Le blog-notes mathématique du coyote

Vaut-il mieux nouer ses lacets en boucles horizontales ou verticales, ou encore de façon croisée? A cette question existentielle, un chercheur australien, dont les travaux ont été publiés par la très sérieuse revue scientifique Nature, tente d'apporter une réponse mathématique.
Burkhard Polster, mathématicien à l'Université Monash (Etat de Victoria), a d'abord identifié toutes les variables de cet exercice quotidien d'une bonne partie de l'humanité: nombre d'oeillets de la chaussure, efficacité du laçage, effort nécessaire, longueur du lacet... Après avoir mis en équation l'ensemble de ces données, le scientifique australien a rendu son verdict: la méthode droite, utilisant des boucles horizontales entre chaque oeillet, et le zig-zag américain, à base de boucles croisées, sont les méthodes les plus courantes qui permettent le laçage le plus solide.
Mais le favori reste la méthode du "noeud papillon", une technique complexe et peu répandue combinant boucles horizontales, pour les oeillets du haut et du bas, et boucles croisées, pour les oeillets intermédiaires. Résultat: un laçage efficace et économe en longueur de lacet.

Source : Funny News
A lire : La révolution des oeillets, par Jean-Paul Delahaye, Pour la science no 352, février 2007
A voir : Ian's Shoelace Site

Google: nouvel outil pour mesurer l’impact d’une découverte scientifique ?
Par Dominique Selse
Article paru sur Futura Sciences le 16 mai 2006

C’est à une utilisation originale du moteur de recherche Google, ou plutôt de son algorithme de classement, que viennent de penser des physiciens américains. Avec le fameux « PageRank », qui donne une idée à la fois de la pertinence et de la popularité d’un site et d’un document web, ils proposent une méthode systématique pour mesurer… rien moins que la qualité du travail des scientifiques.

La communauté scientifique a pour pratique d’évaluer l’importance d’un résultat par l’impact qu’aura sa publication, lequel est lui-même mesuré en comptant le nombre de citations par d’autres articles sur une période donnée: c'est le "facteur d'impact" (ou "impact factor"). La technique de comptage manuel ou automatisé aboutissant à des « indices de citation » n’est pas infaillible. Il a pu arriver que certains « papiers », qui ont marqué la physique par exemple, n’aient eu que peu de citations… Parmi les « perles » égarées : le célèbre « Theory of the Fermi interaction » publié par Feynman et Gell-Mann en 1958, n’avait pas été abondamment cité. Il est pourtant à l’origine d’une nouvelle théorie devenue ensuite le « modèle standard » pour les interactions faibles. Pas moins ! Google vient de permettre de l’exhumer… (1)

Le PageRank à la recherche des papiers perdus…

Pour « déterrer » de tels papiers, des chercheurs de l’université de Boston et du laboratoire Brookhaven proposent une nouvelle technique en utilisant l’algorithme dit de « PageRank » du moteur de recherche. Arrêtons-nous un instant sur ses principes. Le PageRank, ou « PR », inventé par les deux fondateurs du moteur Sergueï Brin et Larry Page, et qui est en grande partie à l’origine du succès de Google depuis la fin des années 1990, représente la « popularité » d’un site ou d’un document sur la Toile à travers le nombre et le poids des liens qu’il entretient avec d’autres sites. Google compte ainsi le nombre de liens reçus par une page, et analyse leur « poids », c'est-à-dire l’intérêt de la page de provenance. Cela s’apparente à un « vote » permettant au contenu Web mondial d’élire en quelque sorte les sites et les documents les plus intéressants. Le PR se traduit par un nombre entre 0 et 10, qui permet de classer les sites selon leur pertinence à des requêtes par mots-clés.

Mathématiquement, supposons qu’une page A reçoive des liens entrants en provenance des pages T1, T2… Tn et émette des liens sortants vers d’autres pages au nombre de C(A). En tenant compte d’un facteur de pondération d, le PageRank est formulé ainsi (et déterminé par un calcul itératif):

PR(A) = (1-d) + d(PR(T1)/C(T1) + … + PR(Tn)C(Tn))

Les chercheurs américains ont appliqué cet algorithme à un réseau composé de la totalité des articles de Physical Review et de leurs citations entre 1893 et juin 2003. Ils l’ont représenté comme une matrice de 353 268 « nœuds » (les articles publiés durant la période) et de 3 110 839 « liens » (les citations entre articles de la revue).

Les scientifiques ont trouvé que les résultats obtenus par la technique du PageRank sont linéairement corrélés à ceux de la technique classique des indices de citations. Ainsi les articles les plus souvent cités sont aussi ceux qui ont un PR élevé ! Mais ils sont aussi découvert des « anomalies » : certains papiers exceptionnels ont un PR excessif comparé à leur indice de citation. Exemple de quelques « classiques » injustement enfouis dans la littérature : un papier de Wigner et Seitz (« On the constitution of metallic sodium ») paru en 1933, qui est une référence sur l’état solide ; ou l’article de Glauber en 1963 (« Photon correlations ») couronné plus tard par un Prix Nobel de physique…

Avec cette application inattendue du plus célèbre des moteurs de recherche, qui décidément ne cesse de surprendre, les chercheurs pourraient disposer d’une palette de techniques plus large et plus sûre pour organiser la littérature scientifique ainsi que la recherche d’informations au sein de la masse publiée chaque année.

(1) Physics/0604130, Finding Scientific Gems with Google, P. Chen, H.Xie, S.Maslov, S. Redner

Un site extraordinaire sur les calendriers : Calendriers saga. Des dizaines de manières de découper le temps à travers les âges et les civilisations.

Deux raisons pour parler du site web-shot.net de mon élève Lucas : il contient les photos du tournoi de Noël 2006 et cette superbe photo des escaliers du château de Porrentruy.

Saviez-vous que la perspective plongeante d'un escalier en colimaçon est une spirale hyperbolique ?

Aucune espèce connue de renne ne peut voler, mais il reste encore 300 000 espèces d'organismes vivants à répertorier, et bien que la plupart soient des insectes et des germes, ça n'exclut certes pas totalement les rennes volants que seul le Père Noël aurait vus.

Il y a deux milliards d'enfants (i.e. d'âge inférieur à 18 ans) dans le monde. Mais puisque Papa Noël ne semble pas être pris en considération par les enfants Musulmans, Indous, Juifs et Bouddhistes, la charge de travail se voit réduite à 15% de ce total - 378 millions selon le US Population Reference Bureau. En supposant une moyenne (recensement) de 3,5 enfants par foyer, cela fait 91,8 millions de foyers. On supposera qu'il y a au moins un enfant sage dans chacun de ces foyers.

Grâce aux différents fuseaux horaires et à la rotation de la Terre, Papa Noël a 31 heures ce jour-là pour effectuer son travail, en supposant qu'il voyage d'est en ouest (ce qui semble logique). Cela nous fait 822,6 visites par seconde. C'est-à-dire que pour chaque foyer chrétien avec un enfant sage, Papa Noël a environ 1/1000e de seconde pour se garer, sauter du traîneau, descendre dans la cheminée, remplir les chaussettes, distribuer les cadeaux restants sous le sapin, éventuellement manger les gâteries laissées pour lui par les enfants, remonter par la cheminée, puis embarquer dans son traîneau et aller jusqu'à la maison suivante. En supposant que les 91,8 millions d'arrêts sont uniformément repartis sur le globe (ce qui est une hypothèse manifestement fausse, mais nous accepterons ce modèle pour simplifier les calculs), cela nous fait 1,25 kilomètre par foyer à visiter, soit un voyage d'une longueur totale de plus de 120 millions de kilomètres, sans compter les haltes nécessaires pour faire ce que la plupart d'entre nous doivent faire au moins une fois toutes les 31 heures, plus les repas, etc.

Cela veut dire que le traîneau de Papa Noël se déplace à plus de 1000 kilomètres par seconde, soit près de 3000 fois la vitesse du son. La très légère contraction temporelle due aux effets relativistes et les audacieuses théories d'univers gémellaires ne peuvent expliquer cette performance. A titre de comparaison, le véhicule le plus rapide jamais construit par l'homme, la sonde spatiale Ulysse, se déplace à un petit 44 kilomètres par seconde, qui plus est, hors des couches atmosphériques. Un renne traditionnel peut courir au plus vite jusqu'à 25 km/h, voire 30 km/h, s'il fuit un Gatti désireux de lui exposer sa conception du monde... Il nous appartient de signaler, de source sûre, que malgré la rigueur de notre argumentation et notre volonté de dépassionner le débat, certaines contrées très pointilleuses sur les questions de souveraineté de leur espace aérien n'hésiteraient pas à abattre ce riant cortège (plan de défense, nom de code "Santa Claus"). Les hypothèses les plus audacieuses mentionnent cependant la possibilité pour ce dernier de générer une couche d'inversion thermique afin de préserver sa discrétion radar et provoquer la diffraction d'éventuels faisceaux laser !

La charge du traîneau fournit également des informations importantes. En supposant que chaque enfant ait au moins une boîte moyenne de LEGO ou un jeu de société « X-files » (environ 1 kilogramme), le poids utile en charge du traineau doit être de 321'300 tonnes, sans compter Papa Noël, invariablement décrit comme obèse. Sur Terre, un renne normal ne peut pas tracter plus de 150 kilogrammes. Même en supposant qu'un "renne volant" puisse tracter 10 fois cette charge normale (sous les conditions extrêmes précédemment évoquées), le Père Noël ne pourrait pas se contenter de 8 rennes volants, ou même 9. Compte tenu de la maturité toute relative des générateurs antigravitationnels, il aurait ainsi besoin de 214 200 rennes volants, ce qui augmente la charge - sans compter le poids du traîneau - à 353'430 tonnes. Encore par comparaison, ce chiffre représente quatre fois le poids du Queen Elizabeth.

Le volume des 353'000 tonnes (en arrondissant pour la simplification du calcul...) voyageant a plus de 1000 kilomètres par seconde implique une énorme résistance de l'air - ceci brûlerait les rennes volants à la manière des vaisseaux spatiaux rentrant dans l'atmosphère terrestre. Les deux rennes de tête devraient absorber une énergie de 14,3 quintillions de joules par seconde. Chacun. En bref, ils s'évaporeraient en flammes presque instantanément, laissant les rennes suivants connaître le même sort, et engendreraient un bang supersonique assourdissant (signalons cependant qu'un éminent spécialiste de physique des plasma aurait avancé que l'attelage serait en fait équipé d'ionisateurs pariétaux et exploiterait ainsi des techniques de magnétohydrodynamique). L'attelage entier de rennes volants serait vaporisé en 4,26 millièmes de secondes en données corrigées des variations saisonnières (variation de la densité de l'air donc de l'échauffement cinétique résultant). Pendant ce temps, Papa Noël serait l'objet d'une force centrifuge égale à 17500,06 G. Un papa Noël de 125 kilogrammes (poids qui semble ridiculement faible) serait coincé au fond de son traineau par une force équivalente à 2 157 507 kilogrammes (à moins qu'il soit immergé dans un fluide tyxantropique, toujours selon ce même chercheur...).

A la lumière de cette édifiante démonstration, si le Père Noël a un jour distribué des cadeaux la veille de Noël, à l'heure qu'il est, il est mort.

Sources : multiples et anonymes. Dommage, car l'auteur mériterait d'être cité.
Voir aussi : Le Père Noël à l'épreuve de la Science

En ce jour d'élections jurassiennes, je me suis rappelé cette émission d'Arte que j'avais retranscrite par écrit: 5 candidats, 5 modes d'élections, 5 résultats différents.
Ceux qui choisissent le système électoral déterminent l'heureux gagnant. C'est sur des considérations de cet ordre que Kenneth Arrow, prix Nobel d'économie en 1972, prouva qu'il n'y avait pas de système électoral qui soit juste. La démocratie parfaite est un rêve impossible!

Décliné en 99 chapitres « La vie mode d’emploi » met en scène les vies, manies et caractères des locataires d’un immeuble parisien pendant plus d’un demi-siècle. Des caves aux combles, le lecteur est invité à parcourir les étages, comme dans un immense jeu de pistes, à la découverte progressive de pièces chargées d’histoires, où chaque détail constitue l’élément d’un grand puzzle.
Le mode d'emploi consiste en diverses contraintes définies à l'avance et appliquées à l'écriture du roman. L'utilisation de la structure mathématique connue sous le nom de "bicarré latin orthogonal d'ordre 10" fait partie de celles-ci. L'impératif fixé est l'utilisation d'une structure en damier de 10 cases sur 10 dans l'articulation du livre. Elle se traduit, ici, dans le plan en coupe de l'immeuble – il est constitué de dix pièces sur dix – et également dans le nombre de chapitres que contient l'ouvrage : cent, théoriquement, dont chacun décrit une pièce de l'immeuble.
Le parcours du visiteur de la maison illustre une seconde contrainte, dérivée d'un problème d'échecs et appelée "polygraphie du cavalier". Partant d'une case désignée de l'échiquier, le cavalier doit parcourir les soixante-trois autres cases, sans jamais s'arrêter plus d'une fois dans la même, et sans en omettre une seule.

"Il existe des milliers de solutions dont certaines, telle celle d'Euler, forment de surcroît des carrés magiques. Dans le cas particulier de La Vie mode d'emploi, il fallait trouver une solution pour un échiquier de 10 x 10. J'y suis parvenu par tâtonnements, d'une manière plutôt miraculeuse. La division du livre en six parties provient du même principe : chaque fois que le cheval est passé par les quatre bords du carré, commence une nouvelle partie."

A lire :

• Georges PEREC. Cahiers des charges de la vie, mode d'emploi. Présentation, transcription et notes par Hans Hartje, Bernard Magné et Jacques Neffs. CNRS éditions Zulma, Paris 1993
• "La Vie mode d'emploi" : Cahier des charges par chapitre
• Wikipédia : Problème du cavalier
• Deux études des règles mathématiques qui structurent "la vie mode de d'emploi"
• Georges Perec : Construction

Quelle est la stratégie optimale pour choisir une station à essence où faire la plein ? Imaginons que l'on roule sur une route bordée de n pompes à essence (n>9). On exclut de revenir en arrière. La meilleure stratégie consiste à se rappeler le prix le plus bas des 37% premières pompes, puis à choisir la première parmi les suivantes dont le prix est plus bas que ce prix référence. On ne sera pas sûr d'avoir le prix le plus bas, mais, en moyenne, c'est la meilleure stratégie.

Ce problème se rapproche du problème des secrétaires (on doit choisir une secrétaire parmi plusieurs candidates) et celui de la princesse (qui doit choisir le meilleur prétendant).

La formule de Widmark donne le taux d'alcoolémie :

Alcoolémie = (grammes d'alcool absorbés) / (poids en kg x c), où c vaut 0.6 pour les femmes et 0.7 pour les hommes.

La courbe ci-dessous montre l'évolution du taux d'alcoolémie avec le temps.

A voir : Qu'est-ce que l'alcoolémie ?, Calcul du taux d'alcoolémie et Alcool: testez vos limites!