Le blog-notes mathématique du coyote

L'homme, cet arrière-neveu du limaçon qui rêva de justice et inventa le calcul intégral.

Jean Rostand

Un extrait de film, américain je pense, où Ma & Pa Kettle démontrent que 25/5=14. C'est évidemment en anglais, mais comme ils écrivent au tableau, on comprend très bien ce qui se passe...

Le livre Flatland - A romance of many dimensions, de Edwin A. Abbot est disponible en ligne.
Une version française est aussi disponible.

On imagine habituellement le ballon de foot parfaitement rond mais, quand on y regarde de plus près, on s'aperçoit qu'il est formé de plusieurs morceaux, selon un arrangement qui vise à rendre le ballon aussi rond que possible. Les morceaux du ballon sont des polygones réguliers, pas tous les mêmes. Avec des morceaux tous identiques on ne peut fabriquer que des solides platoniciens qui ne sont pas bien ronds : vous imaginez-vous jouer au foot avec un ballon en forme de cube ?
Le ballon standard est formé d'hexagones et de pentagones réguliers. À chaque sommet trois morceaux se rejoignent. Si on ne prenait que des hexagones, on obtiendrait une figure plate comme un réseau de nids d'abeilles ; un seul hexagone et deux pentagones à chaque sommet, cela donnerait un sommet trop marqué (trop pointu).
On prend donc deux hexagones et un pentagone pour rendre la structure la plus sphérique possible. Si on fait la même combinaison à tous les sommets on obtient une structure homogène. En particulier, on voit que deux pentagones ne se touchent jamais. Demandons-nous combien il y a de pentagones et d'hexagones au total. Bien sûr, nous pourrions les compter. Mais on peut se tromper et compter deux fois le même morceau. Il y a des moyens ingénieux pour compter...
Par exemple si on tient le ballon avec un pentagone au sommet ; il y en a alors un autre en bas et les autres pentagones forment deux ceintures de 5 pentagones chacun. Au total cela fait 1 +1 +5 +5 =12 pentagones. Et combien d'hexagones ? Pour les compter, utilisons le nombre de pentagones: chaque pentagone a 5 voisins hexagonaux. Mais chaque hexagone a exactement 3 pentagones pour voisins, donc chaque hexagone est compté trois fois. Au total on obtient pour le nombre d'hexagones 12 × 5 / 3 =20. Vous imaginez la difficulté pour assembler un modèle en papier formé de 12 pentagones et de 20 hexagones !

Maintenant pensez au nombre de côtés, c’est-a-dire de segments qui sont à la frontière de deux faces. Il y en a beaucoup, leur nombre paraît compliqué à calculer sans faire d’erreurs... mais il y a un truc ! Une formule relie ces nombres : c’est la formule d’Euler, du nom d’un très grand mathématicien suisse, Leonhard Euler (1707-1783). Notons S le nombre de sommets, A d’arêtes, F de faces. On a : S − A + F = 2.
La formule est valable pour tous les solides fabriqués comme le ballon de foot avec des faces qui se rencontrent suivant des arêtes ; une seule restriction : le solide doit être convexe, c’est-à-dire ne contenir ni partie rentrante ni trou. Si on applique cette formule pour le ballon de foot on trouve : A = 60 + 32 − 2 = 90.

Ce ballon traditionnel va peut-être disparaître au profit d'un autre plus performant : le Teamgeist. Conçu par Adidas - fournisseur du ballon de la Coupe du monde depuis 1970 -, le ballon officiel de la Coupe du monde 2006 frôle la perfection en la matière. Aux dires du géant allemand, ce fruit de trois ans d'efforts est trois fois plus précis que ses concurrents.
Première révolution: le ballon ne comporte que 14 morceaux de cuir artificiel quand ses ancêtres en traînaient 32. Adieu donc les traditionnels 12 pentagones et 20 hexagones. Place aux bandes en forme de langue et d'hélice. Ces panneaux permettent d'obtenir une surface externe parfaitement lisse et ronde. Il traverse ainsi l'air avec plus de précision et moins de résistance.
Seconde révolution: les éléments ne sont pas cousus entre eux mais thermocollés au laser. Une technique inventée par Adidas qui le rend quasi étanche.

Source : LES SECRETS MATHÉMATIQUES DU BALLON DE FOOT par Albrecht Beutelspacher, Allemagne, article paru dans MATHÉMATIQUES BUISSONNIÈRES en Europe, pages 4-6
A voir : Icosaèdre tronqué

Question : dans une équipe de foot de la coupe du monde, quelle est la probabilité que deux joueurs soient nés le même jour (mais pas forcément la même année) ?

Pour ce calcul, il est plus aisé de déterminer la probabilité que deux joueurs ne soient pas nés le même jour. Avec un seul joueur, que nous nommerons Arthur, pas de coïncidence possible: la probabilité cherchée est donc égale à un. Voici qu'arrive Bernard. Son anniversaire peut être l'un des 365 jours de l'année, mais, comme Arthur est né l'un de ces jours, la probabilité d'avoir des dates distinctes est égale à 364/365 (le quotient du nombre de cas favorables et du nombre de cas possibles). Puis arrive Claude. Il reste 363 dates non prises, d'où la probabilité d'avoir une date distincte des deux autres, qui est de 363/365. La probabilité combinée d'avoir trois dates distinctes est égale au produit (364/365) x (363/365) (de la même façon que la probabilité d'obtenir deux face de suite, à pile ou face, est égale à 1/2 x 1/2).
Nous voyons apparaître la formule générale. Lorsque Denis arrive dans l'équipe, la probabilité d'avoir quatre dates distinctes est égale à : (364/365) x (363/365) x (362/365). Plus généralement, lorsqu'il y a n personnes dans l'équipe, la probabilité d'avoir n dates différentes est : (364/365) x (363/365) x ... x ((365 - n + 1)/365)).
Il nous suffit donc de calculer les valeurs successives de cette expression pour savoir à partir de quel n elle devient inférieure à 1/2. Vingt-deux joueurs ont une probabilité de 0,524 d'avoir des dates de naissance toutes distinctes, et ce résultat descend à 0.493 pour 23 joueurs. Donc, dès que 23 joueurs forment une équipe, la probabilité d'une coïncidence au moins est 1-0.493, soit 0.507 : l'événement est légèrement plus probable que son contraire.

Voyons ce qui se passe pour le Mondial de 2006. La FIFA fournit sur le site officiel de la coupe du monde la liste des joueurs de toutes les équipes et donne leur date de naissance. Sur les 32 équipes, j'en ai trouvé 22 (!) avec des joueurs nés le même jour :

• Allemagne (5 novembre)
• Angleterre (12 février)
• Argentine (5 février)
• Brésil (7 octobre)
• Corée du Sud (9 juillet)
• Costa Rica (30 décembre)
• Côte d'Ivoire (4 juin)
• Croatie (15 octobre)
• Tchéquie (30 mars)
• Espagne (1er septembre)
• France (23 juin)
• Iran (23 septembre)
• Japon (25 juillet)
• Mexique (14 août)
• Paraguay (22 janvier)
• Pays-Bas (29 octobre)
• Serbie-Monténégro (29 octobre)
• Suède (3 octobre)
• Suisse (30 mars)
• Togo (7 janvier)
• Ukraine (2 janvier)
• USA (24 mai)

On peut même aller plus loin. Parmi ces 22 équipes il y a théoriquement 1 chance sur 2 d'en trouver deux avec un anniversaire commun. Eh bien c'est le cas: le 29 octobre !

A lire : L'anniversaire, l'art des coïncidences, l'intuition trompeuse

Je salue un autre blog où l'on parle de mathématiques : Inclassable (anciennement Six-à-pile). On y parle aussi ésotérisme, philosophie, livres, et encore d'autres choses.

Comme chaque année, j'ai demandé à mes élèves de noter une vingtaine de prix lus dans des grands magasins, afin d'illustrer la loi de Benford. Un jour de 1881, un astronome américain, Simon Newcomb, s'aperçut que les premières pages d'une table de logarithmes étaient plus usées que les autres. Se pouvait-il que les données recherchées dans cette table commençaient plus souvent par le chiffre "1" ? Il tenta de résumer les résultats de son observation dans une formule simple pour mesurer la fréquence d'apparition du premier chiffre C, celui situé le plus à gauche, dans un ensemble de données :

p("1er chiffre significatif est d") = log₁₀(1+1/d), avec d=1, 2, ..., 9

A l'époque, cette formule ne convainquit personne. Cinquante ans plus tard, vers 1938, un physicien américain, Frank Benford, redécouvrit les mêmes fréquences que celles résultant de l'application de la formule de Newcomb, en répertoriant plus de 20 000 données sélectionnées dans des domaines aussi divers que les longueurs de plus de 300 fleuves, les recensements démographiques de plus de 3 000 régions, les masses atomiques des éléments chimiques, les cours de bourse, les constantes de la physique, les couvertures de journaux, etc. Il constata, donc, que le premier chiffre était un "1" près d'une fois sur trois ! Il en fit une loi qui porte aujourd'hui son nom : la loi de Benford.
Ce n'est qu'en 1996 que Terence Hill démontra mathématiquement la loi de Benford.

Attention ! Cette loi ne s'applique qu'aux résultats de mesure. Inutile de l'utiliser pour avaoir plus de chance de gagner à la loterie !

Le graphique ci-dessous compare la loi de Benford (en bleu) avec les fréquences observées...

1. de prix récoltés au hasard par mes élèves (3369 nombres)
2. des résultats cantonaux d'une votation fédérale parus dans le Quotidien Jurassien du 14 juin 1999, page 4 (828 nombres)
3. des superficies des pays souverains et territoires dépendants en 1974 (204 nombres).

A l'occasion du Mondial, Kinder Surprise a lancé la collection MagicSport. 15 joueurs répartis en 5 équipes (je parie que ça rappelle quelque chose aux élèves du Lycée qui ont passé leur examen de maths ce matin). Sur 24 oeufs achetés, je n'ai pu trouver que dix joueurs différents. J'ai trouvé 5 fois Tony, 3 fois Mario et 3 fois Matt.
Tout ça pour dire que j'échange volontiers Bruno, Matt, Mario, Léon, Billy et Aldo contre Paco (le boeuf de l'équipe bleue), Dany (la vache de l'équipe bleue), Ely (l'éléphant de l'équipe jaune), Zibbo (le zèbre de l'équipe jaune) et Rino (le rhinocéros de l'équipe jaune).

Je ne sais pas si c'est parce qu'on est en Suisse, mais la moitié des figurines que j'ai trouvées sont rouges. J'en viens aussi à me demander s'il y a vraiment des joueurs jaunes, puisque je n'en ai encore trouvé aucun. C'est louche!

Demain aura lieu l'examen écrit de mathématiques pour la maturité (le bac). Je rappelle à tous mes élèves, que toute tentative de triche sera sanctionnée d'exclusion.
Allez! Travaillez bien et bon courage pour demain!

P.S. Avez-vous reconnu ce théorème ?

Dave Richeson propose sur son site un exercice intéressant pour les lycéens :

1. Estimer l'aire des USA.
2. Localiser le centre géographique des USA.
3. Localiser le point médian géographique (ce point divise le pays en quatre régions d'aire égale).
4. Localiser le centre de la population des USA.
5. Localiser le point médian de la population.
6. Estimer le périmètre de USA

Pour cela il utilise Maple. Mais comme il a le bon goût de mettre à disposition son programme, on devrait pouvoir l'adapter à un autre langage de programmation et à un autre pays.

A lire : The center of the United States and other applications of calculus to geography

Le Sudoku n'est apparemment pas une invention récente. A la fin du XIXème siècle, les Français jouaient en effet à remplir des grilles très proches de ce jeu, qui étaient publiées dans les grand quotidiens de l'époque, révèle Christian Boyer dans la revue Pour la Science du mois de juin 2006. Selon lui, la grille la plus proche d'un Sudoku et celle de B Meyniel, publiée dans le quotidien La France du 6 juillet 1895. Les premiers Sudokus ont été publiés en 1979 par l'Américain Howard Garns, avant de paraître dans les revues japonaises dans les années 80 et 90, où ce jeu a pris son nom. Leur succès international a vraiment démarré grâce au Néo-Zélandais Wayne Gould, grâce à un logiciel de son invention qui permettait de générer facilement des grilles, et qui en a publiées dans le Times de Londres à partir de novembre 2004.

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Une courbe de circonstance. Ben oui, aujourd'hui c'est le 1er juin

Un bel exemple de courbe en coordonnées polaires.

Voici une première énigme tirée du Jardin du Sphinx, de Berloquin :

La tradition attribue à Newton ce curieux problème, dont la solution n'exige aucun calcul différentiel.

75 boeufs ont besoin de 12 jours pour brouter l'herbe d'un pré de 60 ares, tandis que 81 boeufs ont besoin de 15 jours pour brouter l'herbe d'un pré de 72 ares. Combien faut-il de boeufs pour brouter en 18 jours un pré de 96 ares?

(On suppose que l'herbe croît uniformément et qu'elle est dans les trois prés, à la même hauteur au début du problème.)

J'ai pu me procurer dans une librairie d'occasion le livre de Pierre Berloquin Le jardin du Sphinx. 151 énigmes mathématiques très jolies qui ne demandent que peu de connaissances. Le format est original : sur les pages de droite figurent des énigmes, sur celles de gauche les solutions d'autres énigmes. Ce livre n'est malheureusement plus disponible (il date de 1981), mais je présenterai de temps en temps une de ces énigmes.

Pierre Berloquin est toujours actif dans le domaine du divertissement mathématique. Il a d'ailleurs créé le site créalude.net où il propose toute une série de jeux mathématiques et logiques.

Encore un jeu logique : le jeu du gratte-ciel. Chaque case contient un immeuble de 10, 20, 30 ou 40 étages (on peut ajouter des immeubles plus hauts sur des grilles plus grandes). Les immeubles d'une même rangée (ligne ou colonne) ont tous des tailles différentes. Les informations données sur les bords indiquent le nombre d'immeubles visibles sur la rangée correspondante par un observateur situé à cet endroit. Par exemple, si une ligne contient la dispostion 20-40-30-10, deux immeubles sont visibles depuis la gauche (le 20 et le 40), et trois immeubles sont visibles à partir de la droite (le 10, le 30 et le 40). Le but du jeu est de remplir la grille.
Voici un exemple de problème :

		3
3
2
				1

La réponse se trouve dans les commentaires de ce billet.
Un premier livre sur ce jeu logique est sorti. Le premier d'une longue série ?
Un de mes élèves, Quentin, a choisi ce jeu comme thème de travail de maturité : nombre de grilles possibles, génération et résolution de grilles. On verra le résultat l'année prochaine.

Stephen Wolfram, le créateur du logiciel Mathematica, a mis en ligne son livre A New Kind of Science, consacré aux automates cellulaires.

Pour tester soi-même les automates cellulaires : Cellular Automata Viewer 2.0

Le site de Michael Friendly Gallery of Data Visualization - The Best and Worst of Statistical Graphics présente toute une série de graphiques, très bons ou très mauvais. Parmi les très bons, on peut trouver, dans la rubrique "Historical milestones", le fameux graphique de Charles Joseph Minard (1781-1870) qui montre l'évolution des effectifs de l'armée de Napoléon lors de sa campagne de Russie de 1812, tout en situant géographiquement le parcours de cette armée. La version ci-dessous est plus lisible sur un écran.

Ce graphique communique un nombre impressionnant d'informations de façon parfaitement intelligible et compréhensible en un coup d'œil. Essayez d'imaginer la même image sous forme de texte: la longue litanie des pertes de la grande armée au fur et à mesure des batailles serait sans doute fastidieuse et pas réellement mémorisable. De même les indications géographiques sur son parcours seraient sans doute inintelligibles.
A la frontière polono-russe, sur le Niemen, la largeur de la bande rose indique (1 mm pour 10'000 hommes) une armée de 422'000 hommes lorsqu'elle envahit la Russie et s'amincit pour atteindre, à Moscou, une épaisseur représentant 100'000 hommes.
La route de la retraite est indiquée par la bande noire jointe à une échelle de températures datées. Ce graphique raconte mieux qu'aucun mémorialiste le désastre que fut la traversée de la Bérézina. De retour en Pologne, la Grande Armée ne comptait plus que 10'000 hommes dont Napoléon qui se abandonna ses grognards pour rentrer seul à Paris.

Il existe une méthode pour multiplier deux nombres où il ne faut que savoir multiplier ou diviser par deux, et additionner. On appelle cette méthode "multiplication à la russe".

1. Dans la colonne de gauche, on divise par deux en prenant la partie entière et on s'arrête à 1.
2. Dans la colonne de droite, on double succesivement chaque nombre.
3. On raye à droite tous les chiffres en face d'un nombre pair.
4. On fait la somme des nombres de droite restants.

Justification
Remplacer dans la colonne de gauche chaque nombre impair par 1 et chaque nombre pair par 0 revient à exprimer le nombre de gauche en base 2, si on lit de haut en bas. Les opérations effectuées sur la colonne de droite correspondent alors à une multiplication dans la base 2.

A voir et à tester : La multiplication à la russe

Paranoïa ?

J'ai trouvé dans le livre "Tours extraordinaires de Mathémagique" un jeu à auquel le "magicien" a presque toutes les chances de gagner.
Le magicien propose à un spectateur de jouer avec lui une partie de cartes (avec un jeu de 52 cartes). La règle est très simple: le spectateur choisit une combinaison de couleurs qu'il est possible de faire avec trois cartes différentes, par exemple la séquence rouge-noir-rouge. Trois cartes correspondant à cette combinaison sont alors posées devant lui sur la table.
Le magicien choisit à son tour une combinaison et il pose également trois cartes qui correspondent à cette combinaison. Le reste des cartes est alors mélangé. On tire ensuite les cartes les unes après les autres. Lorsqu'une suite de trois cartes correspond à la combinaison choisie par l'un des deux joueurs, celui qui a la bonne combinaison ramasse toutes les cartes, faisant ainsi un pli. Lorsque toutes les cartes ont été retournées, le gagnant est celui qui le plus de plis.
Il existe pour le magicien une manière de choisir sa combinaison de sorte qu'il gagnera beaucoup plus souvent que son adversaire: comme première carte, il choisira la couleur opposée de la deuxième carte de son adversaire; les deux cartes suivantes sont simplement de la même couleur que les deux premières cartes de l'adversaire.
J'ai vérifié cela avec un petit programme informatique, en jouant avec chacune des 8 combinaisons possibles de l'adversaire 10'000 parties. Les résultats sont éloquents:

Sa suite	Ma suite	Il gagne	Je gagne	Nulles
NNN	RNN	39	9907	54
NNR	RNN	1266	7962	772
NRN	NNR	424	9208	368
NRR	NNR	544	8969	487
RNN	RRN	436	9143	421
RNR	RRN	380	9333	287
RRN	NRR	1142	8164	694
RRR	NRR	69	9841	90

J'aurais pu me contenter de tester 4 combinaisons, puisque les rôles de rouge et noir sont interchangeables.
Le magicien gagnera aussi avec un jeu de 36 cartes, mais moins nettement.