Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.

jeudi 9 décembre 2010

Griffonner pendant les maths : séries infinies

mercredi 8 décembre 2010

Griffonner pendant les maths : étoiles

mardi 7 décembre 2010

Griffonner pendant les maths : arbres binaires

lundi 6 décembre 2010

Les paradoxes de Pékin Express

Je regardais samedi l'émisson Pékin Express. Durant cette étape, les binômes étaient mélangés. Chaque nouvelle équipe était constituée d'un "pousseur", dont le but était d'aller le plus vite possible, et d'un "ralentisseur", qui devait freiner le pousseur. Le pousseur en dernière position quand la première équipe franchit la ligne d'arrivée fait éliminer son équipe d'origine. Une équipe ne peut avancer que si les deux avancent. Le pousseur ne peut pas contraindre l'autre à avancer, mais le ralentisseur peut le forcer à s'arrêter. Il est donc tout puissant.
Prenons par exemple les 4 équipes A, B, C et D, constituées à l'origine des concurrents A1, A2, B1, B2, C1, C2 et D1, D2. On les mélange pour constituer les nouvelles "équipes". Soient les équipes A1-B2, B1-C2, C1-D2 et D1-A2 (1 est le pousseur et 2 le ralentisseur).

Paradoxe 1 : comment la course peut-elle démarrer ?

En effet, Si A1, veut avancer, B2 devrait refuser tant que B1 n'est pas parti. Idem pour les autres équipes. Donc personne ne devrait partir, ou alors tout le monde devrait prendre le même bus... Pourtant la course démarre (après deux heures d'attente quand même). C'est ici que la logique s'arrête et que commence la négociation (marchandage, promesses, etc.)

Paradoxe 2 : comment une équipe peut-elle franchir la ligne d'arrivée ?

On retrouve le même problème qu'au départ : si A1 veut passer la ligne, B2 devrait refuser tant que B1 ne l'a pas franchie. Et pourtant l'épreuve se termine... Cette saison c'était un peu différent car une des équipes était l'équipe d'origine qui bénéficiait d'une immunité. Elle n'avait donc pas à se soucier des autres. Peut-être une leçon tirée des années précédentes ?

Paradoxe 3 : un ralentisseur peut éliminer une équipe à lui seul

Il s'est passé quelque chose d'intéressant samedi. Deux concurrents qui ne s'apprécient pas du tout, appelons-les A1 et B2, forme un binôme. Sur la route, B2 remarque qu'ils rattrapent sa coéquipière B1. Il décide de s'arrêter. Logique. B2 passe et prend de l'avance. Derrière eux se trouvait le binôme D1-A2. Evidemment A2 s'arrête. Logique aussi. Et voici les deux binômes A1-B2 et D1-A2 stoppés en pleine nature. Il est clair que pour débloquer la situation, il faut que le binôme A1-B2 redémarre, mais B2 refuse de le faire, contre toute logique (rancoeur, susceptibilité, vengeance, etc.), puisque sa coéquipière est devant. Voilà comment un ralentisseur peut éliminer une équipe à lui seul (quelle équipe, on le saura samedi prochain). Tout cela parce qu'un binôme a pris l'intiative de démarrer la course...
On peut visionner cet épisode (et les autres) sur le site de M6.

Tout ça pour dire que la logique et la théorie des jeux restent impuissantes face aux sentiments humains !

vendredi 3 décembre 2010

Griffonner pendant les maths : noeuds

jeudi 11 novembre 2010

Des fractales dans le cerveau

Vu hier soir sur la TSR :

vendredi 29 octobre 2010

Découpe d'une citrouille

Comme Halloween approche, voici une citrouille découpée en dodécaèdre. Pour savoir comment s'y prendre, relisez mon billet sur la découpe des pommes.

lundi 11 octobre 2010

Comment découper des pommes

Apple Platonic Solids montre de façon détaillée comment découper des pommes en forme de solides platoniciens. Rappelons au passage que les cinq solides platoniciens sont : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.

lundi 13 septembre 2010

On pourrait prédire quelles espèces seront un jour en danger

Lorsqu’une espèce est considérée comme menacée, il est souvent trop tard pour inverser la tendance. Des scientifiques viennent de montrer qu’il serait possible de prédire, grâce à des analyses statistiques, quelle espèce sera menacée demain. De quoi laisser le temps de réagir…
Si 2010 a été déclarée Année de la biodiversité, c'est parce que le taux d'extinction d'espèces est manifestement très élevé aujourd'hui. La valeur n'est précisément connue mais on estime qu'une espèce sur trois est menacée. L'une des questions actuelles est de quantifier le risque qui pèse sur une espèce donnée. Bien sûr, on sait qu'avant de disparaître définitivement, ses représentants deviennent de moins en moins nombreux. Sur la base de ce critère simple, l’UICN (Union internationale pour la conservation de la nature) a établi des catégories pour les espèces en danger : quasi-menacée, vulnérable, en danger, en danger critique d’extinction... Mais comment est-il possible de déterminer le point critique au-delà duquel l’espèce est vouée à s'éteindre ?
Si on en croit une étude publiée dans Nature, il serait maintenant possible de le savoir avant d’arriver à ce point critique. Deux chercheurs, John M. Drake de l’Odum School of Ecology de l’Université de Georgie et Blaine D. Griffen de l’université de Caroline du Sud, ont montré expérimentalement l’existence d’un ralentissement critique au sein d’une population.
Ce terme, qui décrit la diminution du taux de récupération, après une perturbation, d’un système qui s’approche d’un point critique, est bien connu des physiciens ou des géologues. En biologie, si le ralentissement critique correspond à une population qui a du mal à se remettre de perturbations environnementales, il n’avait encore jamais été prouvé expérimentalement. Il s’agit donc d’une première !

Un délai de 8 générations

C’est en étudiant un minuscule crustacé, la daphnie (Daphnia magnia), exposé à des conditions environnementales difficiles que les scientifiques ont pu obtenir des réponses. Certaines populations ont été soumises à des conditions de stress, c'est-à-dire un apport décroissant en nourriture. D’autres, les groupes contrôles, ont été placés dans des conditions optimales. L’expérience s’est étendue sur une durée de 416 jours, le temps nécessaire pour voir disparaître complètement l’ensemble des groupes affamés.
Les scientifiques ont alors cherché des données statistiques permettant de prévoir l’arrivée du point critique (aussi appelé en mathématiques la bifurcation transcritique). Les valeurs de quatre données (pour les matheux : les coefficients de dissymétrie, de variation, d’auto-corrélation et de corrélation spatiale) augmentaient déjà 110 jours, soit 8 générations de daphnies, avant l’arrivée du point critique. Cet intervalle de temps correspond donc au ralentissement critique recherché.
La preuve étant là, ce système pourrait alors être utilisé dans le domaine de la sauvegarde de la biodiversité, mais également dans tous les domaines de la biologie. De plus, les auteurs assurent qu’il n’est pas nécessaire de comprendre ni de connaître les équations mathématiques sous-jacentes pour utiliser la théorie. Même si l’environnement naturel est bien plus complexe qu’un laboratoire aux paramètres contrôlés, ces résultats devraient permettre de détecter suffisamment tôt les espèces dont la menace d’extinction est proche. Malheureusement, ils ne disent pas quelles sont les mesures à prendre pour éviter la disparition de l’espèce en question…

Source : Futura-Sciences

vendredi 27 août 2010

Un logiciel pourrait-il prédire l'avenir ?

Vous souvenez-vous du film "Minority Report" ? Ce film projetait la ville de Washington en l'an 2054, et présentait une méthode permettant d'arrêter des criminels juste avant qu'ils ne commettent leur crime. C'est ce que tentent de faire, à l'aide d'un programme informatique, la police de New-York, de Memphis ou encore plus récemment celle de Los Angeles. Le logiciel utilisé est certes moins performant que dans le film, et n'arrive pas encore à prédire si une personne est prête à commettre un délit, mais il arrive tout de même à analyser 20 ans de données dans le but de lister les quartiers dans lesquels la criminalité sera probablement en hausse.
Il s'agit d'un logiciel d'analyse prédictive conçu initialement par IBM, puis adapté par la police de New-York, baptisé CRUSH (Criminal Reduction Utilising Statistical History). Il analyse les données historiques et recherche les répétitions de modes opératoires, de lieux, de dates ou d'heures. Ce croisement de données émet des statistiques permettant de prévoir le lieu où le risque d'avoir une hausse de délinquance est important.
Cet outil se révèle efficace pour les méfaits répétitifs (agressions, vols de voitures, ...) qui ont diminué de 31% à Memphis depuis le début de l'utilisation de CRUSH en 2008, mais un meurtre ou bien un cambriolage de haut vol par exemple ne peut malheureusement pas être décelé d'avance.
C'est à se demander si cette réussite n'est pas à l'origine de l'investissement de Google et de la CIA, qui ont récemment investi chacun 10 millions de dollars dans la start-up "Recorded Future". Cette société travaille sur l'analyse des liens entre les données et documents présents sur Internet afin d'en faire une analyse temporelle, ciblant principalement le domaine de la finance.

Auteur de l'article: Cédric DEPOND sur Techno-Science

mercredi 19 mai 2010

ABE : Les albums Panini

L'émission A Bon Entendeur se penche sur les albums Panini. Voir l'émission (en bas de la page d'ABE). Voici la transcription :

Trois semaines avant le coup d'envoi de la coupe du monde, le moment idéal pour une émission spéciale foot. L'équipe d'ABE a enfilé son maillot, sorti les bières devant la télé... et presque fini son album Panini ! Au programme, tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les fameuses vignettes. Y-a-t-il pénurie volontaire de certaines cartes, moins de Ronaldinho que d'obscurs joueurs coréens? Un Senderos vaut-il trois Ribéry? Combien dépenser pour un album complet? Achat de cartons, troc, quelle est la meilleure stratégie pour finir un album à moindre frais ? Pour ABE deux mathématiciens confirmeront ou démentiront les rumeurs des collectionneurs.

Panini : des vignettes rares ?

Les Suisses sont de véritables Paninomaniaques : 250 millions de vignettes devraient être vendues dans notre pays en cette année de Coupe du monde !

Panini soigne donc tout particulièrement ses supporters helvétiques et propose même une édition spéciale Suisse du fameux album, avec 20 vignettes supplémentaires. Panini, c'est une véritable poule aux oeufs d'or, un business présent dans 100 pays, qui a rapporté près de 900 millions de frs l'année dernière. Mais l'entreprise italienne organise-t-elle volontairement la pénurie de certaines cartes ? Y a-t-il plus de vignettes de joueurs slovènes que de stars brésiliennes ? Certains mordus sont convaincus qu'en la matière le hasard n'existe pas ! Vrai ou faux ?

En ce mercredi ensoleillé du mois d'avril, rendez-vous avec les juniors d'Etoile Carouge et du FC Donzelle. Aussitôt le match fini, ces Djourous et Senderos en herbe se précipitent sur leurs vignettes. Pas de doute, la saison des Paninis a commencé et le « mercato » bat son plein.

Mais combien de temps faut-il pour remplir un album ? Quelle technique est la plus payante ? De l'aveu de l'un de ces jeunes passionnés « si on achète un carton ça va plus vite parce que yen a 500 dedans... »

Et les parents dépensent sans compter ! Selon un papa présent ce jour-là, « il faut bien compter entre 150.-- et 200.-- frs par album.»

La firme italienne sait surtout fidéliser ses aficionados. Cafétéria de la TSR, nous retrouvons trois paninophiles bien connus des téléspectateurs romands, en pleine transaction.

Romain Glassey, 35 ans, journaliste au département des sports est tombé dans la marmite Panini en 1982. Il nous avoue en rigolant : « chaque année je me dis non! Et puis je craque... »

Tania Chityl, 40 ans, journaliste à TSR Découvertes a commencé à collectionner les vignettes en 2006. Les albums Panini pour elle, une activité familiale qu'elle aime partager avec ses enfants.

Enfin, Pierre Poullier, 42 ans, également journaliste sportif à la TSR, collectionne les Panini depuis 1978. Cette année, c'est sa femme qui lui a donné un bon prétexte : collectionner les vignettes 2010 pour que leur bébé ait l'album de son année de naissance!

Panini ou la madeleine de Proust des 30-40 ans ! Nos trois journalistes se souviennent avec nostalgie des albums de leur enfance : les coupes de cheveux improbables des joueurs allemands des années 80, le regard inquiétant du bulgare Trifon Ivanov « le Brad Pitt des Carpates » dixit Romain Glassey.

Mais certaines choses demeurent immuables, comme cette nette impression que les dés sont pipés. Pierre Poullier a des doutes sur la juste répartition des cartes : « Rumeur ou pas...on est en Suisse et l'équipe la moins représentée dans mon album, c'est l'équipe suisse.»

Une des clés du succès Panini, c'est le mystère qui entoure la répartition des 660 vignettes. Certaines cartes seraient plus difficiles à obtenir. « Je constate que Messi meilleur joueur du monde, je l'ai pas... » précise encore Pierre Poullier.

Une théorie du complot que l'on retrouve chez les plus jeunes : « C'est obligé, sinon on finirait les albums trop vite ! ». Et les enfants sont unanimes, la carte la plus rare cette année, c'est la « Panini 000 », la première de l'album.

Mais y a-t-il vraiment des vignettes rares ? moins de Ronaldhino que de joueurs slovènes ? La Nati est-elle sous représentée ? Bref, y a-t-il pénurie volontaire et organisée, bien que Panini s'en défende?

ABE a décidé de répondre à ces questions cruciales une bonne fois pour toute ! Nous avons demandé à Sylvain Sardy et Yvan Velenik, deux mathématiciens de l'Université de Genève, de faire toute la lumière sur ces rumeurs.

La méthode suivie par nos deux mathématiciens, expliquée par Yvan Velenik, est simple : « Afin de vérifier que la distribution des cartes est homogène, c'est-à-dire qu'aucune des cartes n'est sur-représentée ou sous-représentée, ce qu'on a fait c'est faire acheter 6000 vignettes par l'équipe de l'émission. »

6000 vignettes, soit 12 boîtes achetées dans quatre cantons différents. L'équipe d'ABE a scrupuleusement noté la fréquence de chacune des cartes. Un album Panini compte 660 vignettes. La logique voudrait donc que l'échantillon comporte en moyenne 9 cartes pour chaque numéro.

« Naturellement il y a des fluctuations aléatoires, et le test qu'on a utilisé consiste à mesurer si ces fluctuations autour de ces valeurs moyennes sont normales ou si elles sont anormales.» précise le statisticien Sylvain Sardy.

Mais laissons nos deux scientifiques à leurs calculs pour l'instant.

Parallèlement à ce test, nous avons voulu procéder à une expérience grandeur nature. Samantha, 15 ans, fan de foot et de Senderos est experte en Paninis. Pour obtenir les vignettes convoitées, elle utilise d'ailleurs toutes les techniques disponibles. « Pour les échanges, on va sur Facebook ou MSN... et à l'école aussi, c'est là que ça marche le mieux».

Nous avons proposé un challenge à Samantha : tenter de compléter un album en un mois. Une vignette coûte 20 centimes, Samantha aura donc droit à 132 francs, soit la somme exacte pour acheter 660 vignettes. Seules consignes, ne pas acheter de boîte et faire le plus d'échanges possibles.

Mais retournons chez nos deux scientifiques qui ont maintenant fini d'analyser nos données. Alors la pénurie de certaines vignettes, mythe ou réalité ?

La réponse du statisticien Sylvain Sardy et sans ambiguïté, « Sur la base de ce test, on a pu démontrer avec une forte probabilité qu'il n'y avait aucune carte rare. »

Et oui, sur nos 6000 cartes, le meilleur joueur du monde Lionel Messi apparaît en 10 exemplaires. C'est plus que la moyenne et autant que l'obscur joueur Nord coréen Pak Nam Chol ! Idem pour LA fameuse vignette 000 préférée des enfants. Pas plus rare qu'une autre, elle apparaît en 10 exemplaires ! Mais qu'en est-il alors de l'équipe de Suisse ? « Il semblerait que ce soit un mythe. Les cartes de l'équipe suisse étaient réparties aussi bien que les autres cartes.» répond Sylvain Sardy.

Question alors, pourquoi ce sentiment de pénurie partagé par tous à chaque génération ?

Yvan Velenik, probabiliste, a une explication : « Si on considère par exemple un groupe de 10 enfants qui achètent chacun 100 pochettes, soit 500 vignettes par enfant, il est possible, il y a une probabilité d'au moins une chance sur 4 qu'il manque la même vignette à ces 10 enfants. Par conséquent, ils vont avoir l'impression que cette vignette est extrêmement rare puisque aucun d'entre eux n'a réussi à l'obtenir. »

L'autre explication est aussi psychologique. Selon Sylvain Sardy, « les 500 premières cartes qu'on va acheter, on va les acquérir très rapidement, par contre la dernière carte qui va nous manquer, on aura besoin grosso modo d'un 8e du temps, ce qui donne l'impression de rareté ».

Ainsi avec 233 pochettes achetées à la pièce, on obtient très facilement les 550 premières images.

Mais il faut 233 pochettes de plus pour récolter 90 nouvelles vignettes manquantes

Et encore 233 pochettes pour 17 vignettes manquantes supplémentaires.

Enfin les 3 dernières images ne seront obtenues qu'après l'achat de 233 dernières pochettes.

Autrement dit , plus on avance dans l'album plus il faut de temps pour obtenir une vignette manquante dans ce modèle théorique sans échange.

Ainsi, selon notre statisticien « Une maman qui va acheter ses pochettes à l'unité pour son enfant, aura besoin en moyenne de 930.—frs. Par contre, si l'enfant se permet de faire des échanges avec environ 10 amis, le coût reviendra en moyenne à 300.-- frs ».

Voyons si Samantha de son côté s'en sort mieux avec la technique des échanges. Très organisée, elle répertorie ses cartes : « Ca,c'est les fiches des vignettes qui me manquent et ça les fiches de celles que j'ai à double.»

Une semaine après le début de l'expérience, notre ado a déjà rempli 526 vignettes sur 660. Son compteur affiche 134 vignettes manquantes. «On a beaucoup les Asiatiques et l'équipe du Honduras .. mais peu de Suisses...!»

Puisque tout est histoire de probabilités, nos deux mathématiciens ont établi une stratégie pour remplir son album, qui mêle plaisir de l'échange en évitant la ruine des parents.

Acheter un carton de 500 vignettes, puisqu'ils ne contiennent aucun double, puis 40 pochettes. Echanger ensuite ces cartes de manière optimale avec 9 amis qui auront fait de même. Lorsqu'il ne vous manque plus que 50 vignettes, les commander par Internet chez Panini, car ce sont les plus difficiles à obtenir.

Coût total de l'opération: entre 125.-- et 155.-- frs selon le prix du carton.

Samantha, elle, continue inlassablement sa traque des vignettes manquantes.

Après 2 semaines, il ne lui manquait plus que 48 vignettes.

Après un mois exactement ,elle a finalement réussi son challenge et terminé son album. Les 2 dernières vignettes ont été les plus difficiles à obtenir, elle a mis une dizaine de jours à les trouver.

Samantha a obtenu son Graal, la dernière vignette manquante - une « brillante » de l'équipe de Nouvelle Zélande - au forceps grâce à « la connaissance d'une connaissance de sa cousine » !

Bref, défi réussi... Mais il y a encore d'autres méthodes, comme celle de Jean-Paul, un téléspectateur qui nous a écrit. Son album lui a coûté 99.25, au final, car il a revendu tous ses doubles sur Internet.

Quant aux cartons, il faut savoir qu'il ne contiennent aucun double. Leur contenu est donc aléatoire. Nous avons même fait une drôle de découverte : avec deux cartons dont les numéros de série se suivent, nous avons pu finir un album complet, alors que cette probabilité est normalement quasi nulle.. Mais là, c'est plus vraiment du sport !

samedi 17 avril 2010

Combien de vignettes Panini faut-il pour remplir mon album ?

L'album Panini de la Coupe du monde de foot 2010 est disponible depuis jeudi au prix indicatif de 2 fr. 90, plus 1 fr. par paquet de cinq vignettes. La fièvre des vignettes se propagera non seulement dans les cours d'école mais aussi sur la Toile, où les internautes marchandent ferme. Les adultes sont en effet de grands enfants : 85% des fans ont plus de 15 ans.
Le «Special Swiss Edition» est, comme son nom l'indique, une édition spéciale. Une fleur prévue par l'imprimeur italien pour récompenser les Helvètes qui sont les plus gros collectionneurs de la planète. Le groupe Panini prévoit de vendre 250 millions de vignettes sur notre territoire et de franchir le milliard dans les 109 pays dans lesquels il est présent.

Une question que l'on peut se poser est : combien de vignettes Panini faut-il pour remplir mon album ? La réponse se trouve dans le live de John Barrow : 100 choses fondamentales dont vous ignoriez que vous les ignoriez (chapitre 12). Il faudra à peu près N x [0.58 + ln(N)] cartes. L'album de la coupe du monde 2010 en compte plus de 600. Vous devrez donc en acheter environ 4200 ! Cela vous coûtera environ 840 fr.

Diable ! Mais si je trouve A personnes pour en échanger, combien de vignettes faudra-t-il acheter en tout (donc pour A+1 personnes) ? La réponse est N x [ln(N) + Aln(ln(N)) + 0.58]. Si vous trouvez 5 amis pour échanger, il faudra donc acheter 9750 cartes, c'est-à-dire 1625 par personnes, donc 325 fr chacun.

On a donc intérêt à avoir beaucoup de copains, ou beaucoup d'argent...

lundi 29 mars 2010

Spirale de Fibonacci sexy

Qui a dit que les maths n'étaient pas sexy ?


Photo vue sur le blog mathématique d'ABC maths

samedi 6 mars 2010

Le défilé Issey Miyake inspiré par l'abstraction mathématique

Le styliste d'Issey Miyake, Dai Fujiwara a présenté vendredi au Louvre une collection automne-hiver 2010-2011 inspirée par la géométrie et les mathématiques.

Dai Fujiwara, styliste de la marque japonaise Issey Miyake, s'est inspiré de l'abstraction mathématique pour sa collection colorée et originale présentée vendredi au Louvre, devant le monde de la mode mais aussi plusieurs scientifiques prestigieux, les yeux écarquillés.
"C'est ravissant, très intéressant", s'étonne auprès de l'AFP Joel Lebowitz, mathématicien à l'université américaine de Rutgers, près de New York, venu en compagnie de sa femme. Le lauréat du prix Poincaré de mathématiques a bien vu sa discipline défiler: "C'était abstrait, tout à fait géométrique".
C'est en regardant à la télévision un documentaire évoquant le mathématicien américain William Thurston que le styliste japonais a vu la lumière: l'univers se composant de seulement huit formes géométriques dans l'espace, selon Thurston, le défi serait de concevoir une collection autour de ces formes.
Après plusieurs rencontres, Dai Fujiwara a utilisé des cordes qu'il a enroulé autour de bustes, avant d'imaginer avec son équipe des lignes des vêtements. "M. Thurston nous parle de forme et d'espace. C'est comme de la science fiction, on a l'impression qu'il nous envoie une corde pour nous mener vers un autre monde", explique à l'AFP le styliste, qui voit aussi dans cet échange quelque chose de "spirituel".
Dans certains manteaux, d'énormes poches en cachent de toutes petites pour pouvoir "contenir tout l'univers". Sur la scène du carrousel du Louvre, des mannequins arrivent de différents coins, portant des étoles de toutes les couleurs autour du buste qui finissent par former une veste. [...]


Photo: CubistLitterature!

Source : Next Libération

mercredi 24 février 2010

Tricycle à roues carrées

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