Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts et ces vidéos, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus.
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.

mardi 10 février 2015

La démonstration du théorème de Pythagore par James Garfield

James Abram Garfield (1831-1881), vingtième Président des Etats-Unis, a démontré le théorème de Pythagore en utilisant un trapèze :


L'aire du trapèze BCDE est : (a+b)(a+b)/2 = a2/2 + b2/2 + ab.
L'aire du quadrilatère BCDE est aussi la somme de l'aire des 3 triangles ABC, ACD, ADE. Or,
  • l'aire de ABC est : ab/2.
  • l'aire de ACD est : c2/2.
  • l'aire de ADE est : ab/2.
En égalisant les deux calculs, on trouve a2 + b2 = c2.

dimanche 12 janvier 2014

Top 10 des mathématiques religieuses

C'est dimanche. "Choux Romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes" vous soumet le top 10 des mathématiques religieuses.

vendredi 1 mars 2013

Conjecture de Goldbach : une démonstration (?) sur la table !

La conjecture de Goldbach a-t-elle été démontrée ? Je n'en ai entendu parler qu'il y a quelques jours, mais il semble que depuis 2011 une mystérieuse démonstration a été proposée. Mystérieuse car introuvable sur Internet jusqu'alors. Une partie de cette démonstration est désormais disponible sur rxiv.org.
En cherchant "Sambégou Diallo" sur Google, je me suis rendu compte que l'on parle depuis plus d'un an de cette découverte sur Les Mathématiques.net, et que cela suscite un intéressant débat. On s'interroge sur la validité de cette démonstration, surtout qu'elle fait appel à des outils relativement simples. On se demande dès lors pourquoi elle n'a pas été validée depuis...
J'ai aussi constaté que les médias africains ont très largement diffusé cette découverte (Découverte mathématique : Les exploits d’un surdoué guinéen , Un Africain dans la cour de grands, ...) , alors qu'ailleurs dans le monde, on en parle très peu, et pas forcément en bien (La conjecture de Goldbach a-t-elle été prouvée ? ).
Une affaire à suivre...

Ci-dessous un extrait d'un article du groupe Obamaths :

2011. Le guinéen Sambégou Diallo annonçait une découverte mathématique majeure. Il s’agissait de la résolution du plus célèbre casse-tête en maths : la conjecture de Goldbach, qui stipule que « Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers ». Telle est la colle qui persiste depuis 1742 et résiste à toutes les tentatives de résolution.
Le travail, de longue haleine, du Guinéen semble achevé. Pour ainsi dire, la conjecture de Goldbach, qui est une question de partitions d’entiers, n’aurait plus de secret pour lui. Et ce, grâce à une méthode qui transcenderait avec toutes celles déjà utilisées par la communauté. Reste plus que la vérification à l’échelle mondiale.
Les pages que vous allez découvrir ici sont une partie du document (27 pages sur un total de 60). Le Tout devrait être publié, espère-t-on au Groupe OBAMATHS, d’un moment à l’autre. Vous y trouverez la base de la démonstration, un processus bien élaboré, simple et surtout des formules asymptotiques qui n’utilisent que des outils connus de tous : le théorème des Nombres premiers en progression arithmétique et le principe d’inclusion-exclusion de Moivre, entre autres.
Après les Russes en 2011, les Sénégalais en 2012, la vérification est ainsi portée au niveau mondial afin d’en apprécier la solidité, la rigueur et la cohérence, ou, éventuellement, y déceler des failles susceptibles de remettre ce résultat en cause.

samedi 23 février 2013

Un critère visuel de divisibilité par 7

Nous avons (presque) tous appris à l’école Primaire ou au Collège à savoir si un nombre entier donné est divisible par 2, 3, 4, 5, 6 ou 10. Parfois même, pour les plus chanceux d’entre nous, on nous a appris à reconnaître les nombres qui sont divisibles par 8. Mais s’il y a bien un critère qu’on se garde bien de nous expliquer, c’est celui de la divisibilité par 7.

Lire l'article sur blogdemaths

mardi 27 novembre 2012

Du théorème du nid d’abeille à la conjecture de Kelvin

En mathématiques, il existe quelques problèmes très simples à énoncer mais incroyablement difficiles à résoudre. En géométrie aussi, il existe des conjectures qu’un collégien peut comprendre mais sur lesquelles les meilleurs mathématiciens du monde se cassent les dents. Et comme la géométrie est partout autour de nous, cela va nous permettre de faire un tour dans le monde des abeilles et celui des bulles de savon.

Lire l'article sur Science étonnante

vendredi 23 novembre 2012

Coq et caractères

Une équipe du laboratoire commun Inria - Microsoft Research dirigée par Georges Gonthier a annoncé fin septembre la vérification par un ordinateur, plus précisément par l’assistant de preuve Coq, du théorème de Feit et Thompson, un résultat difficile d’algèbre prouvé en 1963 par deux cent cinquante pages ardues. La nouvelle semble susciter plutôt de la perplexité chez certains mathématiciens : qu’apporte une preuve par ordinateur à un résultat dont personne ne doute ? D’autres collègues, plus enthousiastes, saluent le tour de force de faire vérifier à un ordinateur un des fleurons de la pensée humaine.

Lire l'article sur Images des maths

lundi 24 septembre 2012

Un problème ouvert depuis 37 ans résolu

Lire cet article concernant la théorie des graphes sur Siliconwadi.fr.

mardi 28 août 2012

Mignonne, allons voir si Newroz...

Ils l'ont fait ! La question était ouverte depuis les années 60, et pourtant, ils sont parvenus à le débusquer ! Les diagrammes de Venn symétriques et simples à 11 ensembles existent bel et bien ! Les deux mathématiciens canadiens Khalegh Mamakani et Frank Ruskey sont très fiers de vous présenter leur bébé. Voici Newroz :


Newroz, 11 pétales, 2046 intersections, né le 27 juillet 2012


Lire l'article sur les diagrammes de Venn sur Choux Romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes.

mercredi 30 mai 2012

La difficile ascension vers la résolution d'un problème mathématique

Pour un mathématicien, avancer à petits pas ne signifie pas forcément se rapprocher du but. Ainsi, l'un des plus brillants chercheurs de cette discipline, Terence Tao (université de Californie), vient d'apporter sa pierre à la résolution d'un problème mythique de sa discipline, la conjecture de Goldbach. Mais sans pouvoir affirmer l'avoir totalement résolue.
Ce problème remonte au XVIIIe siècle, lorsque le mathématicien Christian Goldbach défie son collègue Leonhardt Euler en estimant peu ou prou que tout nombre entier pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Par exemple, 30 = 13 + 17 ou 90 = 17 + 73. Ou encore, que tout nombre entier impair peut s'écrire comme la somme de trois nombres premiers. Ainsi, 179 = 19 + 71 + 89. Les nombres premiers ne sont divisibles que par un et eux-mêmes et constituent en quelque sorte les briques élémentaires de la théorie des nombres.

"Cette conjecture est très importante. Elle est simple à énoncer et pourtant touche à un problème fondamental : comment se combinent, pour les nombres, les deux opérations de base, la somme et la multiplication [qui est liée aux nombres premiers]", explique Gerald Tenenbaum, de l'institut Elie-Cartan de Nancy, spécialiste de la théorie des nombres.
Ce problème n'est pourtant pas l'un des sept mis à prix un million de dollars par la fondation Clay en 2000. Il a néanmoins un rapport avec l'un deux, l'hypothèse de Riemann, qui donne la clé de la répartition de ces atomes des mathématiques que sont les nombres premiers. Si cette autre conjecture est vraie, alors l'énoncé de Goldbach pour les nombres impairs s'en déduirait par exemple.

"NOUS NE POURRONS PAS ALLER JUSQU'À LA DÉMONSTRATION FINALE"

C'est dans ce contexte que Terence Tao, médaillé Fields en 2006 (récompense suprême en mathématiques), a démontré que tout entier impair peut se décomposer en cinq nombres premiers. Ce qui est donc un petit peu mieux que le précédent "record" d'Olivier Ramaré, de l'université de Lille et du CNRS, qui, il y a presque vingt ans, avait établi que tout nombre pair se décompose en six nombres premiers.
L'Américain a soumis cet article en février à une revue spécialisée pour expertise et publication, mais le magazine Scientific American l'a sorti de la confidentialité le 11 mai, repris par le site Web de la revue Nature. Le prestige de l'auteur et la méthode utilisée ne laissent guère de doute sur la solidité du travail, qui devrait donc être prochainement validé. Ce dernier reste modeste : "C'est un progrès incrémental dans la recherche sur la conjecture de Goldbach, mais pas une révolution", nous a-t-il écrit.
Le problème avec cette conjecture est que s'il semble possible d'atteindre les étapes suivantes, quatre nombres premiers, puis trois, la dernière restera inaccessible. "Avec la méthode que j'avais utilisée et que Terence Tao poursuit, nous savons que nous ne pourrons pas aller jusqu'à la démonstration finale. Il y a un obstacle théorique, constate Olivier Ramaré. On a même du mal à s'approcher d'une méthode différente permettant d'aborder cette ultime question. Peut-être qu'on ne verra pas la démonstration avant mille ans !"

"Ces travaux sont cependant intéressants, car pour aborder la démonstration finale, nous avons besoin de comprendre les entiers et les nombres premiers. Les outils et méthodes développés dans des cas plus 'simples' pourront donc être utiles. On ne sait jamais", poursuit le chercheur.

Source : David Larousserie - Le monde - 22 mai 2012

mardi 28 février 2012

Lemme de Burnside (2)

Le lemme de Burnside... Outre le fait qu'il n'est pas dû à Burnside et qu'on peut le considérer autrement qu'un lemme, ce résultat obscur de la théorie des groupes permet de faire des choses hallucinantes ! Si si ! Il permet par exemple de compter le nombre de colliers que l'on peut faire avec 3 perles rouges, 3 perles bleues et 5 perles vertes. Il permet aussi de compter le nombre de colliers que l'on peut faire avec 6 perles jaunes, 3 perles bleues, une perle verte et une perle rouge.
Il permet en fait de répondre à n'importe quel problème de dénombrement avec des perles ! (et certains problèmes sans perle : combien y a-t-il de façons de partager un paquet de Vache qui rit (aux isométries près) entre 3 personnes, combien existe-t-il de sudokus réellement différents, etc.). Le lemme de Burnside est l'exemple typique de l'énoncé abstrait d'un domaine abstrait qui trouve des applications concrètes dans des domaines concrets (pour peu que l'on aime fabriquer des colliers).

Lire l'article sur Choux Romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes.

jeudi 12 janvier 2012

Les vagues des pendules

"La période d'un pendule est proportionnelle à la racine carrée de la longueur de la ligne suspendant le poids. Ce qui signifie que plus long est le pendule, plus lentement il se balance." Les étudiants de Cambridge ont construit un dispositif avec une série de 15 pendules alignés, chacun légèrement plus long que son voisin, les ont ensuite mis en mouvement et ont filmé le résultat.


Merci à Jean-Pol pour m'avoir signalé cette vidéo.

samedi 26 novembre 2011

Maths : Cartographie d'un point fixe

Pendant près de cinquante ans les mathématiciens se sont cassé les dents sur un théorème dit du point fixe. Une équipe basée à l’EPFL a trouvé une solution élégante qui tient en une page et ouvre de nouvelles perspectives.
Prenez une carte du monde. Posez-la sur le gazon de Central Park à New York, contre les rochers de l’Everest ou sur la table de votre cuisine : il y aura toujours un point de la carte qui sera superposé exactement au lieu qu’il représente dans la réalité. Une évidence ? Pas pour les mathématiciens : un théorème plus complexe, dit du « point fixe », leur résistait depuis 1963.

Lire la suite sur le site de l'EPFL

mercredi 14 septembre 2011

La plus longue démonstration de l'histoire

On vient de terminer la plus longue démonstration jamais entreprise. Le travail a commencé en 1971. Une bonne centaine de mathématiciens y a participé. C'est Michel Aschbacher qui va recevoir pour cela une récompense (The Rolf Schock Award in Mathematics). En effet, en 2004, il a trouvé une faille dans "le théorème énorme" de 15'000 pages et la correction a requis la publication d'un guide de 1200 pages supplémentaires.
Le théorème à démontrer concernait la classification des groupes finis simples.

Source : io9.com

vendredi 27 mai 2011

La géométrie euclidienne serait universelle

Des tests donnés à une tribu amazonienne nommée Mundurucu suggèrent que nos intuitions sur la géométrie sont innées (et donc indépendante de la culture et du langage). Les chercheurs se sont débrouillés pour voir comment cette tribu réagirait à des problèmes impliquant des lignes, des points et des angles et de comparer les résultats avec des tests réalisés par des enfants américains et français.
Évidemment, cette tribu n'a pas de vocabulaire « droite, ligne, plan, etc. » (ne parlons même pas de triangle ou de rectangle). Il a fallu recourir à des exemples et astuces comme des distances avec les villages voisins. Dans nos sociétés issues de la culture grecque, on a tendance à croire que la géométrie euclidienne (des propositions comme « entre deux points ne passe qu'une droite et une seule ») est apprise dans le cadre scolaire.
Eh non ! Des questions similaires ont eu des résultats similaires.
Résultat : il ne semble pas y avoir de causalité entre langage et interprétation géométrique. Pire : notre éducation forcée de type « euclidienne » est ensuite tellement ancrée que cela fait que nous avons du mal à nous familiariser avec la géométrie non-euclidienne. Ironie : cela n'est pas un problème pour la tribu Mundurucu qui a montré une plus grande facilité avec le concept de géométrie non-euclidienne (qui est à la base de la relativité générale d'Einstein quand même...)

Sources : Sur-la-Toile, BBC

mardi 1 février 2011

Un vieux problème de maths résolu par les fractales

En mathématiques, une partition d'un entier est une décomposition de cet entier en une somme d'entiers strictement positifs (appelés parties). Une telle partition est en général représentée par la suite des termes de la somme, rangés par ordre décroissant. Exemple : le nombre 3 peut s'écrire 3 ou 2+1 ou 1+1+1. Pour 10, on arrive à 42 partitions. Pour 100, plus de 190 millions...
Depuis le dix-huitième siècle, des générations de mathématiciens ont essayé de prédire ces partitions. Un génie autodidacte, Srinivasa Ramanujan, avait trouvé une méthode pour trouver une approximation de ces partitions en 1919. Il voulait aller plus loin et donner une équation précise, mais il est malheureusement décédé à l'âge de 32 ans. Des mathématiciens modernes ont repris ses manuscrits et ce n'est que maintenant que ces derniers ont trouvé le GRAAL, dans une sorte de révélation intellectuelle que seuls ces gens peuvent vivre. Il s'avère que le schéma est de type fractal.
Le chercheur Ken Ono et son équipe ont donc trouvé une fonction nommée P qui permet de donner lke nombre de partitions de n'importe quel nombre. Adieu les codes et programmes sécurisés qui se fondaient sur cette base mathématique...

Source : Sur-la-Toile

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