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Problème 206

Nombres premiers en progression arithmétique

Pour tout entier n supérieur à 1, on définit la "primorielle" de n, notée P(n), comme le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Ainsi, P(10) = 210.
  • 5 – 11 – 17 – 23 – 29 est la plus longue suite arithmétique de nombres premiers inférieurs à 100 (raison = 6)
  • 7 – 157 – 307 – 457 – 607 – 757 - 907 est la plus longue suite arithmétique de nombres premiers inférieurs à 1000 (raison = 150)
  • 199 – 409 – 619 – 829 – 1 039 – 1 249 – 1 459 – 1 669 – 1 879 – 2 089 est la plus longue suite arithmétique de nombres premiers inférieurs à 10'000 (raison = 210).
Concernant les raisons de ces suites arithmétiques, il a été démontré que, si la suite est de longueur k, alors la raison est multiple de P(k), sauf si k est premier et que la suite commence à k.
Depuis 2004, on sait que pour tout entier n, il existe au moins une suite arithmétique de nombres premiers de taille supérieure ou égale à n. Mais à ce jour, on ne connaît pas de telles suites de longueur supérieure à 26...

Quelle est la plus longue suite arithmétique de nombres premiers inférieurs à 1 million, sachant que son premier terme n'est ni 13 ni 17 ? On saisira la somme des termes de cette suite.

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