Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.


lundi 24 décembre 2007

La physique du Père Noël

Chaque année, dans la nuit du 24 au 25 décembre, un vieil homme vêtu de rouge parcourt la planète pour distribuer des cadeaux à plus de 2 milliards de personnes. Décryptage scientifique de cet exploit.

Le sac de cadeaux

La distribution des jouets par le Père Noël est un processus parfaitement décrit : la nuit du 24 au 25 décembre, le vieil homme remplit un gros sac de jouets, l'installe sur son traîneau, y attelle des rennes et s'envole pour distribuer ses cadeaux aux enfants qui l'attendent. Combien sont-ils ? Sur Terre, deux milliards d'enfants ont moins de 18 ans. C'est énorme, mais comme Noël ne concerne pas les Musulmans, les Hindous, les Juifs ni les Bouddhistes, le travail du Père Noël se réduit finalement : il doit s'occuper "seulement" de 378 millions d'enfants. Seulement ?
Supposons maintenant que tous ces enfants ont été sages et qu'ils reçoivent chacun un cadeau équivalent à 1 kilo et occupant 4 décimètres cube, comme un un jeu de société par exemple. La hotte du Père Noël enfle vite et atteint 1 512 000 mètres cube de jouets pour un poids de 378 000 tonnes. Difficile d'imaginer une hotte contenant tout ça sur le dos d'un seul homme. Le meilleur haltérophile soulève au maximum 263 kilos en épaulé-jeté, soit plus d'un million de fois moins !
Bref, abandonnons l'idée de la hotte et troquons-la contre un sac. Un grand sac puisque le volume de jouets correspond alors à une sphère de plus de 142 mètres de diamètre, ce qui implique qu'au centre du sac, les jouets forment une pile de 142 m, presque une demie tour Eiffel ! Cela signifie, avec les volumes et poids supposés, que la pression sur les paquets du dessous (sous 142 mètres de jouets donc) atteint plus de 14 bars, la même qui règne à 130 m sous la mer ! Les paquets fragiles sont donc fatalement écrasés.

L'attelage

Comment déplacer l'énorme sac de jouets décrit précédemment ? Quel attelage pourrait transporter tous les cadeaux ?
Le traîneau du Père Noël est soi-disant tiré par des rennes volants. Premier problème : aucune espèce de renne ne sait voler. Certes, plusieurs millions espèces d'organismes vivants restent à découvrir sur Terre et l'on recense régulièrement de nouveaux mammifères. De nouveaux mammifères, d'accord, mais des rennes volants... Pour le moment, les seuls mammifères volants connus sont les chauves-souris. Or, elles possèdent des ailes, la condition requise pour voler dans le règne animal. Et il n'est dit nulle part que les rennes du Père Noël sont ailés...
Passons ce détail zoologique pour nous attarder sur la composition de l'attelage. Si chaque enfant reçoit un kilo de cadeau(x), le traîneau doit supporter 378 000 tonnes. Or, sur Terre, un renne "conventionnel" peut tirer au maximum 150 kilos. Il faudrait alors 378 000 000/150, soit 2 520 000 rennes. Si on estime qu'un renne moyen pèse 100 kg, cela alourdit la charge du traîneau de 2 520 000 * 100, soit 252 000 tonnes.
Il faut donc plus de 2,5 millions de rennes pour tracter le traîneau et ses 378 000 tonnes de jouets. Un renne mesure environ 2 mètres de long. Donc en imaginant un attelage où les rennes sont attachés 2 par 2, cela fait tout de même un attelage de plus de 2500 kilomètres de long (2520 exactement) !
Cette longueur, outre le fait d'être encombrante et peu discrète, pose un autre problème physique : pour se faire entendre du renne de tête qui est à 2 500 kilomètres de lui, le Père Noël doit avoir une voix puissante ! La vitesse du son étant de 300 m/s, quand le Père Noël crie "En route!", le renne de tête ne l'entend que ... 8400 secondes ou 2 h 20 plus tard ! Idem quand il s'agit de stopper.
Seule solution : le Père Noël ne communique pas par voie sonore avec ses rennes. En admettant qu'il communique par radio, donc grâce à des ondes allant à la vitesse de la lumière, soit 300 000 km/s, il faut encore 8,84 millisecondes pour que le renne de tête entende les ordres.

Et ce n'est pas fini !

D'autres problèmes insolubles se posent concernant la distribution, le parcours et l'énergie. Tous ces points sont traités dans l'excellent dossier qu'a consacré l'Internaute à la physique du père Noël.

mardi 11 décembre 2007

La suite de Fibonacci dans la nature (2)

Pourquoi le nombre de pétales des fleurs est-il souvent un des nombres suivants : 3, 5, 8, 13, 21, 34 ou 55 ? Par exemple, les lis ont 3 pétales, les boutons d'or en ont 5, les chicorées en ont 21, les marguerites ont souvent 34 ou 55 pétales, etc. Par ailleurs, lorsqu'on observe le coeur des tournesols on remarque deux séries de courbes, une enroulée dans un sens et une dans l'autre; le nombre de spirales n'étant pas le même dans chaque sens. Pourquoi le nombre de spirales est-il en général soit 21 et 34, soit 34 et 55, soit 55 et 89, ou soit 89 et 144 ? Même chose pour les pommes de pin : pourquoi ont-elles 8 spirales d'un côté et 13 de l'autre ? Et finalement, pourquoi le nombre de diagonales d'un ananas est-il aussi 8 dans une direction et 13 dans l'autre ?
Ces nombres sont-ils le fruit du hasard ? Non ! Ils font tous partie de la suite de Fibonacci : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc., où chaque nombre s'obtient à partir de la somme des deux précédents. Depuis longtemps on avait remarqué que ces nombres étaient importants dans la nature, mais c'est seulement depuis peu qu'on comprend pourquoi. C'est une question d'efficacité dans le processus de croissance des plantes. L'explication est néanmoins un peu compliquée et on ne la présentera pas ici. Contentons-nous de mentionner qu'elle est reliée à un autre nombre fameux, le nombre d'or, lui-même intimement lié à la forme spirale de certains coquillages. Mentionnons aussi que, dans le cas du tournesol, de l'ananas et de la pomme de pin, la correspondance avec les nombres de Fibonacci est très exacte, tandis que dans le cas du nombre de pétales des fleurs, elle est plutôt vérifiée en moyenne; et dans certains cas le nombre est doublé, car les pétales sont disposés sur deux rangées.
L'ADN n'est donc pas tout ! Contrairement à ce qu'on a longtemps pensé, beaucoup de caractéristiques du monde vivant ne sont pas codées dans les gènes, mais résultent de processus mathématiques à l'ouvrage durant la phase de croissance des organismes. Bref, les mathématiques sont partout autour de nous.

Source : Du léopard au tournesol, par Stéphane Durand