Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus ou, pourquoi pas, de créer leur propre blog...
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.


jeudi 24 avril 2008

Mathonaire

Voici Mathonaire, une version mathématique du jeu "Qui veut gagner des millions ?" : une question, quatre réponses possibles. C'est en anglais.

mercredi 23 avril 2008

Journal de Mathématiques Pures et Appliquées

Les années 1836-1934 du Journal de Mathématiques Pures et Appliquées ont été numérisées par la Bibliothèque nationale de France et sont présentes dans la collection numérique Gallica. Il manque encore un volume, qui n'a pas été numérisé.

mardi 22 avril 2008

Lemme

Lemme est un site dédié à la mutualisation et à l'expérimentation de l'enseignement des mathématiques.

  • Pour faire profiter de vos expériences rendez-vous dans le forum à la rubrique : Questions-Réponses.
  • Vous pouvez trouver des ressources dans la rubrique Docs Pédagogiques
  • Une rubrique blog est réservée à des articles techniques
  • La clé Lemme propose des logiciels qui tiennent tous sur une clé USB.
  • Souscrivez à la newsletter pour recevoir les dernières informations.

lundi 21 avril 2008

Dimension de Hausdorff-Besicovitch

Nous savons tous qu'un point est une figure de dimension 0; qu'une ligne droite est un objet de dimension 1; qu'une surface plane est un objet de dimension 2; qu'un volume est de dimension 3... Ceci est la dimension euclidienne ou topologique (en réalité ces deux termes ne snt pas strictement synonymes). Qu'en est-il d'un objet fractal ?
Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d'un objet.
On peut tenter une approche simplifiée. Imaginons que je veuille mesurer la limite (supposée droite) entre deux terrains, que cette longueur soit de 10 m et que je dispose d'une règle de 1 m. Il est évident que je dois l'appliquer 10 fois le long de la limite pour faire la mesure. Si ma règle fait 0,5 m je devrai la reporter 20 fois. On voit que, si je divise par n la longueur de la règle je dois multiplier par n le nombre de fois où je la reporte, ce qui donne un rapport de n/n=1.
Si la longueur à mesurer est une courbe, on comprend qu'en utilisant une règle droite reportée n fois de la même manière on n'aura qu'une valeur approximative, notablement sous-évaluée. Plus la règle sera courte, plus l'opération sera fastidieuse, mais plus le résultat sera précis. Pour une règle suffisamment (infiniment) petite, si je divise par n sa longueur, je multiplie encore par n le nombre de fois où je l'applique le long de la ligne et j'obtiendrai la longueur exacte de la courbe. Ceci donne toujours un rapport de n/n, soit 1 (c'est vrai aussi si j'écris ln n/ln n, remarque qui va nous servir bientôt).
Imaginons maintenant que je veuille recouvrir une surface avec du carrelage. S'il me faut n carreaux de 20 cm de côté, et que changeant d'avis je veuille des carreaux de 10 cm de côté, je sais qu'il ne me faudra pas 2 fois plus de carreaux, mais 4 fois plus, puisque la surface est proportionnelle au carré des dimensions linéaires.
Autrement dit n'=n2. Donc ln n'/ln n=ln n2/ln n=2 et ln n2/ln n=2. Chacun sait que 2 est la dimension euclidienne ou topologique de toute surface. On voit sans difficulté que cette relation se vérifie quelle que soit la taille choisie pour les carreaux. Cette manière de calculer la dimension est appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch ou "dimension fractale". Le même raisonnement s'applique sans difficulté à la dimension 3 pour les volumes.
La dimension de Hausdorff-Besicovitch est souvent difficile à calculer, mais il existe des exemples simples. Sans entrer dans les détails on peut penser qu'un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en n'emplissant qu'une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. L'image ci-dessous montre en effet clairement que chaque fois qu'on réduit d'un facteur 3 la longueur de la règle, on multiplie par 4 le nombre de fois où l'on doit l'appliquer le long de la figure. Ceci démontre que sa dimension de Hausdorff-Besicovitch est égale à ln 4/ln 3=1,26…


Les fractales sont des objets dont la dimension de Hausdorff-Besicovitch est strictement supérieure à la dimension topologique. On trouve sur Wikipédia une liste de fractales par dimension de Hausdorff.

A lire aussi :

dimanche 20 avril 2008

Courbe de Peano

Une courbe de Peano est une fractale. Vous voyez ci-dessous les quatre premières itérations. Quand le nombre d'itérations tend vers l'infini, cette courbe passe par chaque point du carré unité. Bien que formée d'une simple ligne, elle est de dimension 2.
Cette courbe est nommée en l'honneur de Giuseppe Peano qui fut le premier à la décrire.


A lire : Les courbes de Peano

samedi 19 avril 2008

Citation de Connes



L’employée de maison d’un mathématicien célèbre, interrogée sur l’activité de celui-ci, répondit qu’il passait son temps dans son bureau à écrire sur des bouts de papier qu’il jetait ensuite consciencieusement à la poubelle.

Alain Connes

vendredi 18 avril 2008

Distinction en mathématiques

Tout le monde sait qu'il n'y a pas de prix Nobel en mathématiques. On connaît la médaille Fields, peut-être le prix Abel, mais saviez-vous qu'il y a une vingtaine d'autres distinctions ?

jeudi 17 avril 2008

Pulchritudinous primes

Adrian J.F. Leatherland produit des images à partir des nombres premiers, afin de visualiser leur distribution. Elles sont visibles sur son site Pulchritudinous primes. Il obtient des images qui ressemblent à des images astronomiques ou à un virus. Il a aussi créé une île qu'il a nommée Primes Island.

mercredi 16 avril 2008

Proofs Without Words

Proofs Without Words a été numérisé et est disponible sur Google Books.

mardi 15 avril 2008

TransMaths

TransMaths est un blog de Mihaï Stoënescu. Sa particularité est de contenir beaucoup de vidéos réalisées par l'auteur lui-même.

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