Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.

jeudi 14 février 2008

La courbe d'un coeur (3)

Voici l'équation de Gabriel Taubin pour un coeur algébrique en 3 dimensions :

(x2 + (1.5)2y2 + z2 – 1)3 – x2z3 – (1.5)2/20 y2z3 = 0 ; x, y, z sont compris dans l'intervalle [-3 ; 3]

samedi 12 janvier 2008

Les transformations bijectives d'images

Une transformation bijective d'une image déplace les points d'une image d'un endroit à un autre sans en ajouter ni en enlever aucun.
Une propriété remarquable de ces transformations bijectives est qu'elles reviennent toujours au point de départ après un nombre d'applications plus ou moins important. Par exemple, la transformation qui échange les lignes de numéros pairs avec les lignes de numéros impairs revient à son point de départ au bout de deux itérations. De même, la transformation Rotation Droite dans laquelle chaque point est déplacé d'un pixel vers la droite, revient au point de départ après un nombre d'itérations égal à la largeur de l'image.
Une applet a été réalisée pour illustrer les transformations présentées dans nos articles Images brouillées, Images retrouvées (num 242, déc 1997) et Une scytale Informatique (num 359, sept 2007) de la rubrique «Logique et Calcul» de la revue « Pour la Science ». Ci-dessous, la transformation dite du "photomaton".

lundi 24 décembre 2007

La physique du Père Noël

Chaque année, dans la nuit du 24 au 25 décembre, un vieil homme vêtu de rouge parcourt la planète pour distribuer des cadeaux à plus de 2 milliards de personnes. Décryptage scientifique de cet exploit.

Le sac de cadeaux

La distribution des jouets par le Père Noël est un processus parfaitement décrit : la nuit du 24 au 25 décembre, le vieil homme remplit un gros sac de jouets, l'installe sur son traîneau, y attelle des rennes et s'envole pour distribuer ses cadeaux aux enfants qui l'attendent. Combien sont-ils ? Sur Terre, deux milliards d'enfants ont moins de 18 ans. C'est énorme, mais comme Noël ne concerne pas les Musulmans, les Hindous, les Juifs ni les Bouddhistes, le travail du Père Noël se réduit finalement : il doit s'occuper "seulement" de 378 millions d'enfants. Seulement ?
Supposons maintenant que tous ces enfants ont été sages et qu'ils reçoivent chacun un cadeau équivalent à 1 kilo et occupant 4 décimètres cube, comme un un jeu de société par exemple. La hotte du Père Noël enfle vite et atteint 1 512 000 mètres cube de jouets pour un poids de 378 000 tonnes. Difficile d'imaginer une hotte contenant tout ça sur le dos d'un seul homme. Le meilleur haltérophile soulève au maximum 263 kilos en épaulé-jeté, soit plus d'un million de fois moins !
Bref, abandonnons l'idée de la hotte et troquons-la contre un sac. Un grand sac puisque le volume de jouets correspond alors à une sphère de plus de 142 mètres de diamètre, ce qui implique qu'au centre du sac, les jouets forment une pile de 142 m, presque une demie tour Eiffel ! Cela signifie, avec les volumes et poids supposés, que la pression sur les paquets du dessous (sous 142 mètres de jouets donc) atteint plus de 14 bars, la même qui règne à 130 m sous la mer ! Les paquets fragiles sont donc fatalement écrasés.

L'attelage

Comment déplacer l'énorme sac de jouets décrit précédemment ? Quel attelage pourrait transporter tous les cadeaux ?
Le traîneau du Père Noël est soi-disant tiré par des rennes volants. Premier problème : aucune espèce de renne ne sait voler. Certes, plusieurs millions espèces d'organismes vivants restent à découvrir sur Terre et l'on recense régulièrement de nouveaux mammifères. De nouveaux mammifères, d'accord, mais des rennes volants... Pour le moment, les seuls mammifères volants connus sont les chauves-souris. Or, elles possèdent des ailes, la condition requise pour voler dans le règne animal. Et il n'est dit nulle part que les rennes du Père Noël sont ailés...
Passons ce détail zoologique pour nous attarder sur la composition de l'attelage. Si chaque enfant reçoit un kilo de cadeau(x), le traîneau doit supporter 378 000 tonnes. Or, sur Terre, un renne "conventionnel" peut tirer au maximum 150 kilos. Il faudrait alors 378 000 000/150, soit 2 520 000 rennes. Si on estime qu'un renne moyen pèse 100 kg, cela alourdit la charge du traîneau de 2 520 000 * 100, soit 252 000 tonnes.
Il faut donc plus de 2,5 millions de rennes pour tracter le traîneau et ses 378 000 tonnes de jouets. Un renne mesure environ 2 mètres de long. Donc en imaginant un attelage où les rennes sont attachés 2 par 2, cela fait tout de même un attelage de plus de 2500 kilomètres de long (2520 exactement) !
Cette longueur, outre le fait d'être encombrante et peu discrète, pose un autre problème physique : pour se faire entendre du renne de tête qui est à 2 500 kilomètres de lui, le Père Noël doit avoir une voix puissante ! La vitesse du son étant de 300 m/s, quand le Père Noël crie "En route!", le renne de tête ne l'entend que ... 8400 secondes ou 2 h 20 plus tard ! Idem quand il s'agit de stopper.
Seule solution : le Père Noël ne communique pas par voie sonore avec ses rennes. En admettant qu'il communique par radio, donc grâce à des ondes allant à la vitesse de la lumière, soit 300 000 km/s, il faut encore 8,84 millisecondes pour que le renne de tête entende les ordres.

Et ce n'est pas fini !

D'autres problèmes insolubles se posent concernant la distribution, le parcours et l'énergie. Tous ces points sont traités dans l'excellent dossier qu'a consacré l'Internaute à la physique du père Noël.

mardi 11 décembre 2007

La suite de Fibonacci dans la nature (2)

Pourquoi le nombre de pétales des fleurs est-il souvent un des nombres suivants : 3, 5, 8, 13, 21, 34 ou 55 ? Par exemple, les lis ont 3 pétales, les boutons d'or en ont 5, les chicorées en ont 21, les marguerites ont souvent 34 ou 55 pétales, etc. Par ailleurs, lorsqu'on observe le coeur des tournesols on remarque deux séries de courbes, une enroulée dans un sens et une dans l'autre; le nombre de spirales n'étant pas le même dans chaque sens. Pourquoi le nombre de spirales est-il en général soit 21 et 34, soit 34 et 55, soit 55 et 89, ou soit 89 et 144 ? Même chose pour les pommes de pin : pourquoi ont-elles 8 spirales d'un côté et 13 de l'autre ? Et finalement, pourquoi le nombre de diagonales d'un ananas est-il aussi 8 dans une direction et 13 dans l'autre ?
Ces nombres sont-ils le fruit du hasard ? Non ! Ils font tous partie de la suite de Fibonacci : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc., où chaque nombre s'obtient à partir de la somme des deux précédents. Depuis longtemps on avait remarqué que ces nombres étaient importants dans la nature, mais c'est seulement depuis peu qu'on comprend pourquoi. C'est une question d'efficacité dans le processus de croissance des plantes. L'explication est néanmoins un peu compliquée et on ne la présentera pas ici. Contentons-nous de mentionner qu'elle est reliée à un autre nombre fameux, le nombre d'or, lui-même intimement lié à la forme spirale de certains coquillages. Mentionnons aussi que, dans le cas du tournesol, de l'ananas et de la pomme de pin, la correspondance avec les nombres de Fibonacci est très exacte, tandis que dans le cas du nombre de pétales des fleurs, elle est plutôt vérifiée en moyenne; et dans certains cas le nombre est doublé, car les pétales sont disposés sur deux rangées.
L'ADN n'est donc pas tout ! Contrairement à ce qu'on a longtemps pensé, beaucoup de caractéristiques du monde vivant ne sont pas codées dans les gènes, mais résultent de processus mathématiques à l'ouvrage durant la phase de croissance des organismes. Bref, les mathématiques sont partout autour de nous.

Source : Du léopard au tournesol, par Stéphane Durand

lundi 15 octobre 2007

Le rugby et les maths

L'académie de Reims met à disposition des ressources intéressantes en mathématiques, notamment des activités mathématiques en BEP et BACPRO (c'est dingue comme les français aiment les acronymes). En cette période de coupe du monde, on y trouve une activité mathématique sur le rugby : équation du premier degré à une inconnue, gestion de formule, résolution numérique et graphique d'un système du premier degré à deux inconnues, étude d'une fonction de type ax²+bx+c, étude de mouvements, équilibre d'un solide soumis à trois forces, combustion de l'acide lactique.

vendredi 12 octobre 2007

Simulation numérique des mouvements de chevelure


L'excellente revue en ligne Interstices a publié hier un article très intéressant sur la simulation des mouvements des cheveux. Je me souviens de mes études, quand le professeur d'infographie disait que ce qui était le plus difficile reproduire dans un corps humain, c'était la chevelure. 15 ans plus tard, le problème reste d'actualité !

Lire l'article

mardi 28 août 2007

Heptathlon

En regardant les championnats du mode d'athlétisme à Osaka, je me suis demandé comment les points de l'heptathlon étaient calculés. La formule suit le format suivant:

  • Points = A*(B-P)C pour les épreuves de vitesse
  • Points = A*(P-B)C pour les autres épreuves
où P est la performance avec les unités précisées ci-dessous ; A, B, et C sont des constantes

EpreuvesA B C P
100 m haies9.23076 26.7 1.835 sec
Saut en hauteur 1.84523 75 1.348 cm
LAncer du poids 56.0211 1.5 1.05 m
200 m 4.99087 42.5 1.81 sec
Saut en longueur 0.188807 210 1.41 cm
Javelot15.9803 3.8 1.04 m
800 m 0.11193 254 1.88 sec

A voir : Decathlon points calculator

mercredi 22 août 2007

Psychologie et erreurs de jugement

L'esprit humain n'est pas particulièrement doué pour les probabilités ou les estimations. C'est ce qu'expliquait Daniel Gilbert, professeur de psychologie à Harvard, lors d'une conférence donnée au festival SxSW (South By Southwest) en mars 2006. Le titre de la présentation pourrait se traduire par "Comment faire le meilleur choix en toute circonstance?".

Comme promis, Daniel Gilbert a expliqué comment faire le meilleur choix possible, mais ce n'était pas le but de la manœuvre, sans quoi la conférence se serait terminée après deux minutes. En fait c'est très simple, pour faire le meilleur choix, il faut calculer l'espérance de gain, c'est à dire les chances de gagner quelque chose multiplié par la valeur de cette chose.
Par exemple, si on vous propose un jeu ou vous avez une chance sur dix de gagner 20 euros, et que la participation coûte un euro, devriez-vous participer? Et bien l'espérance de gain est de 20 euros X 10%, 2 euros! C'est plus que ce qu'on vous demande, vous devriez donc sauter sur l'occasion.
Facile, n'est ce pas? Et bien non! Car l'esprit humain a tendance à nous induire en erreur. Il n'y a cependant que deux types d'erreurs possibles, puisque l'équation ne comporte que deux paramètres. Vous pouvez soit mal estimer la probabilité de gain, ou mal estimer sa valeur.

La probabilité de gain

Le problème majeur dans l'estimation des probabilités de gains est que nous avons tendance à croire que ce qui nous vient le plus rapidement à l'esprit est forcément la chose la plus probable. Or, ce qui nous vient rapidement à l'esprit est ce qui a le mieux été mémorisé, soit parce que ça arrive souvent, soit parce que c'est lié à une émotion ou à une frustration marquante. Mais cela ne vaut pas dire que ce soit réellement plus probable.
Par exemple, combien de fois n'avons nous pas choisi la mauvaise file dans le supermarché? C'est presque systématique, à croire qu'on a du faire quelque chose de grave dans une vie antérieure pour mériter cela! Mais statistiquement, pour chacun d'entre nous qui pense prendre très souvent la file la plus lente, il devrait y avoir une personne qui se dit "Hey, à chaque fois que je fais les courses je me retrouve dans la file la plus rapide!".
Pourtant ce n'est pas le cas, en fait la majorité d'entre nous se considère malchanceux sur ce point. Pourquoi? Parce que notre cerveau ne prend pas la peine d'enregistrer les fois ou ça se passe bien. Ce sont les cas les plus frustrants qui se remémorent le mieux.
Cela nous mène à faire de très mauvaises estimations. Intuitivement, la plupart des gens pensent qu'il y a plus de morts à cause du terrorisme qu'à cause de l'asthme ou des piscines privées. Et cela se retrouve dans les programmes gouvernementaux, qui investissent des millions dans la lutte contre le terrorisme, mais réservent un budget très modeste à la prévention des noyades. Combien de morts à cause du terrorisme chaque année en France? Entre 0 et 5? Combien de noyades dans des piscines familiales? De 50 à 80! Mais le terrorisme on en entend parler tous les jours, tandis que les noyades ne font la une qu'une fois ou deux dans l'année.
Dans un même ordre d'idée, les statisticiens considèrent souvent le loto comme une taxe à la stupidité. Pourquoi? Parce que l'espérance de gain est inférieure au prix! Vous êtes donc presque certain d'être perdant. Mais dans les médias, nous voyons constamment des gagnants. Jamais d'entrevue des millions de perdants qui jouent chaque semaine. Et heureusement, car selon le calcul de Gilbert, si chaque joueur était interviewé pendant 30 secondes, vous devriez regarder 10 ans d'entrevues 24h/24h avant de voir un gagnant. Et pourtant, nous jouons!
Un autre aspect des probabilités est l'évaluation de nos chances de réussite dans un projet. Nous planifions toujours de réussir, ce qui pousse notre cerveau à sous-estimer la probabilité d'échec. Cela est particulièrement apparent dans l'estimation des délais, on sait qu'en cas de problème on va prendre plus de temps, mais on part toujours du principe qu'il y aura peu ou pas de problème. D'ou de fréquents dépassements de délais et de coûts.

L'évaluation du gain

Mais comme nous l'avons vu, il y a une autre source d'erreur, celle de l'évaluation du gain obtenu. Nous avons évolué de manière à distinguer non pas les stimuli, mais les changements de stimuli. Autrement dit, lorsqu'on entend toute la journée le bruit d'un ordinateur, on fini par ne plus s'en apercevoir. Même chose pour les odeurs, on ne sent jamais la nôtre, seulement celles des autres. En fait, même nos yeux sont obligé de faire constamment de petits mouvements pour nous permettre de distinguer une image fixe. Nous ne percevons que ce qui change.
Identiquement, nos évaluations ne se basent pas sur la valeur réelle d'un objet, ou sur ce que nous pourrions faire d'autre avec le même investissement, mais sur la comparaison avec la valeur antérieure de l’objet ou celle d’un autre objet comparable.
Les agents immobiliers l'ont bien compris, ils vous emmènent toujours voir le meilleur appartement en dernier. De cette manière, il apparait bien plus intéressant par contraste avec l'appartement minable que vous avez visité juste avant. Les publicitaires se servent aussi abondamment de ces erreurs de jugement. Une vente aura beaucoup plus de succès si l'article vendu passe de 120 euros à 60, que si son prix avait toujours été de 60 euros.
Certains vendeurs vont jusqu'à garnir leurs tablettes d'articles hors de prix qui ne seront jamais achetés, pour fausser notre comparaison. Car nous avons souvent tendance à acheter l'article milieu de gamme, pas le moins cher qui serait de trop mauvaise qualité, pas le plus cher, mais un compromis entre les deux. En ajoutant un pseudo-article plus cher, on nous pousse à augmenter notre limite supérieure de comparaison et à nous donner envie de payer plus pour obtenir la même chose.
Nous avons également tendance à évaluer nos gains en fonction du contexte. Si au moment d'acheter on propose d'économiser 100 euros sur le prix d'une chaine hifi, en allant dans un magasin à l'autre bout de la ville, la plupart des gens seront intéressés. Si on propose 100 euros sur le prix d'une voiture, dans les mêmes conditions, la plupart des gens ignoreront l'offre, car elle est trop faible par rapport au prix du véhicule. Pourtant dans les deux cas, le gain est le même, mais le contexte différent nous pousse à agir d'une autre façon.

Conclusion

Toutes ces erreurs ne signifient pas que nous sommes idiots, ou que notre cerveau est primitif. En fait, nous avons évolué durant des centaines de milliers d'années en ayant toujours à faire des choix à court terme sur des options peu nombreuses et facilement comparables. Vais-je manger ces fruits verts ou ces baies rouges? Vais-je m'accoupler avec cette femelle ou cette autre? Nous vivons à présent dans un monde complètement différent, avec de nombreux choix complexes à faire en tout temps. Notre cerveau n'est tout simplement pas adapté à cela.
Dans la plupart des cas, ce n'est pas bien grave. Là ou cela devient dangereux, c'est quand des choix de société sont basés sur ces estimations instinctives. Bien qu'on ne soit jamais à l'abri de l'erreur, le meilleur moyen d'éviter ce type de raisonnement irrationnel est de baser les grandes décisions sur des faits scientifiques prouvés.
Car si contrairement aux autres espèces nous n'avons plus de prédateurs, et que nous pouvons planifier nos actions afin d'éviter les problèmes, il reste cependant un grand danger pour notre survie: celui de sous-estimer nos échecs futurs, ou de surestimer nos réussites.

Source : Sur la Toile

lundi 9 juillet 2007

Le Rubik's Cube dans tous ses états : comment couper court ?

Des chercheurs de la Northeastern University (Massachusetts), le professeur Cooperman et un étudiant en thèse, Dan Kunkle, ont prouvé une propriété qui va intéresser les fans de Rubik's Cube, alors que le record du monde de résolution de ce cube de 3x3x3 à 54 carrés de couleur vient d'être battu en 9.86 secondes le mois dernier par un français.
Un problème restait jusqu'à alors entier : en combien de mouvements minimum peut-on être sûr de venir à bout de ce casse tête quelle que soit la configuration de départ ? Jusque-là le chiffre de 29 puis, l'an dernier, celui de 27 avaient été avancés. Cooperman et Kunkle ont établi que l'on peut y arriver en 26 mouvements seulement.
La difficulté réside surtout dans le nombre de possibilités, parmi les 8! x 3 x 10E7 x 12! x 2 x 10E10 = 43.252.003.274.489.856.000 configurations possibles du cube. Il aura fallu 63 heures de calcul à 128 processeurs (soit 8.000 heures CPU) et 7 Tbits de données temporaires pour conclure qu'il faut au maximum 26 mouvements pour venir à bout du Rubik's cube quelle que soit la configuration de départ (le calcul s'appuie cependant sur un pré-calcul de ce que donne un mouvement donné pour chacune des 6,5x10E13 familles de configurations de départ ou cosets). Les calculs ont été effectués sur le réseau Teragrid en utilisant un disque distribué de 7 Tbits, un des premier noeud d'un espace de stockage de 20 Tbits financé par une bourse de 200.000 dollars de la NSF.
Ces travaux de recherche qui mêlent la théorie des groupes (théorie des groupes de permutation, en exploitant les 48 symétries du Rubik's cube) et l'algorithmie parallèle, contribuent à démontrer la faisabilité de calculs combinatoires en manipulant des nombres gigantesques à l'aide de l'informatique. En poussant plus loin les calculs, il faut s'attendre prochainement à un nombre de mouvements encore inférieurs.

Source : bulletins-electroniques.com (29/6/2007)

A lire : Twenty-Six Moves Suffice for Rubik’s Cube, par Daniel Kunkle et Gene Cooperman

dimanche 29 avril 2007

Les soldats de Conway

Rappel des règles du Solitaire
Le plateau du jeu de solitaire est constitué d'une planchette creusée de trous pouvant recevoir des billes. Le plateau est percé de 37 trous pour le solitaire Français. Les trous sont garnis de billes au début du jeu sauf pour la case centrale. Il faut arriver à un plateau ne comportant plus qu’une seule bille. On ne peut déplacer une bille que si l'on effectue de cette manière une prise. Pour prendre une bille, on doit sauter par dessus avec une autre bille, vers une case vide du plateau. La prise en diagonale est interdite.

Les soldats de Conway
Une question, résolue par Conway, est de savoir jusqu'à quelle hauteur il est possible d'envoyer une bille en suivant ces règles. Etonnamment, la réponse et 4. On peut trouver sur le net la démonstration de l'impossibilité l'aller plus haut.


George I. Bell, Daniel S. Hirschberg, Pablo Guerrero-Garcia se sont intéressés à une généralisation de la question dans leur article The minimum size required of a solitaire army

A voir :

jeudi 19 avril 2007

Avions en papier

De nombreuses tentatives se sont succédé au cours des années pour franchir les barrières du lancement de l'avion en papier et lui faire passer le plus de temps en l'air. Ken Blackburn a détenu ce record du monde pendant 13 ans (de 1983 à 1996) et l'a reconquis le 8 octobre 1998 en faisant voler son avion en papier, en salle, pendant 27,6 secondes.
Pour vous entraîner, je conseille le simulateur de Solidworks : Paper Pilot. Mon record actuel est de 47.8 mètres. Je ne sais pas trop si c'est bien ou pas... A vous de me le dire!

A voir aussi :

mercredi 14 février 2007

La courbe d'un coeur (2)

dimanche 28 janvier 2007

L'art de lacer


Vaut-il mieux nouer ses lacets en boucles horizontales ou verticales, ou encore de façon croisée? A cette question existentielle, un chercheur australien, dont les travaux ont été publiés par la très sérieuse revue scientifique Nature, tente d'apporter une réponse mathématique.
Burkhard Polster, mathématicien à l'Université Monash (Etat de Victoria), a d'abord identifié toutes les variables de cet exercice quotidien d'une bonne partie de l'humanité: nombre d'oeillets de la chaussure, efficacité du laçage, effort nécessaire, longueur du lacet... Après avoir mis en équation l'ensemble de ces données, le scientifique australien a rendu son verdict: la méthode droite, utilisant des boucles horizontales entre chaque oeillet, et le zig-zag américain, à base de boucles croisées, sont les méthodes les plus courantes qui permettent le laçage le plus solide.
Mais le favori reste la méthode du "noeud papillon", une technique complexe et peu répandue combinant boucles horizontales, pour les oeillets du haut et du bas, et boucles croisées, pour les oeillets intermédiaires. Résultat: un laçage efficace et économe en longueur de lacet.

Source : Funny News
A lire : La révolution des oeillets, par Jean-Paul Delahaye, Pour la science no 352, février 2007
A voir : Ian's Shoelace Site

samedi 20 janvier 2007

Google: nouvel outil pour mesurer l’impact d’une découverte scientifique ?

Google: nouvel outil pour mesurer l’impact d’une découverte scientifique ?
Par Dominique Selse
Article paru sur Futura Sciences le 16 mai 2006

C’est à une utilisation originale du moteur de recherche Google, ou plutôt de son algorithme de classement, que viennent de penser des physiciens américains. Avec le fameux « PageRank », qui donne une idée à la fois de la pertinence et de la popularité d’un site et d’un document web, ils proposent une méthode systématique pour mesurer… rien moins que la qualité du travail des scientifiques.

La communauté scientifique a pour pratique d’évaluer l’importance d’un résultat par l’impact qu’aura sa publication, lequel est lui-même mesuré en comptant le nombre de citations par d’autres articles sur une période donnée: c'est le "facteur d'impact" (ou "impact factor"). La technique de comptage manuel ou automatisé aboutissant à des « indices de citation » n’est pas infaillible. Il a pu arriver que certains « papiers », qui ont marqué la physique par exemple, n’aient eu que peu de citations… Parmi les « perles » égarées : le célèbre « Theory of the Fermi interaction » publié par Feynman et Gell-Mann en 1958, n’avait pas été abondamment cité. Il est pourtant à l’origine d’une nouvelle théorie devenue ensuite le « modèle standard » pour les interactions faibles. Pas moins ! Google vient de permettre de l’exhumer… (1)

Le PageRank à la recherche des papiers perdus…

Pour « déterrer » de tels papiers, des chercheurs de l’université de Boston et du laboratoire Brookhaven proposent une nouvelle technique en utilisant l’algorithme dit de « PageRank » du moteur de recherche. Arrêtons-nous un instant sur ses principes. Le PageRank, ou « PR », inventé par les deux fondateurs du moteur Sergueï Brin et Larry Page, et qui est en grande partie à l’origine du succès de Google depuis la fin des années 1990, représente la « popularité » d’un site ou d’un document sur la Toile à travers le nombre et le poids des liens qu’il entretient avec d’autres sites. Google compte ainsi le nombre de liens reçus par une page, et analyse leur « poids », c'est-à-dire l’intérêt de la page de provenance. Cela s’apparente à un « vote » permettant au contenu Web mondial d’élire en quelque sorte les sites et les documents les plus intéressants. Le PR se traduit par un nombre entre 0 et 10, qui permet de classer les sites selon leur pertinence à des requêtes par mots-clés.

Mathématiquement, supposons qu’une page A reçoive des liens entrants en provenance des pages T1, T2… Tn et émette des liens sortants vers d’autres pages au nombre de C(A). En tenant compte d’un facteur de pondération d, le PageRank est formulé ainsi (et déterminé par un calcul itératif):

PR(A) = (1-d) + d(PR(T1)/C(T1) + … + PR(Tn)C(Tn))

Les chercheurs américains ont appliqué cet algorithme à un réseau composé de la totalité des articles de Physical Review et de leurs citations entre 1893 et juin 2003. Ils l’ont représenté comme une matrice de 353 268 « nœuds » (les articles publiés durant la période) et de 3 110 839 « liens » (les citations entre articles de la revue).

Les scientifiques ont trouvé que les résultats obtenus par la technique du PageRank sont linéairement corrélés à ceux de la technique classique des indices de citations. Ainsi les articles les plus souvent cités sont aussi ceux qui ont un PR élevé ! Mais ils sont aussi découvert des « anomalies » : certains papiers exceptionnels ont un PR excessif comparé à leur indice de citation. Exemple de quelques « classiques » injustement enfouis dans la littérature : un papier de Wigner et Seitz (« On the constitution of metallic sodium ») paru en 1933, qui est une référence sur l’état solide ; ou l’article de Glauber en 1963 (« Photon correlations ») couronné plus tard par un Prix Nobel de physique…

Avec cette application inattendue du plus célèbre des moteurs de recherche, qui décidément ne cesse de surprendre, les chercheurs pourraient disposer d’une palette de techniques plus large et plus sûre pour organiser la littérature scientifique ainsi que la recherche d’informations au sein de la masse publiée chaque année.

(1) Physics/0604130, Finding Scientific Gems with Google, P. Chen, H.Xie, S.Maslov, S. Redner

jeudi 11 janvier 2007

Calendriers saga

Un site extraordinaire sur les calendriers : Calendriers saga. Des dizaines de manières de découper le temps à travers les âges et les civilisations.

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