Le blog-notes mathématique du coyote

Le lemme de Burnside... Outre le fait qu'il n'est pas dû à Burnside et qu'on peut le considérer autrement qu'un lemme, ce résultat obscur de la théorie des groupes permet de faire des choses hallucinantes ! Si si ! Il permet par exemple de compter le nombre de colliers que l'on peut faire avec 3 perles rouges, 3 perles bleues et 5 perles vertes. Il permet aussi de compter le nombre de colliers que l'on peut faire avec 6 perles jaunes, 3 perles bleues, une perle verte et une perle rouge.
Il permet en fait de répondre à n'importe quel problème de dénombrement avec des perles ! (et certains problèmes sans perle : combien y a-t-il de façons de partager un paquet de Vache qui rit (aux isométries près) entre 3 personnes, combien existe-t-il de sudokus réellement différents, etc.). Le lemme de Burnside est l'exemple typique de l'énoncé abstrait d'un domaine abstrait qui trouve des applications concrètes dans des domaines concrets (pour peu que l'on aime fabriquer des colliers).

Lire l'article sur Choux Romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes.

"La période d'un pendule est proportionnelle à la racine carrée de la longueur de la ligne suspendant le poids. Ce qui signifie que plus long est le pendule, plus lentement il se balance." Les étudiants de Cambridge ont construit un dispositif avec une série de 15 pendules alignés, chacun légèrement plus long que son voisin, les ont ensuite mis en mouvement et ont filmé le résultat.

Merci à Jean-Pol pour m'avoir signalé cette vidéo.

Pendant près de cinquante ans les mathématiciens se sont cassé les dents sur un théorème dit du point fixe. Une équipe basée à l’EPFL a trouvé une solution élégante qui tient en une page et ouvre de nouvelles perspectives.
Prenez une carte du monde. Posez-la sur le gazon de Central Park à New York, contre les rochers de l’Everest ou sur la table de votre cuisine : il y aura toujours un point de la carte qui sera superposé exactement au lieu qu’il représente dans la réalité. Une évidence ? Pas pour les mathématiciens : un théorème plus complexe, dit du « point fixe », leur résistait depuis 1963.

Lire la suite sur le site de l'EPFL

On vient de terminer la plus longue démonstration jamais entreprise. Le travail a commencé en 1971. Une bonne centaine de mathématiciens y a participé. C'est Michel Aschbacher qui va recevoir pour cela une récompense (The Rolf Schock Award in Mathematics). En effet, en 2004, il a trouvé une faille dans "le théorème énorme" de 15'000 pages et la correction a requis la publication d'un guide de 1200 pages supplémentaires.
Le théorème à démontrer concernait la classification des groupes finis simples.

Source : io9.com

Des tests donnés à une tribu amazonienne nommée Mundurucu suggèrent que nos intuitions sur la géométrie sont innées (et donc indépendante de la culture et du langage). Les chercheurs se sont débrouillés pour voir comment cette tribu réagirait à des problèmes impliquant des lignes, des points et des angles et de comparer les résultats avec des tests réalisés par des enfants américains et français.
Évidemment, cette tribu n'a pas de vocabulaire « droite, ligne, plan, etc. » (ne parlons même pas de triangle ou de rectangle). Il a fallu recourir à des exemples et astuces comme des distances avec les villages voisins. Dans nos sociétés issues de la culture grecque, on a tendance à croire que la géométrie euclidienne (des propositions comme « entre deux points ne passe qu'une droite et une seule ») est apprise dans le cadre scolaire.
Eh non ! Des questions similaires ont eu des résultats similaires.
Résultat : il ne semble pas y avoir de causalité entre langage et interprétation géométrique. Pire : notre éducation forcée de type « euclidienne » est ensuite tellement ancrée que cela fait que nous avons du mal à nous familiariser avec la géométrie non-euclidienne. Ironie : cela n'est pas un problème pour la tribu Mundurucu qui a montré une plus grande facilité avec le concept de géométrie non-euclidienne (qui est à la base de la relativité générale d'Einstein quand même...)

Sources : Sur-la-Toile, BBC

En mathématiques, une partition d'un entier est une décomposition de cet entier en une somme d'entiers strictement positifs (appelés parties). Une telle partition est en général représentée par la suite des termes de la somme, rangés par ordre décroissant. Exemple : le nombre 3 peut s'écrire 3 ou 2+1 ou 1+1+1. Pour 10, on arrive à 42 partitions. Pour 100, plus de 190 millions...
Depuis le dix-huitième siècle, des générations de mathématiciens ont essayé de prédire ces partitions. Un génie autodidacte, Srinivasa Ramanujan, avait trouvé une méthode pour trouver une approximation de ces partitions en 1919. Il voulait aller plus loin et donner une équation précise, mais il est malheureusement décédé à l'âge de 32 ans. Des mathématiciens modernes ont repris ses manuscrits et ce n'est que maintenant que ces derniers ont trouvé le GRAAL, dans une sorte de révélation intellectuelle que seuls ces gens peuvent vivre. Il s'avère que le schéma est de type fractal.
Le chercheur Ken Ono et son équipe ont donc trouvé une fonction nommée P qui permet de donner lke nombre de partitions de n'importe quel nombre. Adieu les codes et programmes sécurisés qui se fondaient sur cette base mathématique...

Source : Sur-la-Toile

Quelle que soit la position de départ parmi les 43'252'003'274'489'856'000 existantes, les six faces d’un cube peuvent être unifiées en 20 mouvements ou moins.
Ce nombre – appelé nombre de Dieu – tenait en haleine les mathématiciens amateurs de théorie des groupes depuis trente ans et vient d'être établi avec certitude par Morley Davidson, John Dethridge, Herbert Kociemba et Tomas Rokicki. La première estimation, datant de 1981, était de 52.

Sources : cube20.org, Nouvo

Il existe deux cercles tangents (l'un intérieurement et l'autre extérieurement) à trois cercles mutuellement tangents : ce sont les cercles de Soddy qu'il a joliment appelé "kissing circles". Les courbures (inverses des rayons) des cercles de ces deux quadruplets vérifient la relation de Descartes suivante : 2 (c₁²+c₂²+c₃²+c₄²) = (c₁+c₂+c₃+c₄)²
Quelques liens sur le sujet :

• Kissing circles
• Cercles et sphères de Soddy
• The Circles of Descartes

Soit un quadrillage formé de L lignes et C colonnes. Le nombre de rectangles que l'on peut tracer est :

Ainsi, il y a 18 rectangles possibles sur un damier de dimensions 2x3 :


Voilà une formule qui m'a été bien utile pour m'attaquer au problème 85 du Project Euler.

La surface de Boy, du nom de Werner Boy, mathématicien ayant le premier imaginé son existence en 1902, peut être « vue » comme une sphère dont on a recollé deux à deux les points antipodaux, ou encore un disque dont on a recollé deux à deux les points diamétralement opposés de son bord. On peut également la construire en recollant le bord d'un disque sur le bord d'un ruban de Möbius.
De nombreuses images de la surface de Boy peuvent être trouvées sur l'album Le Topologicon de Jean-Pierre Petit qui contient également une animation, sous forme d'un folioscope montrant comment faire croître un Ruban de Möbius à trois demi-tours pour le transformer en surface de Boy.

Pour en savoir plus : Le retournement de la sphère

Une première preuve rigoureuse du Théorème de Pythagore :

Et une illustration pas rigoureuse du tout, mais plus facile à comprendre (même si les explications sont en russe) :

Le théorème de Morley, découvert par Frank Morley en 1898, est un théorème de géométrie.
Soit ABC un triangle quelconque. On trace les trissectrices de ses angles. Leurs intersections se coupent pour former un triangle équilatéral PQR.

Des démonstrations sont présentées sur Wikipédia.

Un carré gréco-latin est un tableau carré de n lignes et n colonnes remplies avec n² paires distinctes, et où chaque ligne et chaque colonne ne contient qu'un seul exemplaire. Il s'agit de la superposition de deux carrés latins orthogonaux. Si les deux carrés latins n'étaient pas orthogonaux, alors une paire pourrait apparaître plus d'une fois. Euler donna le nom "gréco-latin" à ces carrés car il utilisait souvent une paire composée de lettres provenant des alphabets grec et latin.

Carré gréco-latin d'ordre 5 Le problème des officiers

En 1782, Leonhard Euler imagine le problème mathématique suivant. On considère six régiments différents, chaque régiment possède six officiers de grades distincts. On se demande maintenant comment placer les 36 officiers dans une grille de 6x6, à raison d'un officier par case, de telle manière que sur chaque ligne et chaque colonne contiennent tous les grades et tous les régiments.
Il s'agit d'un carré gréco-latin d'ordre 6 (un carré latin pour les régiments, un carré latin pour les grades), problème dont la résolution est impossible. Euler l'avait déjà pressenti à l'époque, sans toutefois donner une démonstration formelle à sa conjecture. Il dira :
Or, après toutes les peines qu’on s’est données pour résoudre ce problème, on a été obligé de reconnaître qu’un tel arrangement est absolument impossible, quoiqu’on ne puisse pas en donner de démonstration rigoureuse.

En 1901, le français Gaston Tarry démontre formellement l'impossibilité du résultat grâce à une recherche exhaustive des cas et par croisement des résultats.
Euler crut pouvoir généraliser son constat en conjecturant qu’il n’y avait pas de telles dispositions pour 4k + 2 avec k ≥ 1. En 1959, avec l’aide d’ordinateurs, deux mathématiciens américains, Bose et Shrikhande, trouvèrent des contre-exemples à la conjecture d’Euler. La même année, Parker trouva un contre-exemple d’ordre dix. En 1960, Parker, Bose et Shrikhande démontrèrent que la conjecture d’Euler était fausse pour tous les n ≥ 10.



A voir

• La tête aux carrés gréco-latins
• A propos des carrés gréco-latins

Après avoir créé un origami, déplions la feuille de papier.

Soit la suite des angles a₁, a₂, ..., a_2n autour d'un sommet (notons au passage qu'il y a toujours un nombre pair d'angles autour d'un sommet). L’addition d’un angle sur deux autour d’un sommet sur le papier déplié est égale à 180° :

a₁ + a₃ + a₅ + ... + a_2n-1 = 180° ou a₂ + a₄ + a₆ + ... + a_2n = 180°
Les applications techniques de l'art de l'origami sont également très nombreuses: la conception de sécurité gonflable, le déploiement de panneaux solaires de satellite, la fabrication de télescopes de grandes dimensions, etc.

A voir : Kawasaki's Theorem, Origami & math

Soit un polygone construit sur une grille de points équidistants tel que tous ses sommets soient des points de la grille ; le théorème de Pick fournit une formule simple pour calculer l'aire A de ce polygone en se servant du nombre de points intérieurs du polygone (i) et du nombre de points du bord du polygone (b) :

A = i + b/2 - 1
Dans l'exemple ci-contre, l'aire du polygone est : 3 + 14/2 - 1 = 9.
Notons que le théorème tel qu'énoncé ci-dessus est seulement valide pour les polygones simples, c'est-à-dire ceux constitués d'une pièce et qui ne contiennent pas de "trous". Ce résultat fut énoncé en premier par Georg Alexander Pick (1859-1942) en 1899.

A voir :

• Animath : Le théorème de Pick
• Wikipédia : Théorème de Pick
• Cut the knot : Pick's Theorem

« Deux polygones de même aire peuvent être transformés l’un en l’autre par dissection polygonale. »
(Théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein)

Dissection de cinq octogones pour en former un seul.
Bolyai en 1832 et Gerwein en 1833 ont prouvé qu'un jeu donné de polygones peuvent être découpés en un nombre fini de pièces qui peuvent alors être assemblées pour former un autre jeu de polygones, tant que les deux jeux ont la même aire totale. (Frederickson cite aussi Lowry en 1814 et Wallace en 1831). Les preuves se font par construction, mais produisent des dissections avec beaucoup de pièces. C'est un défi de trouver des dissections économiques, qui utilisent le moins de pièces possibles. Bien qu'on connaisse quelques algorithmes pour construire des dissections économiques, il n'existe aucun algorithme pour décider si on a découvert une dissection avec le nombre minimal de pièces.