Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus ou, pourquoi pas, de créer leur propre blog...
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.


mardi 4 septembre 2007

Naked Geometry

Sur le site Naked Geometry, vous pourrez voir des figures géométriques formées par des personnages virtuels... nus. Mais tout cela reste très sage. Voici la vidéo de présentation :

lundi 3 septembre 2007

Xnumber

James Redin est un passionné de calculatrices et nous parle de sa marotte sur son site Xnumber. On y voit des calculatrices "vintage", des calculatrices en ligne, une histoire des machines à calculer, etc.

dimanche 2 septembre 2007

L'ordinateur n'aiderait pas vraiment les enfants

Voici un article du Daily telegraph qui rend compte d'une étude selon laquelle l'influence de l'utilisation des ordinateurs à l'école et à la maison sur les progrès scolaires des enfants est nulle, voire négative ! Le plus intéressant c'est qu'en ré-analysant les données d'une étude PISA de 2000, les chercheurs se sont aperçus que la conclusion était complètement fausse ! Selon l'étude PISA, plus les enfants avaient d'ordinateurs à la maison, plus ils réussissaient à l'école. Or l'équipement en ordinateur est fortement corrélé aux revenus et au niveau social. Une fois éliminée l'influence du niveau de revenu, celle des ordinateurs était réduite à... zéro. Une telle confusion entre corrélation et causalité dans une étude internationale (PISA influence fortement les politiques des pays européens en matière d'éducation) peut sembler étonnante, alors qu'on est en droit d'attendre qu'un lycéen moyen comprenne cette nuance (c'est en effet un objectif du Lycée). Mais le discours pro-ordinateur est agréable à l'oreille des politiques : lancer une grande campagne d'équipement en informatique c'est tellement médiatique et tellement moins coûteux que de recruter des enseignants bien formés... Alors, si vous allez dans ce sens, personne n'ira regarder vos résultats de trop près.

Source : Mathéphysique

samedi 1 septembre 2007

Les mots mathématiques

On sait que la plupart des mots de la langue mathématique sont issus du langage courant. Mais quand et par qui ont-ils été créés, c’est-à-dire introduits dans la langue mathématique ? Cette question soulève des problèmes importants, tant sur le plan historique (la datation n’est pas toujours facile) que sur le plan épistémologique. En effet, certains mots ont été inventés avant le concept qu’ils ont fini par désigner, et donc jouaient un rôle de métaphore, d’autres ont été créés après le concept qu’ils désignaient, d’autres enfin ont été modifiés à mesure que le concept qu’ils désignaient se précisait. Ainsi, en 1684, Leibniz substitue les mots algébrique et transcendant aux mots géométrique et mécanique utilisés par Descartes à la suite des grecs pour classifier les courbes : ce faisant, il modifie leur compréhension. Lorsqu’il introduit le mot fonction en 1692, Leibniz entend des portions de lignes droites dépendant de points variables sur une courbe, comme la tangente ou la normale ; si le mot est resté, la notion qu’il désigne a beaucoup évolué depuis. Aux nombres impossibles du XVIème siècle, Descartes a substitué les nombres imaginaires, signifiant par là que ces nombres n’avaient plus rien d’impossible. Aux nombres imaginaires de Descartes, Gauss a substitué les nombres complexes, signifiant que ces nombres n’avaient plus rien d’imaginaire, qu’ils n’étaient plus des intermédiaires formels d’un calcul réel à un autre, mais qu’ils accédaient au statut de nombres à part entière, bien connus et domestiqués.
Certains mots ne se sont pas imposés, et ont été remplacés par d’autres. Les touchantes sont devenues des tangentes. Les fluxions de Newton s’appellent aujourd’hui dérivées, et les fonctions synectiques de Cauchy furent rebaptisées holomorphes par Briot et Bouquet. Plus récemment, le géomètre Jacques Tits, à l’imagination plutôt macabre, inventa les notions importantes de squelette, de cimetière, et d’ossuaire, qui sont devenues plus prosaïquement des murs, des appartements et des immeubles... Charles Ehresmann, inventeur des mots : fibre, jet, germe, tige, avait quant à lui l’imagination plus botanique.
On est surpris de la création tardive de certains mots d'usage courant : le mot injection apparaît en 1950 sous la plume de S. MacLane, l’adjectif injectif en 1952 dans les Foundations of algebraic topology d’Eilenberg et Steenrod, l’adjectif surjectif apparaît en 1956 sous la plume de Chevalley, le mot surjection en 1964 dans les Foundations of algebraic topology de Pervin. Et c’est sans doute à cette époque que le mot bijection s’est substitué à l’adjectif biunivoque.

On trouvera sur une des pages des Mathématiques du Lycée Claude Fauriel une liste de mathématiciens et les mots qu'ils ont créés. Le texte ci-dessus est extrait de cette page.

vendredi 31 août 2007

L’amour rend... muet

Par Didier Nordon, Pour la Science 357

Quand on apprécie une matière, on ne s’interroge pas sur l’utilité qu’elle a : le plaisir se suffit à lui-même. Ne nous faisons donc aucune illusion quant à l’affection que portent aux mathématiques ceux qui demandent à quoi elles servent : ils ne les aiment pas. Face à eux, ceux qui se croient tenus de leur répondre sont les mathématiciens. Mais comme ils aiment les mathématiques, eux, savoir à quoi elles servent n’est pas leur souci primordial. Ils recourent alors à des pirouettes (« Elles servent à faire des thèses »), ou à des proclamations grandiloquentes (« Pour l’honneur de l’esprit humain »), ou à une énumération peu excitante pour l’esprit d’objets techniques dans la conception desquels interviennent des mathématiques.
Bref, le monde est mal fait. Ceux qui veulent savoir à quoi servent les mathématiques sont ceux qui, ne s’intéressant pas à elles, manquent d’éléments pour répondre. Ceux qui répondent sont ceux que les mathématiques intéressent, donc que cette question n’intéresse pas.
Voilà pourquoi on ne saura jamais à quoi servent les mathématiques !

jeudi 30 août 2007

Gauss sur l'ancien billet de 10 DM

mercredi 29 août 2007

Newton devancé par les mathématiciens Hindous ?

Par Laurent Sacco, Futura-Sciences

On attribue généralement à Newton et à Leibniz la découverte de ce qui est probablement le plus puissant outil mathématique à la disposition de l’esprit humain : le calcul différentiel et intégral. Comme le montre George Gheverghese Joseph de l’University of Manchester, certains des résultats obtenus à l’aide de l’analyse infinitésimale à partir de la fin du 17ième siècle en Europe, étaient déjà connus des mathématiciens de l’école du Kerala, au sud-ouest de l’Inde, vers 1 400. Selon lui, on ne peut d’ailleurs pas écarter la possibilité qu’une partie de l’inspiration de Leibniz et Newton ne provienne de la transmission des travaux de Madhava et Nilakantha en Occident par les jésuites.
La brillance de l’école Indienne en mathématiques est reconnue depuis longtemps mais l’importance des résultats découverts dans le domaine du calcul différentiel et intégral par l’école du Kerala est curieusement assez mal appréciée et rarement citée. Pourtant, c’est dès 1835 que l’anglais Charles Whish avait attiré l’attention du monde savant en publiant un article sur quatre traités de mathématiques et d’astronomie Hindous de l’école du Kerala, ceux de Nilakantha (Tantra Samgraha), Jyesthadeva (Yuktibhasa), Putumana Somayaji (Karana Paddhati) et enfin le Sadratnamala de Sankara Varman.
Dans cet article, et certainement à son grand étonnement, il insistait sur le fait que les mathématiciens et astronomes de cette partie de l’Inde avaient non seulement jeté les bases d’un calcul différentiel et intégral mais qu’ils étaient aussi en possession de résultats obtenus des siècles après eux en utilisant les algorithmes du calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Ils connaissaient en effet, par exemple, les développements en séries de Gregory et Leibniz pour la fonction arctangente et ceux des fonctions sinus et cosinus généralement attribués à Mac-Laurin et Newton.
Ces résultats semblent tous venir d’un seul et même mathématicien né en 1350, Madhava de Sangamagramma, qui semble avoir bénéficié d’un génie comparable à son compatriote Srinivasa Aiyangar Ramanujan. Curieusement, et même si des centaines d’années les séparent, ce dernier était né à 400 km au sud-ouest de Chennai (Madras) dans l’état du Tamil Nadu. C'est-à-dire pas très loin du lieu de naissance de Madhava, Kochi, au Kerala. Il y a d’ailleurs certaines similarités entre les approches de Ramanujuan et Madhava, or il semble que la mère de Srinivasa Ramanujan possédait des connaissances assez profondes en mathématiques propres à la tradition Hindou. La connexion entre les deux génies est-elle autre chose que géographique ?

Une transmission à l'Occident ?

Joseph avait déjà publié un livre en 1994 pour lutter contre un certain eurocentrisme ayant tendance à minimiser l’importance des découvertes mathématiques en dehors de l’Occident.
Ce livre avait déjà pour but de faire plus largement connaître l’école de mathématiques du Kerala. Malheureusement, celui-ci n’avait pas eu un écho suffisant à ce sujet et c’est à l’occasion d’une troisième réédition, ainsi que suite à la découverte d’un nouveau document sur les accomplissements de ces mathématiciens dans le domaine de l’analyse, que Joseph revient à la charge.
Une des possibilités ouverte par ce livre est fascinante. Il faut savoir que le Kerala a toujours été l’un des états les plus riches et les plus civilisés de l’Inde. Déjà à l’époque de l’empire Romain, les bateaux européens accostaient ses berges pour rapporter des épices, ce qui fait qu’il n’est pas rare d’y trouver de grandes quantités de pièces frappées à l’effigie des empereurs. Surtout, en 1495, Vasco de Gama arrive à Calicut. Les jésuites s’implantent dès lors en Inde et commencent à étudier et traduire les textes Hindous. Un siècle plus tard Grégoire XIII lance la révision du calendrier. Or, dans le comité chargé de celle-ci se trouve le jésuite, mathématicien et astronome Clavius dont on sait qu’il avait demandé à ce que l’on examine systématiquement la façon dont les autres pays établissaient leur calendrier. Il semble donc très probable que les découvertes des mathématiciens et astronomes du Kerala aient ainsi été rapportées en Europe même si aucune preuve n’existe à ce jour.
Toujours est-il que l’emploi des séries infinies, et de certaines démonstrations, très similaires à celles de l’école du Kerala, commencent à faire leur apparition en Occident quelques dizaines d’années plus tard. Coïncidences ? Les archives du Vatican contiennent peut-être la réponse.

Des précurseurs ?

Peut-on vraiment considérer les Hindous comme des précurseurs et des devanciers de Newton et Leibniz, voire même leur inspirateurs secrets ?
Précurseurs certainement, devanciers, à part pour certains résultats particuliers, probablement pas, même si des textes surprenants dorment peut-être encore quelque part.
Il faut savoir que des notions de calcul différentiel et intégral avec des séries infinies étaient déjà présentes chez Archimède. De plus, il n’y a pas à proprement parler d’algorithmes généraux du calcul différentiel et intégral dans les travaux des mathématiciens Indiens. Les travaux de Leibniz et Newton sont beaucoup plus larges et même en imaginant une influence directe sur eux des découvertes de Madhava, ils sont allés au-delà.
Les circonstances des découvertes de Leibniz et Newton sont assez bien documentées et les sources pointent toutes en direction des travaux d’Archimède, de façon directe ou indirecte. Il est bien connu, de plus, que c’est en lisant les travaux de Pascal sur le problème de la cycloïde que Leibniz a pris conscience de la relation liant primitive d’une fonction et problème de quadrature d’une aire : il n’y avait pas de lien direct avec une série infinie.
Reste que les performances des mathématiciens de l’école du Kerala sont spectaculaires et méritent à juste titre d’être universellement reconnues. Incontestablement, leurs noms doivent maintenant figurer au panthéon des grands mathématiciens de l’humanité avec Archimède et Al-Khwarizmi.

mardi 28 août 2007

Heptathlon

En regardant les championnats du mode d'athlétisme à Osaka, je me suis demandé comment les points de l'heptathlon étaient calculés. La formule suit le format suivant:

  • Points = A*(B-P)C pour les épreuves de vitesse
  • Points = A*(P-B)C pour les autres épreuves
où P est la performance avec les unités précisées ci-dessous ; A, B, et C sont des constantes

EpreuvesA B C P
100 m haies9.23076 26.7 1.835 sec
Saut en hauteur 1.84523 75 1.348 cm
LAncer du poids 56.0211 1.5 1.05 m
200 m 4.99087 42.5 1.81 sec
Saut en longueur 0.188807 210 1.41 cm
Javelot15.9803 3.8 1.04 m
800 m 0.11193 254 1.88 sec

A voir : Decathlon points calculator

lundi 27 août 2007

Zéro : La biographie d'une idée dangereuse

Présentation de l'éditeur
À coup sûr, le zéro n'est pas un chiffre comme un autre. Aussi a-t-il tout naturellement suscité tant les interrogations des mathématiciens que les spéculations des théologiens et des philosophes. Le zéro est puissant parce qu'il triomphe des autres chiffres, rend folles les divisions et est le frère jumeau de l'infini. Les plus vertigineuses questions de la science et de la religion touchent au rien et l'éternité, au vide et à l'infinité. Des débats passionnés et souvent violents autour du zéro ébranlèrent les fondations de la philosophie, de la science et de la religion. De Pythagore à Aristote qui renièrent son existence, des chrétiens qui le craignirent aux musulmans qui le réintroduisirent en Occident, Charles Seife raconte avec clarté l'histoire extraordinairement mouvementée de ce concept, qui est aujourd'hui une des clefs de la physique quantique, de la compréhension des trous noirs et de la naissance de l'univers.

Zéro : La biographie d'une idée dangereuse (Poche)
Charles Seife
Hachette (2004)

dimanche 26 août 2007

Hoax martien

Une nouvelle incroyable mais pourtant crue par beaucoup, circule depuis quelques jours sur Internet, puissamment relayée par les naïfs et les béotiens : le 27 août 2007, soit lundi prochain, la planète Mars se rapprocherait de la Terre de façon historique, jusqu'à devenir aussi grosse dans le ciel que la Lune !
Il s'agit naturellement d'un hoax, d'origine anglaise et traduit en français avec un franc succès, et sans doute destiné à tester encore une fois (comme si besoin était) la crédulité du monde.
Ce canular est basé sur un communiqué très scientifique et daté de 2003. Cette année avait connu en effet, le 27 août, une opposition martienne très intéressante. Le communiqué, avec une nouvelle date, repasse cette année comme un plat réchauffé. Résultat : d'innombrables internautes le répercutent avec délectation, avisant leurs amis de ne pas rater cette prochaine "nuit des deux lunes".
Le fait qu'il semble crédible à tant de gens qu'un jour Mars et la Lune puissent rivaliser en diamètre apparent, en dit long sur l'ignorance des choses du ciel (sans parler d'astronomie au sens strict) et sur l'insuffisance de sens critique.
A noter que le communiqué scientifique de 2003 précisait "Avec un grossissement de 75 fois, Mars apparaîtra aussi grande que la pleine lune à l'œil nu". Ce grossissement indispensable une fois subtilisé du texte, pouvait laisser le canular grossir, et bien plus que 75 fois !
Plus sérieusement, la prochaine opposition martienne aura lieu le 24 décembre 2007, vers 17 heures. La planète rouge symbole de la guerre et du feu accompagnera donc le Père Noël tout au long de la nuit dans sa tournée.

Source : Sur la Toile

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