-Christophe Novelli (Traduction)
Cassini (2007)

Présentation de l'éditeur
Traduit par Jean-Christophe Novelli, ce livre est le produit de la préparation de l'équipe d'Allemagne aux Olympiades de mathématiques tout au long d'une vingtaine d'années. Rassemblant 1100 problèmes issus de tous les pays du monde, il est organisé autour des grandes idées qui mènent à leur résolution : principes d'invariance, stratégies combinatoires avec en particulier le principe des tiroirs ou la relation d'inclusion-exclusion de Poincaré, théorie des nombres et principe de récurrence, graphes et problèmes de coloriages, théorie des jeux...

Biographie de l'auteur
Arthur Engel, né en 1928, a été le préparateur et le chef de délégation de l'équipe d'Allemagne aux Olympiades de mathématiques. Longtemps directeur de l'Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques de l'Université de Francfort, il a exercé une influence significative sur l'enseignement des mathématiques dans le monde. II a été en 1991 le premier lauréat du prix David Hilbert de la Fédération mondiale des compétitions mathématiques. II est aussi l'auteur d'un ouvrage de référence en probabilités, Les certitudes du hasard (Éditions Aléas).

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