mercredi 7 juin 2006
Loi de Benford
Par Didier Müller, mercredi 7 juin 2006 à 14:34 - En classe
Comme chaque année, j'ai demandé à mes élèves de noter une vingtaine de prix lus dans des grands magasins, afin d'illustrer la loi de Benford. Un jour de 1881, un astronome américain, Simon Newcomb, s'aperçut que les premières pages d'une table de logarithmes étaient plus usées que les autres. Se pouvait-il que les données recherchées dans cette table commençaient plus souvent par le chiffre "1" ? Il tenta de résumer les résultats de son observation dans une formule simple pour mesurer la fréquence d'apparition du premier chiffre C, celui situé le plus à gauche, dans un ensemble de données :
A l'époque, cette formule ne convainquit personne. Cinquante ans
plus tard, vers 1938, un physicien américain, Frank Benford,
redécouvrit les mêmes fréquences que celles résultant
de l'application de la formule de Newcomb, en répertoriant plus de
20 000 données sélectionnées dans des domaines aussi
divers que les longueurs de plus de 300 fleuves, les recensements démographiques
de plus de 3 000 régions, les masses atomiques des éléments
chimiques, les cours de bourse, les constantes de la physique, les couvertures
de journaux, etc. Il constata, donc, que le premier chiffre était un
"1" près d'une fois sur trois ! Il en fit une loi qui porte
aujourd'hui son nom : la loi de Benford.
Ce n'est qu'en 1996 que Terence Hill démontra mathématiquement
la loi de Benford.
Attention ! Cette loi ne s'applique qu'aux résultats de mesure. Inutile de l'utiliser pour avaoir plus de chance de gagner à la loterie !
Le graphique ci-dessous compare la loi de Benford (en bleu) avec les fréquences observées...
- de prix récoltés au hasard par mes élèves (3369 nombres)
- des résultats cantonaux d'une votation fédérale parus dans le Quotidien Jurassien du 14 juin 1999, page 4 (828 nombres)
- des superficies des pays souverains et territoires dépendants en 1974 (204 nombres).
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