Le blog-notes mathématique du coyote

Cet étrange échiquier 8 x 8 est, dans un sens, plus égalitaire qu’un échiquier standard : pour chaque paire de lignes, il y a exactement une moitié des colonnes dont les deux cases sont de même couleur. Quelles sont les autres tailles possibles n x n de tels échiquiers égalitaires ? Ce problème a des ramifications mathématiques et technologiques très riches, et reste largement ouvert depuis... 1893.

Lire l'article de Shalom Eliahou sur Images des mathématiques

Lire la deuxième partie de l'article aussi sur Images des mathématiques.

En anglais, mais avec des sous-titres en français.

Le théorème de Pythagore est un peu la marotte des géomètres, il n’est donc pas surprenant qu’il apparaisse régulièrement dans les articles d’Images des Mathématiques. Pour vous aider à vous y retrouver, nous vous proposons un dossier regroupant les textes du site qui permettent de se familiariser avec le théorème de Pythagore, de le digérer et d’ouvrir quelques horizons nouveaux. Il nous a semblé que ce dossier pourrait être utile aux professeurs, élèves, et étudiants.

Consulter ce dossier sur Images des mathématiques

Un groupe de chercheurs de Google a développé un programme d'Intelligence Artificielle chargé de prouver des théorèmes mathématiques. Certains mathématiciens y voient déjà l'avenir de la recherche.

« Vous obtenez une précision et une justesse maximales, sans avoir à rentrer dans le détail. (...) Peut-être que se décharger ainsi de tout ce travail, que l'on devait faire à la main, nous libérerait du temps pour chercher de nouveaux concepts et poser de nouvelles questions » explique Jeremy Avigad, de la Carnegie Mellon University.

L'Intelligence Artificielle au service des mathématiques

Si l'Intelligence Artificielle peut sans doute rendre service dans des domaines comme la livraison de colis ou la conduite de véhicules autonomes, peut-elle égaler l'esprit humain dans des champs aussi précis que la découverte ou la résolution de théorèmes mathématiques ? À vrai dire, les chercheurs en mathématiques expérimentales se sont déjà penchés sur la question, et certaines découvertes récentes sont bien l'œuvre de machines, bien qu'elles aient été ensuite vérifiées à la main par des humains. Parmi elles, on peut mentionner une nouvelle formule pour calculer Pi, une expression simplifiée de la formule sommatoire d'Euler, ou encore de nouveaux résultats au problème de la somme des cubes de Mordell.

De l'apprentissage à l'application

L'équipe de Google s'est basée sur HOL Light Theorem Prover, un logiciel destiné à aider les mathématiciens à formaliser et vérifier leurs raisonnements. L'IA a d'abord été entraînée à résoudre 10 200 théorèmes, dont la plupart relevaient de l'algèbre linéaire, l'analyse réelle ou l'analyse complexe. Les chercheurs de Google soulignent néanmoins que leur approche permettrait des applications très diverses.
Lors de cette première phase d'entraînement, l'intelligence artificielle a été capable de prouver 5919 des théorèmes qui lui avaient été proposés, soit 58% de bonnes réponses. Pour la phase d'application, les chercheurs ont ensuite proposé une série de 3217 nouveaux théorèmes, dont la machine n'avait jamais eu connaissance. Cette fois, elle a pu en prouver 1251, atteignant un taux de réussite de 38,9%.
Ces résultats satisferont alors sans doute les futurologues adeptes de Ray Kurzweill, qui prédit l'arrivée de la Singularité - ce moment où l'intelligence des machines dépasserait l'intelligence humaine - autour de 2045.

Source : article de Sylvain Nawrocki sur Clubic

Le théorème de Pythagore n’est pas uniquement valable pour des carrés construits sur les côtés d’un triangle rectangle. Il vaut aussi si l’on dessine des triangles, des pentagones, des demi-cercles et, en général, toute autre figure, à condition que les formes soient les mêmes et l’on ne change que la taille.
Il y a même un théorème de Pythagore pour des hippopotames !

Lire l'article d'Andrés Navas sur Images des mathématiques

Les mathématiques discrètes regorgent de problèmes de coloriages : on cherche à colorier des objets mathématiques en satisfaisant certaines contraintes tout en utilisant le moins de couleurs possible. D’apparence anodine, ces problèmes ont tendance à être très difficiles et à rester ouverts pendant des décennies, voire beaucoup plus.
Le présent article concerne un tel problème, formulé en 1950 par Edward Nelson, alors jeune étudiant en mathématiques au fameux MIT, le Massachusetts Institute of Technology à Boston. En l’occurrence, les objets à colorier sont tous les points du plan.

Lire l'article de Shalom Eliahou et Jean Fromentin sur Images des mathématiques.

2017 se termine. Avant de passe à 2018, voyons encore une propriété intéressante du nombre 2017. En effet, 2017 est un "nombre hypoténuse", l’hypoténuse du triangle rectangle correspondant au triplet pythagoricien (792, 1855, 2017). C’est même un triplet pythagoricien "primitif" car ces 3 entiers sont premiers entre eux, donc 2017 est un "nombre hypoténuse primitif".

Lire l'article du Dr. Goulu (qui date du début de cette année).

Si Euclide a démontré qu'il y avait une infinité de nombres premiers, ceux-ci se font de plus en plus rares lorsqu'on avance dans les grands nombres. Pourtant, le monde des mathématiques est peu à peu en train de prouver que, même dans l'infiniment lointain, on pourra trouver des couples de nombres entiers qui avancent main dans la main.

Lire l'article de Thomas Messias sur Slate.fr

La démonstration que la mathématicienne américaine Maryanthe Malliaris et son homologue israélien Saharon Shelah viennent de publier, qui prouve que deux ensembles mathématiques infinis ont la même taille, était attendue depuis près de 70 ans. Pourtant, elle concerne des nombres connus de tous. Cette découverte pourrait se voir décerner la médaille Fields.

Lire l'article de Thomas Messias sur Slate.fr

Plusieurs démonstrations géométriques du théorème de Pythagore.

Lire l'article sur Blogdemaths.

Vous avez sans doute déjà entendu parlé du paradoxe des anniversaires qui dit que dans un groupe de 23 personnes, il y a 50% de chances pour que deux d’entre elles soient nées le même jour de l’année (mais pas forcément la même année). Ça tombe bien, 23 c’est aussi le nombre de joueurs qui composent chaque équipe lors de l’Euro 2016 !

Lire l'article sur Blogdemaths

SCIENCES - Une équipe de mathématiciens a bouleversé le monde des maths en découvrant un nouveau type de pentagone capable de "paver un plan", c'est-à-dire que les tuiles peuvent s'assembler sur une surface plane sans qu'elles ne se chevauchent ni ne laissent de trous.
Seuls quinze pentagones de ce type ont été découverts jusqu'ici. On n'en avait pas découvert depuis trente ans. C'est presque aussi impressionnant que de découvrir un nouvel atome, a déclaré Dr. Casey Mann, maître de conférences en mathématiques à l'université de Washington Bothell et membre de l'équipe.
L'équipe a fait cette découverte grâce à un programme informatique conçu pour l'occasion.
"Nous avons découvert la tuile en faisant une recherche exhaustive sur un ordinateur grâce à un ensemble de possibilités très large mais fini", a expliqué Casey Mann au journal Le Guardian, en ajoutant que l'équipe avait été "un peu surprise" de découvrir un nouveau type de pentagone. Avec lui, on retrouve le Dr. Jennifer McLoud-Mann, qui est également maître de conférences en mathématiques à l'université, et David Von Derau, récemment diplômé de cette même université.
En plus d'offrir une nouvelle façon de carreler son sol de salle de bains, Mann a déclaré que la découverte pourrait faire avancer la chimie et la biologie structurale – particulièrement dans l'étude des cristaux et dans l'auto-assemblage, un domaine en pleine expansion qui consiste à créer des structures qui s'assemblent de façon spontanée grâce à leur forme et leurs propriétés distinctes.


Le nouveau pentagone.
Bien sûr, les modèles de pavage (aussi appelé dallage) ont un intérêt estéthique considérable - tout du moins pour les mathématiciens.
"Nous les étudions principalement pour notre plaisir", a raconté Dr. Steven Strogatz, un mathématicien de l'université Cornell non impliqué dans la découverte, au Huffington Post. Il trouve que la nouvelle découverte est "cool" et fait remarquer que les dallages sont aussi présents dans les dessus-de-lit en patchwork, dans les motifs de papier peint et dans les nids d'abeilles, mais également dans les bâtiments tels que l'Alhambra et dans les gravures sur bois d' Escher comme celle-ci.
Cette nouvelle découverte vient complexifier un peu plus l'ensemble de faits connus sur les dallages et les polygones convexes (les conventionnels, avec les angles qui pointent tous vers l'extérieur).
Les mathématiciens ont prouvé qu'aucun polygone convexe possédant plus de six cotés ne peut paver un plan, selon Mann. Tous les triangles et les quadrilatères le peuvent, tout comme trois sortes d'hexagones.
Il est clair que les pentagones réguliers (ceux qui ont les côtés et les angles égaux) ne peuvent pas paver un plan. Selon Mann, on ne sait toujours pas non plus combien de sortes de pentagones irréguliers en sont capables. La découverte du nouveau ne change pas cette donnée.
"Après plus de 100 ans d'observation, nous ne savons toujours pas si nous avons découvert tous les types de pentagones convexes qui peuvent paver un plan", a-t-il affirmé dans l'e-mail. "C'est une énigme mathématique fascinante !"

Cet article a été publié sur le Huffington Post américain et traduit de l'anglais par Clémence Lecornué.
Lire aussi A five that fits par Marianne Freiberger dans la revue Plus.

Chaque jour, les site Images des mathématiques vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.
Cette figure sans paroles est délibérément présentée sans texte explicatif, ni énoncé. A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

James Abram Garfield (1831-1881), vingtième Président des Etats-Unis, a démontré le théorème de Pythagore en utilisant un trapèze :

L'aire du trapèze BCDE est : (a+b)(a+b)/2 = a²/2 + b²/2 + ab.
L'aire du quadrilatère BCDE est aussi la somme de l'aire des 3 triangles ABC, ACD, ADE. Or,

• l'aire de ABC est : ab/2.
• l'aire de ACD est : c²/2.
• l'aire de ADE est : ab/2.

En égalisant les deux calculs, on trouve a² + b² = c².

C'est dimanche. "Choux Romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes" vous soumet le top 10 des mathématiques religieuses.