Le blog-notes mathématique du coyote

Article de Lucia Sillig parue dans Le Temps du 22 janvier 2010

Pour obtenir le meilleur rapport coût, efficacité, résistance: suivez la moisissure. C’est ce qu’ont fait des chercheurs japonais et britanniques, qui publient leurs travaux aujourd’hui dans Science. Ils ont placé sur une surface humide des flocons d’avoine, dans la même disposition que Tokyo et les agglomérations voisines. Puis ils ont observé le développement d’une amibe gluante. Le résultat obtenu ressemble curieusement au réseau ferroviaire de la capitale nippone. La stratégie d’approvisionnement de la moisissure pourrait ainsi inspirer les êtres humains, pour améliorer leurs propres réseaux.
Physarum polycephalum est une amibe unicellulaire, où plusieurs noyaux sont en suspension dans un même volume. Lorsque les sources de nourritures sont éparpillées, elle les connecte de manière efficace, avec un réseau d’une longueur totale relativement faible, tout en assurant une distance moyenne minimale entre deux sources. La moisissure est aussi capable d’optimiser un parcours à travers un labyrinthe. «Elle a en outre un haut degré de tolérance aux déconnexions accidentelles», souligne un des auteurs, Atsushi Tero, de l’Université de Hokkaido. Elle s’auto-organise, auto-optimise et auto-répare. De quoi faire des jaloux, notamment sur les quais de gare.

Rounds de sélection

Les mécanismes moléculaires qui permettent à Physarum polycephalum de réaliser ces prouesses sont encore mal compris. Il parvient toutefois à égaler les performances du réseau de rail de Tokyo «sans aucun système de contrôle central qui puisse lui indiquer la position relative des flocons d’avoine ou lui dire comment les relier entre eux», souligne Wolfgang Marwan, de l’Université allemande Otto von Guericke, qui analyse et commente ces résultats dans le même numéro de Science.
Créer des réseaux efficaces est essentiel pour notre société industrielle moderne, relèvent pour leur part les chercheurs, qui ajoutent que, malheureusement, les réseaux humains manquent souvent de vue d’ensemble et sont trop fréquemment tributaires d’une minimalisation des coûts faite au détriment de la résistance aux ratés. A leurs yeux, les pannes spectaculaires survenues récemment dans divers domaines, comme celui de l’approvisionnement en électricité, démontrent un besoin accru de résistance intrinsèque. «Contrairement aux systèmes d’infrastructures anthropogéniques, les réseaux biologiques ont été soumis à des rounds successifs de sélection évolutive et sont susceptibles d’avoir atteint un point auquel le coût, l’efficacité et la résistance sont bien équilibrés», argumentent-ils.
Les chercheurs ont mis au point un modèle mathématique pour simuler le comportement de la moisissure. «Ce dernier reproduit la dynamique de base des réseaux adaptatifs à travers l’interaction de règles locales», dit Wolfgang Marwan. Il constitue un point de départ pour améliorer l’efficacité et diminuer les coûts de réseaux auto-organisés sans contrôle central, comme dans la téléphonie mobile ou des réseaux dynamiques d’ordinateurs.

Image tirée du film "Océans", de Jacques Perrin et Jacques Cluzaud

Dans le livre que j'ai présenté hier, il est question d'algorithmes de colonies de fourmis. On trouve quantité d'informations sur ce sujet sur le web :

• Wikipédia : Algorithme de colonies de fourmis
• Application d'un algorithme de colonie de fourmis au problème du voyageur de commerce
• Optimisation par colonies de fourmis
• Toute l'histoire des fourmis

1. Tracer un segment [AB].
2. Placer son milieu I.
3. Tracer le cercle C de diamètre [AB].
4. Tracer la médiatrice du segment [AB]. Elle coupe le cercle C aux points E et F.
5. Tracer les demi-droites [AE) et [BE).
6. Tracer l'arc de cercle de centre A, de rayon [AB] et d'origine B. Il coupe la demi-droite [AE) au point H.
7. Tracer l'arc de cercle de centre B, de rayon [BA] et d'origine A. Il coupe la demi-droite [BE) au point G.
8. Tracer le quart de cercle de centre E, de rayon [EG] et limité par les points G et H.

Source : Maths et détente

Une équipe japonaise a mis en concurrence des singes et des étudiants dans un exercice de mémorisation rapide. Les primates en sortent largement vainqueurs.
L’exercice peut sembler simple : plusieurs chiffres compris entre 1 et 9 apparaissent un instant sur un damier de 40 cases. Le sujet doit ensuite les toucher par ordre croissant le plus vite possible. Une équipe de six chimpanzés (3 mères, 3 jeunes) s’est prêté au ce défi. Faisant office de capitaine, la femelle Ai, 31 ans, premier chimpanzé à avoir maîtrisé les chiffres arabes en 1985. Après un peu d’entraînement, les six primates ont maîtrisé cet exercice de classement.
Les chercheurs du Primate Research Institute de l’Université de Kyoto ont alors décidé de corser l’expérience en introduisant une « variante masquée ». Dès que le sujet touche le premier chiffre de la suite, tous les autres sont remplacés par un carré blanc. Première étape : des suites de 4 chiffres. Si le taux de réussite du sujet atteint 75%, les chercheurs rajoutent un chiffre. Surprise : les jeunes chimpanzés battent à plate couture leurs mères. Par exemple, Ayumu, le fils d’Ai, présente un taux de réussite constant de 80 à 81%, que la suite comprenne 4 ou 9 chiffres. Sa mère atteint 31% pour une suite à 6 chiffres. Les autres petits sont moins doués qu’Ayumu, mais ils obtiennent tout de même de meilleurs résultats que les adultes. Ci-dessous, Ayamu pratique la variante masquée:

Les auteurs de l’étude parue dans Current Biology, Sana Inoue et Tetsuro Matsuzawa, sont des précurseurs de l’étude des capacités cognitives des primates. Une matière qui passionne les scientifiques du Japon, dont la culture ne fixe pas de barrière philosophique infranchissable entre les humains et les autres êtres vivants.
Ils ont donc soumis des étudiants au même exercice. Là encore, les résultats sont étonnants : si certains humains atteignent des taux de réussite supérieur, les performances des jeunes chimpanzés s’inscrivent dans la fourchette des capacités humaines. De plus, les singes se montrent beaucoup plus rapides que n’importe quel humain. Là encore, Ayumu domine les débats, avec un temps de réponse trois fois plus rapide que la moyenne humaine à taux de réussite égal (80%).
Dernier raffinement de l’expérience : la variante en temps limité, où la suite de chiffres n’apparaît qu’un instant (650, 430, et enfin 210 millisecondes). Ayumu et sa mère Ai ont affronté 9 humains. En moyenne, la mère a été battue par les humains, quel que soit le temps d’affichage. Mais la courbe de performance des étudiants japonais chute aussi vite que celle de la première chimpanzé mathématicienne : elle s’effondre quand le temps d’affichage baisse. Et pour cause : en 210 millisecondes, l’œil humain n’a pas du tout le temps de parcourir la surface de l’écran. La réussite dépend alors uniquement de la capacité à prendre une photographie mentale de la scène. Et c’est là qu’Ayumu a montré la pleine étendu de ses capacités : son taux de réussite reste quasiment stable à 80%, même avec 210 millisecondes d’exposition.
L’équipe japonaise explique dans Current Biology qu’Ayumu utiliserait ici une variante simiesque d’une faculté décrite en 1930 sous le nom d’« imagerie eidétique », présente chez les enfants humains, et qui disparaît avec l’âge.

Source : Les jeunes chimpanzés ont une mémoire d’éléphant, Laurent Suply (lefigaro.fr) avec Current Biology, 04/12/2007

C'est peut-être idiot, mais je suis resté ébahi quand j'ai vu la forme de l'anis étoilé (aussi appelé badiane). Qui a dit qu'il n'y avait pas de maths dans la nature ?

Le site Spirales végétales et maillage dynamique peut être classé dans la catégorie : “Mathématiques appliquées” ; il s’adresse aux botanistes et mathématiciens qui désirent étudier de manière approfondie les structures phyllotaxiques et la dynamique des spirales végétales.
La compréhension de ces structures fait appel à des notions mathématiques assez peu connues.
Le but ultime est de décrypter les mécanismes biologiques et physico-chimiques qui produisent ces structures phyllotaxiques, mais le présent travail est centré sur l'aspect mathématique du problème. Lorsque l'auteur évoque des interprétations biologiques, il ne peut s'agir que de pistes, que les biologistes pourront explorer, s'ils le jugent utile.

Une nouvelle incroyable mais pourtant crue par beaucoup, circule depuis quelques jours sur Internet, puissamment relayée par les naïfs et les béotiens : le 27 août 2007, soit lundi prochain, la planète Mars se rapprocherait de la Terre de façon historique, jusqu'à devenir aussi grosse dans le ciel que la Lune !
Il s'agit naturellement d'un hoax, d'origine anglaise et traduit en français avec un franc succès, et sans doute destiné à tester encore une fois (comme si besoin était) la crédulité du monde.
Ce canular est basé sur un communiqué très scientifique et daté de 2003. Cette année avait connu en effet, le 27 août, une opposition martienne très intéressante. Le communiqué, avec une nouvelle date, repasse cette année comme un plat réchauffé. Résultat : d'innombrables internautes le répercutent avec délectation, avisant leurs amis de ne pas rater cette prochaine "nuit des deux lunes".
Le fait qu'il semble crédible à tant de gens qu'un jour Mars et la Lune puissent rivaliser en diamètre apparent, en dit long sur l'ignorance des choses du ciel (sans parler d'astronomie au sens strict) et sur l'insuffisance de sens critique.
A noter que le communiqué scientifique de 2003 précisait "Avec un grossissement de 75 fois, Mars apparaîtra aussi grande que la pleine lune à l'œil nu". Ce grossissement indispensable une fois subtilisé du texte, pouvait laisser le canular grossir, et bien plus que 75 fois !
Plus sérieusement, la prochaine opposition martienne aura lieu le 24 décembre 2007, vers 17 heures. La planète rouge symbole de la guerre et du feu accompagnera donc le Père Noël tout au long de la nuit dans sa tournée.

Source : Sur la Toile

Les abeilles communiquent entre elles en effectuant une danse qui leur permet d’indiquer une source de nourriture située à plusieurs kilomètres. Cette danse a été découverte par le savant autrichien Karl von Frisch (1886-1982) qui a gagné le prix Nobel en 1973 pour ses travaux.
Lorsqu’une abeille découvre de la nourriture dans un lieu éloigné de la ruche, elle retourne à la colonie et effectue une danse en forme de 8 pour indiquer la localisation de l’endroit aux autres abeilles :

• La distance est donnée par la vitesse de la danse : plus la danse est rapide et plus la source de nourriture est proche.




• La direction est indiquée par rapport au Soleil : l’inclinaison verticale de la danse est égale à l’angle horizontal entre la nourriture et le Soleil.

Les abeilles utilisent donc un système en coordonnées polaires.

Vous avez peut-être entendu parler du Visage de Mars, cette structure géologique qui apparaît pour la première fois en 1976 sur un cliché pris par l'orbiteur Viking 1 à une altitude de 1873 km (photo de gauche). Si la plupart des scientifiques et la NASA ont toujours su qu'un jeu d'ombre et de lumière était à l'origine de cette forme de visage, nombreux sont ceux qui ont pensé que Cydonia était les restes d'une ancienne civilisation et d'aucun y voyaient même des structures artificielles comme des pyramides et autres anciennes cités.
Aujourd'hui, la caméra HRSC de la sonde européenne Mars Express a réussi à photographier ce site après plusieurs tentatives et le moins que l'on puisse dire, c'est que les images rapportées par la caméra sont tout simplement exceptionnelles. La résolution et la définition sont telles que Cydonia apparaît comme jamais vue auparavant (photo de droite). Avec une résolution au sol de 13,7 m par pixel, cette série d'images fournies des détails significatifs sur l'histoire géologique de la région et détruisent, s'il était encore nécessaire, la théorie du Visage martien.

A lire :

• Flashespace : Spectaculaires images de Cydonia (22.9.06)
• Futura-Sciences : Cydonia : images spectaculaires du "visage de Mars"
(25.9.06)
• Le visage de Mars

Tout le monde connaît la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., où tout nombre de la suite (exceptés les deux premiers qui valent 1) est la somme des deux qui le précèdent. Mais saviez-vous qu'on le trouve souvent dans la nature ? La page web Fibonacci Numbers and Nature vous en fera l'éclatante démonstration, avec de superbes images.

Une courbe de circonstance. Ben oui, aujourd'hui c'est le 1er juin

Un bel exemple de courbe en coordonnées polaires.

Quelle magnifique spirale sur la coquille de cet escargot !

« S'il n'existait pas dans la nature, le chou-fleur variété romanesco aurait dû être inventé par un fractaliste. Parmi les objets de tous les jours, c'est la meilleure illustration qui soit du concept de surface rugueuse mais riche en invariances. » Benoît Mandelbrot.

Le chou romanesco est une variété de chou brocoli originaire d'Italie et plus précisément de Rome. Il est appelé aussi « brocoli à pomme ».
Bien qu'il s'agisse d'une variété ancienne, son introduction en France est relativement récente, il y est cultivé en grand depuis les années 1990, surtout en Bretagne (régions de Saint-Pol-de-Léon et de Paimpol). Sa commercialisation s'est répandue à partir de 1993 sur le marché du frais, puis par l'intermédiaire de la surgélation. Son importance économique reste toutefois très limitée.
La disposition des bourgeons floraux en spirales régulières illustre les lois de la phyllotaxie. Un examen attentif montre que le nombre de spirales orientées dans le sens des aiguilles d'une montre et le nombre de spirales orientées en sens inverse sont deux nombres de la suite de Fibonacci, le rapport de ces nombres est une valeur approchée du nombre d'or. De plus sa géométrie autosimilaire fait qu'il est souvent cité comme un exemple de fractale naturelle.

Un chou-leur Romanesco entier


Un détail du même chou-fleur. Remarquez que chaque pointe ressemble au chou-fleur entier.
C'est la propriété d'"autosimilitude", caractéristique des fractales.
A voir: A romaneco page

Conus textile

Ce coquillage a un motif semblable au triangle de Sierpinski.