Le blog-notes mathématique du coyote

La racine x-ème d’un nombre x est la plus grande possible lorsque x est égal à e. pic.twitter.com/m3utJQERDz

— AnecdotesMaths (@AnecdotesMaths) June 22, 2022

Le théorème du sandwich au jambon, ou théorème de Stone-Tukey, s'exprime, de façon imagée, comme la possibilité de couper en quantités égales, d'un seul coup de couteau, le jambon, le fromage et le pain d'un sandwich.

De manière plus abstraite, le théorème du sandwich au jambon affirme l'existence d'un plan qui coupe chacun des trois solides ci-dessous en deux parties de volumes égaux.

Le théorème de la pizza dit que si vous découpez une pizza à l’aide de droites passant par un même point, les aires jaunes et violettes de la figure ci-dessous sont égales.

Donc, si deux personnes mangent une pizza coupée ainsi en prenant une part sur deux, elles en mangeront autant l’une que l’autre.

Michael Simkin, mathématicien de l'université d'Harvard vient de répondre à une question bien connue des amateurs d'échecs : le problème des huit reines.
Il existe 92 façons de placer 8 dames sur un échiquier 8x8 sans qu'aucune n'en prenne une autre. Combien y a-t-il de façons de placer n dames sur un échiquier n x n ? Simkin nous donne la réponse : environ (0.143n)ⁿ (quand n est grand).

Lire l'article de Tristan sur le Journal du Geek

Tirez un nombre réel aléatoire dans l'intervalle [0,1]. Recommencez jusqu'à ce que la somme des nombres tirés soit supérieure à 1.
En moyenne, vous allez tirer e≈2.71828 nombres.

La preuve se trouve ici. Mais un petit programme Python suffira peut-être à vous convaincre...

Source : Fermat's Library

Tout le monde connaît le théorème de Pythagore, même les "Nuls en maths". Mais comment peut-on le démontrer? Plusieurs youtubeurs connus se sont attelés à la tâche et proposent tour à tour une démonstration. Elles sont regroupées dans la Playlist "L'égalité de Pythou, ça vient d'où?" sur la chaîne d'Arnaud Durand (un des 2 Dudus).

Il y a de quoi faire, puisque le mathématicien américain Elisha Scott Loomis (1852-1940) proposa 370 démonstrations du théorème de Pythagore dans la seconde édition de son livre publié en 1940 «The Pythagorean proposition»...

La « machine de Ramanujan » est capable de générer des conjonctures inédites à partir des constantes fondamentales.

Une bonne conjecture exerce une sorte d'attraction magnétique sur l'esprit d'un mathématicien. Il s’agit d’un énoncé mathématique qui est plausible mais qui reste à prouver. Il est toutefois difficile de poser une bonne conjecture. Elle doit être suffisamment profonde pour susciter la curiosité et l'investigation, mais pas obscure au point qu'il soit impossible de l'envisager en premier lieu. Bon nombre des problèmes mathématiques les plus célèbres sont des conjectures, et non des solutions, comme le dernier théorème de Fermat.

Lire l'article de Mordechai Rorvig sur Vice

La découverte mathématique est souvent le fruit de deux phases plus ou moins successives: on devine un énoncé, ou plutôt on le soupçonne, puis on en produit une démonstration au terme d’un travail plus ou moins long et laborieux. De manière inhabituelle, les auteurs ont ici confié à l’ordinateur la première tâche, en lançant leurs algorithmes à la poursuite d’identités liant certaines valeurs remarquables telle que la base de l’exponentielle e ou la constante d’Apéry ζ(3) à des fractions continues. Leonard Euler ou Srinivasa Ramanujan sont connus pour avoir imaginé de telles perles (entre autres).
Un grand nombre d’identités ont été proposées par l’ordinateur; certaines ont été retrouvées dans la littérature, d’autres démontrées depuis la première pré-publication; enfin, certaines restent aujourd’hui conjecturales. La liste des formules produites ainsi que leur statut sont maintenus à jour sur la «Ramanujan machine».

La somme des n premiers cubes est le carré de la somme des n premiers entiers :

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)²

Source de l'image : Wikipédia

Comment placer le plus du monde sur un terrain en utilisant le moins de surface possible tout en respectant la distanciation physique exigée pas les autorités face à l’épidémie ?

Lire l'article d'Andrés Navas sur Images des mathématiques

Chaque lundi, Images des Mathématiques vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011 (traduit en français : Figures sans paroles, 2019).
Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.
A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, de les résoudre !

Si quatre amis se réunissent autour d’un café tout en gardant une distance au moins égale à d, alors deux d’entre eux seront nécessairement à une distance supérieure ou égale à d√2.

Lire l'article d'Andrés Navas sur Images des mathématiques

Si nous construisons trois triangles équilatéraux à partir des côtés d'un triangle quelconque, tous à l'extérieur ou tous à l'intérieur, les centres de ces triangles équilatéraux forment eux-mêmes un triangle équilatéral.

Source : Wikipédia

C’est l’une des plus vieilles démonstrations de la littérature mathématique, c’est aussi l’une des plus élégantes.
Euclide démontre dans les Éléments qu’il existe une infinité de nombres premiers par un argument cristallin.
Depuis Euclide, de nombreuses autres démonstrations ont été proposées, souvent dans l’esprit de celle d’Euclide mais d’autres aussi de nature très différente. En 1955, âgé de seulement 20 ans, Hillel Furstenberg a apporté sa pierre à l’édifice avec un argument de nature topologique, laissant entrevoir tout le potentiel de la topologie en théorie des nombres. C’est cette démonstration que nous nous proposons d’expliquer ici.
Cet article s’adresse à des étudiants de troisième année de licence en mathématiques au moins. En effet, la démonstration de Furstenberg nécessite d’être familier avec quelques rudiments de topologie. La première partie de l’article devrait cependant pouvoir être accessible dès le lycée.

Lire l'article d'Aurélien Alvarez sur Images des mathématiques