Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus ou, pourquoi pas, de créer leur propre blog...
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.


lundi 1 décembre 2008

Calendrier de l'avent

Olivier Leguay a déniché un calendrier de l'avent mathématique : chaque jour sera présentée une surface algébrique. Le site original est Advent calendar 2006 - Geometrical Animations.

dimanche 30 novembre 2008

e-cureuil

Le site e-cureuil a pour objectif d'illustrer la plupart des énoncés du cours de Mathématiques rencontrés au lycée. Chaque définition ou théorème est accompagné d'une animation - souvent interactive - qui met en évidence ses caractéristiques principales ou son cadre d'utilisation.
Il peut donc être utilisé :

  • par les élèves -en autonomie ou en pratique accompagnée- pour affiner ou compléter leur connaissance du cours,
  • par les enseignants -en salle informatique ou en projection collective- pour introduire ou illustrer une notion ou un point particulier du cours

samedi 29 novembre 2008

Gogol



Gogol

Le gogol est le nombre dont la représentation décimale s'écrit avec le chiffre 1 suivi de 100 zéros (10100).
La version anglaise de ce nom (« googol ») a été introduite en 1938 par le mathématicien américain Edward Kasner dans son livre Mathematics and the Imagination et aurait été inventée par son neveu de 9 ans Milton Sirotta à qui Kasner aurait demandé d'inventer un mot pour désigner ce nombre: le neveu lui aurait répondu le mot enfantin "gogol".
C'est ce mot qui est à l'origine du nom de la société Google, ce nombre ayant marqué l'imagination des fondateurs : « Google a choisi ce terme pour symboliser sa mission : organiser l'immense volume d'information disponible sur le Web. »

vendredi 28 novembre 2008

Numb3rs chez Wolfram

Le site de Wolfram (créateur de Mathematica) contient désormais une section sur la série TV Numb3rs : The math behind Numb3rs. (Rappelons que dans cette série, un agent de police demande à son frère mathématicien de l'aider à résoudre des affaires.) A partir de la saison 4, chaque épisode est analysé du point de vue mathématique avec des illustrations faites sur Mathematica. Probablement que les saisons précédentes seront analysées de la même façon.

jeudi 27 novembre 2008

Je fais des maths comme un(e) cochon(ne)

Agrégé de mathématiques, Gérard-Olivier Maitry (est-ce son vrai nom ?) a voulu apporter sa pierre a un édifice d’acquisition de connaissances par l’humour. Employant la même rigueur qu'un livre de maths "normal", c'est-à-dire avec un cours et des exercices, Je fais des maths comme un(e) cochon (ne) est une méthode joyeuse, impertinente et décalée. Voici donc des maths sans fausse pudeur, avec de l'humour, du sexe, de l'escroquerie, de la connerie et de la vulgarité, comme dans la vraie vie. Exemples d'exercices :

  • Gérard est PDG d'une grosse société à laquelle il a fait perdre quelques milliards d'euros. Le Conseil d'administration décide donc de le renvoyer et lui vers une indemnité de 2 683 700 euros. Écrire en toutes lettres le montant qui sera écrit sur le chèque.
  • Albert, Bernard et Claude font une partouze avec Denise, Ernestine, Françoise et Géraldine. Combien d'associations hétérosexuelles peuvent-ils composer ?
  • José boit 6 pastis avant de reprendre la route. Chaque verre augment son taux d'alcoolémie de 0,25 g/L. Quel taux le médecin légiste va-t-il mesurer lors de l'autopsie ?
  • Rocco a un braquemart de 18 cm avec lequel il effectue trois va-et-vient par seconde pendant 10 minutes. Calculer la distance parcourue par le morpion agrippé au bout de son gland.
Les bases de l’arithmétique, de la géométrie, de l’algèbre ou des calculs de probabilités sont ainsi abordées simplement dans ce petit livre qui ne vous apprendra pas grand-chose, mais qui vous fera bien rire.

mercredi 26 novembre 2008

Paradoxe de Bertrand

Le samedi 29 novembre à 15h15, au centre professionnel "en Dozière" à Delémont, le cercle de mathématiques et de physique de la société jurassienne d'émulation propose une conférence donnée par le prof. Henri Carnal sur les paradoxes en calcul des probabilités. L'entrée est libre et les élèves du lycée sont vivement encouragés a suivre cette conférence.

Un de ces paradoxes est le célèbre "Paradoxe de Bertrand". Il met en évidence les limites du recours à l'intuition dans cette discipline. Il consiste à choisir au hasard une corde d'un cercle donné et d'estimer la probabilité que celle-ci soit de longueur supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle. Le paradoxe est que cette probabilité dépend du protocole de choix de la corde. Ce problème fut énoncé pour la première fois en 1888 par Joseph Bertrand dans son ouvrage Calcul des probabilités. Bertrand en donnait trois réponses différentes (une chance sur deux, une sur trois et une sur quatre), toutes les trois apparemment valides.
Soit un cercle de rayon 1. Le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle a pour longueur racine de 3. Le paradoxe de Bertrand consiste à déterminer la probabilité qu'une corde du cercle, choisie au hasard, possède une longueur supérieure à racine de 3.

  1. Extrémités aléatoires : soit un point de la circonférence du cercle et le triangle équilatéral inscrit dont l'un des sommets est ce point. On choisit aléatoirement un autre point au hasard sur le cercle et on considère la corde reliant les deux points. Elle est plus longue que le côté du triangle si le deuxième point est situé sur l'arc reliant les deux sommets du triangle opposé au premier point. La probabilité est donc alors 1/3.
  2. Rayon aléatoire : on choisit un rayon du cercle et on considère le triangle équilatéral inscrit dont un côté est perpendiculaire au rayon. On choisit aléatoirement un point sur le rayon et on trace la corde dont il est le milieu. Cette corde est plus longue que le côté du triangle si le point est situé plus près du centre du cercle que l'intersection de ce côté et du rayon, laquelle est située au milieu de ce dernier. La probabilité est donc alors 1/2.
  3. Milieu aléatoire : soit un point choisi aléatoirement à l'intérieur du cercle et une corde dont il est le milieu. La corde est plus longue qu'un côté du triangle équilatéral inscrit si le point est situé à l'intérieur d'un cercle concentrique de rayon 1/2. L'aire de ce cercle est un quart celle du grand cercle. La probabilité est donc alors 1/4.
Le paradoxe de Bertrand met en évidence la dépendance à la méthode de sélection d'une corde « au hasard ». Dès que cette méthode est spécifiée, le problème possède une solution bien définie. En l'absence d'une telle méthode, le terme « au hasard », dans « choisir une corde du cercle au hasard », est ambigu. Les trois solutions présentées par Bertrand correspondent à des méthodes de sélection distinctes et valables, et en l'absence d'autre information, il n'y a aucune raison d'en privilégier une par rapport aux autres.

Pour illustrer ce paradoxe, plusieurs sites proposent des animations et des simulations :

mardi 25 novembre 2008

Hex

Le jeu de Hex est un jeu de société abstrait pour deux joueurs. Il se joue sur un plateau en forme de losange dont les cases sont hexagonales. On peut choisir plusieurs dimensions pour le plateau mais la plus intéressante semble être 11 x 11. Au début de la partie, aucun pion n'est sur le plateau. Les joueurs posent tour à tour un de leur pion sur une case de leur choix et le plateau se remplit ainsi progressivement. Deux côtés opposés du plateau sont noirs et les deux autres sont blancs. Chaque joueur doit réussir à relier les deux côtés avec les pions qui portent sa couleur. Le jeu s'arrête dès qu'un joueur y est parvenu. Ci-dessous, les noirs ont gagné. Il ne peut pas y avoir de match nul.


Ce jeu a été inventé indépendamment par Piet Hein (Danemark, 1942) puis John Forbes Nash (USA, 1948). J. Nash a démontré que le premier joueur peut toujours gagner : il n'y a pas de hasard, juste de la stratégie. Cependant, sa preuve est non constructive, c’est-à-dire qu'elle n'indique pas la stratégie gagnante et celle-ci est sans doute beaucoup trop complexe pour être décrite !
Sur tout plateau rempli, un des deux joueurs et un seul possède une chaîne gagnante. Cela peut être démontré par exemple en utilisant le fait qu'une partie de hex puisse être vue comme une partie particulière de Y, et en se référant alors à la démonstration dans le cas du Y.
Ce jeu suscite d'importantes réflexions en mathématiques et notamment :
  • en logique (des stratégies gagnantes ont été découvertes pour des dimensions jusqu'à 9 x 9 mais le problème de trouver une stratégie gagnante générale semble relié à des problèmes ouverts parmi les plus importants à l'heure actuelle)
  • en intelligence artificielle (on cherche à programmer des ordinateurs à jouer le mieux possible au Hex, sans chercher à proprement parler de stratégie gagnante)
Pour jouer contre l'ordinateur : Mazeworks - Hex-7

lundi 24 novembre 2008

Où est le centre d'un triangle ?

Bonne question ! Le commun des mortels en connaît généralement trois : l'intersection des médiatrices, des bissectrices et des médianes. Mais saviez-vous qu'il existe environ 3500 définitions pour le "centre" d'un triangle ?
Vous trouverez quelques nouvelles définitions sur l'excellent blog Choux Romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes dans deux articles : Où est le centre de ce triangle ? et Il est là !.
Quant aux 3514 définitions actuelles, elles sont listées sur le site Encyclopedia of triangle centers.

dimanche 23 novembre 2008

La vache - Le dictionnaire

samedi 22 novembre 2008

SquarO

Le but du SquarO : trouver les ronds à remplir. Pour cela il y a dans chaque case un chiffre, de 0 à 4, qui correspond au nombre de ronds à remplir parmi ceux situés aux quatre coins de cette case. Par exemple la grille suivante :


Pour jouer : squaro.fr

< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 >