Le blog-notes mathématique du coyote

Le héros de cet article sera le tapis de Sierpiński. Les constructions du triangle et du tapis s’appuient sur les mêmes idées ; dans le premier cas on part d’un triangle équilatéral, dans le second d’un carré. Si on veut fabriquer le triangle de Sierpiński dans un matériau réel, on rencontre un problème de fragilité : une fois le triangle central retiré, les trois petits triangles restant ne tiennent plus entre eux que par les sommets. Pour ce que nous souhaitons faire, il nous faut donc quelque chose d’un peu plus « robuste » comme le tapis.

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Article de Pierre Nugues, Université de Lund

Le but de notre article est de présenter quelques analyses statistiques élémentaires portant sur les caractères et les mots d’un texte numérisé, ne serait-ce que pour en contrôler la qualité. À l’origine de tout texte écrit, on trouve, en effet, un code alphabétique et nous décrivons ici comment extraire les symboles de ce code, calculer leur distribution statistique, analyser leur dispersion à l’aide de l’entropie et enfin, appliquer cette entropie à la mesure de la distance entre deux textes. Nous complétons cette présentation par l’exposé d’une méthode pour identifier les associations de mots les plus fréquentes dans un texte.

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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve.

Euclide

Mettons les choses au clair concernant le jeu de Pile ou Face: si vous lancez une pièce de monnaie bien équilibrée (non truquée), vous aurez toujours une chance sur deux de deviner le côté de la pièce qui sortira. Tout le monde sait ça. Alors comment donc arnaquer vos amis en jouant à Pile ou Face si on ne peut, de toute façon, jamais changer la probabilité d’apparition de chacune des faces ?

Ce que tout le monde ne sait pas, c’est qu’il existe une variante de « Pile ou Face » qui, elle, est inéquitable. Et c’est ce que vous découvrirez sur Blogdemaths.

Vous avez les yeux bandés, et devant vous sont disposés aléatoirement 64 pions du jeu d’Othello: blancs d’un côté, noirs de l’autre. On vous indique que 10 pions ont leur face noire visible et 54 montrent leur face blanche.
Votre mission: faire deux tas avec tous ces pions, ayant tous deux le même nombre de pions noirs. Sans retirer le bandeau bien sûr.

Réponse lundi dans les commentaires...

La médaille Fields est la plus prestigieuse distinction pour des travaux en mathématiques; elle est souvent comparée au Prix Nobel. En un quart de siècle, trois chercheurs étroitement liés à l’Université de Genève l’ont obtenue: Vaughan Jones en 1990, Stanislav Smirnov en 2010 et Martin Hairer en 2014.

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Félicitations! Vous faites partie des 100 chanceux qui vont participer à un nouveau jeu. Voici le principe: on remet à chacun d’entre vous un ticket portant un numéro unique -de 1 à 100- et une contremarque portant le même numéro que vous remettez au maître du jeu. Celui-ci s’éclipse et va dans la pièce d’à côté cacher ces 100 contremarques dans 100 coffres numérotés eux aussi de 1 à 100 (une seule contremarque par coffre) de façon aléatoire. Le défi est le suivant: chaque participant à tour de rôle va passer dans la salle des coffres et peut ouvrir 50 coffres pour y chercher sa contremarque (sans changer les contremarques ou les coffres de place).
S’il l’a trouve, il la montre au maître du jeu, puis sort par une porte dérobée en laissant la salle des coffres exactement dans le même état qu’à son arrivée. Et sans rien dire aux autres participants évidemment. C’est au joueur suivant d’entrer dans la salle des coffres pour y chercher à son tour sa contremarque parmi 50 coffres.
Si tous les participants trouvent leur contremarque, ils remportent tous un million d’euros. Mais si un seul échoue, personne ne gagne rien. Comment allez-vous vous y prendre pour maximiser vos chances de gagner?

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Emmy Noether n'était pas une personne ordinaire ... besoin d'une preuve ? Albert Einstein était fan de son travail. Il dira d'ailleurs à son sujet qu'elle est « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures » Elle est l'auteur de contributions révolutionnaires destinés aux domaines de l'algèbre abstraite et la physique théorique.

De l'importance des mathématiques dans l'éducation ! Aux Etats-Unis, leur apprentissage est aujourd'hui une des grandes préoccupations des politiques d’éducation car il aurait des effets importants sur tout le reste du parcours académique des jeunes. Des effets que de récentes découvertes dans les neurosciences viennent expliquer, relèvent Sandrine et Maxime Crener dans leur chronique "Regard franco-américain sur l'éducation".

Le système éducatif français a-t-il raison d'insister sur les mathématiques ? Dans leur chronique de cette semaine intitulée "L’importance des mathématiques démontrée par les neurosciences !", Sandrine et Maxime Crener apportent des éléments de réponse qui viennent conforter cette insistance française mise sur les maths. Plusieurs études américaines avaient en effet montré qu'une bonne maîtrise des mathématiques avait un impact substantiel sur la réussite scolaire puis universitaire. Un constat qui peut désormais s'appuyer sur des découvertes récentes dans les neurosciences. Voici le texte de Sandrine et Maxime Crener.

L’importance des mathématiques démontrée par les neurosciences !

Les dernières découvertes dans les neurosciences du Professeur Vinod Menon et de son équipe à l’école de médecine de l’Université de Stanford (http:/med.stanford.edu/profiles/Vinod_Menon/) font partie d’un effort important de recherche pour mieux comprendre comment les jeunes enfants développent leurs capacités à résoudre des problèmes afin d’améliorer l’enseignement des mathématiques et autres disciplines quantitatives. Leur dernière étude porte sur les effets d’un enseignement précoce des mathématiques. Les résultats sont surprenants et montrent qu’en une seule année, des changements significatifs apparaissent dans la manière dont les régions du cerveau concernées sont activées.
Ce qui ressort également de ces études et qui semble essentiel est que le cerveau des enfants change en fonction des stratégies plus ou moins sophistiquées adoptées pour résoudre des problèmes arithmétiques. Au fait l’étude montre comment en l’espace d’un an une communication constante entre ces parties va améliorer l’efficacité mathématique.
Sachant que le cerveau change tellement pendant cette période de l’enfance, surtout d’une année sur l’autre et comprenant mieux maintenant comment il se transforme, ces recherches donnent une véritable assise pour trouver des solutions à un meilleur apprentissage des mathématiques. Le laboratoire du Professeur Menon mène actuellement des recherches en parallèle sur la problématique de l’anxiété face aux mathématiques et sur une meilleure compréhension des habilités des enfants autistes.
L’apprentissage des mathématiques est une des grandes préoccupations des politiques d’éducation aux Etats-Unis. La mauvaise maitrise des mathématiques chez les nouveaux étudiants de première année universitaire pourraient expliquer les taux élevés d'échec dans leur cursus. Environ la moitié de tous les étudiants de première année du secondaire échouent au moins une classe, et ces taux sont les plus élevés parmi les cours de mathématiques. Pour le professeur Joshua Goodman et ses collègues de la Harvard Kennedy School, l'échec de l'école primaire et secondaire à enseigner les mathématiques peut avoir des effets importants sur tout le reste du parcours académique des jeunes. (Article: “Intensive Math Instruction and Educational Attainment: Long-Run Impacts of Double-Dose Algebra”)
Dans leur étude, ces chercheurs ont analysé les données longitudinales recueillies par les écoles publiques de Chicago après la mise en œuvre d'une "double dose d’algèbre" dans les programmes pédagogiques du collège et du lycée.
L'étude a révélé que cette mesure avait un impact positif et substantiel sur les résultats des tests nationaux, les taux de réussite au "bac américain", et l'inscription à l’université. Le plus important, dit Goodman, sont les effets à long terme observés dans les taux de diplomation et inscriptions dans les universités, qui ont augmenté de 15 pour cent et 25 pour cent, respectivement. Ainsi si cette mesure a des effets très bénéfiques sur le court terme, les effets à long terme semblent encore plus prometteurs. L’étude conclue que tout ce que nous pouvons faire pour aider les enfants à réussir en mathématiques est une bonne chose.
Certains parents et enseignants ont déjà bien compris ce rationnel et ceci explique peut-être l’incroyable succès de la Russian School of Mathematics, qui propose à Boston et ailleurs, des cours de maths intensifs pour les enfants depuis la primaire jusqu’au bac, et les aide ainsi à accéder aux meilleures universités du pays. Comme nous l’avons abordé au cours d’un précèdent article sur les travaux de la psychologue de l'Université de Stanford Carol Dweck ("fixed versus growth mindset"), la plupart de nos compétences, y compris les mathématiques, peuvent être développées par l’effort et le travail. Ainsi l'insistance du système éducatif français sur les mathématiques n’est peut-être pas une mauvaise chose, il faut juste donner à tous les moyens de réussir.

Sandrine et Maxime Crener

Source : WebTimeMedia