Le blog-notes mathématique du coyote

Une chaîne (ou pyramide, ou schéma, ou dynamique) de Ponzi est un système de vente pyramidale, une forme d'escroquerie par cavalerie, fonctionnant par effet boule de neige, consistant en la promesse de profits très intéressants, financés par l'afflux de capitaux investis progressivement, jusqu'à l'explosion de la bulle spéculative ainsi créée. Ce système tient son nom de Charles Ponzi qui est devenu célèbre après avoir mis en place une opération immobilière frauduleuse en Californie basée sur ce principe.
Imaginons que quelqu'un propose un investissement à 100 % d'intérêts : vous lui donnez 10 euros, il vous en rend 20 en utilisant l'argent déposé par les clients suivants (il lui suffit d'ailleurs de proposer un rendement double des rendements connus du marché pour s'attirer de la clientèle et pour durer). Le système est viable tant que la clientèle afflue, attirée en masse par les promesses financières (et d'autant plus tentantes que les premiers investisseurs sont satisfaits et font une formidable publicité au placement). Les premiers clients, trop heureux de ce formidable placement, reviennent dans la chaîne eux aussi, s'ajoutant à tous ceux auxquels ils ont prêché.
Le phénomène fait alors boule de neige, entretenu tant que l'argent rentre et permet de payer à 100 % les nouveaux investisseurs. L'organisateur prend une commission, bien compréhensible lorsque l'on voit les promesses qu'il fait, et qu'il tient. La chaîne peut durer tant que les clients arrivent par 2, 4, 8, 16, 32, etc. Lorsque la chaîne se coupe, la bulle éclate : tous les derniers investisseurs sont spoliés. Sont gagnants ceux qui ont quitté le navire à temps et, surtout, l'organisateur qui est très rarement un banquier. Rappelons au passage que ces jeux, type jeu de l'avion, sont interdits par la loi.

En 1997, l'Albanie a connu l'effondrement de « banques pyramidales » qui ont provoqué des émeutes causant des milliers de morts.
En novembre 2008, 500 000 Colombiens ont été victime de la société d'investissement Proyecciones DRFE Dinero rapido, facil y en efectivo (argent facile, rapide et en liquide) qui reposaient sur un système de Ponzi.
L'homme d'affaires américain Bernard Madoff, qui n'est pas banquier, a créé un schéma de Ponzi qui a fonctionné pendant 48 ans, de 1960 à 2008. C'était un gérant de hedge fund qui promettait des retours sur investissements relativement élevés, de l'ordre de 8 à 12% par an. Mais ce qui sortait le plus de l'ordinaire avec les performances qu'affichaient ses fonds était l'absence de retours négatifs sur de très longues périodes et une volatilité (l'équivalent du risque de l'investissement) très faible. Autre indice alarmant, à la clôture de chaque exercice, Madoff déclarait être liquide, c'est-à-dire détenir tous ses avoirs en liquidités, et ainsi ne publia jamais de relevés indiquant la quelconque possession de titres financiers. Enfin, les titres sur lesquels il disait investir, notamment des options sur indices, n'étaient pas assez liquides pour "absorber" les volumes qu'un fonds de la taille de celui de Madoff aurait engendré. L'utilisation de modèles mathématiques financiers, des clients réputés, des postes élevés dans l'administration, l'assuraient d'un prestige important. Lorsque de nombreux clients ont souhaité retirer leurs avoirs de sa société d'investissement en 2008, ils se rendirent compte que les caisses étaient vides et qu'ils avaient perdu tout leur argent. Avant son arrestation, Bernard Madoff gérait officiellement 17 milliards USD.

Source : Wikipédia

J'ai redécouvert dernièrement le Tangram, un puzzle composé de sept pièces qui peuvent se juxtaposer pour former un carré :

• 2 grands triangles,
• 1 triangle moyen,
• 2 petits triangles,
• 1 carré,
• 1 parallélogramme.

On remarquera que le petit triangle est l’unité de base du découpage :

• le carré, le parallélogramme et le triangle moyen peuvent être formés avec 2 petits triangles
• les 2 grands triangles peuvent être formés avec 4 petits triangles
• l’aire totale du Tangram est donc 16 fois l'aire du petit triangle

Le but du jeu est de reproduire une forme donnée, généralement choisie dans un recueil de modèles. Les règles sont simples : on utilise toujours la totalité des pièces, les pièces doivent être posées à plat et ne doivent pas se superposer. Deux mathématiciens chinois (F.T. Wang et C.C. Nsiung) ont démontré en 1942 que l'on ne pouvait former que 13 polygones convexes à partir des 7 pièces du tangram. Cette animation tirée de fredjust.net vous les montre :

Selon la légende, Carthage a été fondée au IXe siècle av. J.C. (en -814) par Didon, princesse de Tyr en Phénicie, soeur de Pygmalion. Celui-ci a assassiné l'époux de Didon, Sichée, pour prendre le pouvoir. Elle s'enfuit, entourée de Phéniciens, et accoste en Afrique du Nord, à l'emplacement de Carthage. Didon demande au roi de Numibie, Iarbas, une terre pour s'y établir. Iarbas, réticent, consent à ce qu'elle ne prenne que la grandeur de terre délimitée par une peau de boeuf. Didon fait alors découper la peau de boeuf en lanières très fines.

On a montré que la plus grande surface limitée par une longueur fixée est un disque. La démonstration, dite de la propriété isopérimétrique du cercle, est due à Zénodore (Grèce, seconde moitié du IIe siècle avant J.-C. ; ceci est cité par Théon dans l'Almageste de Ptolémée et par Pappus), et sera complétée par Weierstrass à la fin du XIXe siècle. En prenant astucieusement un terrain en forme de demi-disque au bord de la mer (ce bord étant supposé rectiligne), Didon multiplia encore par 4 la surface acquise.

La photo-finish n’est pas une photo instantanée de l’arrivée, mais une représentation temporelle de ce qui se passe dans l’axe de la caméra, parfaitement calé sur la ligne d’arrivée.
L’image fournie par cette caméra est découpée pour ne garder que la bande centrale (la ligne d’arrivée). Cette image fait 1 pixel de large sur 1 024 pixels de haut. À chaque millième de seconde, le cadenceur du chronographe ajoute la bande centrale de l’image (1 pixel) à la suite de l’image précédente, créant une image non instantanée mais une sorte de "déroulant" du temps. Ceci explique l'aspect "déformé" des images produites par les caméras de photo-finish.
A l’époque de l’argentique, le système était identique. Il suffisait de faire défiler le film de façon ininterrompue devant une fente d’obturation, parfaitement alignée sur la ligne d’arrivée. Pour limiter la déformation de l'image, on faisait défiler le film à la même vitesse que les coureurs.

Les sprinteurs sont des « monstres » de laboratoire, dont les bras et la poitrine sont paradoxalement beaucoup plus développés que les cuisses. Ces proportions sont dictées par les lois de la biomécanique. Les scientifiques du sport ont en effet découvert, au début des années 1980, que le position optimale pour un sprinter au moment du départ était la plus en avant possible. Mais cette posture entraînait un important déséquilibre lors des premiers mètres de course, d’où la nécessité de renforcer la musculature du haut du corps pour aider l’athlète à se redresser plus vite. Résultat ? Tous les grands spécialistes du 100 m ressemblent désormais à des culturistes survitaminés. Leurs muscles sont composés à plus de 80% de fibres à contractions rapides, contre 50% pour un non-sportif. « Au niveau international, ils sont presque tous capables de monter des charges de 250 kg » explique Christian Miller, Docteur en Sciences de la Vie et Maître de conférence à Paris XI. Chaque discipline exige désormais un entraînement spécifique pour sculpter des corps sur mesure. Les marathoniens doivent privilégier les fibres lentes pour supporter des efforts prolongés, et doivent réduire le taux de graisse dans le corps à 5% environ, contre 9% pour le commun des sportifs de haut niveau. On accentue au maximum les morphotypes naturels, au détriment de la polyvalence. Carl Lewis et Mark Spitz ne pourraient sans doute plus triompher dans plusieurs épreuves. C’est l’avénement des « sportifs éprouvettes », en natation comme en athlétisme.

Source : Marathons.fr

Comment empiler des oranges pour qu’elles occupent le moins de place possible dans un emballage ? Cette question apparemment fantaisiste a intéressé Johannes Kepler et préoccupe les physiciens depuis des siècles. La réponse a de nombreuses répercussions dans la physique des matériaux granulaires. Trois chercheurs viennent de publier dans Nature une possible solution dans le cas des empilement aléatoires.
En partie pour comprendre la structure de la matière à partir de la théorie atomique mais aussi pour savoir comment stocker le plus grand nombre de boulets de canon dans un volume donné, les mathématiciens et les physiciens ont cherché depuis des siècles à déterminer comment empiler des sphères de la façon la plus efficace possible. C’est dans les écrits de Kepler que l’on trouve pour la première fois la conjecture portant son nom et qui ne fut démontrée, selon toute vraisemblance, qu’en 1998 grâce au mathématicien Thomas Hales.
D’après Kepler, l’empilement le plus efficace était celui donnant une structure cubique à face centrée que l’on connaît bien aujourd’hui en théorie des réseaux cristallins. Un tel « pavage » d’un volume par des sphères permet d’occuper environ 74% d’un volume donné.
De telles considérations sont utiles pour expliquer la densité d’un cristal par exemple, et prédire aussi dans quelle mesure on peut y introduire des atomes d’un type différent et occupant un volume sphérique plus petit que ceux ayant initialement servi pour constituer ce cristal. La conception d’alliages avec des propriétés données bénéficie des recherches sur ces questions.

Le hasard fait mal les choses
Ces analyses sont pertinentes dans les cas où l’empilement des sphères peut être réalisé de façon parfaite et bien contrôlée. Mais que se passe-t-il lorsque l’on considère, par exemple, des milieux poudreux, comme des avalanches de neiges, des cendres volcaniques qui se déposent suite à une nuée ardente, etc., qui sont des phénomènes chaotiques et turbulents ? Peut-on prédire et expliquer la compacité des dépôts observés ?
Le problème est équivalent à celui de considérer des sphères dures secouées dans un cube que l’on cesse ensuite d’agiter. En fonction des forces de frottement existant entre les sphères, quelle est la compacité de l’empilement qui se forme en moyenne ?
C’est à cette question que les physiciens Hernán Makse, Chaoming Song Wang Ping et du City College de New York ont apporté une réponse possible. Ces trois chercheurs ont modélisé statistiquement ce processus aléatoire. D'après eux, le hasard est bien moins efficace que le vendeur d'oranges qui empile soigneusement ses fruits en suivant les conseils de Kepler. Selon leurs calculs, laissées à elles-mêmes, les sphères ne peuvent emplir plus de 63,5% de l'espace disponible.

Source : Futura-Sciences

J'ai retrouvé deux anciens articles (en anglais) de l'excellent magazine en ligne Plus :

• On the ball : analyse des matchs de foot du point de vue probabiliste
• Blast it like Beckham? : tactique du tir de penalty

Let's Make A Deal ! est un show télévisé américain qui a commencé le 30 décembre 1963. Les chaînes européennes ont repris plus tard le concept (en France: le Bigdil sur TF1). À la fin du jeu, l'animateur, Monty Hall, vous offrait la possibilité de gagner ce qui se trouvait derrière une porte. Il y avait trois portes: derrière l'une d'entre elles se trouvait un prix magnifique (par exemple un voyage) et derrière les deux autres un prix moins intéressant (par exemple une chèvre ou une barre de chocolat). Vous choisissiez alors une porte. Pour ménager le suspense, Monty Hall, avant de révéler ce qu'il y avait derrière la porte que vous aviez choisie, ouvrait une des deux autres portes (derrière laquelle ne se trouvait jamais le voyage). Il vous posait enfin la dernière question:

"Conservez-vous votre premier choix, ou bien choisissez-vous l'autre porte encore fermée?"

Vous pouvez aussi vous convaincre en jouant vous-mêmes, qu'il vaut mieux changer de porte.

En journalisme, on appelle ça un marronnier : un sujet qui revient périodiquement. Alors voici encore un article concernant le calcul de la date de Pâques.

Source : Terra nova

Voici l'équation de Gabriel Taubin pour un coeur algébrique en 3 dimensions :

(x² + (1.5)²y² + z² – 1)³ – x²z³ – (1.5)²/20 y²z³ = 0 ; x, y, z sont compris dans l'intervalle [-3 ; 3]